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2015年普通高等学校招生全国统一考试 福 建 卷(文史类)

2015年普通高等学校招生全国统一考试

福 建 卷(文史类)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.

第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.若(1+i )+(2-3i )=a +bi (a ,b ∈R ,i 是虚数单位),则a ,b 的值分别等于( ) A .3,-2 B .3,2 C .3,-3 D .-1,4

解析:选A.(1+i )+(2-3i )=3-2i =a +bi ,所以a =3,b =-2. 2.若集合M ={x |-2≤x <2},N ={0,1,2},则M ∩N 等于( ) A .{0} B .{1} C .{0,1,2} D .{0,1} 解析:选D.M ∩N ={x |-2≤x <2}∩{0,1,2}={0,1}. 3.下列函数为奇函数的是( ) A .y =x B .y =e x

C .y =cos x

D .y =e x -e -

x

解析:选D.对于A ,定义域不关于原点对称,故不符合要求;对于B ,f (-x )≠-f (x ),

故不符合要求;对于C ,满足f (-x )=f (x ),故不符合要求;对于D ,∵ f (-x )=e -

x -e x =-

(e x -e -x )=-f (x ),∴ y =e x -e -

x 为奇函数,故选D.

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4.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入x 的值为1,则输出y 的值为( ) A .2 B .7 C .8 D .128

解析:选C.由程序框图知,y =?

????

2x ,x ≥2,

9-x ,x <2.

∵ 输入x 的值为1,比2小,∴ 执行的程序要实现的功能为9-1=8,故输出y 的值为8.

5.若直线x a +y

b

=1(a >0,b >0)过点(1,1),则a +b 的最小值等于( )

A .2

B .3

C .4

D .5

解析:选C.将(1,1)代入直线x a +y b =1得1a +1

b

=1,a >0,b >0,

故a +b =(a +b )1a +1b =2+b a +a

b ≥2+2=4,等号当且仅当a =b 时取到,故选C.

6.若sin α=-5

13

,且α为第四象限角,则tan α的值等于( )

A.125 B .-125

C.512 D .-512

解析:选D.法一:因为α为第四象限的角,故cos α=1-sin 2α=1--5132=1213

所以tan α=sin αcos α=-5131213

=-5

12

.

法二:因为α是第四象限角,且sin α=-5

13

,所以可在α的终边上取一点P (12,-5),

则tan α=y x =-5

12

.故选D.

7.设a =(1,2),b =(1,1),c =a +k b .若b ⊥c ,则实数k 的值等于( )

A .-32

B .-53

C.53

D.32

解析:选A.c =a +k b =(1+k,2+k ),又b ⊥c ,所以1×(1+k )+1×(2+k )=0,解得k =-32

. 8.如图,矩形ABCD 中,点A 在x 轴上,点B 的坐标为(1,0),且点C 与点D 在函数f (x )=?????

x +1,x ≥0,-12x +1,x <0

的图象上.若在矩形ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的

概率等于( ) A.16 B.14 C.38

D.12

解析:选B.因为f (x )=????

?

x +1,x ≥0,-12x +1,x <0,B 点坐标为(1,0),所以C 点坐标为(1,2),D

点坐标为(-2,2),A 点坐标为(-2,0),故矩形ABCD 的面积为2×3=6,阴影部分的面积为

12×3×1=3

2,故P =326=14

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. 第8题图

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第9题图

9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( ) A .8+2 2 B .11+2 2 C .14+2 2 D .15

解析:选B.由三视图知,该几何体是一个直四棱柱,上、下底面为直角梯形,如图所示.

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第9题图

直角梯形斜腰长为12+12=2,所以底面周长为4+2,侧面积为2×(4+2)=8+

22,两底面的面积和为2×1

2

×1×(1+2)=3,所以该几何体的表面积为8+22+3=11+

2 2.

10.变量x ,y 满足约束条件????

?

x +y ≥0,

x -2y +2≥0,

mx -y ≤0.

