【全国省级联考word】湖北省2018届高三4月调研考试理数试题

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2018年湖北省高三4月调考

理科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A = x |log 2x ≤1 ，集合B = y |y =2x +1 ，则A ∩B =( )

A ．[1,2]

B ．(1,2]

C ．[12,2]

D ．(12,2]

2.欧拉公式e ix =cos x +isin x (i 为虚数单位)是由著名数学家欧拉发明的，她将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，若将e π2i 表示的复数记为z ，则z ?(1+2i )的值为( )

A ．?2+i

B ．?2?i

C ．2+i

D ．2?i

3.记不等式组 2x +y ?2≥0,

x ≤1,y ≤2

的解集为D ，若?x ,y ∈D ,y ≤a (x +1),则实数a 的最小值是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．4

4.已知α∈ 0,π2 ,cos π6,α =13,则sin α的值等于( )

A ．2 2? 36

B ．2 2+ 36 C.2 6?16D ．?2 6?16

5.函数f x =xe x

2x +ln x 的图像大致为( )

A ．

B ． C. D ．

6.已知双曲线C:x 2

a 2?y 2=1(a >0)的一条渐近线方程为x +2y =0,F 1,F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，点P

在双曲线C 上，且 PF 1 =5,则 PF 2 =( )

A ．1

B ．3 C.1或9 D ．3或7

7.执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，且判断框内填入的条件是s >t ,则t 的取值范围是( )

2

A ．[35,45)

B ．(35,45] C.[710,45) D ．(710,45]

8.党的十九打报告指出，建设教育强国是中华民族伟大复兴的基础工程，必须把教育事业放在优先位置，深化教育资源的均衡发展.现有4名男生和2名女生主动申请毕业后到两所偏远山区小学任教.将这6名毕业生全部进行安排，每所学校至少安排2名毕业生，则每所学校男女毕业至少安排一名的概率为( )

A ．425

B ．25 C.1425 D ．45

9.已知a =2.12.2,b =2.22.1,c =log 2.22.1，则( )

A ．c

B ．c

10.锐角△ABC 中，角A 所对的边为a ,△ABC 的面积S =a 24,给出以下结论：

①sin A =2sin B ?sin C ；

②tan B +tan C =2tan B ?tan C ；

③tan A +tan B +tan C =tan A ?tan B ?tan C ；

④tan A ?tan B ?tan C 有最小值8.

其中正确结论的个数为( )

A ．1

B ．2 C. 3 D ．4

11.已知正三棱锥S ?ABC 的顶点均在球O 的球面上，过侧棱SA 及球心O 的平面截三棱锥及球面所得截面如图所示，已知三棱锥的体积为2 3，则球O 的表面积为( )

3

A ．16π

B ．18π C.24π D ．32π

12.设D = (x ?a )2+(e x ?2 a )2+a +2,其中e ≈2.71828，则D 的最小值为( )

A ． 2

B ． 3 C. 2+1 D ． 3+1

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.在 2x ?1 x 3 8

的展开式中，常数项为．（用数字填写答案）

14.已知向量a 与b 的夹角为30°， a ?b =2，则 a +b 的最大值为．

15.已知函数f x =cos ωx ?π3 ?1

2(ω>0)在区间[0,π]上恰有三个零点，则ω的取值范围是．

16.点P (x ,y )是直线2x +y +4=0上的动点，PA ,PB 是圆C:x 2+(y ?1)2=1的两条切线，A ,B 是切点，则三角形PAB 面积的最小值为．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知数列 a n , b n ，其中a 1=3,b 1=?1，且满足a n =12(3a n?1?b n?1),b n =?1

2 3a n?1?b n?1 ,n ∈

N ?,n ≥2.

(1)求证：数列 a n ?b n 为等比数列；

(2)求数列 2n a n ?a n +1 的前n 项和S n .

18.如图，在平行四边形ABCD 中，AB =1,AD =2,∠BAD =120°，四边形EBDF 是矩形，BE =a ，平面EBDF ⊥平面ABCD .

(1) 若a =1，求证：AE ⊥CF ；

(2) (2)若二面角A ?EF ?C 的正弦值为 21

5，求a 的值.

19.随着网络的飞速发展，人们的生活发生了很大变化，其中无现金支付是一个显著特征，某评估机构对无现金支付的人群进行网络问卷调查，并从参与调查的数万名受访者中随机选取了300

人，把这300人分为三类，即使用支付宝用户、使用微信用户、使用银行卡用户，各类用户的人数如图所示，同时把这300人

4

按年龄分为青年人组与中年人组，制成如图所示的列联表： 支付宝用户 非支付宝用户 合计

中老年 90

青年 120

合计 300

(1)完成列联表,并判断是否有99%的把握认为使用支付宝用户与年龄有关系?

(2)把频率作为概率，从所有无现金支付用户中(人数很多)随机抽取3人，用X 表示所选3人中使用支付宝用户的人数，求X 的分布列与数学期望.

附:

P(K 2≥k 0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001

k 0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K 2=n (ad ?bc )2

(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )，其中n =a +b +c +d .

20.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为 3

2,F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，点P 在椭圆上，当

PF 1⊥PF 2时，?PF 1F 2内切圆的半径为2? 3.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)已知直线l :y =kx +m 与椭圆C 相较于A,B 两点，且P 0,1 ，当直线PA,PB 的斜率之和为2时，问：点P 到直线l 的距离是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.

21.已知函数f x

=ae x

x +ln x ?x .

(1)当a =1

e 时，讨论函数

f (x )的单调性；

(2)求函数f (x )的极值.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，曲线C 1:x 22+y 2=1,曲线C 2: x =cos φ,

y =1+sin φ(φ为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴

5 正半轴为极轴，建立极坐标系.

(1)求曲线C 1,C 2的极坐标方程；

(2)已知射线l :θ=α ρ≥0 与曲线C 1,C 2分别交于点A,B （异于原点O ），当0<α<π4时，求 OA 2+ OB 2的取值范围.

23.选修4-5：不等式选讲

已知函数f x = 2x +a + 2x ?b +2的最小值为3.

(1)求a +b 的值；

(2)若a >0,b >0，求证：a +b ≥3?log 3(4a +1b ).