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概率论与数理统计复习资料(二) (1)

<概率论>试题

一、填空题

1.设1621,,,X X X 是来自总体X ),4(~2σN 的简单随机样本,2

σ已知,令

∑==16

1161i i X X ,则统计量

σ

-164X 服从分布为 (必须写出分布的参数)。 2.设),(~2σμN X ,而1.70,1.75,1.70,1.65,1.75是从总体X 中抽取的样本,则μ的矩估计值为 。

3.设]1,[~a U X ,n X X ,,1 是从总体X 中抽取的样本,求a 的矩估计为 。 4.已知2)20,8(1.0=F ,则=)8,20(9.0F 。

5.θ?和β?都是参数a 的无偏估计,如果有 成立 ,则称θ?是比β?有效的估计。

6.设样本的频数分布为

概率论与数理统计复习资料(二) (1)

则样本方差2s =_____________________。

7.设总体X~N (μ,σ2),X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的样本,X 为样本均值,则D (X )=________________________。

8.设总体X 服从正态分布N (μ,σ2),其中μ未知,X 1,X 2,…,X n 为其样本。若假设

检验问题为1H 1H 2120≠?σσ:=:,则采用的检验统计量应________________。 9.设某个假设检验问题的拒绝域为W ,且当原假设H 0成立时,样本值(x 1,x 2, …,x n )落

入W 的概率为0.15,则犯第一类错误的概率为_____________________。

10.设样本X 1,X 2,…,X n 来自正态总体N (μ,1),假设检验问题为:,

:=:0H 0H 10≠?μμ 则在H 0成立的条件下,对显著水平α,拒绝域W 应为______________________。

11.设总体服从正态分布(,1)N μ,且

μ未知,设1,,n X X 为来自该总体的一个样本,记

11n

i

i X X n ==∑,则μ的置信水平为1α-的置信区间公式是 ;若已知10.95α-=,

则要使上面这个置信区间长度小于等于0.2,则样本容量n 至少要取__ __。

12.设n X X X ,,,21 为来自正态总体2(,)N μσ的一个简单随机样本,其中参数μ和2σ均

未知,记11n i i X X n ==∑,2

2

1()n

i i Q X X ==-∑,则假设0H :0μ=的t 检验使用的统计

量是 。(用X 和Q 表示)

13.设总体2

~(,)X N μσ,且μ已知、2σ未知,设123,,X X X 是来自该总体的一个样本,

则21231

()3X X X σ+++,12323X X X μσ++,

222

123X X X μ++-,(1)2X μ+中是统计量的有 。

14.设总体X 的分布函数()F x ,设n X X X ,,,21 为来自该总体的一个简单随机样本,

n X X X ,,,21 的联合分布函数 。

15.设总体X 服从参数为p 的两点分布,p (01p <<)未知。设1

,,n X X 是

来自该总体的一个样本,则21

11

1

,(),6,{},max n n

i

i

n i n i n

i i X X

X X X X pX ≤≤==--+∑∑中是统计量

的有 。

16.设总体服从正态分布(,1)N μ,且μ未知,设1,,n X X 为来自该总体的一个样本,记

11n

i

i X X n ==∑,则μ的置信水平为1α-的置信区间公式是 。

17.设2~(,)X X X N μσ,

2

~(,)Y Y Y N μσ,且X 与Y 相互独立,设1,,m X X 为来自总体X 的一个样本;设1,,n Y Y 为来自总体Y 的一个样本;2X S 和2

Y S 分别是其无偏样本方差,

则2222//X X Y Y S S σσ服从的分布是 。

18.设()

2

,0.3X N μ~,容量9n =,均值5X =,则未知参数μ的置信度为0.95的置信

区间是 (查表0.025 1.96Z =)

19.设总体X ~2

(,)N μσ,X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的样本,X 为样本均值,则D

(X )=________________________。

20.设总体X 服从正态分布N (μ,σ2),其中μ未知,X 1,X 2,…,X n 为其样本。若假设

检验问题为1H 1H 2120≠?σσ:=:,则采用的检验统计量应________________。 21.设12,,,n X X X ???是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本,μ和2

