11、2020版高考理科数学大二轮专题复习新方略课时作业 11空间几何体 Word版含解析

课时作业11空间几何体

1.

[2019·贵州七校联考]如图，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的正视图、侧视图、俯视图分别是(用①②③④⑤⑥代表图形)()

A．①②⑥B．①②③

C．④⑤⑥D．③④⑤

解析：正视图是边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是①；侧视图是边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是②；俯视图是边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③.故选B.

答案：B

2．[2019·山东德州联考]圆锥被一个平面截去一部分后与半球组成一个几何体，如图所示是该几何体的三视图，则该几何体的表面积为()

A ．5π＋4 3

B ．10π＋4 3

C ．14π＋4 3

D ．18π＋4 3

解析：由三视图可知该几何体是由半个圆锥和半个球构成的，所

以几何体的表面积为12×4×23＋12×π×22＋12×4×π×22

＋12×2π×22＋(23)2＝14π＋4 3.故选C .

答案：C

3．某圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为2π

3的扇形，此圆锥的体积为( )

A ．π

B .22π

3 C ．2π D ．22π 解析：设圆锥的母线为R ，底面圆的半径为r ，扇形的圆心角为α，

则S ＝12αR 2＝12×2π3×R 2

＝3π，解得R ＝3，底面圆的半径r 满足r R ＝2π

32π，

解得r ＝1，所以这个圆锥的高h ＝32－12＝22，故圆锥的体积V ＝1

3

πr 2h ＝22π

3，故选B .

答案：B 4．[2019·河南郑州一中摸底]某几何体的三视图如图所示，则这个几何体最长的棱的长度为( )

A ．2 6

B ．2 5

C ．4

D ．2 2

解析：由三视图知，该几何体是如图所示的四棱锥A －CDEF 和三棱锥F －ABC 的组合体，由图知该几何体最长的一条棱为AF ，AF ＝42＋22＋22＝26，故选A . 答案：A

5．[2019·安徽安师大附中摸底]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A ．12

B ．18

C ．24

D ．30

解析：由三视图知，该几何体是一个底面为直角三角形的直三棱

柱截去一个三棱锥后得到的，如图，该几何体的体积V ＝1

2×4×3×5－13×1

2×4×3×(5－2)＝24，故选C .

答案：C

6．[2019·开封高三定位考试]某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( )

A ．4π

B ．2π

C .4π

3 D ．π

解析：由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形的圆心角为α，由tan α＝31＝3，得α＝π

3，故底

面面积为12×π3×22

＝2π3，则该几何体的体积为2π3×3＝2π.

答案：B 7．[2018·山东、湖北省质量检测]已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1

的棱长为4，E 为棱BB 1的中点，F 为棱DD 1上靠近D 1的四等分点，平面A 1EF 交棱CC 1于点G ，则截面A 1EGF 的面积为( )

A ．265

B ．10 3

C ．421

D ．221

解析：∵平面A 1ADD 1∥平面B 1BCC 1，∴A 1F ∥EG .同理，A 1E ∥GF ，∴四边形A 1EGF 为平行四边形．如图，连接EF ，取棱DD 1的中点K ，连接EK ，则EK ＝

42＋42＝42，FK ＝1，在Rt △FKE 中，EF ＝32＋1

＝33，在Rt△A1B1E中，A1E＝42＋22＝25，在Rt△A1D1F中，A1F＝42＋12＝17，在△A1EF中，cos∠EA1F＝

20＋17－33

2×25×17

＝1

85

，

故sin∠EA1F＝221

85

，故截面A1EGF的面积为2×1

2×25×17×

221

85＝421，故选C.

答案：C

8．[2019·湖南六校联考]如图是一个几何体的三视图，且这个几何体的体积为8，则x等于()

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：由三视图可知，该几何体为一个底面是直角梯形的四棱锥(如图)，体积V＝

1

2×(2＋4)×2

3·x＝8，∴x＝4.故选D.

答案：D

9．[2019·安徽合肥调研]已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由半圆及矩形组成，俯视图由正方形及其内切圆组成，则该几何体的表面积为()

A．48＋8πB．48＋4π

C．64＋8πD．64＋4π

解析：由三视图可知，该几何体是一个半球和一个直四棱柱的组合体，根据图中数据可知，表面积为4×4×2－π×22＋4×2×4＋1

2×4π×22＝64＋4π，故选D.

答案：D

10．[2019·湖南东部六校联考]某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，最大面的面积是()

A．4 3 B．8 3

C．47 D．8

解析：如图，设该三棱锥为P－ABC，其中PA⊥底面ABC，PA ＝4，△ABC是边长为4的等边三角形，故PB＝PC＝42，所以S△ABC

＝1

2×4×23＝43，S△PAB ＝S△PAC＝1

2×4×4＝8，S△PBC

＝1

2

×4×(42)2－22＝47，故四个面中最大面的面积为S△PBC＝47，故选C.