若z =2x -y 的最大值为2,则实数m 等

于( )

A .-2

B .-1

C .1

D .2

解析:选C.对于选项A ,当m =-2时,可行域如图(1),直线y =2x -z 的截距可以无限小,z 不存在最大值,不符合题意,故A 不正确;

对于选项B ,当m =-1时,mx -y ≤0等同于x +y ≥0,可行域如图(2),直线y =2x -z 的截距可以无限小,z 不存在最大值,不符合题意,故B 不正确;

对于选项C ,当m =1时可行域如图(3),当直线y =2x -z 过点A (2,2)时截距最小,z 最大为2,满足题意,故C 正确;

对于选项D ,当m =2时,可行域如图(4),直线y =2x -z 与直线OB 平行,截距最小值为0,z 最大为0

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(1)

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(2)

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(3)

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(4)

第10题图

11.已知椭圆E :x 2

a 2+y

2

b

2=1(a >b >0)的右焦点为F ,短轴的一个端点为M ,直线l :3x

-4y =0交椭圆E 于A ,B 两点.若|AF |+|BF |=4,点M 到直线l 的距离不小于4

5

,则椭圆E

的离心率的取值范围是( )

A .0,32

B .0,3

4

C.32,1

D.34

,1 解析:选A.根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A ,B 两点到椭圆左、右焦点的距离为

4a =2(|AF |+|BF |)=8,所以a =2.又d =|3×0-4×b |32+(-4)2≥45

,所以1≤b <2,所以e =c a =1-b 2

a 2

= 1-b 24.因为1≤b <2,所以0

2

,故选A.

12.“对任意x ∈0,π

2

,k sin x cos x <x ”是“k <1”的( )

A .充分而不必要条件

B .必要而不充分条件

C .充分必要条件

D .既不充分也不必要条件

解析:选B.令f (t )=sin t -t ,则f ′(t )=cos t -1≤0恒成立,所以f (t )=sin t -t 在[0,π]

上是减函数,f (t )≤f (0)=0,所以sin t

2,所以2sin x cos

x <2x ,所以sin x cos x

3

时,k sin 2x <2x 可

化为k <2×

π3sin

2π3

=43π9,而43π9>43,取k =4

3,不等式成立,但此时k >1,故充分性不成立.

第Ⅱ卷

二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上)

13.某校高一年级有900名学生,其中女生400名,按男女比例用分层抽样的方法,从该年级学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取的男生人数为________.

解析:设男生抽取x 人,则有45900=x

900-400

,解得x =25.

答案:25

14.若△ABC 中,AC =3,A =45°,C =75°,则BC =________.

解析:∠B =180°-75°-45°=60°,由正弦定理,得BC sin A =AC sin B ,即BC sin 45°=3

sin 60°

解得BC = 2.

答案: 2

15.若函数f (x )=2|x -

a |(a ∈R )满足f (1+x )=f (1-x ),且f (x )在[m ,+∞)上单调递增,则实数m 的最小值等于________.

解析:因为f (x )=2|x -

a |,所以f (x )的图象关于x =a 对称.又由f (1+x )=f (1-x ),知f (x )的图象关于直线x =1对称,故a =1,且f (x )的增区间是[1,+∞),由函数f (x )在[m ,+∞)上单调递增,知[m ,+∞)?[1,+∞),所以m ≥1,故m 的最小值为1.

答案:1

16.若a ,b 是函数f (x )=x 2-px +q (p >0,q >0)的两个不同的零点,且a ,b ,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p +q 的值等于________.

解析:同理科卷8题. 答案:9

三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)等差数列{a n }中,a 2=4,a 4+a 7=15. (1)求数列{a n }的通项公式;

(2)设b n =2a n -2+n ,求b 1+b 2+b 3+…+b 10的值. 解:(1)设等差数列{a n }的公差为d .

由已知得?

????

a 1+d =4,

(a 1+3d )+(a 1+6d )=15,

解得?

????

a 1=3,

d =1.

所以a n =a 1+(n -1)d =n +2. (2)由(1)可得b n =2n +n , 所以b 1+b 2+b 3+…+b 10

=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10) =(2+22+23+…+210)+(1+2+3+…+10) =2(1-210)1-2

+(1+10)×102

=(211-2)+55 =211+53=2 101.

18.(本小题满分12分)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标.根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据,对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计,结果如下表所示.

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(1)现从融合指数在[4,5)2家进行调研,求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率;

(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数. 解:法一:(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A 1,A 2,A 3;融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B 1,B 2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中

随机抽取2家的所有基本事件是:

{A 1,A 2},{A 1,A 3},{A 2,A 3},{A 1,B 1},{A 1,B 2},{A 2,B 1},{A 2,B 2},{A 3,B 1},{A 3,B 2},{B 1,B 2},共10个.