σ均未知,记

11n i i X X n ==∑,2

21

()n

i i X X θ==-∑,则假设0:0H μ=的t 检验使用统计量T

= 。

22.设11m i i X X m ==∑和1

1n

i i Y Y n ==∑分别来自两个正态总体211(,)N μσ和222(,)N μσ的样本

均值,参数1μ,2μ未知,两正态总体相互独立,欲检验22

012:H σσ= ,应用 检验

法,其检验统计量是 。

23.设总体X ~2(,)N μσ,2,μσ为未知参数,从X 中抽取的容量为n 的样本均值记为X ,

修正样本标准差为*n S ,在显著性水平α下,检验假设0:80H μ=,1:80H μ≠的拒绝域

为 ,在显著性水平α下,检验假设2200:H σσ=(0σ已知),2110:H σσ≠的拒绝域为 。

24.设总体X ~12(,),01,,,,n b n p p X X X <

25.设总体X ~[]120,,(,,,)n U X X X θ???是来自X 的样本,则θ的最大似然估计量是 。

26.设总体X ~2

(,0.9)N μ,129,,,X X X ???是容量为9的简单随机样本,均值5x =,则未知参数μ的置信水平为0.95的置信区间是 。

27.测得自动车床加工的10个零件的尺寸与规定尺寸的偏差(微米)如下: +2,+1,-2,+3,+2,+4,-2,+5,+3,+4 则零件尺寸偏差的数学期望的无偏估计量是

28.设1234,,,X X X X 是来自正态总体2

(0,2)N 的样本,令22

1234()(),Y X X X X =++-

则当C = 时CY ~2(2)χ。

29.设容量n = 10 的样本的观察值为(8,7,6,9,8,7,5,9,6),则样本均值= ,样本方差=

30.设X 1,X 2,…X n 为来自正态总体2(,)N μσX 的一个简单随机样本,则样本均值

1

1n

i i n =X =X ∑服从

31.()0.7P A =,()0.1P B =,()0.3P AB =,_______)(=?B A P

32.事件A 和B 都不发生记为 ,事件A,B 和C 至少有一个发生 33.已知随机变量X ,Y 是相互独立的,3)(,2)(==Y E X E ,9)(2=X E 则__________)23(=+XY X E ,_________)(=X D 。

34.设随机变量X

的分布函数为 0,

1()ln ,11,x F x x x e x e

=≤

__________}3{=≤X P ,

二、选择题

1.1621,,,X X X 是来自总体),

10(N ~X 的一部分样本,设:2

16

292821X X Y X X Z ++=++= ,则Y

Z

~( ) )(A )1,0(N )(B )16(t )(C )16(2χ )(D )8,8(F

2.已知n X X X ,,,21 是来自总体的样本,则下列是统计量的是( )

X X A +)( +A ∑=-n i i

X n B 1

2

11)( a X C +)( +10 131)(X a X D ++5 3.设81,,X X 和101,,Y Y 分别来自两个相互独立的正态总体)2,1(2

-N 和)5,2(N 的样本,

21S 和2

2

S 分别是其样本方差,则下列服从)9,7(F 的统计量是( )

)(A 222152S S )(B 222

145S S )(C 222154S S )(D 2

2

2125S S 4.设总体),(~2

σμN X ,n X X ,,1 为抽取样本,则∑=-n

i i X X n 1

2)(1是( )

)(A μ的无偏估计 )(B 2σ的无偏估计 )(C μ的矩估计 )(D 2σ的矩估计

5、设n X X ,,1 是来自总体X 的样本,且μ=EX ,则下列是μ的无偏估计的是( )

