数学专业本科毕业论文
正项级数收敛性判别法的推广
摘要：正项级数收敛的判别法在级数的收敛法中占有极其重要的地位．常见的判别法有
比较判别法，达朗贝尔比值判别法，柯西判别法，高斯判别法,柯西积分判别法等．对于上述判别法，它们都有一定的条件限制，为了找到更简单，适用条件更广的判别法，国内外学者或者在一般判别法的基础上做了推广或者提出了一些新的判别法．近几年，关于正项级数收敛性判别法又有了一些新的研究，主要是针对一些新判别法的适用条件进行了讨论．本文主要分两部分对正项级数的判别法进行了推广，第一部分对比值判别法进行了推广，给出了比值判别法在失效情况下的判别方法，这也是本文的主要部分，第二部分对比较判别法进行了推广．这些推广的新的判别法解决了原判别法的条件限制，使其更具一般性，适用性更广．
关键词：正项级数；收敛性；发散性；判别法
A Generalization of Convergence Criterion for Positive
Progressions
Yang Rui
(0301 Mathematics and Applied Mathematics School of Science )
The instructor: Song Wen-qing
Abstract: Convergence Criterion for Positive Progressions holds the extremely important status in the progression．The common criterions include the comparison distinction law, reaches the bright Bell ratio distinction law, west the tan oak distinguishes the law, Gauss distinguishes the law, west the tan oak the integral distinction law and so on, but these distinction laws all have the certain condition limit．In order to find out more simply and more widely-used distinction laws, domestic and foreign scholars have made some promotion or worked out some new distinction laws．
In recent years, there are several new researches about positive progressions astringency distinguished the law mainly aiming at discussing applicable requirements of new distinction law．This article was mainly divided in 2 parts to carry on the promotion of the series of positive progressions distinction law．The first part promotes specific value distinction law as well as shows distinguishable methods when it doesn’t work．It is also the main part of this work．The second part carries on the promotion of the comparison distinction law and it uses the corresponding distinction law to judge the series of positive progressions astringency．These new distinction laws have solved the require mental limits of the original distinction laws making them more general, making their serviceability broader．
Keywords : positive progression series; convergence; divergence; criterion
1 引言
正项级数收敛的判别法在级数的收敛法中占有极其重要的地位．常见的判别法有比较判别法，达朗贝尔比值判别法，柯西判别法，高斯判别法，柯西积分判别法等．由于条件的限制，在判断某些类型的题目时会失效，所以必须要寻找一些新的判别法来解决这些题本文主要对比较判别法、达朗贝尔判别法进行了推广．下面先介绍比较判别法、达朗贝尔判别法以及正项级数收敛性的相关定理．
