蒙特卡罗,基于Java程序的亚式期权定价。
亚式算术平均期权蒙特卡罗定价数值分析
摘要：由于亚式算术平均期权的收益依赖于其存续期间离散的标的资产价格，尤其是当涉及到同一时点与若干个变量有关时，传统的数值二项树和有限差分方法难以应付维数灾难，再加上目前亚式算术平均期权没有精确的解析式。本文正是基于此两点考虑，尝试引入蒙特卡罗方法进行了亚式算术平均期权的定价，基于Java语言进行了具体实现，其中利用中心极限定理生成模拟样本随机数，利用对偶技术提高计算精度。并且在文末讨论了多维变量中的亚式算术平均期权的随机数生成方法，为下一步研究的复杂的多维亚式期权定价模型提供了一个参考铺垫。
关键词：亚式算术平均蒙特卡罗模拟随机数Java程序语言对偶变量技术一、亚式期权简介
自上世纪70年代，Fisher Black，Myron Scholes和Robert Merton在期权定价领域取得重大突破后，金融工程领域得到了极大的促进和发展，涌现出了大量由标准期权变化、组合、派生而出的金融衍生品种，即奇异期权，亚式期权是奇异期权中强路径依赖期权的一种典型的代表。亚式期权的收益同标的资产在期权有效期内至少某一段时间内的平均价格有关。
1、亚式期权种类
亚式期权可分为平均价格期权和平均执行价格期。前者可用来避免在一段时间内因频繁交易资产而发生的价格波动风险；后者可以保证在一段时间内频繁卖出标的资产的平均价格不会低于最终价格，也可以保证一段时间频繁买人标的资产的平均价格不会高于最终价格。其收益结构如下表：
，
，
其中Save 、X、ST分别是标的资产某一特定区间内的平均值、执行价、到期价格
2、对平均价格的探讨
对于亚式期权价格平均时，有算术平均和几何平均两种计量方式，相应的计量方法如下：S ave=（算术平均），S ave=（几何平均）。
在亚式期权中只有几何平均期权能得到精确的解析解。几何平均期权的解析价格公式之所以存在是因为布莱克-舒尔斯模型假设标的资产价格服从对数正态分布，而一系列对数正态分布变量的几何平均值仍为对数正态分布。亚式期权中更常见的情况是取算术平均，但是一系列对数正态分布值的算术平均值并不服从对数正态分布。目前人们仍然无法得到解析的定价公式。所以本文尝试用Monte Carlo 模拟方法基于My eclipse平台的Java程序语言对亚式期权进行了数值分析。
二、蒙特卡罗方法基本思想
蒙特卡罗(Monte Carlo) 模拟方法的实质是一种利用随机抽样的样本均值来近似地代替随机分布的总体期望值, 从而得到对随机分布数学期望的实际估计的数值分析方法。利用非套利资产定价理论, 金融衍生证券的价格是其盈亏函数的贴现期望值; 而其中的期望值是针对风险中性的概率测度而言的。根据概率统计和随机分析理论, 这些期望值也可以表示为在一特定区域上的积分形式。蒙特卡罗模拟就是通过模拟这些数学期望或积分来估计金融衍生证券价格的。简要步骤如下:
( 1) 在风险中性概率测度下, 模拟出标的变量在衍生证券有效期内的样本路径; ( 2) 根据该衍生证券的性质, 估计出在每一条样本路径上的贴现盈利收益;
( 3) 对模拟出的样本路径上的盈利收益求平均值, 从而得到该衍生证券的估计值。
1、亚式算术平均期权定价公式
在本文中，假设标的资产为普通股票，不支付股利，风险中性的世界里，其股票价格游走服从广义维纳过程，风险中性测度下的亚式看涨期权抽象定价为：
C=
其中，r是无风险利率，T是到期日，离散状态下，连续状态下
。期望E的无偏有效估计为样本平均，以平均价格看涨期权为例，因此得到算术平均亚式期权Monte Carlo模拟值为：C=
其中为第i 次模拟的价格算术平均数，N为模拟次数。
三、基于对偶变量技术的蒙特卡罗数值分析
1、方差缩减技术
本文使用传统但很有效的方差缩减技术，即对偶变量，对偶变量控制技术中每一次模拟运算包括计算衍生产品的两个值。第一个值f1是按通常的方式计算得出；第二个值f2是通过改变所有标准正态分布样本的符号计算得出。如果是用来计算f1的一个抽样，那么-则是计算f2的一个抽样。由此计算出的衍生产品的抽样值等于f1和f2的平均值。因为以上两个值中一个高于真实值，另一个就会低于真实值，这就是对偶变量技术的原理。可以定义为f1和f2的平均值=（f1+f2）/2，衍生产品的价格便为所有的平均。如果为的标准差，M为模拟运算的次数，估计值的标准误差为,以上的误差量会远远小于由2M个随机试验所对应的标准误差。
2、正态随机数产生机理
其中生成合适的服从正态分布随机数是蒙卡数值分析关键一步，利用公式=6,可以产生服从一元标准正态分布的近似样本，式中为0~1之间相互独立的随机变量，就是我们所需要的的样本。这一近似在大多数情况下令人满意。该方法的原理是基于Lindbergh-Levy定理，即独立同分布、且数学期望和方差有限的随机变量序列的标准化和以标准正态分布为极限。
3、基于Java语言的蒙特卡罗模拟数值分析实现
在风险中性世界里，标的市场变量服从以下过程：dS S S，其中是一个维纳过程，为标的变量在风险中性世界里的收益率期望，为波动率。为了模拟变量S的路径，我们可以将期权的期限分割成N段长度为的小区间，得到（3）式的离散形式：S（t+）S（t）=S（t）S（t），其中是期望值为0、标准差为1的正态分布中的抽样。于是我们可以从S的初始值计算出S在时的值，并从的值计算出S在2的值，依此类似反复进行，这样通过在正态分布中进行N次抽样实现了对路径的完整模拟。
实际中，对lnS进行抽样一般要比对S进行抽样效率更高，根据伊藤引理，G=lnS 服从的广义维纳过程dlnS=（），离散化形式ln S(t+)lnS(t)=（），等价形式为：S(t+)= S（t）exp[（）]，
那么对于所有的期限T，有S(T)=S（0）exp[（）]成立。如果S为无股息股票价格，那么如果S为汇率，那么，在经典的二叉树讨论
中，现实世界波动率等于风险中性世界波动率。现有一份亚式期权，初试价格50美
元、敲定价格52美元、无风险利率10%，5个月的期限，波动率0.40，其中为今后5个月内股票的平均价格，收益结构Max（），具体实现代码参考如下。
import https://www.wendangku.net/doc/0715298544.html,ng.Math;
import java.math.BigDecimal;
public class MonteCarlo {
protected double miu, sigma, r, SpotPrice, StrikePrice;
Integer p, q; //p和q分別代表步长和模拟次数
MonteCarlo(double miu, double sigma, double r, double SpotPrice,
double StrikePrice, Integer p, Integer q) {