)(A ∑-=111n i i X n )(B ∑=-n i i X n 111 )(C ∑=n i i X n 2

1 )(D ∑-=-1111n i i X n 6.设n X X X ,,,21 为来自正态总体2

(,)N μσ的一个样本,若进行假设检验,当__ __时,

概率论与数理统计复习资料(二) (1)

X (A)220μσσ未知,检验= (B)22

0μσσ已知,检验=

(C)

20σμμ未知,检验= (D)20σμμ已知,检验= 7.在单因子方差分析中,设因子A 有r 个水平,每个水平测得一个容量为i m 的样本,则下

列说法正确的是___ __

(A)方差分析的目的是检验方差是否相等 (B)方差分析中的假设检验是双边检验

(C)方差分析中

2

11.()i

m r e ij i i j S y y ===-∑∑包含了随机误差外,还包含效应间的差异

(D)方差分析中

2

.1

()r

A i i i S m y y ==-∑包含了随机误差外,还包含效应间的差异

8.在一次假设检验中,下列说法正确的是______ (A)既可能犯第一类错误也可能犯第二类错误

(B)如果备择假设是正确的,但作出的决策是拒绝备择假设,则犯了第一类错误 (C)增大样本容量,则犯两类错误的概率都不变

(D)如果原假设是错误的,但作出的决策是接受备择假设,则犯了第二类错误

9.对总体

2~(,)X N μσ的均值μ和作区间估计,得到置信度为95%的置信区间,意义是指这个区间

(A)平均含总体95%的值 (B)平均含样本95%的值

(C)有95%的机会含样本的值 (D)有95%的机会的机会含μ的值 10.在假设检验问题中,犯第一类错误的概率α的意义是( ) (A)在H 0不成立的条件下,经检验H 0被拒绝的概率 (B)在H 0不成立的条件下,经检验H 0被接受的概率 (C)在H 00成立的条件下,经检验H 0被拒绝的概率 (D)在H 0成立的条件下,经检验H 0被接受的概率

11. 设总体X 服从正态分布()

212,,,,,n N X X X μσ 是来自X 的样本,则2

σ的最大似然

估计为

(A )()211n i i X X n =-∑ (B )()2111n i i X X n =--∑ (C )2

11n i i X n =∑ (D )2X 12.X 服从正态分布,1-=EX ,25EX =,),,(1

n X X 是来自总体X 的一个样本,则∑==n

i i

n

X X 1

1

服从的分布为___ 。

(A)N (1-,5/n) (B)N (1-,4/n) (C)N (1-/n,5/n) (D)N (1-/n,4/n)

13.设n X X X ,,,21 为来自正态总体

2

(,)N μσ的一个样本,若进行假设检验,当___ __

时,一般采用统计量

X U =

概率论与数理统计复习资料(二) (1)

(A)220μσσ未知,检验= (B)22

0μσσ已知,检验= (C)20σμμ未知,检验= (D)20σμμ已知,检验=

14.在单因子方差分析中,设因子A 有r 个水平,每个水平测得一个容量为i m 的样本,则

下列说法正确的是____ _

(A)方差分析的目的是检验方差是否相等 (B)方差分析中的假设检验是双边检验

(C) 方差分析中

2

11.()i

m r e ij i i j S y y ===-∑∑包含了随机误差外,还包含效应间的差异

(D) 方差分析中

2

.1

()r

A i i i S m y y ==-∑包含了随机误差外,还包含效应间的差异

15.在一次假设检验中,下列说法正确的是___ ____ (A)第一类错误和第二类错误同时都要犯

(B)如果备择假设是正确的,但作出的决策是拒绝备择假设,则犯了第一类错误 (C)增大样本容量,则犯两类错误的概率都要变小

(D)如果原假设是错误的,但作出的决策是接受备择假设,则犯了第二类错误

16.设?θ是未知参数θ的一个估计量,若?E θθ≠,则?