定理[]1
1 正项级数n u ∑收敛的充要条件是：部分和数列{}n S 有界，即存在某正数M ，对一
切正整数n 有n S 定理[]1 2（比较原则）设n u ∑和n v ∑是两个正项级数，如果存在某正数N ，对一切n>N 都有 n u ≤n v ， (i)若级数n v ∑收敛，则级数n u ∑也收敛； (ii)若级数n u ∑发散，则级数n v ∑也发散． 定理[]1 3()达朗贝尔判别法设n u ∑为正项级数，且存在某正整数0N 及常数q （0 (i)若对一切n>0N ,成立不等式 1 n n u q u +≤ 则级数n u ∑收敛． (ii)若对一切n>0N ,成立不等式 1 1n n u u +≥ 则级数n u ∑发散． 定理[]1 4()比式判别法的极限形式若n u ∑为正项级数，且 1 lim n n n u q u +→∞=， 则 (i)当q<1 时，级数n u ∑收敛； (ii)当q>1或q=+∞时，级数n u ∑发散． 2达朗贝尔判别法的推广与应用 2．1达朗贝尔判别法的一类推广与应用 由达朗贝尔判别法判别法极限形式知，当1 lim 1n n n u u +→∞=时，正项级数n u ∑可能收敛也可 能发散，我们无法直接用达朗贝尔判别法判别法判断其敛散性，此时这种判别法失效，为 了解决这一问题，给出新的判别法．新的判别法适用条件更广，运算更简洁． 2．1．1达朗贝尔判别法判别法的第一种推广 引理[] 21正项级数1 n n a ∞ =∑若10n n a a +≥≥()1,2, n =，且2lim ,n n n na p a →∞ =则 (i) 当p<1 2时，则级数1n n a ∞ =∑收敛 (ii) 当p>1 2时，则级数1 n n a ∞=∑发散 定理1 [] 7 若10n n a a +≥≥()1,2,n =，则级数1 n n a ∞ =∑收敛当且仅当1 n n m n m a ∞ =∑收敛（其中m 是大于1的正整数） 证明：（1）设12n n m Mm a a a =++ +则 n Mm <( 121m a a a -++ +)+(121m a a a -++ +)+(() 211m m m a a a +-++ +)++( ( ) 1n n m m a a -+ ) <()11m a -+()1m m ma -+()1n n m m m a - =()()11n n m m m a ma m a -++ + 所以若级数1 n n m n m a ∞ =∑收敛，级数1 n n a ∞ =∑也收敛； （2）n Mm =()()2 1211() ()n n m m m m m a a a a a a a +-++ +++ +++ + > () () 22 1 1n n m m m m a ma m a m a m -+++ +()()1 11m m a m a m -+-()21m m m a +-+ + ()()11n n m m m a -- = ()() 221 1n n m m m m a ma m a m a m -++++ 所以若级数1 n n m n m a ∞ =∑发散，级数1 n n a ∞ =∑也发散． 由（1）（2）得，级数1 n n a ∞=∑收敛当且仅当1 n n m n m a ∞ =∑收敛． 对于一般项n a 收敛较慢的级数1 n n a ∞ =∑，定理1给出了一个判别法，观其条件还可以 进行推广，得到更一般的形式，用定理的形式叙述如下： 定理2：正项级数1n n a ∞ =∑，若10n n a a +≥≥()1,2, n =，存在,2k N k ∈≥，使得 1lim k k n n n n a p a -→∞ =，则 （1）当p<1 k 时，则级数1n n a ∞ =∑收敛 （2）当p>1 k 时，则级数1 n n a ∞=∑发散 证明：令m m m k u k a =，m m m k v k u =，km n k = 由定理知 n a ∑与m u ∑同收敛，m u ∑与m v ∑同收敛，所以n a ∑与m v ∑同收敛 1k k n n a n a -=() () k km km k k km km k a m k a 11km km km k km k k a k a ++= 111 111m m m m m k k m m m k k u k u v u k k u k v ++++= =?=? 所以 1 1 1l i m l i m k k n m n k n m a v n p a k v -+→∞ →∞=?= 即 1l i m m k m v kp v +→∞==l 当 () 1 lim 1,2, ,K kn i i i n i n a p i K p p a +→∞====∑ 当 1 p k <时，1l <,故级数m v ∑收敛，从而1n n a ∞ =∑收敛; 当 1 p k >时，1l >，故级数m v ∑发散，从而1 n n a ∞=∑发散． 