this.miu = miu; //miu代表资产期望报酬率，风险中性世界等于无风险利率this.sigma = sigma; //sigma代表标的资产价格波动率
this.r = r; //r代表无风险利率
this.SpotPrice = SpotPrice; // SpotPrice代表标的资产即期价格
this.StrikePrice = StrikePrice; // StrikePrice代表标的资产到期执行价格
this.p = p;
this.q = q;
}
public static void main(String args[]) {
MonteCarlo mc = new MonteCarlo(0.10, 0.40, 0.10, 50, 52, 10, 5);
double[] AvePrice = mc.MonteCarloSimulation();
System.out.println("亚式算术平均期权的蒙特卡罗模拟值是："
+ https://www.wendangku.net/doc/0715298544.html,nOption(AvePrice));
}
public double[] MonteCarloSimulation() {
double[][] PathPrice = new double[p][q];
double[][] DualPathPrice = new double[p][q];
double[] AvePrice = new double[p];
double epsilon = 0.0;
for (int j = 0; j < p; j++) {
for (int i = 0; i < q; i++) {
epsilon = NormDistribution();
PathPrice[j][i] = SpotPrice
* Math.exp((miu - 0.5 * Math.pow(sigma, 2))
* (q / 12.0) + sigma * epsilon
* Math.sqrt(q / 12.0));
System.out.println(PathPrice[j][i]);
DualPathPrice[j][i] = SpotPrice
* Math.exp((miu - 0.5 * Math.pow(sigma, 2))
* (q / 12.0) + sigma * (-epsilon)
* Math.sqrt(q / 12.0));
PathPrice[j][i] = (PathPrice[j][i] + DualPathPrice[j][i]) / 2;
System.out.println(DualPathPrice[j][i]);
AvePrice[j] += PathPrice[j][i];
}
AvePrice[j] /= q;
System.out.println("AvePrice[j]=" + AvePrice[j]+"\n");
}
return AvePrice;
}
BigDecimal AsianOption(double[] AvePrice) {
double AOS = 0.0;
for (int j = 0; j < p; j++) {
AOS += Math.max(AvePrice[j] - StrikePrice, 0);
System.out.println("AOS=" + AOS);
}
AOS = Math.exp(-r * 5 / 12.0) * (AOS / p);
System.out.println(AOS);
return new BigDecimal(AOS);
}
public double NormDistribution() {
Double epsilon = new Double(0.0);
for (int i = 0; i < 12; i++)
epsilon += Math.random();
epsilon -= 6;
return epsilon;
}
}
蒙特卡罗法计算结果的精度与模拟的次数有关。设期望值和标准差分别为和。即为衍生产品价值估计，这一估计值的标准误差为，N为模拟次数，衍生产品价格f在95%的置信区间为。由此可以看出，衍生产品价格的不确定性与模拟次数的平方根成反比，例如，我们如果想要把精度提高10倍，则必须将模拟次数提高100倍。
四、推广和衍生
在复杂的亚式期权数值分析中，有可能涉及到在同一时点其收益与n个变量，（i[1，n]）有关，定义为的波动率，为在风险中性世界里的增长率期望，为和的瞬时相关系数。将期权的期限分割成N个长度为的小的时区间，的随机过程的离散形式为
（t+）（t）=（t）。
式中为正态分布变量的一个随机样本，每一次路径抽样需要n个从多元正态分布中所提取关于，如何产生n元联合正态分布的随机抽样，是蒙特卡罗模拟的关键。
现在假定（i=1, 2……n）相互独立，服从N(0，1)分布，那么向量E=(……)服从
均值为0，和（i）之间的协方差为0，其方差-协方差矩阵为单位矩阵。设多维向量
S=(、……)，方差-协方差矩阵
，代表和的协方差，。好了，现在我
们来对上面的协方差矩阵作CholeSky分解，，其中是正定矩阵且唯一，通过转移方程S=便可由从E中抽样得到所需要的多元正态分布样本。
在多维亚式期权定价的数值分析中，可以尝试使用Matlab软件进行数值分析，当然了还可以结合Java语言的跨平台性，最后做成可视化的良好程序软件。据笔者所知，目前还没有现成的算法对多维亚式期权进行定价的算法，这可以当作下一步研究的课题。
五、结论与展望
由于亚式期权中，只有几何平均期权能得到精确的解析解。目前市场上的绝大多数期权是基于算术平均，对于这种期权，没有精确的解析公式，所以本文采用了蒙特卡罗方法数值分析，利用Java程序进行了具体实现，得到了较为良好的模拟效果。并且在文章最后，讨论了多维亚式期权定价中蒙特卡罗模拟随机数生成，这可以作为对有兴趣研究复杂型多维亚式算术平均期权定价下一步研究的基础和展望，这对蒙特卡罗在期权定价的数值分析应用上具有一定的借鉴参考价值。
六、参考文献
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蒙特卡洛期权定价程序