θ是θ的___ _____

(A)极大似然估计 (B)矩法估计 (C)相合估计 (D)有偏估计

17.设某个假设检验问题的拒绝域为W ,且当原假设H 0成立时,样本值(x 1,x 2, …,x n )

落入W 的概率为0.15,则犯第一类错误的概率为__________。 (A) 0.1 (B) 0.15 (C) 0.2 (D) 0.25

18.在对单个正态总体均值的假设检验中,当总体方差已知时,选用

(A )t 检验法 (B )u 检验法 (C )F 检验法 (D )2

χ检验法 19.在一个确定的假设检验中,与判断结果相关的因素有

(A )样本值与样本容量 (B )显著性水平α (C )检验统计量 (D )A,B,C 同时成立 20.对正态总体的数学期望μ进行假设检验,如果在显著水平0.05下接受00:H μμ=,那么在显著水平0.01下,下列结论中正确的是

(A )必须接受0H (B )可能接受,也可能拒绝0H (C )必拒绝0H (D )不接受,也不拒绝0H

21.设12,,,n X X X ???是取自总体X 的一个简单样本,则2()E X 的矩估计是

(A )2

21

11()1n i i S X X n ==--∑(B )2

221

1()n i i S X X n ==-∑

(C )

2

21S X

+ (D )

2

22S X

+

22.总体X ~2

(,)N μσ,2

σ已知,n ≥ 时,才能使总体均值μ的置信水平为0.95的置信区间长不大于L

(A )152

σ/2

L (B )15.36642σ/2L (C )162σ/2

L (D )16

23.设12,,,n X X X ???为总体X 的一个随机样本,2

(),()E X D X μσ==,

1

2211

()n i i

i C X X θ-+==-∑为 2σ的无偏估计,C = (A )1/n (B )1/1n - (C ) 1/2(1)n - (D ) 1/2n -

24.设总体X 服从正态分布()

212,,,,,n N X X X μσ 是来自X 的样本,则2

σ的最大似然

估计为

(A )()211n i i X X n =-∑ (B )()2111n i i X X n =--∑ (C )2

1

1n i i X n =∑ (D )2X 25.设X ~(1,)p β 12,,,,,n X X X ???是来自X 的样本,那么下列选项中不正确的是 (A)当n 充分大时,近似有X ~(1),

p p N p n -?

?

???

(B){}(1),k k

n k n P X k C p p -==-0,1,2,,k n =???

(C ){}(1)

,k k n k

n k

P X C p p n

-==-0,1,2,,k n =???

(D ){}(1),1k k

n k i n P X k C p p i n -==-≤≤

26.若X ~()t n 那么2

χ~

(A )(1,)F n (B )(,1)F n (C )2

()n χ (D )()t n

27.设n X X X ,,21为来自正态总体),(2

σμN 简单随机样本,X 是样本均值,记

2121

)(11X X n S n i i --=∑=,2122)(1X X n S n i i -=∑=,21

2

3)(11μ--=∑=n i i X n S , 224

1

1()n

i i S X n μ==-∑,则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是

(A) 1

/1--=

n S X t μ (B) 1

/2--=

n S X t μ (C) n

S X t /3μ-=

(D) n

S X t /4μ-=

28.设X 1,X 2,…X n ,X n+1, …,X n+m 是来自正态总体2

(0,)N σ的容量为n+m 的样本,则统计量

212

1n

i i n m

i i n m V n =+=+X =

X ∑∑服从的分布是

(A) (,)F m n (B) (1,1)F n m -- (C) (,)F n m (D) (1,1)F m n -- 29.设 ()

2~,X N μσ,其中μ已知,2

σ未知,1234,,,X X X X 为其样本, 下列各项不

是统计量的是____

(A)4

1

14i i X X ==∑ (B)142X X μ+-

(C)4

2

211

()i i K X X σ==-∑ (D)4

2

1

1()3i i S X X ==-∑

30. 设 ()

2~,N ξμσ,其中μ已知,2

σ未知,123

,,X X X 为其样本, 下列各项不是

统计量的是( )

