数学分析课本(华师大三版)-习题集与答案解析第十一章

第十一章 反常积分

一、填空题 1．?

+∞

-++1

31x

x e

e dx

= 2．

?

-+-3

1

)

3()1(x x dx =

3．

?

+∞

2

)(ln k

x x dx

其中k 为常数，当1≤k 时，这积分 ，当1

当这积分收敛时，其值为

4．=++?

+∞

28

4x x dx

5．

=-+?∞

+2

2

)7(x x dx

___________

6．=+?∞---0

2

)1(dx e xe x x

____________

二、选择填空 1． ?

--=

1

1

2

1x

xdx I 则（ ）

A 可以令t x sin =求得?-=

22

sin π

πtdt I 之值

B 可从凑微分求得?----=11221)

1(21x

x d I 之值

C 因被积函数在]1

,1[-内不连续，不能直接换元 D 因被积函数在]1

,1[-内不连续，I 之值不存在 2．)(x f 在] ,[∞+a 连续c a <，则（ ） A

)(dx x f a

?

+∞

收敛， )(dx x f c

?

+∞

也必收敛，但 )(dx x f a

?

+∞

发散， )(dx x f c

?

+∞

不一

定发散。

B

)(dx x f a

?

+∞

发散， )(dx x f c

?

+∞

也必发散，但 )(dx x f a

?

+∞

收敛， )(dx x f c

?

+∞

不一定收敛。 C )(dx x f a ?+∞

与 )(dx x f c

?

+∞

同时收敛或同时发散。

D

)(dx x f a

?

+∞

收敛， )(dx x f c

?

+∞必发散。

3．若x

x x f 104

)5(2-=

-，则积分=+?40)12(dx x f ( ) A.0 B.

4

π

C.是发散的广义积分

D.是收敛的广义积分

4．

=+?-2

22)1(x dx

( )

A.34-

B.34

C.3

2

- D. 不存在 5．下列广义积分发散的是( )

A.?-1

1sin x dx B.?--112

1x

dx C.?+∞-02dx e x D.?∞+22ln x x dx

三．计算题

1．计算下列无究限积分：

（1）

?

∞

+1

2

x dx

； （2）()?∞++12x 1x dx ； （3）

?∞

+∞-++1

x 2x 2dx

2； （4）?∞+0x e dx ； （5）

?

+∞

-0

x dx x e 2

2．讨论下列无穷限积分的敛散性：

（1）

?

∞

++0

3

4

1

x dx ；

（2）

?

∞

+-a

x

dx e 1x

；

（3）

?

+0

x

1；

（4）

?

∞

++13

dx x

1xarctgx

； （5）

()?

∞

+->+0

1

a 1a dx x

1x ； （6）

()?

∞

+≥+0

n

m

0n ,m dx x 1x ；

（7）

()?

∞

++1n

dx x

x 1ln ； （8）

()

?

∞

+3

x ln ln x dx

3．讨论下列非正常积分的绝对收敛与条件收敛：

（1）?

+∞

2dx x sin ；

（2）

()dx x 1x sin sgn 02

?∞

++； （3）?

∞

++0

dx x

100x

cos x ；

（4）

()?

∞

+3

xdx sin x

ln x ln ln 4．计算下列瑕积分的值：

（1）

?

1

x dx ln ； （2）?

-1

dx x

1x

； （3）

()()()?≠--b

a

b a x b a x dx

5．判别下列非正常积分的敛散性：

（1）

()

?-2

2

1x dx

；

（2）

?

1

2

3dx x

x sin ；

（3）

?

-04

dx x

1；

（4）?-1

0dx x 1x

ln ； （5）?-103

dx x 1arctgx ；

（6）?

∞

-0

x dx x ln e ；

（7）

?

1

x

ln x dx ；

（8）

?

π-20

m

dx x

x

cos 1 6．仿照无究限积分的阿贝耳判别法和狄利克雷判别法，写出瑕积分的相应判别法，并用来讨论下列非正常积分的绝对收或条件收敛：

（1）

?

1

0dx x

x 1

cos ；

（2）

dx x x

2sin e 0

2

x sin ?

∞

+；

7．计算下列瑕积分的值（其中n 为自然数）：

（1）

()

?1

n

dx x ln ； （2）dx x

1x 1

n ?