欧式期权蒙特卡洛模拟程序 function [eucall,varprice,ci]=blsmc(S0,K,r,T,sigma,N) % 输入参数 %S0 初使资产价格T 到期时间 % K敲定价格 % r无风险利率 % sigma 波动率 % N 模拟次数 %%%%%%%% %输出参数 %eucall 欧式期权价格 %varprice 方差 % ci 95%置信区间 randn('seed',0); randT=randn(N,1); nuT=(r-sigma^2/2)*T; siT=sigma*sqrt(T); dispayoff=exp(-r*T)*max(0,S0*exp(nuT+siT*randT)-K); [eucall,varprice,ci]=normfit(dispayoff); 蒙特卡洛模拟亚式期权 %Asianmc.m function [p,aux,ci]=Asianmc(S0,K,r,T,sigma,NRteps,NRepl) % 蒙特卡洛模拟亚式期权 % 输入参数 %S0 初使资产价格 % T 到期时间 % K敲定价格 % r无风险利率 % sigma 波动率 % NSteps 时间离散数目 % NRepl 模拟次数 %%%%%%%% %输出参数 %p 权价格 %varprice 方差 % ci 95%置信区间 dt=T/NRteps; nudt=(r-.5*sigma^2)*dt; sidt=sigma*sqrt(dt); randn('seed',0);
randt=randn(NRepl,NRteps); rand1=nudt+sidt*randt; rand2=cumsum(rand1,2);%按列求和 path=S0*exp(rand2); payoff=zeros(NRepl,1); for i=1:NRepl payoff(i)=exp(-r*T)*max(0,mean(path(i,:))-K); end [p,aux,ci]=normfit(payoff);
浅析蒙特卡洛方法原理及应用
浅析蒙特卡洛方法原理及应用 于希明 （英才学院1236103班测控技术与仪器专业6120110304） 摘要：本文概述了蒙特卡洛方法产生的历史及基本原理，介绍了蒙特卡洛方法的最初应用——蒲丰投针问题求圆周率，并介绍了蒙特卡洛方法在数学及生活中的一些简单应用，最后总结了蒙特卡洛方法的特点。 关键词：蒙特卡洛方法蒲丰投针生活应用 蒙特卡洛方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。它是以概率统计理论为基础, 依据大数定律( 样本均值代替总体均值) , 利用电子计算机数字模拟技术, 解决一些很难直接用数学运算求解或用其他方法不能解决的复杂问题的一种近似计算法。蒙特卡洛方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算）等领域应用广泛。 一、蒙特卡洛方法的产生及原理 蒙特卡洛方法于20世纪40年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的成员S.M.乌拉姆和J.冯·诺伊曼首先提出。数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。在这之前，蒙特卡洛方法就已经存在。1777年，法国数学家蒲丰（Georges Louis Leclere de Buffon，1707—1788）提出用投针实验的方法求圆周率π。这被认为是蒙特卡洛方法的起源。 其基本原理如下：由概率定义知，某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算，当样本容量足够大时，可以认为该事件的发生频率即为其概率。因此，可以先对影响其可靠度的随机变量进行大量的随机抽样，然后把这些抽样值一组一组地代入功能函数式，确定结构是否失效，最后从中求得结构的失效概率。蒙特卡洛法正是基于此思路进行分析的。 设有统计独立的随机变量Xi(i=1，2，3，…，k)，其对应的概率密度函数分别为fx1，fx2，…，fxk，功能函数式为Z=g(x1，x2，…，xk)。首先根据各随机变量的相应分布，产生N组随机数x1，x2，…，xk值，计算功能函数值Zi=g(x1，x2，…，xk)(i=1，2，…，N)，若其中有L组随机数对应的功能函数值Zi≤0，则当N→∞时，根据伯努利大数定理及正态随机变量的特性有：结构失效概率，可靠指标。 二、蒲丰投针问题 作为蒙特卡洛方法的最初应用, 是解决蒲丰投针问题。1777 年, 法国数学家蒲丰提出利用投针实验求解圆周率的问题。设平面上等距离( 如为2a) 画有一些平行线, 将一根长度为2l( l< a) 的针任意投掷到平面上, 针与任一平行线相交的频率为p 。针的位置可以用针的中心坐标x 和针与平行线的夹角θ来决定。任意方向投针, 便意味着x与θ可以任意取一值, 只是0≤x ≤a, 0≤θ≤π。那么, 投针与任意平行线相交的条件为x ≤ l sinθ。相交频率p 便可用下式求
蒙特卡罗算法的简单应用
一、蒙特卡洛算法 1、含义的理解 以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法。也称统计模拟方法，是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法，它是将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。 2、算法实例 在数值积分法中，利用求单位圆的1/4的面积来求得Pi/4从而得到Pi 。单位圆的1/4面积是一个扇形，它是边长为1单位正方形的一部分。只要能求出扇形面积S1在正方形面积S 中占的比例K=S1/S 就立即能得到S1，从而得到Pi 的值。怎样求出扇形面积在正方形面积中占的比例K 呢？一个办法是在正方形中随机投入很多点，使所投的点落在正方形中每一个位置的机会相等看其中有多少个点落在扇形内。将落在扇形内的点数m 与所投点的总数n 的比m/n 作为k 的近似值。P 落在扇形内的充要条件是 221x y +≤ 。 已知：K= 1s s ，K ≈m n ，s=1，s1=4P i ，求Pi 。 由1 s m s n ≈，知s1≈*m s n =m n ， 而s1=4P i ，则Pi=*4m n 程序： /* 利用蒙特卡洛算法近似求圆周率Pi*/ /*程序使用：VC++6.0 */ #include x=rand()*1.0/RAND_MAX;/*RAND_MAX=32767，包含在 （定价策略）期权定价中的蒙特卡洛模拟方法 期权定价中的蒙特卡洛模拟方法 期权作为最基础的金融衍生产品之一，为其定价一直是金融工程的重要研究领域，主要使用的定价方法有偏微分方程法、鞅方法和数值方法。而数值方法又包括了二叉树方法、有限差分法和蒙特卡洛模拟方法。 蒙特卡洛方法的理论基础是概率论与数理统计，其实质是通过模拟标的资产价格路径预测期权的平均回报并得到期权价格估计值。蒙特卡洛方法的最大优势是误差收敛率不依赖于问题的维数，从而非常适宜为高维期权定价。 §1. 预备知识 ◆两个重要的定理：柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)强大数定律和莱维一林德贝格(Levy-Lindeberg)中心极限定理。 