其中,至少有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是:{A 1,A 2},{A 1,A 3},{A 2,A 3},{A 1,B 1},{A 1,B 2},{A 2,B 1},{A 2,B 2},{A 3,B 1},{A 3,B 2},共9个.

所以所求的概率P =9

10

.

(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于

4.5×220+5.5×820+6.5×720+7.5×3

20

=6.05.

法二:(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A 1,A 2,A 3;融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B 1,B 2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有的基本事件是:

{A 1,A 2},{A 1,A 3},{A 2,A 3},{A 1,B 1},{A 1,B 2},{A 2,B 1},{A 2,B 2},{A 3,B 1},{A 3,B 2},{B 1,B 2},共10个.

其中,没有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是:{B 1,B 2},共1个.

所以所求的概率P =1-110=9

10

.

(2)同法一.

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第19题图

19.(本小题满分12分)已知点F 为抛物线E :y 2=2px (p >0)的焦点,点A (2,m )在抛物线E 上,且|AF |=3.

(1)求抛物线E 的方程;

(2)已知点G (-1,0),延长AF 交抛物线E 于点B ,证明:以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆,必与直线GB 相切.

解:法一:(1)由抛物线的定义得|AF |=2+p

2

.

因为|AF |=3,即2+p

2

=3,解得p =2,

所以抛物线E 的方程为y 2=4x .

(2)因为点A (2,m )在抛物线E :y 2=4x 上, 所以m =±2 2.

由抛物线的对称性,不妨设A (2,22).

由A (2,22),F (1,0)可得直线AF 的方程为y =22(x -1).

由?

??

y =22(x -1),y 2=4x ,

得2x 2-5x +2=0,

解得x =2或x =12,从而B 1

2

,- 2.

又G (-1,0),

所以k GA =22-02-(-1)

=223,k GB =-2-012

-(-1)=-22

3,

所以k GA +k GB =0,从而∠AGF =∠BGF ,这表明点F 到直线GA ,GB 的距离相等,故

以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.

法二:(1)同法一.

(2)设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r . 因为点A (2,m )在抛物线E :y 2=4x 上,所以m =±2 2.由抛物线的对称性,不妨设A (2,22).

由A (2,22),F (1,0)可得直线AF 的方程为 y =22(x -1).

由???

y =22(x -1),y 2=4x ,

得2x 2-5x +2=0, 解得x =2或x =12,从而B 1

2

,- 2.

又G (-1,0),故直线GA 的方程为22x -3y +22=0,

从而r =|22+22|8+9

=42

17.

又直线GB 的方程为22x +3y +22=0,

所以点F 到直线GB 的距离d =|22+22|8+9

=42

17=r .

这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.

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第20题图

20.(本小题满分12分)如图,AB 是圆O 的直径,点C 是圆O 上异于A ,B 的点,PO 垂直于圆O 所在的平面,且PO =OB =1.

(1)若D 为线段AC 的中点,求证:AC ⊥平面PDO ; (2)求三棱锥P -ABC 体积的最大值;

(3)若BC =2,点E 在线段PB 上,求CE +OE 的最小值.

解:法一:(1)在△AOC 中,因为OA =OC ,D 为AC 的中点,所以AC ⊥DO . 又PO 垂直于圆O 所在的平面,所以PO ⊥AC . 因为DO ∩PO =O ,所以AC ⊥平面PDO .

(2)因为点C 在圆O 上,所以当CO ⊥AB 时,C 到AB 的距离最大,且最大值为1.

又AB =2,所以△ABC 面积的最大值为1

2

×2×1=1.

又因为三棱锥P -ABC 的高PO =1,

故三棱锥P -ABC 体积的最大值为13×1×1=1

3

.

(3)在△POB 中,PO =OB =1,∠POB =90°, 所以PB =12+12= 2.

同理PC =2,所以PB =PC =BC . 在三棱锥P -ABC 中,将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC ′P ,使之与平面ABP 共面,如

图所示.

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当O ,E ,C ′共线时,CE +OE 取得最小值. 又因为OP =OB ,C ′P =C ′B , 所以OC ′垂直平分PB , 即E 为PB 的中点.

从而OC ′=OE +EC ′=22+6

2=2+62,即CE +OE 的最小值为2+62

.