(A)2221232

1()X X X σ

++ (B)13X μ+ (C)123

max(,,)X X X (D)1231()3

X X X ++

三、判断正误

1、 设事件A 发生的概率P(A)=1,则A 为必然发生事件。 ( )

2、 设A 、B 互不相容,且P(A)>0,P(B)>0,则必有0)(=B A P 。( )

3、 不论X 和Y 是否相互独立,都有D(X+Y)=D(X)+D(Y)。( )

4、 随机变量X 的分布函数满足)()(a X P a X P ≥=>。( )

5、 样本的分布和总体的分布相同。( )

6、 令X 为样本均值,统计量21

1)(11),,(X X n X X g n i i n ∑=--= 是总体方差的无偏估计。

( )

7、 若X 服从),(b a 上的均匀分布,则()12

)(,2)(2

a b X D b

a X E -=

+=。( ) 8、 已知总体X 服从],0[λ上的均匀分布(λ未知),n X X X ,,,21 为X 的样本,

则∑=-n

i i X E X n 1

)(1是一个统计量。( ) 9、 设总体),(~2σμN X ,n X X X ,,,21 是取自X 的一个样本,X 分别为该样本均值,则有),(~2

n

N X σμ。( )

10、

假设检验的基本思想是依据小概率事件原理。( )

四、计算题

1、有两种花籽,发芽率分别为0.5,0.8,从中各取一颗,各花籽是否发芽相互

独立。 求:(1)这两颗花籽都能发芽的的概率。 (2)至少有一颗能发芽的概率。 (3)恰有一颗能发芽的概率。

2、有两箱零件,第一箱装50件,其中10件是一等品;第二箱装30件,其中18件是一等品。现从两箱中随意挑出一箱,然后从该箱中任取一个零件,试求第一次取出的零件是一等品的概率。

3、设随机变量)4,2(~N X ,求:

(1)设随机变量)1,0(~N Y ,随机变量Y 与X 的关系式; (2))52(≤-X P 的值;

(3)若6915.0)(=≤d X P ,d 的值。 (已知6915.0)5.0(=Φ,9938.0)5.2(=Φ)

4、设随机变量X 的分布律为

概率论与数理统计复习资料(二) (1)

随机变量12-=X Y , 求(1)Y 的分布律 (2)()E Y

5、设随机变量X 具有概率密度函数?????<<=其他

,010,

2

)(x x x f

求:(1)随机变量21Y X =-的概率密度函数; (2)求)(Y E ,)(Y D 。

6、有一导弹发射装置,弹着点偏离中心的距离服从正态分布),(2σμN ,其中

1002=σ,现在进行25次发射实验,2S 记为这25次实验偏离中心的样本方差。试求}50{2>S P 的值。(041.12)24(2=χ)

7、设总体X 的概率密度函数为:

(;),,0,0c x f x e

x c θ

θθθθ-=>>>

n X X X ,,,21 是取自总体X 的简单随机样本,求参数θ的极大似然估计量?θ。

8、机器包装食盐,假设每袋盐的净重服从正态分布,规定每袋标准含量为500g ,某天开工后,随机抽取9袋,测得净重如下(单位:g ): 497 507 510 475 515 484 488 524 491

试在显著性水平0.05α=下检验假设:01:500,:500H H μμ=≠。

0.0252

(1)(8) 2.306t n t α-==(由样本可知499x =,16.03s =)

9.某大学从来自A ,B 两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生,测其身高(单位:cm )

后算得x =175.9,y =172.0;1.9s 3.11s 2

221==,。假设两市新生身高分别服从正态分布X-N(μ1,σ2

),Y-N (μ2,σ2

)其中σ2

未知。试求μ1-μ2的置信度为0.95的置信区间。(t 0.025(9)=2.2622,t 0.025(11)=2.2010)