大数定律是概率论中用以说明大量随机现象平均结果稳定性的一系列极限定律。在蒙特卡洛方法中用到的是随机变量序列同分布的Kolmogorov强大数定律： 设为独立同分布的随机变量序列，若 则有 显然，若是由同一总体中得到的抽样，那么由此大数定律可知样本均值当n很大时以概率1收敛于总体均值。 中心极限定理是研究随机变量之和的极限分布在何种情形下是正态的，并由此应用正态分布的良好性质解决实际问题。 设为独立同分布的随机变量序列，若 则有 其等价形式为。 ◆Black-Scholes期权定价模型 模型的假设条件： 1、标的证券的价格遵循几何布朗运动 其中，标的资产的价格是时间的函数，为标的资产的瞬时期望收益率，为标的资产的波动率，是维纳过程。 2、证券允许卖空、证券交易连续和证券高度可分。 3、不考虑交易费用或税收等交易成本。 4、在衍生证券的存续期内不支付红利。 5、市场上不存在无风险的套利机会。 6、无风险利率为一个固定的常数。 下面，通过构造标的资产与期权的资产组合并根据无套利定价原理建立期权定价模型。首先，为了得到期权的微分形式，先介绍随机微积分中的最重要的伊藤公式。 伊藤Ito公式：设，是二元可微函数，若随机过程满足如下的随机微分方程 蒙特卡罗模拟与欧式期权定价 蒙特卡罗模拟进行期权定价的核心在于生成股票价格的随机过程。9.2节中，在期权到期的T 时刻，标的股票价格的随机方程为： )exp()exp(T T T T S Y S S εσμ+== 其中，随机变量ε服从标准正态分布，即服从N(0,1)，随机变量T Y 服从正态分布，其均值为T T )5.0(2σμμ-=，方差为T T σσ=，μ为股票的收益率，σ为股票的波动率。期权的收益依赖于T S 在风险中性世界里的期望值，因此对于风险中性定价，股票的收益率（μ）可以用无风险利率r 减去连续红利收益率q 代替，也就是（r-q ）。于是风险中性定价的T S 随机方程为： ] )5.0exp[(2T T q r S S T εσσ+--= 其中ε服从标准正态分布。上式中的股价运动过程与前面二叉树定价中的一样。 蒙特卡罗模拟随机产生一组股价终值T S 的样本值，即模拟试验。然后为每一个样本值计算期权收益并记录下来。产生足够多的样本值后，就可以得到期权收益的分布，通常需要计算分布的均值和标准差。模拟试验的代数平均值常用来估计期权收益分布的期望值，然后用无风险利率对其折现来得到看涨期权的价格。 图1中欧式期权的有效期是六个月，其标的资产是连续红利收益率为3%的股票。表中有36个期权收益的模拟试验，用它们可以估计出期权收益期望值的折现。 Using Monte Carlo Simulation to Value BS Call Option ： 利用蒙特卡罗模拟来为布莱克-舒尔斯看涨期权定价 图1 期权信息及5个（从36个模拟数据得到）期权收益模拟结果 每个模拟试验产生一个终值股价（T S 的一个样本值）和一个期权收益值。在B 列中用Excel 的RAND 函数来产生服从均匀分布的随机数，然后在C 列用标准正态分布函数NORMSINV 将其转换成随机样本。RAND 函数产生[0,1]间服从均匀分布的随机数。将其作为累积概率值（值在0到1之间），用NORMSINV 即可得到服从标准正态分布的随机变量值，其结果大部分处在-3与3之间。例如，第一次模拟试验C22中的公式为： =NORMSINV(B22) 其输入值为0.1032(大约10％)，产生的标准正态变量的值则为-1.2634。 得到随机样本值（ε），就可以用下面公式计算期权到期日的股票价格： ] )5.0exp[(2T T q r S S T εσσ+--= 为了将其转换为单元格公式的形式，有必要先计算出T 时刻的风险中性漂移项和波动率， 也就是T q r )5.0(2σ--和T εσ（分别处于B16和B17中）。因此，E22中的公式为： =$B$4*EXP($B$16+C22*$B$17) 相应的期权收益为（H22）： =MAX($E$4*(E22-$B$5),0) E4中存放的是参数iopt ，它用来区分看涨期权和看跌期权。 计算模拟出的36个期权收益的平均值，然后折现即可得到看涨期权价值的估计量（E9）。用于折现的风险中性因子（exp(-rT)）放在B18中。 图1显示，期权价格的蒙特卡罗估计值（12.85）与布莱克-舒尔斯期权价格有较大的差异。E10中，期权价值估计值的标准差（模拟期权收益的标准差除以模拟次数的平方 263Vol.26No.3 20037ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA July,2003 Vasiˇc ek ? (200092) (230026) Vasiˇc ek Cauchy Cauchy 1 (Call/Put Option) (Exotic Option). Black-Scholes Vasiˇc ek T,[0,T] 2001107 ?(10201029) 468 26 Monte Carlo [1,2], [3–5]. Turnbull &Wakeman (1991) Levy (1992). Laplace Taylor ( [6–9]), [3,10,11]. Cauchy [12]. 1 Cauchy Cauchy 2 T , [0,T ] T 0 (Zero-Coupon). (?,F,P ) r S d r t =(β?αr t )d t +γd Z t ,d S t =S t (r t dt +σB t ). (2.1) (Z t ,B t ) (?,F,P )2 (F t )t ≥0 σ-α,β,λ=0σ=0 T , 1 T T S (τ)d τ T ξ= S T ? 1 T T S (τ)d τ + .(2.2) C (t ) C (t )=E p ξexp ? T t r s d s F t . (2.3) I t = t S (τ)d τ,(t,r t ,S t ,I t ) Markovian C (t ) (t,r,S,I ) C (t,r,S,I ).Feymann-kac 蒙特卡罗方法（MC） 蒙特卡罗（Monte Carlo）方法： 蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，又称随机抽样或统计试验方法，属于计算数学的一个分支，它是在本世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的。 传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。这也是我们采用该方法的原因。 蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下： 当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并 用它们作为问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。可以把蒙特卡罗解题归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。 蒙特卡罗解题三个主要步骤： 构造或描述概率过程： 对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。 实现从已知概率分布抽样： 构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是(0,1)上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。由已知分布随机抽样有各种方法，与从(0,1)上均匀分布抽样不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。由此可见，随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。 建立各种估计量： 一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求的问题的解，我们称它为无偏估计。建立各种估计量，相当于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解。 例如：检验产品的正品率问题，我们可以用1表示正品，0表示次品，于是对每个产品检验可以定义如下的随机变数Ti，作为正品率的估计量： 于是，在N次实验后，正品个数为： 1、蒙特卡罗定位 足球机器人中自定位方法是由Fox提出的蒙特卡罗定位。这是一种概率方法，把足球机器人当前位置看成许多粒子的密度模型。每个粒子可以看成机器人在此位置定位的假设。在多数应用中，蒙特卡罗定位用在带有距离传感器的机器人设备上，如激光扫描声纳传感器。只有一些方法，视觉用于自定位。在足球机器人自定位有些不同，因为机器人占的面积相对比较小，但是机器人所在位置的面积必须相当准确的确定，以便允许同组不同机器人交流有关场地物体信息和遵守比赛规则。这种定位方法分为如下步骤，首先所有粒子按照一起那机器人的活动的运动模型移动。概率pi取决于在感知模型的基础上所有粒子在当前传感器上的读数。基于这些概率，就提出了所谓的重采样，将更多粒子移向很高概率的采样位置。概率平均分布的确定用来表示当前机器人的位置的最优估计。最后返回开始。 2、蒙塔卡罗 基本思想 当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。 工作过程 蒙特卡罗方法的解题过程可以归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。 蒙特卡罗方法解题过程的三个主要步骤： （1）构造或描述概率过程 对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。 2）实现从已知概率分布抽样 构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是（0，1）上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。由已知分布随机抽样有各种方法，与从(0,1)上均匀分布抽样不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。由此可见，随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。 （3）建立各种估计量 亚式期权论文：亚式期权概念及定价简析摘要：给出了亚式期权的基本概念并讨论了亚式期权的几种定价方法的优劣。 关键词：亚式期权；monte carlo；模拟；简析 一、引言 比标准欧式期权或美式期权和看跌期权盈亏状态更复杂的衍生证券有时称为新型期权。大多数新型期权在场外交易，它们是由金融机构设计以满足市场特殊需求的产品。本文的第一个目的，就是介绍新型期权的一种—亚式期权，这类期权在场外市场广受欢迎，但此类期权较难定价，本文的第二个目的，给出常见的亚式期权的定价方法并作一定的比较。 二、基本概念 亚式期权是市场上常用金融工具, 其到期收益函数与一特定时段内标的资产的某种形式的平均息息相关,即依赖于标的资产价格的某种平均值。可以是一段时间内的连续平均值,也可以是若干个时间点的离散平均值;可以是算术平均,也可以是几何平均. 每一个确定的平均类型都对应着两种亚式期权的形式,即平均资产价格与平均敲定价格,它们都具有欧式期权风格. 不同的是前者的收益函数是在欧式期权的收益函数中用平均值取代资产本身的价格;而后者的 收益函数是在欧式期权的收益函数中用平均值取代合约的敲定价格. 与普通的期权类似,每种亚式期权都具有看涨和看跌两种交易情形。以连续情形的标的资产价格平均值为例,用a 表示算术平均值, g表示几何平均值, s t表示时刻t的资产价格,服从几何布朗运动，则 对于算术平均情形,看涨平均资产价格期权的到期收益为max ( a - k ,0) ,开始时刻的期权价格为 对于几何平均情形,看涨平均资产价格期权的到期收益为max( g - k ,0) ,开始时刻的期权价格为 亚式期权的优点是可以缓解市场的投机行为，且相对于普通期权，价格较便宜，常利用其对冲指定时期的风险。但亚式期权的定价仍是个公开问题。假定标的资产价格s服从对数正态分布,一系列对数正态分布变量的几何平均仍服从对数正态分布,而相应算术平均没有可以解析处理的特性,故算术平均亚式期权比几何平均亚式期权的定价要困难得多。对几何平均亚式期权,我们已得到它的定价的解析解,但算术平均亚式期权很难存在这种解析解。 三、亚式期权定价分析 （一）连续型亚式期权的定价 kemna &vorst (1990)通过改变波动率和敲定价格提出 图1-1 蒙特卡罗方法学习总结 核工程与核技术2014级3班张振华20144530317 一、蒙特卡罗方法概述 1.1蒙特卡罗方法的基本思想 1.1.1基本思想 蒙特卡罗方的基本思想就是，当所求问题的解是某个事件的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或者是与概率、数学期望有关的量时，通过某种试验方法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。 1.1.2计算机模拟打靶游戏 为了能更为深刻地理解蒙特卡罗方法的基本思想，我们学习了蒲丰氏问题和打靶游戏两大经典例子。下面主要对打靶游戏进行剖析、计算机模拟（MATLAB 程序）。 