-

8．求

()

?-2

2

11

dx x

9．求

dx e x x x

-+∞

∞

-+?

)(

10．求

?

+∞

-1

1

x x dx

11．求

dx x

x ?-2

322cos 1sin π

π

12．求

?

+∞

∞

--++dx e x x x 2

)1(2

13．求

dx x

?

-3

1

2ln

π

14．判断下列广义积分的敛散性

（1）

dx x

?

20

sin 1π

（2）?

-+-1

1

2

2

)

1)(1(1dx x x

15．判别广义积分

dx x x x

x ?

∞

+-0

3421

ln 的敛散性

16．计算积分

?

--232

12

x

x dx

四、证明题 1．假定

?

∞

)

(dx x

x f 对a 取任何正值时收敛，且)(x f 为连续函数，L f =)0(，证明 α

β

βαln )()(?=-?∞L dx x x f x f a

2．证明无穷限积分的性质3：若f 在任何有限区间[a ，A]上可积，且?

+∞

a

f 收敛，则?+∞

a

f 也

收敛，且

?

?

+∞

+∞

≤a

a

f f

3．证明定理10.22：设定义在[]+∞,a 上的非负函数f 与g 在任何有限区间[a ，A]上都可积。若在a x ≥时()()x g x f ≤，则当?

+∞

a

g 收敛时，?+∞a

f 也收敛；当?+∞a

f 发散时，?+∞

a

g 也发

散。

4．证明：设f ，g 和h 为[]+∞,a 上的连续函数，且成立不等式

()()()x g x f x h ≤≤

若

A f ,A g h a

a

a

===???

+∞

+∞+∞

则

5．证明下列等式：

（1）??∞+-->+=+1p

1

01

p 0p ,dx 1

x x dx 1x x ； （2）

?

?∞

+∞+--<<+=+0

0p

1

p 1p 0,dx 1

x x dx 1x x

6．举出反例，说明

?

+∞

a

f 即使绝对收敛，也不能保证

()0x f lim x =+∞

→

7．证明：若f 在[]+∞,a 上单调，且

()?+∞

a

x f 收敛，则必有

()0x f lim x =+∞→，且()??

?

??=x 1o x f ，+∞→x 8．设f 在[]+∞,a 上可导，且

?

+∞

a

f 与?+∞

'a

f 均收敛，证明()0x f lim x =+∞

→

9．设f 在[]+∞,a 上一致连续，且()?+∞

a

dx x f 收敛，证明：()0x f lim x =+∞

→

10．证明瑕积分()?π

=

20

dx x sin ln A 收敛

11．利用上题结果，证明

（1）

()?

π

π-=θθθ0

2

2ln 2

d sin ln ；

（2）

2ln 2cos 1sin 0

π=θ

-θ

θ?

π

；

（3）

()??

? ??-π=

θθθ?

π

2ln 214d sin ln sin 20

2； （4）

()2ln 8

dx x 1x 1ln 1

02

π

=++? 12．设f 与g 是定义在[]+∞,a 上的函数，对任何a A >它们在[]A ,a 上均可积，证明：若?+∞

02

f 与?

+∞

a

2g 收敛，则()?

+∞

+a

2g f 与?+∞

a

fg 也收敛。

五、考研复习题 1．讨论非正常积分

?

∞

+λ

dx x

xy

sin 的敛散性，并问λ取何值时这个积分绝对收敛。 2．计算下列非正常积分的值：

（1）

?

+∞

-0

ak bx dx cos e ，()0a >；

（2）()?

+∞

->0

ax 0a ,bx dx sin e ；

（3）?

∞

++0

2

dx x

1x

ln ； （4）

()?πθθ20

d tg ln

3．证明不等式：

（1）

?∞+-+

<

211dx e e 11212

； （2）

?

π<

-<π1

4

2

x 1dx 2

2 4．证明下述命题：

（1）设f 为[]+∞,a 上的非负连续函数，若

?

+∞

a

x fdx 收敛，则?+∞

a

f 也收敛。

（2）设f 为[]+∞,a 上的连续可微函数，且当+∞→x 时f 递减趋于零，则当且仅当

?

+∞

a

f 收敛时，?+∞

'a

f x 也收敛。