证明完毕． 2．1．2应用举例 例1：考察级数1 ln m n n ∑ 是否收敛． 解: 由定理，取3k =， ()()233ln ln 1 lim lim 3 ln 3ln m m m m m n n n n n n p n n n →∞→∞ ?=== 当1m >时，1p <，级数收敛; 当1m <时，1p >，级数发散． 例2 ：考察级数是否收敛． 解：() 22 1 11212122lim lim lim n n n n n n n n n a n n p n n a n n ++→∞ →∞ →∞ ++=? =? = 又因为 211121 222lim lim lim n n n n n n n n n n n n n n - + →∞ →∞→∞ + ??== ???=1 而 112 k = 即11p k => 所以级数发散． 例3：讨论级数() 3 21ln ln n a n n ∞ =??+ ???∑的敛散性． 解：本题利用达朗贝尔判别法无法判断，并且不容易积分，所以利用积分判别法也不能 解决，由定理，取3k =，则 ()()323331ln 1ln lim 1ln ln 1n n n n p n n →∞???+ ???=??+ ???231ln 11lim 127ln 1n n n n →∞???+ ???=??+ ???2 31ln 11lim 127ln 1n n n n →∞? ?+ ? ??=?? + ??? 11 273 = < 所以，该级数收敛． 2．2达朗贝尔判别法的第二种推广与应用 2．2．1达朗贝尔判别法的第二种推广 定理[] 31两个正项级数1 n n a ∞ =∑和1 n n b ∞ =∑，如果从某项起下列不等式成立： 22,n n n n a b a b ≤212111,n n n n a b a b ++++≤2222 22 n n n n a b a b ++++≤ （1） 则级数1 n n b ∞=∑收敛那么级数1 n n a ∞=∑一定收敛，级数1 n n a ∞=∑发散那么级数1 n n b ∞ =∑一定发散． 证明： 任取一自然数0n ，使得p=022n ->0n ,设引理中的不等式（1）对于任意的0 n n ≥恒成立，可以把引理中的不等式（1）变形为： 22n n n n a a b b ≤,2121n n n n a a b b --≤,2222n n n n a a b b --≤ 即 2222n i n n i n a a b b -+-+≤ （i=0, 1，2，0n n ≥） 令 0m a x i n i p i a k b ≤ =????，则 (1) 当0n n p ≤<时， n n a b 0max i n i p i a k b ≤ 成立 (2) 当n p ≥时，可将n 写成122(0,1,2)n n i i =-+=，则102222n n i p n =-+≥=- 其中一定有10n n ≥． 若1n p <时，则 1 1 2222n n n i n n i n a a a b b b -+-+=≤ 成立． 若1n p ≥时，则可将1n 写成1222(0,1,2)n n i i =-+=，其中20n n ≥，使得2n p <， 若2n p <，不成立，则要继续进行下去，经过有限次总能得到 131(0,1,2)k k n n i i -=-+=．使得0k n n p ≤< 从而得到： 12 12 k k n n n n n n n n a a a a k b b b b ≤≤≤≤ ≤成立 因此 0n n ?>，恒有 n n a b ≤0max i n i p i a k b ≤ 成立 由比较判别法知：若级数1 n n b ∞ =∑收敛，那么级数1 n n a ∞ =∑一定收敛， 若级数1 n n a ∞=∑ 发散，那么级数1 n n b ∞ =∑ 一定发散 证明完毕 下面根据定理1，推广出一个关于正项级数收敛的判别法，以定理的形式叙述如下： 定理2[] 8 对于正项级数1 n n a ∞ =∑，若2211 lim lim n n n n n n a a p a a +→∞→∞+==，则 (1) 当p<1 2时，级数1n n a ∞ =∑收敛 (2) 当p>1 2时，级数1 n n a ∞=∑发散 证明：（1）当p<1 2 时，0,,N ε?>?，当n N ≥时， 有 212n n a p r a ε<+=<和2111 2 n n a p r a ε++<+=< 又因为 102r <<，所以可令1s >，使1122 s r << 令1n s M n =，那么11s n n ∞ =∑（因为s>1）级数收敛，且211 11lim lim 212s n s n n n M n M n +→∞→∞++?? == ?+?? 