答案：C

11．[2019·广东深圳调研]如图，在平面四边形ABCD中，AB＝AD ＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的所有顶点在同一个球面上，则该球的体积为()

A.3π

2B．3π

C.2π

3D．2π

解析：如图，取BD的中点E，BC的中点O，连接AE，OD，EO，AO.因为AB＝AD，所以AE⊥BD.由于平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AE⊥平面BCD.因为AB＝AD＝CD＝1，

BD＝2，所以AE＝

2

2

，EO＝1

2

，所以OA＝3

2.在Rt△BDC中，OB

＝OC＝OD＝1

2BC＝

3

2

，所以四面体ABCD的外接球的球心为O，半

径为3

2，所以该球的体积V＝4

3π×?

?

?

?

?3

2

3＝3π2.

答案：A

12．[2019·河北九校联考]已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若球O的表面积为20π，则三棱柱的体积为() A．6 3 B．12

C．12 3 D．18

解析：设球O 的半径为R ，则由4πR 2＝20π，得R 2＝5.由题意知，此三棱柱为正三棱柱，故设三棱柱的底面边长为a ，高为h ，如图，取三角形ABC 的中心O 1，四边形BCC 1B 1的中心O 2，连接OO 1，OA ，

O 2B ，O 1A ，由题意可知，在Rt △AOO 1中，OO 21＋AO 21＝AO 2＝R 2

，即? ????h 22＋? ??

??3a 32＝R 2＝5 ①， 又AO 1＝BO 2，所以AO 21＝BO 22，即?

??

??3a 32＝? ????h 22＋? ????a 22

②， 由①②可得a 2

＝12，h ＝2，所以三棱柱的体积V ＝? ??

??34a 2h ＝6 3.

故选A .

答案：A

13．[2019·广东广州调研]已知圆锥的底面半径为1，高为22，点P 是圆锥的底面圆周上一点，若一动点从点P 出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P ，则绕行的最短距离是________．

解析：易知圆锥的侧面展开图是扇形，如图，设展开的扇形AOA ′的圆心角为α，易得半径OA ＝3，因为圆锥的底面半径r ＝1，所以根

据弧长公式可得2π＝3α，即扇形的圆心角α＝2π

3.连接AA ′，作

OH ⊥AA ′，交AA ′于点H ，则易得∠AOH ＝π

3，所以动点从点P 出发在圆锥侧面上绕一圈之后回到点P 的最短距离为

所对的弦

长，即AA ′＝2AH ＝2×OA ×sin ∠AOH ＝2×3×3

2＝3 3.

答案：3 3

14．[2019·陕西宝鸡质检]已知A ，B ，C 三点都在以O 为球心的球

面上，OA ，OB ，OC 两两垂直，三棱锥O －ABC 的体积为4

3，则球O 的表面积为________．

解析：设球O 的半径为R ，以球心O 为顶点的三棱锥O －ABC 的三条侧棱两两垂直且都等于球的半径R ，△ABC 是边长为2R 的等边

三角形，因此根据三棱锥的体积公式，得13×12R 2×R ＝4

3，∴R ＝2，∴S

球＝4π×2

2

＝16π. 答案：16π

15．[2019·河北沧州质检]已知∠ACB ＝90°，P 为平面ABC 外一点，PC ＝2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为________．

解析：如图，过点P 作PO ⊥平面ABC 于O.则PO 为P 到平面ABC 的距离．

再过O 作OE ⊥AC 于E ，OF ⊥BC 于F ，连接PC ，PE ，PF ，则PE ⊥AC ，PF ⊥BC.

又PE ＝PF ＝3，所以OE ＝OF ， 所以CO 为∠ACB 的平分线， 即∠ACO ＝45°.

在Rt △PEC 中，PC ＝2，PE ＝3，所以CE ＝1， 所以OE ＝1，所以PO ＝PE 2－OE 2＝

()32－12＝

2.

答案： 2

16．[2019·广东省七校联考]在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是边长为2a 的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝2a ，若在这个四棱锥内放一个球，则该球半径的最大值为________．

解析：通解 由题意知，球内切于四棱锥P －ABCD 时半径最大．设该四棱锥的内切球的球心为O ，半径为r ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，

OP ，则V P －ABCD ＝V O －ABCD ＋V O －PAD ＋V O －PAB ＋V O －PBC ＋V O －PCD ，即1

3

×2a ×2a ×2a ＝13×? ?

???4a 2＋2×12×2a ×2a ＋2×12×2a ×22a ×r ，解得r

＝(2－2)a.

优解 易知当球内切于四棱锥P －ABCD ，即与四棱锥P －ABCD 各个面均相切时，球的半径最大．作出相切时的侧视图如图所示，设

四棱锥P －ABCD 内切球的半径为r ，则12×2a ×2a ＝1

2×(2a ＋2a ＋22a)×r ，解得r ＝(2－2)a.

答案：(2－2)a