2019-2020学年辽宁省实验中学高一(下)期中数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年辽宁省实验中学高一（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.若，则用a表示的结果为

A. B. C. D.

2.、、均为锐角，若，，，则、、的

大小关系是

A. B. C. D.

3.A为三角形ABC的一个内角，若，则这个三角形的形状为

A. 锐角三角形

B. 等腰三角形

C. 等腰直角三角形

D. 钝角三角形

4.设x，，，，，且，，则

A. B. C. 12 D.

5.将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为，

则函数的单调递增区间为

A. B.

C. D.

6.设，是平面上的两个单位向量，，若，则的最

小值是

A. B. C. D.

7.下列说法正确有个

函数是奇函数；函数关于点对称；

函数的最小值是；中，若，则一定有．

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

8.设函数，若，则的最小正值是

A. 1

B.

C. 2

D.

9.已知在中，，；则

A. B. C. 或 D. 或

10.函数，若，则的最小值是

A. B. C. D.

11.现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌

面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为，，，，则

A. B. C. D.

12.若函数的最大值为，最小值为，则以下结论

正确的个数为

，使

，使

，使

，使

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.P是边长为2的正方形ABCD边界或内部一点，且，则

的最大值是______．

14.已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构

成一个等边三角形，则______．

15.函数的值域是______．

16.已知，，则的值为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.化简求值：

；

．

18.已知，．

求的值；

求的值．

已知，是方程的两个实数根．求

的值．

19.已知向量，，函数．

求最小正周期及单调增区间；

求在区间上的最小值．

20.已知的三个内角A，B，C的所对边分别为a，b，c，

，且．

求；

求内角B的取值范围．

21.若的内角A，B，C的对边为a，b，c，且

．

求cos A；

若的面积为，求内角A的角平分线AD长的最大值．

22.如图，某校打算在长为1千米的主干道AB一侧的一片区域内临时搭建一个强基计

划高校咨询和宣传台，该区域由直角三角形区域为直角和以BC为直径的半圆形区域组成，点异于B，为半圆弧上一点，点H在线段AB上，

且满足已知，设，且初步设想把咨

询台安排在线段BH，BP上，把宣传海报悬挂在弧CP和线段CH上．若为了让学生获得更多的咨询机会，让更多的省内高校参展，打算让

最大，求该最大值；

若为了让学生了解更多的省外高校，贴出更多高校的海报，打算让弧CP和线段CH的长度之和最大，求此时的的值不需要求长度最大值．

提示：在R上单调递减，可以直接使用这个结论．

答案和解析

1.【答案】B

{解析}解：，

．

故选：B．

由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．

本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

2.【答案】C

{解析}解：、、均为锐角，若，，，，可得，解得：，

，

函数在上单调递增，

，即，

．

故选：C．

先利用同角三角函数关系求出，，然后利用函数在上单调递

增进行求解即可．

本题主要考查了同角三角函数的关系，以及利用函数的单调性比较自变量的大小，属于基础题．

3.【答案】D

{解析}解：为三角形ABC的一个内角，，

，

，

，．

是钝角，

这个三角形的形状为钝角三角形．

故选：D．

由，两边同时平方，由同角三角函数关系式得到，

由此得以这个三角形的形状为钝角三角形．

本题考查三角形形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式的合理运用．

4.【答案】A

{解析}解：根据题意，，，，

若，则，解可得，则，

若，则有，解可得，则，

则，则；

故选：A．

根据题意，由向量垂直的判断方法可得，解可得x的值，即可得的坐标，由向量平行的坐标表示方法可得y的值，即可得的坐标，进而计算可得

的值，由向量模公式计算可得答案．

本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直、平行的判断，属于基础题．

5.【答案】C

{解析}解：将函数的图象向右平移个周期后，

而个周期，即，

故所得图象对应的函数为的图象．

令，求得，

可得函数的单调递增区间为，，

故选：C．

由题意利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．

本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．

6.【答案】A

{解析}【分析】

根据向量的数量积的运算法则和二次函数的性质即可求出结论．

本题考查了向量的数量积的运算和二次函数的性质，属于基础题．

【解答】

解：因为，是平面上的两个单位向量，，若，

则；

的最小值是：；

故选：A．

7.【答案】C

{解析}解：函数，k为偶数，则，k为奇数，则，

所以函数不是减函数也不是偶函数；所以不正确；

函数，由于点不在图象上，结合图象可得函数图象关于点对称，故正确．

因为函数，当时，

取得最小值，故正确；

在中，，故正确；

故选：C．

通过诱导公式化简函数的解析式判断；函数的对称性判断；函数的最值判断；利用正弦定理判断．

本题主要考查了三角函数的性质的判断，解题的关键是要熟练掌握三角函数的性质并能灵活应用，以及正弦定理的应用．

8.【答案】B

{解析}解：要使最小，只需周期最大，

因为，可得对称轴，

对称中心的横坐标为，因为周期最大，

故令，所以．

故选：B．

要求最小，只需周期最大，根据题意，可让落在一个周期内，结合对称性，

可求出相邻的对称轴与零点，从而求出周期、的值．

本题考查了三角函数周期的求法，此类问题常从函数的对称性、零点的性质来分析，属于中档题．

9.【答案】D

{解析}解：，，

可得，，

两边平方，可得，，

，

可得：，可得，

可得，

解得，

，

或．

故选：D．

由已知可得，，将两式子两边平方后相加，利用同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式可求得，结合范围

，可求C的值．

本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

10.【答案】A

{解析}【分析】

本题考查三角恒等变换与三角函数的综合，熟练运用三角恒等变换的相关公式和正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查学生的逻辑能力和运算能力，属于中档题．