当n 充分大时有 21 1 n n M r M ++> 成立 又因为 102s r << ，显然 21 2 n s n M M = 对n 充分大时有 212111n n n n M a r M a ++++>>和221 2n n s n n M a r M a =>> 那么根据引理2，级数1 n n a ∞ =∑收敛 （2）当p>12时，对于正整数ε使1 2 p ε->，N ?，当n N ≥时， 有 212n n a p a ε>->和 21112 n n a p a ε++>-> 令11n M n = -， 则 211212n n M n M n -=<-，而 2111 22 n n M n M n ++==， 故 22n n n n a M a M > 和 212111 n n n n a M a M ++++>成立 又 2 n n M ∞ =∑是发散的，由定理1得 1 n n a ∞ =∑发散 将定理2推广到一般的形式，叙述如下： 定理3 关于正项级数1 n n a ∞ =∑与1 n n b ∞ =∑，若存在自然数N ，当n>N 时，不等式 11 11 11 11 ,,, (2,)kn kn kn kn kn k kn k n n n n n k n k a b a b a b k k N a b a b a b +++-+-+++-+-≤≤≤≥∈成立，则 (1) 若级数1n n b ∞ =∑收敛，则级数1n n a ∞ =∑收敛； (2) 若级数1 n n a ∞ =∑发散，则级数1 n n b ∞ =∑发散 证明：由条件知，若存在自然数N ，当n N >时，不等式 (0,1,,1)kn i n i kn i n i a a i k b b ++++≤=-成 立，不妨取自然数p kN N =>，并令M=max i N i p i a b ≤ ，当N n p ≤<时，max n i N i p b i a a M b b ≤ 当n p ≥时，则唯一存在一个自然数1n ,使111(0,1, ,1)n kn i p kN i k =+≥==-，故 11n i N +> 若11n i + 1111 kn i n i n n kn i n i a a a M b b b ++++= ≤≤； 若11n i +>p,则唯一存在一个自然数2n ，使1222(0,1,,1)n kn i i k =+=-，其中22n i N +>， 于是 11222211 22 22 n i kn i n i n i kn i n i a a a b b b ++++++= ≤ 且2211n i n i +<+ 由于n p ≥，经过有限步，假设第s 步,必有s s n i p +<，于是s s s s s s s s kn i n i n n kn i n i a a a M b b b ++++=≤≤ 所以当级数1 n n b ∞ =∑收敛，则级数1 n n a ∞ =∑收敛；当级数1 n n a ∞ =∑发散，则级数1 n n b ∞ =∑发散 证明完毕 定理3的推论： 推论1 给定正项级数1n n a ∞ =∑，若11 1 1 lim lim lim kn kn kn k n n n n n n k a a a p a a a ++-→∞→∞→∞++-== ==， 则 （1）1p k <时，1n n a ∞=∑收敛； （2）1 p k >时，1 n n a ∞ =∑发散 证明：（1）当1p k < 时，令 111,2s p p k k ???? =+∈ ? ?????，则存在实数r>1，使得11r s k k <<， 令 1 n r b n = ， 11 lim lim lim 1r kn kn r n n n n n a b kn p s a k b n →∞→∞→∞?? ?=<<== ? ? ?? ， 111 111 1lim lim lim 11r kn kn r n n n n n a b kn p s a k b n ++→∞→∞→∞ ++?? ?+=<<== ? ?+?? ， 111 111 1lim lim lim 11r kn k kn k r n n n n k n k a b kn k p s a k b n k +-+-→∞→∞→∞ +-+-?? ?+-=<<== ? ?+-?? 于是 00N ?>，当 0k N >时，有 11 11 11 11 ,,, kn kn kn kn kn k kn k n n n n n k n k a b a b a b a b a b a b +++-+-+++-+-≤≤≤ 因为级数 111 (1)n r n n b r n ∞ ∞ ===>∑∑收敛，由定理知，级数1 n n a ∞ =∑收敛 （2）当 1p k > 时，令1n b n =， 1 1 lim lim lim 1kn kn n n n n n a b kn p a k b n →∞→∞→∞=>==， 111 1 1lim lim lim 11 kn kn n n n n n a b kn p a k b n +→∞→∞→∞++=>==+， ……………． 