10.(10分)某出租车公司欲了解:从金沙车站到火车北站乘租车的时间。

随机地抽查了9辆出租车,记录其从金沙车站到火车北站的时间,算得20x =(分钟),无

偏方差的标准差3s =。若假设此样本来自正态总体2(,)N μσ,其中2

,μσ均未知,试求σ

的置信水平为0.95的置信下限。

11.(10分)设总体服从正态分布

2

(,)N μσ,且μ与2σ都未知,设1,,n X X 为来自总体的一个样本,其观测值为1,,n x x ,设11n i i X X n ==∑,2

2

1

1()n n i i S X X n ==-∑。求μ和σ的

极大似然估计量。

12.某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的平均长度为10.5cm, 标准差是

0.15cm, 今从一批产品中随机的抽取15段进行测量, 其结果如下:

10.410.610.110.410.510.310.310.210.910.610.810.510.710.210.7

假定切割的长度服从正态分布, 且标准差没有变化, 试问该机工作是否正常?

(0.05)α=

注:0.05 1.645,z =

13.(14分)机器包装食盐,假设每袋盐的净重服从

2

~(,)X N μσ正态分布, 规定每袋标准重量为1μ=kg,方差22

0.02σ≤。某天开工后,为检验其机器工作是否正常,

从装好的食盐中随机抽取抽取9袋,测得净重(单位:kg )为:0.994,1.014,1.02,0.95,1.03,0.968,0.976,1.048,0.982算得上述样本相关数据为:均值

为0.998x =,无偏标准差为0.032s =,

2

1

()

0.008192

n

i

i x x =-=∑。

问(1)在显著性水平0.05α=下,这天生产的食盐的平均净重是否和规定的标准有显著差异?

(2) 在显著性水平0.05α=下,这天生产的食盐的净重的方差是否符合规定的标准? (3)你觉得该天包装机工作是否正常? 14.(8分)设总体X 有概率分布

概率论与数理统计复习资料(二) (1)

其中(01/2)θθ<<为未知参数,现抽的X 的样本值Xi (i=1,2,3,..8)分别为

3,1,3,0,3,1,2,3求θ的最大似然估计

15.(12分)对某种产品进行一项腐蚀加工试验,得到腐蚀时间X (秒)和 腐蚀深度Y (毫米)的数据见下表:

X 5 5 10 20 30 40 50 60 65 90 120 Y 4 6 8 13 16 17 19 25 25 29 46

假设Y 与X 之间符合一元线回归模型

01Y X ββε=++

(1)试建立线性回归方程。

(2)在显著性水平0.01α=下,检验01

:0H β=

16. (7分)设有三台机器制造同一种产品,今比较三台机器生产能力,记录其五天的日产量

概率论与数理统计复习资料(二) (1)

概率论与数理统计复习资料(二) (1)

17.(10分)设总体X 在),0(θ)0(>θ上服从均匀分布,n X X ,,1

为其一个

样本,设}

,,max{1)(n n X X X =

(1)

)

(n X 的概率密度函数

()n p x (2)求()[]n E X

18. 按以往概率论考试结果分析,努力学习的学生有90%的可能考试及格,不努

力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查,学生中有80%的人是努力学习的,试问:

(1)考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人? (2)考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人?

19.(10分)设总体X 服从正态分布

2

(,)N μσ,1,,n X X 是来自该总体的一个样本,记1

1(11)

k

k i i X X k n k ==≤≤-∑,求统计量1k k X X +-的分布。

20.某大学从来自A ,B 两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生,测其身高(单位:cm )

后算得x =175.9,y =172.0;1.9s 3.11s 222

1==,。

假设两市新生身高分别服从正态分布X-N(μ1,σ2),Y-N (μ2,σ2)其中σ2

未知。试求μ1-μ2的置信度为0.95的置信区间。(t 0.025(9)=2.2622,t 0.025(11)=2.2010)

21.设总体X 服从指数分布, 其概率密度函数?

??≤>=-0,00,),(x x e x f x λλλ

其中0>λ, 是未知参数. n x x x ,,,21 是来自总体X 的样本观察值, 求参数λ的最大似然估计值.