先结合余弦的二倍角公式和辅助角公式将函数进行化简得

，从而得其最大值为3，最小值为，于是在，处

取到最大值和最小值，然后结合正弦函数的图象与性质求出和，进而得解．

【解答】

解：，

函数的最大值为3，最小值为，

又，在，处取到最大值和最小值，

不妨设在处有最大值，则，在处取到最小值，则，则，，．

的最小值为．

故选：A．

11.【答案】B

{解析}解：由题意可知，它们的中心滚动一周的运动轨迹都是圆心角为的弧长，

设半径分别为，，，，由题意可知，半径为中心与顶点的距离，

又因为正方形、正五边形、正六边形的边长均为1，圆的半径为1，

对于正方形，如图所示：，，；

对于正五边形，如图所示：，，

，；

对于正六边形，如图所示：，，为等边三角

形，；

而，

又因为，，，，

所以，

故选：B．

由题意可知，它们的中心滚动一周的运动轨迹都是圆心角为的弧长，设半径分别为，，，，则半径为中心与顶点的距离，由正方形、正五边形、正六边形得几何特

征可知，，，再利用弧长公式即可得到．

本题主要考查了弧长公式，以及正方形、正五边形、正六边形得几何特征，是中档题．12.【答案】C

{解析}解：

，

，

，

所以，，

，

当时，，

所以错误，正确．

故选：C．

先将函数解析式利用两角和的余弦公式以及辅助角公式化简，即可求出函数的最大值和最小值，由此可以判断各命题的真假．

本题主要考查两角和的余弦公式，辅助角公式的应用，三角函数最值的求法，以及三角函数的的性质应用，属于中档题．

13.【答案】5

{解析}解：建立如图所示坐标系；

则，，，；

设，，；

取BC的中点为E，则

，

则；

则

；

故当，时取最大值5；

故答案为：5．

建坐标系，求出各点坐标，根据，得到；再把所求向量转化即可求得结论．

本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．

14.【答案】

{解析}解：如图所示，

由时，在函数与的图象交点中，

，

点B到AC的距离，

所以，

由于，

所以，

整理得，解得：．

故答案为：．

直接利用三角函数的图象和性质的应用，利用等边三角形的性质建立关系式

，求出的值．

本题考查的知识要点：三角函数的图象和性质的应用，勾股定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．

15.【答案】

{解析}解：令，

则且，

则，即．

原函数化为，且，

故答案为：

令，求出t的范围，再把原函数转化为关于t的函数解

析式求解值域．

本题考查函数值域的求法，训练了利用换元法求函数的值域，是中档题．

16.【答案】

{解析}解：，，为第四象限角，

，

，

，

则

，

故答案为：．

由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，先求出、

的值，再根据，计算求得结果．

本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，属于中档题．

17.【答案】解：

；

，

，

原式

．

{解析}利用诱导公式及同角三角函数的基本关系化简即可；

先利用正切的和角公式化简可得，代入

原式因式分解，化简即可得到答案．

本题主要考查利用三角函数有关公式运算化简，考查计算能力，属于基础题．

18.【答案】解：已知，所以，解得，

所以．

．

．

，是方程的两个实数根，

所以，．

则，

故

．

{解析}直接利用同角三角函数关系式的变换求出sin x cosx的值．进一步利用关系式

的变换的应用求出的结果．

利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数关系式的变换，切化弦思想的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

19.【答案】解：向量，，

函数

；

其最小正周期为：；

令，，

，，

则函数的单调递增区间为，．

；

当，即时，在区间上的最小值为：

．

{解析}本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式，平面向量的数量积运算，正弦函数的单调性，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．利用平面向量的数量积运算法则化简解析式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数；再利用正弦函数的性质即可求解结论．

直接利用正弦函数的性质即可求解结论．

20.【答案】解：，且．

利用正弦定理可得：，

，

，

，

利用正弦定理可得：．

由可得：，，

，．

{解析}，且利用正弦定理可得：

，

，代入化简即可得出．由可得：，可得，由，

即可得出．

本题考查了正弦定理、和差公式、诱导公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

21.【答案】解：．

，由正弦定理可得：

，

可得：．

由余弦定理，得．

，

，

的面积为，

解得：，

所以．

即，

当且仅当时等号成立．

故AD的最大值为．

{解析}根据，由正弦定理可得

，再利用余弦定理求出cos A．

利用三角形的面积公式的应用和同角三角函数的关系式的应用和基本不等式的应用求出结果．

本题考查的知识要点：正弦定理、和差公式诱导公式、三角函数的单调性，三角形面积公式的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．属于基础题型．

22.【答案】解：在中，

，

在中，；

在中，；

所以

，

因为，

所以，

所以当且仅当，即时，最大，最大值为千米；

取线段BC的中点O，连接OP，如图所示，

则；

由知，，所以的长为；由知，，所以和线段CH的长度之和为

，；

设，，，，

则；

因为，，

所以，

所以函数在区间上单调递减，

所以，易知函数在区间上也是单调递减函数；

所以，所以；

所以当且仅当时，弧CP和线段CH的长度之和最大．

{解析}利用直角三角形的边角关系求出BC、BH和BP的表达式，再计算

的最大值；

取线段BC的中点O，连接OP，计算和线段CH的长度之和y，构造函数，利

用导数判断函数的单调性，从而求得弧CP和线段CH的长度之和最大时对应的值．本题考查了三角函数模型应用问题，运算求解能力与转化思想，是难题．