111 1 1lim lim lim 11 kn k kn n n n n k n a b kn k p a k b n k +-→∞→∞→∞+-+-=>==+- 于是 00N ?>，当0k N >时，有 11 11 11 11 ,,, kn kn kn kn kn k kn k n n n n n k n k a b a b a b a b a b a b +++-+-+++-+-≥≥≥ 又因为级数111 (1)n r n n b r n ∞ ∞ ===>∑∑发散，定理知级数1 n n a ∞ =∑发散 2．2．2应用举例 例1 [] 10论()0!1 >∑∞ =x n x n n n n 是否收敛 解：()1 11! 1lim lim !n n n n n n x n a x n a e x n n ++→∞→∞?? ?+ ?+?? ==?? ??? 当x=e 时，用达朗贝尔判别法不能断定级数的敛散性 利用 ()12!01n n n n e e θ θ? =< 此时 ( )2222421222!22!n n n n n n n n n n n x n x n e a x n e n a e x n x n e n e n θ θ ?????? ?? ? ? ??????==≈?? ?? ???? ?? ? ????? 当x=e 时，2 1 2lim > =∞ →n ，由定理2得，级数发散 例2：讨论2 11 ln n n n ∞ =-∑是否收敛 解 令 2 1 ln n a n n = -， 则 ()()2222 222 1 ln 12ln 2ln 1ln 22ln 22ln n n n n n a n n n n a n n n n n - --===--- ()()()()()()()()() ()()()2 2 2 2122 12 2 ln 11 121ln 211ln 11121ln 2112ln 211ln 1111n n n n n n n n a a n n n n n n n n +++- +-++-++===+-+??+ ?++-+- ?+ ?+? ? ()()()()()()()()() ()()()2 2222 22 ln 21 122ln 222ln 22122ln 2222ln 222ln 221n n n n n n n n a a n n n n n n n n +++- +-++-++===+-+??+ ?++-+- ?+ ?+? ? 22122212 111 lim lim lim 242n n n n n n n n n a a a a a a ++→∞→∞→∞++====< 根据定理2得到，2 11 ln n n n ∞ =-∑收敛 例3 证明级数61 ln n n n ∞ =∑收敛 证明：令6 ln n n a n = 因为() ()1 6 ln 11lim lim 1ln n n n n n n a n a n +→∞→∞++== ， 所以不能用达朗贝尔判别法来证明是否收敛 ()26l n 22ln n n n n a n a n =，()()()()6 2116ln 2121ln 11n n n n a n a n ++++=++， () ()() () 6 2226ln 2222lim ln 22n n n n n a n a n +→∞+++=++ 22122612 11lim lim lim 22n n n n n n n n n a a a a a a ++→∞→∞→∞++===< 所以级数6 1ln n n n ∞ =∑收敛 例4 证明级数n ∞∑ 收敛 证明： 因为 2l 2 1 0l n l n n a n n a n n == ?→()n →∞ ()()( )211ln 21ln 211 0()ln 1ln 1n n n n a n a n n ++++==?→→∞++ 所以级数 n ∞ ∑ 收敛 2．3达朗贝尔判别法的第3种推广与应用 2．3．1达朗贝尔判别法的第三种推广 引理[] 41 给定两个正项级数（A ）1 n n a ∞=∑和（B ）1 n n b ∞ =∑，若从某项起（如n>N 时），不等 式 1111 ,,, kn kn kn kn kn k kn k n n n n n n a b a b a b a b a b a b +++-+-≤≤≤成立， 则级数（B ）收敛蕴含级数（A ）收敛；级数（A ）发散蕴含级数（B ）发散 引理[] 52 给定正项级数1 n n a ∞ =∑，若lim (0,11)kn i n n a p i k a +→∞==-，则 （1）当p<1 k 时，则级数1n n a ∞ =∑收敛 （2）当p>1 k 时，则级数1 n n a ∞=∑发散 下面将引理2推广到如下形式 定理：给定正项级数1n n a ∞ =∑，若对一固定自然数，有 ()lim 1,2,,kn i i n n a p i K a +→∞==，1 K i i p p ==∑ 则 （1）1p <时，1 n n a ∞ =∑收敛； （2）1p >时，1 n n a ∞ =∑发散 证明：当1p <时，对充分大的0n n >，存在12 p ε-= ，使 kn i i n a p a k ε +<+ 即 k n i i n a p a k ε+? ?