设某射击运动员的弹着点分布如表1-1 所示， 首先用一维数轴刻画出已知该运动员的弹 着点的分布如图1-1所示。研究打靶游戏，我 们不用考察子弹的运动轨迹，只需研究每次“扣动扳机”后的子弹弹着点。每一环数对应唯一确定的概率，且注意到概率分布函数有单调不减和归一化的性质。首先我们产生一个在(0,1)上均匀分布的随机数（模拟扣动扳机），然后将该随机数代表的点投到P 轴上（模拟子弹射向靶上的一个确定点），得到对应的环数（即子弹的弹着点），模拟打靶完成。反复进行N 次试验，统计出试验结果的样本均值。样本均值应当等于数学期望值，但允许存在一定的偏差，即理论计算值应该约等于模拟试验结果。 clear all;clc; N=100000;s=0; for n=1:N %step 4.重复N 次打靶游戏试验 x=rand(); %step 1.产生在(0,1)上均匀分布的随机数if(x<=0.1) %step 2.若随机数落在(0.0,0.1)上，则代表弹着点在7环g=7; s=s+g; %step 3.统计总环数elseif(x<=0.2) %step 2.若随机数落在(0.1,0.2)上，则代表弹着点在8环g=8;s=s+g; elseif(x<=0.5) %step 2.若随机数落在(0.2,0.5)上，则代表弹着点在9环g=9;s=s+g; else %step 2.若随机数落在(0.5,1.0)上，则代表弹着点在10环 g=10;s=s+g; end end gn_th=7*0.1+8*0.1+9*0.3+10*0.5; %step 5.计算、输出理论值fprintf('理论值：%f\n',gn_th); gn=s/N; %step 6.计算、输出试验结果 fprintf('试验结果：%f\n',gn);1.2蒙特卡罗方法的收敛性与误差 1.2.1收敛性 由大数定律可知，应用蒙特卡罗方法求近似解，当随机变量Z 的简单子样数N 趋向于无穷大（N 充分大）时，其均值依概率收敛于它的数学期望。 1.2.2误差 由中心极限定理可知，近似值与真值的误差为N Z E Z N αλ<-)(?。式中的αλ的值可以根据给出的置信水平，查阅标准正态分布表来确定。 1.2.3收敛性与误差的关系 在一般情况下，求具有有限r 阶原点矩()∞ 第三章蒙特卡罗方法简介 3.1 Monte Carlo方法简介 Monte Carlo方法是诺斯阿拉莫斯实验室在总结其二战期间工作（曼哈顿计划）的基础上提出来的。Monte Carlo的发明，主要归功于Enrico Fermi、Von Neumann和Stanislaw Ulam等。自二战以来，Monte Carlo方法由于其在解决粒子输运问题上特有的优势而得到了迅速发展，并在核物理、辐射物理、数学、电子学等方面得到了广泛的应用。Monte Carlo的基本思想就是基于随机数选择的统计抽样，这和赌博中掷色子很类似，故取名Monte Carlo。 Monte Carlo方法非常适于解决复杂的三维问题，对于不能用确定性方法解决的问题尤其有用，可以用来模拟核子与物质的相互作用。在粒子输运中，Monte Carlo技术就是跟踪来自源的每个粒子，从粒子产生开始，直到其消亡（吸收或逃逸等）。在跟踪过程中，利用有关传输数据经随机抽样来决定粒子每一步的结果[6]。 3.2 Monte Carlo发展历程 MCNP程序全名为Monte Carlo Neutron and Photon Transport Code (蒙特卡罗中子-光子输运程序)。Monte Carlo模拟程序是在1940年美国实施“发展核武器计划”时，由洛斯阿拉莫斯实验室（LANL）提出的，为其所投入的研究、发展、程序编写及参数制作超过了500人年。1950年Monte Carlo方法的机器语言出现, 1963年通用性的Monte Carlo方法语言推出，在此基础上，20世纪70年代中期由中子程序和光子程序合并,形成了最初的MCNP程序。自那时起，每2—3年MCNP更新一次, 版本不断发展，功能不断增加，适应面也越来越广。已知的MCNP程序研制版本的更新时间表如下：MCNP-3：1983年写成，为标准的FORTRAN-77版本，截面采用ENDF /B2III。 MCNP-3A：1986年写成，加进了多种标准源，截面采用ENDF /B2I V[20]。 蒙特卡罗方法及应用 实验讲义 东华理工大学核工系 2016.8 实验一 蒙特卡罗方法基本思想 一、实验目的 1、了解蒙特卡罗方法方法的基本思想； 2、掌握蒙特卡罗方法计算面积、体积的方法； 3、掌握由已知分布的随机抽样方法。 二、实验原理 Monte Carlo 方法，又称统计模拟方法或计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”进行数值模拟的方法，一种采用统计抽样理论近似求解物理或数学问题的方法。 如待求量可以表述成某些特征量的期望值、某些事件出现的概率或两者的函数形式，那么可采用蒙特卡罗方法求解。在求解某些特征量的期望值或某些事件出现的概率时，必须构建合符实际的数学模型。例如采用蒙特卡罗方法计算某函数所围面积时，构建的数学模型是构造一已知面积的可均匀抽样区域，在该区域投点，由伯努利定理大数定理可知，进入待求区域投点的频率依概率1收敛于该事件出现的概率（面积之比）。 由已知分布的随机抽样方法指的是由已知分布的总体中抽取简单子样。具体方法很多，详见教材第三章。 三、实验内容 1、安装所需计算工具（MATLAB 、fortran 、C++等）； 2、学习使用rand(m,n)、unifrnd(a,b,m,n)函数 3、求解下列问题： 3.0、蒲丰氏投针求圆周率。 3.1、给定曲线y =2 – x 2 和曲线y 3 = x 2，曲线的交点为：P 1( – 1，1 )、P 2( 1，1 )。曲线围成平面有限区域，用蒙特卡罗方法计算区域面积； 3.2 、计算1z z ?≥??≤??所围体积 其中{(,,)|11,11,02}x y z x y z Ω=-≤≤-≤≤≤≤。 4、对以下已知分布进行随机抽样： 期权定价中的蒙特卡洛模拟方法 期权作为最基础的金融衍生产品之一，为其定价一直是金融工程的重要研究领域，主要使用的定价方法有偏微分方程法、鞅方法和数值方法。而数值方法又包括了二叉树方法、有限差分法和蒙特卡洛模拟方法。 蒙特卡洛方法的理论基础是概率论与数理统计，其实质是通过模拟标的资产价格路径预测期权的平均回报并得到期权价格估计值。蒙特卡洛方法的最大优势是误差收敛率不依赖于问题的维数，从而非常适宜为高维期权定价。 §1. 预备知识 ◆两个重要的定理：柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)强大数定律和莱维一林德贝格(Levy-Lindeberg)中心极限定理。 大数定律是概率论中用以说明大量随机现象平均结果稳定性的一系列极限定律。