法二:(1)(2)同法一.

(3)在△POB 中,PO =OB =1,∠POB =90°, 所以∠OPB =45°,PB =12+12= 2.同理,PC = 2. 所以PB =PC =BC ,所以∠CPB =60°. 在三棱锥P -ABC 中,将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC ′P ,使之与平面ABP 共面,如

图所示.

当O ,E ,C ′共线时,CE +OE 取得最小值. 所以在△OC ′P 中,由余弦定理得: OC ′2=1+2-2×1×2×cos(45°+60°)

=1+2-2222×12-22×3

2

=2+ 3.

从而OC ′= 2+3=2+6

2.

所以CE +OE 的最小值为2+6

2

.

21.(本小题满分12分)已知函数f (x )=103sin x 2cos x 2+10cos 2x

2

.

(1)求函数f (x )的最小正周期;

(2)将函数f (x )的图象向右平移π

6

个单位长度,再向下平移a (a >0)个单位长度后得到函数

g (x )的图象,且函数g (x )的最大值为2.

①求函数g (x )的解析式;

②证明:存在无穷多个互不相同的正整数x 0,使得g (x 0)>0.

解:(1)因为f (x )=103sin x 2cos x 2+10cos 2x

2

=53sin x +5cos x +5

=10sin x +π

6

+5,

所以函数f (x )的最小正周期T =2π.

(2)①将f (x )的图象向右平移π

6

个单位长度后得到y =10sin x +5的图象,再向下平移a (a

>0)个单位长度后得到g (x )=10sin x +5-a 的图象.

又已知函数g (x )的最大值为2, 所以10+5-a =2,解得a =13. 所以g (x )=10sin x -8.

②要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0,使得g (x 0)>0,就是要证明存在无穷多个

互不相同的正整数x 0,使得10sin x 0-8>0,即sin x 0>4

5

.

由45<32知,存在0<α0<π3,使得sin α0=45. 由正弦函数的性质可知,

当x ∈(α0,π-α0)时,均有sin x >4

5

.

因为y =sin x 的周期为2π,

所以当x ∈(2k π+α0,2k π+π-α0)(k ∈Z )时,

均有sin x >4

5

.

因为对任意的整数k ,(2k π+π-α0)-(2k π+α0)=π-2α0>π

3

>1,

所以对任意的正整数k ,都存在正整数x k ∈(2k π+α0,2k π+π-α0),使得sin x k >4

5

.

即存在无穷多个互不相同的正整数x 0,使得g (x 0)>0.

22.(本小题满分14分)已知函数f (x )=ln x -(x -1)2

2

.

(1)求函数f (x )的单调递增区间; (2)证明:当x >1时,f (x )<x -1;

(3)确定实数k 的所有可能取值,使得存在x 0>1,当x ∈(1,x 0)时,恒有f (x )>k (x -1).

解:(1)f ′(x )=1

x -x +1=-x 2

+x +1x ,x ∈(0,+∞).

由f ′(x )>0,得?

????

x >0,-x 2+x +1>0,解得0<x <1+5

2.

故f (x )的单调递增区间是0,

1+5

2

. (2)令F (x )=f (x )-(x -1),x ∈(0,+∞),

则有F ′(x )=1-x 2

x

.

当x ∈(1,+∞)时,F ′(x )<0, 所以F (x )在[1,+∞)上单调递减,

故当x >1时,F (x )<F (1)=0,即当x >1时,f (x )<x -1. (3)由(2)知,当k =1时,不存在x 0>1满足题意.

当k >1时,对于x >1,有f (x )<x -1<k (x -1),则f (x )<k (x -1),从而不存在x 0>1满足题意.

当k <1时,令G (x )=f (x )-k (x -1),x ∈(0,+∞),

则有G ′(x )=1

x -x +1-k =-x 2+(1-k )x +1x

.

由G ′(x )=0,得-x 2+(1-k )x +1=0,

解得x 1=1-k -(1-k )2+4

2

<0,

x 2=1-k +(1-k )2+42

>1.

当x ∈(1,x 2)时,G ′(x )>0,故G (x )在[1,x 2)内单调递增. 从而当x ∈(1,x 2)时,G (x )>G (1)=0, 即f (x )>k (x -1),

综上,k 的取值范围是(-∞,1).