<+ ?? ? 故对任意的自然数 0N n >，有 0 0N N kn i i n n n n n a p a k ε+==? ?<+ ?? ?∑∑ 将上式再关于i 求和，得 0011k N k N kn i i n i n n i n n a p a k ε+====? ?<+ ?? ?∑∑∑∑ 即 ()000(1) 112k N N N n n n n kn n n n n p a p a a ε+=+==+<+=∑∑∑ 令 1n n i i T a ==∑，则上式可以变成： ()() 000(1)1(1)1122 k N kn N n k N n p p T T T T T T +++++-< -<- 移项整理得：00(1)(1)11122k N k N kn n p p T T T T +++++-<- 即 00(1)1 2112k N kn n p T T T p +++?? < - ?-?? =M 由于1n n a ∞ =∑的部分和有界，所以级数收敛 当1p >时，对充分大的0n n >，存在111 2p p p ε-= ，使 11kn i n a p a ε+>- 即 ()112k n i n p p a a p ++> 同上，先对n 从0n 到N 求和，再对i 从1到k 求和，则有 ()() 001112 kn N n k N p T T T T +++-> - 若1 n n a ∞ =∑收敛，上式中令N →∞，则有 00111122n n n kn n n p a a T T ∞ ∞+==+??≥-+ ???∑∑001122n n n n p a T T ∞=+??≥-+ ???∑ 即 001112n n n n n n p a T a T ∞ ∞==+??-≥- ???∑∑ 又 001 1 0n n n n n kn a T a ∞ ∞ ==+-= >∑∑ 则有 112 p +≤ 即 1p ≤ 与 1p >矛盾，故级数发散 2．3．2应用举例 例1[] 9 正项级数1 n n a ∞ =∑中11a =，2112n n a a += ，222 (1,2,)5 n n a a n +==，试讨论正项级数1 n n a ∞ =∑敛散性 解：利用定理，取k=2，，则 129 12510 p = +=< 故级数收敛 3比较判别法的推广与应用 3．1比较判别法的推广 定理[]1 1（比较原则的推论）设 1u +2u +…+n u +… ()1 1v +2v +…+n v +… ()2 是两个正项级数，若 l i m n n n u l v →∞= ()3 则 (i)当0 (ii)当l =0且级数()2收敛时，级数()1也收敛； (iii)当l =+∞且级数()2发散时，级数()1也发散 在上面的定理中我们令n v = 1 k n ，则定理1，就演变成了如下： 定理[] 62 对于正项级数1 n n u ∞ =∑，若lim 0n n nu m →∞ =>或lim n n nu →∞ =∞，那么级数1 n n u ∞ =∑发散； 如果有k>1使得lim k n n n u →∞ =存在，则级数1 n n u ∞ =∑收敛 下面对定理2进行推广，以定理的形式叙述如下： 定理3 设0 n n a ∞ =∑为正项级数，令()0 n n n f n a ∞ ∞ ===∑∑，0a >，()f n 为当x=n 时由某一函 数()f x 所确定的值，()f x 连且续有直到m 阶的有限导数： ()()()( ) ()1lim lim lim lim 0m x x x x f x f x f x f x -→∞ →∞ →∞ →∞ '''=== == 如果对()f x 的m 阶导数()()m f x 存在一幂函数()0k m x k +>，使得， ()()l i m m k m x x f x s +→∞ =，0s <<+∞ 那么当1k >时，级数0 n n a ∞=∑收敛，当1k ≤时，级数0 n n a ∞ =∑发散 证明：运用罗必塔法则m 次可得， ()() 1 l i m l i m 1 x x k k f x f x k x x →∞→∞+'==-()() () () () l i m 111m m x k m f x p p p m x →∞ +=-++- ( ) ()()()()lim 111m k m m x x f x p p p m +→∞ =-++-()()() 111m s p p p m =-++- 由于()1 1 k n k N n ∞ =∈∑ 当1k >时收敛，当1k ≤发散， 则由定理1，()11 k n k N n ∞ =∈∑和级数1 n n a ∞ =∑同收敛， 所以当1k >时，级数0 n n a ∞ =∑收敛，当1k ≤时，级数0 n n a ∞ =∑发散 证明完毕 3．