在蒙特卡洛方法中用到的是随机变量序列同分布的Kolmogorov 强大数定律： 设12,,ξξL 为独立同分布的随机变量序列，若 [],1,2,k E k ξμ=<∞=L 则有1 1(lim )1n k n k p n ξμ→∞===∑ 显然，若12,,,n ξξξL 是由同一总体中得到的抽样，那么由 此大数定律可知样本均值1 1n k k n ξ=∑当 n 很大时以概率1收敛于 总体均值μ。 中心极限定理是研究随机变量之和的极限分布在何种情形下是正态的，并由此应用正态分布的良好性质解决实际问题。 设12,,ξξL 为独立同分布的随机变量序列，若 2 [],[],1,2,k k E D k ξμξσ=<∞=<∞=L (0,1)n k d n N ξ μ -??→∑ 其等价形式为2 1 1lim ()exp(),2n x k k n t n P x dt x ξμσ =→∞ -∞ -≤= --∞<<∞∑?。 ◆Black-Scholes 期权定价模型 模型的假设条件： 1、标的证券的价格遵循几何布朗运动 dS dt dW S μσ=+ 其中，标的资产的价格S 是时间t 的函数，μ为标的资产 的瞬时期望收益率，σ为标的资产的波动率，dW 是维纳过程。 2、证券允许卖空、证券交易连续和证券高度可分。 3、不考虑交易费用或税收等交易成本。 4、在衍生证券的存续期内不支付红利。 5、市场上不存在无风险的套利机会。 6、无风险利率r 为一个固定的常数。 下面，通过构造标的资产与期权的资产组合并根据无套利定价原理建立期权定价模型。首先，为了得到期权的微分形式，先介绍随机微积分中的最重要的伊藤公式。 第八章蒙特卡洛期权定价方法在金融计算中蒙特卡洛模拟是一种重要的工具：可以用来评估投资组合管理规则、为期权定价、模拟套期保值交易策略、估计风险价值。蒙特卡洛方法主要的优势在于对大多数情况都适用、易于使用、灵活。它把随机波动性和奇异期权的很多复杂特性都考虑进去了，更倾向于使用处理高维问题，而网格和PDF分析框架却不适用。蒙特卡洛模拟潜在的劣势在于它的计算量大。多次的重复需要完善我们所关注的置信区间的估计。利用方差缩减技术和低差异序列可以部分的解决这个问题。本章的目的是解释这些技术在一些例子上的应用，包括一些路径依赖型期权。这章是第四章的延伸，在第四章里我们讨论了蒙特卡洛积分。需要强调的是蒙特卡洛方法是概念上的一个数字积分工具，即使我们适用更多的“模拟”或“抽样”。在使用低差异序列而不是伪随机生成时这需要牢记。 如果可能，我们可以把模拟的结果和分析公式进行比较。很明显我们这样做的目标是一个纯粹的教学。如果你要计算一个矩形房间的面积，你只需要用房间的长度乘以房间的宽度即可，而不必要计算有多少次一块标准砖与这个表面相匹配。尽管如此，你还是应该学会在一些简单案例中首先适用模拟的方法，在这些简单的例子中我们可以检验答案的一致性；更进一步，我们也要看为达到方差减小的目的分析公式可用于的模拟期权可能更有力的控制变量。 蒙特卡洛应用的出发点是生成样本路径，这个生成的样本路径给予一个描述价格（或利率）动态的随机微分方程。在8.1节我们解释几何布朗运动的路径生成；在一个具体例子中模拟两个对冲策略，我们也会讨论布朗桥，它是适时推进模拟样本的一个替代方案。在8.2节将讨论交换期权，它被用作为一个如何将这种方法推广到多维过程的一个简单实例。在8.3节我们考虑一个弱路径依赖型期权的例子，这是个下跌敲出看跌期权；我们加入了有条件的蒙特卡洛和为减小方差抽样的重要性。在 蒙特卡罗方法的解题过程可以归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。 蒙特卡罗方法解题过程的三个主要步骤： （1）构造或描述概率过程 对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。 （2）实现从已知概率分布抽样 构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是（0，1）上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。由已知分布随机抽样有各种方法，与从(0,1)上均匀分布抽样不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。由此可见，随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。 （3）建立各种估计量 一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求的问题的解，我们称它为无偏估计。建立各种估计量，相当于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解。 蒙特卡洛法模拟蒲丰（Buffon）投针实验-使用Matlab 2010年03月31日星期三8:47 蒲丰投针实验是一个著名的概率实验，其原理请参见此页： https://www.wendangku.net/doc/0715298544.html,/reese/buffon/buffon.html 现在我们利用Matlab来做模拟，顺便说一下，这种随机模拟方法便是传说中的“蒙特- 亚式期权定价研究综述 对亚式期权定价的文献进行分类整理，并就其中一些文献的观点进行分析评论。亚式期权是场外交易中几种最受欢迎的新型期权之一，但它的价格却没有解析表达式，到目前为止，亚式期权的定价仍是个公开问题。在尝试了大量研究之后，发现在很早之前提出来的Monte Carlo模拟法定价是算术平均亚式期权的较好近似。 标签：亚式期权；定价方法；文献综述 1引言 亚式期权(Asian options)作为新型期权中的一种，也称为平均期权，它实质上是欧式期权的一种创新。它与欧式期权的相同点在于它们都是只允许其投资者在到期日当天执行期权合同，不同点在于欧式期权是根据到期日当天的股价的高低来决定是否执行期权合同，而亚式期权是根据合同期内的股价的平均价格的高低来决定是否执行期权合同。由于欧式期权到期日的价值与路径无关，只依赖于到期日的股价，因此很难防止有人操纵到期日的价格进而从中套利，而亚式期权却是与路径相关的，使用它可以缓解投机行为。而且，与标准期权相比，亚式期权还有价格更便宜、可以用来对冲在指定时期内的风险的优点。 亚式期权是场外交易中几种最受欢迎的新型期权之一，但它的价格却没有解析表达式，到目前为止，亚式期权的定价仍是个公开问题。假定标的资产价格s 服从对数正态分布，因为一系列对数正态分布变量的几何平均仍服从对数正态分布。而相应算术平均没有可以解析处理的特性，故算术平均亚式期权比几何平均亚式期权的定价要困难得多。对几何平均亚式期权，我们已得到它的定价的(显式)解析解，但算术平均亚式期权很可能不存在这种(显式)解析解。