2应用举例 例1 讨论级数11cos n n β∞ =? ?- ?? ?∑是否收敛 解： 令()1cos f x x β =-，则 ()2 sin f x x x β β '=- ，存在3x ，使得 ()()()21lim lim m k m x x x f x x f x ++→∞→∞'=2322sin lim sin lim x x x x x x x β βββββ →∞→∞-??=-==- ??? 由于这里 21k =>，所以级数11cos n x β∞ =? ?- ?? ?∑收敛 例2 判断级数1 ln n a a n ∞ =? ?+ ???∑是否收敛 解： 令()1cos f x x β =- 则 ()()21 11a f x a x x x a x ?? '= -=- ?+??+，存在2x ，使得 () ()()11 lim lim m k m x x x f x x f x ++→∞ →∞ '=()2 1 l i m 11x x x x →∞ ??=-=- ? ?+?? 因为1k =，所以级数1 ln n a a n ∞ =? ?+ ???∑发散 4 结束语 文中列举的几种推广的正项级数收敛判别法，解决了某些题目用达朗贝尔判别法失效的问题，同时也简化了一些题目的求解步骤，这是有利的方面；但是在判断条件是否适合利用这些推广的时候，会带来一些烦琐的计算和证明所以在判别正项级数收敛时,要认真分析题目，找出最简洁的判别方法 致谢 感谢我的导师宋文青副教授宋老师成为我的毕业论文的导师那天起，她就告诉我如何搜集材料；告诉我如何快捷地找到相关论文；告诉我学校的哪个网站有本专业硕士、博士论文；还定期的和我联系论文的进度情况和定期指导我的论文怎么写才好本论文的完成，离不开她的悉心知道和孜孜不倦地教诲 感谢我的班主任张颖老师，在大学四年中给予我无微不至的照顾帮助使我在大学四年中不段的成长 在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我最诚挚的谢意！ 参考文献 [1]华东师范大学数学系．数学分析(下) (第三版) [M]．北京:高等教育出版社,2001 [2]徐春．正项级数敛散性的一种判别法[J]．四川轻化工学院学报,2006．6 [3]吴慧伶．正项级数收敛性判别的一个推广[J]．丽水学院学报,2006．10 [4]杨钟玄．正项级数收敛性的又一新判别法[J]．贵州师范大学学报,2005．11 [5]唐仁献．正项级数敛散性判别法新探[J]．零陵学院学报,2003．9 [6]马尔迈．关于正项级数比值判别法的一个推广[J]．浙江海洋学院学报2003．12 [7]张莉．关于正项级数收敛性判别的一个推广[J]．华中师范大学学报,2002．12 [8]陈杰．正项级数的一个新的判敛法[J]．宁波职业技术学院学报,2005．4 [9]李密．正项级数的一个新的判敛法[J]．金华职业技术学院学报,2005．3 [10]孙勇．正项级数判别敛散新法探索[J]．开封大学学报,2001．12 [11]James W．Daniel;ummation of Series of Positive Terms by Condensation Transformations[J]; Mathematics of Computation; V ol．23, No．105 (Jan．, 1969), pp．91-96 [12]Jack P．Tull, David Rearick; A Convergence Criterion for Positive Series[J]; The American Mathematical Monthly, V ol．71, No．3 (Mar．, 1964), pp．294-295 [13]Markus Müllera,?, Dierk Schleicher,?How to add a non-integer number of terms, and how to produce unusual infinite summations[J]，Germany School of Engineering and Science,2003．10．7 [14]Erik M．Altman *, Bruce D．Burns *，Streak biases in decision making: data and a memory model Action editor: Christian Schunn[J]，Department of Psychology, Michigan State University, East Lansing, MI 48824, USA；2004．12．6