然而，实际中常见的是算术平均亚式期权，几何平均亚式期权相对较少。因此，算术平均亚式期权的定价问题引起许多数理金融学家的注意，已有不少的近似解，但至今没有解析解，因而探寻其合理的价值估计方法成为期权理论的一个具有重要学术价值的题目。 2亚式期权定价 尽管亚式期权已经在实务界得到广泛应用，其准确的定价公式仍没有从理论上得到较好解决。对于亚式期权的估价问题，关键是如何确定股价平均价格A(T)的概率分布，这是得到解析定价公式的主要难点。许多学者从不同角度讨论了亚式期权的定价思路。 2.1国外研究 Kemna＆V orst(1990)通过改变波动率和敲定价格提出了一个几何平均期权的定价解析公式。几何平均期权可以用一个明确的解析式来计算，因为如果价格 蒙特卡罗(Monte Carlo)方法简介 蒙特卡罗(Monte Carlo)方法简介 蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，也称为计算机随机模拟方法，是一种基于"随机数"的计算方法。 一起源 这一方法源于美国在第二次世界大战进研制原子弹的"曼哈顿计划"。Monte Carlo方法创始人主要是这四位：Stanislaw Marcin Ulam, Enrico Fermi, John von Neumann（学计算机的肯定都认识这个牛人吧）和Nicholas Metropolis。 Stanislaw Marcin Ulam是波兰裔美籍数学家，早年是研究拓扑的，后因参与曼哈顿工程，兴趣遂转向应用数学，他首先提出用Monte Carlo方法解决计算数学中的一些问题，然后又将其应用到解决链式反应的理论中去，可以说是MC方法的奠基人；Enrico Fermi是个物理大牛，理论和实验同时都是大牛，这在物理界很少见，在“物理大牛的八卦”那篇文章里提到这个人很多次，对于这么牛的人只能是英年早逝了（别说我嘴损啊，上帝都嫉妒！）；John von Neumann可以说是计算机界的牛顿吧，太牛了，结果和Fermi一样，被上帝嫉妒了；Nicholas Metropolis，希腊裔美籍数学家，物理学家，计算机科学家，这个人对Monte Carlo方法做的贡献相当大，正式由于他提出的一种什么算法（名字忘了），才使得Monte Carlo方法能够得到如此广泛的应用，这人现在还活着，与前几位牛人不同，Metropolis很专一，他一生主要的贡献就是Monte Carlo方法。 蒙特卡罗方法的名字来源于摩纳哥的一个城市蒙地卡罗，该城市以赌博业闻名，而蒙特?罗方法正是以概率为基础的方法。与它对应的是确定性算法。 二解决问题的基本思路 Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的"频率"来决定事件的"概率"。19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π。本世纪40年代电子计算机的出现，特 材料五：蒙特卡洛方法模拟期权定价 1．蒙特卡洛方法模拟欧式期权定价 利用风险中性的方法计算期权定价： ?()rt T f e E f -= 其中，f 是期权价格，T f 是到期日T 的现金流，?E 是风险中性测度 如果标的资产服从几何布朗运动： dS Sdt sdW μσ=+ 则在风险中性测度下，标的资产运动方程为： 2 0exp[()]2T S S r T σ=-+ 对于欧式看涨期权，到期日欧式看涨期权现金流如下： 2 (/2)max{0,(0)}r T S e K σ-+- 其中，K 是执行价，r 是无风险利率，σ是标准差， ε是正态分布的随机变量。 对到期日的现金流用无风险利率贴现，就可知道期权价格。 例1 假设股票价格服从几何布朗运动，股票现在价格为50，欧式期权执行价格为52，无风险利率为0.1，股票波动标准差为0.4，期权的到期日为5个月，试用蒙特卡洛模拟方法计算该期权价格。 下面用MA TLAB 编写一个子程序进行计算： function eucall=blsmc(s0,K,r,T,sigma,Nu) %蒙特卡洛方法计算欧式看涨期权的价格 %输入参数 %s0 股票价格 %K 执行价 %r 无风险利率 %T 期权的到期日 %sigma 股票波动标准差 %Nu 模拟的次数 %输出参数 %eucall 欧式看涨期权价格 %varprice 模拟期权价格的方差 %ci 95%概率保证的期权价格区间 randn('seed',0); %定义随机数发生器种子是0, %这样保证每次模拟的结果相同 nuT=(r-0.5*sigma^2)*T sit=sigma*sqrt(T) discpayoff=exp(-r*T)*max(0,s0*exp(nuT+sit*randn(Nu,1))-K) %期权到期时的现金流 [eucall,varprice,ci]=normfit(discpayoff) %在命令窗口输入：blsmc(50,52,0.1,12/5,0.4,1000) 2． 蒙特卡洛方法模拟障碍期权定价 障碍期权，就是确定一个障碍值b S ，在期权的存续期内有可能超过该价格，也可能低于该价格，对于敲出期权而言，如果在期权的存续期内标的资产价格触及障碍值时，期权合同可以提前终止执行；相反，对于敲入价格，如果标的资产价格触及障碍值时，期权合同开始生效。 当障碍值b S 高于现在资产价格0S ，称上涨期权，反之称下跌期权。 对于下跌敲出看跌期权，该期权首先是看跌期权，股票价格是0S ，执行价格是K ，买入看跌期权就首先保证以执行价K 卖掉股票，下跌敲出障碍期权相当于在看跌期权的基础上附加提前终止执行的条款，内容是当股票价格触及障碍值b S 时看跌期权就提前终止执行。因为该期权对于卖方有利，所以其价格应低于看跌期权的价格。 对于下跌敲出看跌期权，该期权首先是看跌期权，股票价格是0S ，执行价格是K ，买入看跌期权就首先保证以执行价K 卖掉股票，下跌敲出障碍期权相当于在看跌期权的基础上附加提前终止执行的条款，内容是当股票价格触及障碍值b S 时看跌期权就提前终止执行。因为该期权对于卖方有利，所以其价格应低于看跌期权的价格。 对于下跌敲入看跌期权，该期权首先是看跌期权，下跌敲出障碍期权相当于在看跌期权的基础上附加提前何时生效的条款，内容是当股票价格触及障碍值b S 时看跌期权开始生效。 当障碍值b S 确定时，障碍期权存在解： 4275{()()[()()]}rT P Ke N d N d a N d N d -=--- 03186{()()[()()]}S N d N d b N d N d ---- 其中 212/0()r b S a S σ-+=， 212/0()r b S b S σ+=， 2 1d =(定价策略)期权定价中的蒙特卡洛模拟方法
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