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人教版初三数学二次函数知识点及难点总结

人教版初三数学二次函数知识点及难点总结
人教版初三数学二次函数知识点及难点总结

初三数学二次函数知识点总结

二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小.

当a>0时,二次函数图像向上开口;当a<0时,抛物线向下开口.

|a|越大,则二次函数图像的开口越小.

1、决定对称轴位置的因素

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.

当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号

可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab< 0 ),对称轴在y轴右.

事实上,b有其自身的几何意义:二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值.可通过对二次函数求导得到.

2、决定二次函数图像与y轴交点的因素

常数项c决定二次函数图像与y轴交点.

二次函数图像与y轴交于(0,c)

一、二次函数概念:

1.二次函数的概念:一般地,形如2

=++(a b c

y ax bx c

,,是常数,0

a≠)的函数,叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0

a≠,而b c,可以为零.二次函数的定义域是全体实数.

2. 二次函数2

=++的结构特征:

y ax bx c

⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2.

⑵a b c

,,是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式:2

=的性质:

y ax

a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。Array 2. 2

=+的性质:上加下减。

y ax c

3. ()2

=-的性质:左加右减。

y a x h Array 4. ()2

=-+的性质:

y a x h k

三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤:

方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下:

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二:

⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成

m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2)

⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成

c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2)

四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较

从解析式上看,()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配

方可以得到前者,即2

2424b ac b y a x a a -?

?=++

??

?,其中2

424b ac b h k a a

-=-=

,.

五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法

五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ,、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).

画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.

六、二次函数2y ax bx c =++的性质

1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b

x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???

,. 当2b

x a <-

时,y 随x 的增大而减小;当2b x a

>-时,y 随x 的增大而增大; 当2b

x a

=-时,y 有最小值

244ac b a -.

2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b

x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???

,. 当2b

x a <-

时,y 随x 的增大而增大;当2b x a

>-时,y 随x 的增大而减小; 当2b

x a

=-时,y 有最大值

244ac b a -.

七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠);

2. 顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);

3. 两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标). 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数

都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a 二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠.

⑴当0a >时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大; ⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大.

总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小.

2. 一次项系数b

在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在0a >的前提下,

当0b >时,02b

a

-<,即抛物线的对称轴在y 轴左侧; 当0b =时,02b

a

-=,即抛物线的对称轴就是y 轴; 当0b <时,02b

a

-

>,即抛物线对称轴在y 轴的右侧. ⑵ 在0a <的前提下,结论刚好与上述相反,即 当0b >时,02b

a

->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧; 当0b =时,02b

a

-=,即抛物线的对称轴就是y 轴; 当0b <时,02b

a

-

<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧. 总结起来,在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置.

ab 的符号的判定:对称轴a

b

x 2-

=在y 轴左边则0>ab ,在y 轴的右侧则0

⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0; ⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负. 总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置.

总之,只要a b c ,,都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的. 二次函数解析式的确定:

根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来

说,有如下几种情况:

1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;

3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式. 九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称

2y ax bx c =++关于x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---;

()2

y a x h k

=-+关于x 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =---;

2. 关于y 轴对称

2y ax bx c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+;

()2

y a x h k

=-+关于y 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =++;

3. 关于原点对称

2y ax bx c =++关于原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-; ()2y a x h k =-+关于原点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =-+-; 4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180°)

2

y ax bx c =++关于顶点对称后,得到的解析式是2

2

2b y ax bx c a

=--+-;

()2

y a x h k

=-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =--+.

5. 关于点()m n ,对称

()2

y a x h k

=-+关于点()m n ,对称后,得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-

根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的

原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.

十、二次函数与一元二次方程:

1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x 轴交点情况):

一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数:

① 当240b ac ?=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ,,,12()x x ≠,其中的12x x ,是

一元二次方程()2

00ax bx c a ++=≠的两根.这两点间的距离21AB x x =-.

② 当0?=时,图象与x 轴只有一个交点; ③ 当0?<时,图象与x 轴没有交点.

1' 当0a >时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y >; 2'

当0a <时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y <.

2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交,交点坐标为(0,)c ;

3. 二次函数常用解题方法总结:

⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;

⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ,b ,c 的符号,或由二次函数中a ,b ,c

的符号判断图象的位置,要数形结合;

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数;下面以0a >时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:

二次函数图像参考:

十一、函数的应用

二次函数应用??

???

刹车距离

何时获得最大利润最大面积是多少

2-3

2

y=-2x 2

y=3(x+4)2

2

y=3x 2

y=-2(x-3)2

二次函数考查重点与常见题型

1、考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如:

已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点, 则m 的值是 2、综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如:

如图,如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内,那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是( )

1、考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如:

已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为3

5=x ,求这条抛物线的解析式。

2、考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如:已知抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与x 轴的两个交点的横坐标是-1、3,与y 轴交点的纵坐标是-3

2

(1)确定抛物线的解析式;(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5.考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题。 【例题经典】

由抛物线的位置确定系数的符号

例1 (1)二次函数2y ax bx c =++的图像如图1,则点),(a

c b M 在( )

A .第一象限

B .第二象限

C .第三象限

D .第四象限

(2)已知二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图2所示,?则下列结论:①a 、b 同号;②当x=1和x=3时,函数值相等;③4a+b=0;④当y=-2时,x 的值只能取0.其中正确的个数是( )

A

.1个 B.2个 C.3个 D.4个

(1) (2)

【点评】弄清抛物线的位置与系数a,b,c之间的关系,是解决问题的关键.例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2,O)、(x1,0),且1O;③4a+c

④2a-b+1>O,其中正确结论的个数为( )A 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个

会用待定系数法求二次函数解析式

例 3.已知:关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2,且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为( )

A(2,-3) B.(2,1) C(2,3) D.(3,2)

答案:C

例4、如图(单位:m),等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动,直到AB与CD重合.设x秒时,三角形与正方形重叠部分的面积为ym2.

(1)写出y与x的关系式;

(2)当x=2,3.5时,y分别是多少?

(3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时,三角形移动了多长时间?求抛物线顶点坐标、对称轴.

例5、已知抛物线y=1

2

x2+x-5

2

(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴.

(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段AB的长.

【点评】本题(1)是对二次函数的“基本方法”的考查,第(2)问主要考查二次函数与一元二次方程的关系.

例6、“已知函数c

bx

x

y+

+

=2

2

1的图象经过点A(c,-2),

求证:这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。

(1)根据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式?若能,请写出求解过程,并画出二次函数图象;若不能,请说明理由。

(2)请你根据已有的信息,在原题中的矩形框中,填加一个适当的条件,把原题补充完整。

点评: 对于第(1)小题,要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式,就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用,再结合条件“图象经过点A (c ,-2)”,就可以列出两个方程了,而解析式中只有两个未知数,所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第(2)小题,只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第(1)小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件,可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标,可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。

[解答] (1)根据c bx x y ++=22

1

的图象经过点A (c ,-2),图象的对称轴是x=3,

得???

?

???=?

--=++,3212,

2212

b c bc c 解得???=-=.2,3c b

示。

所以所求二次函数解析式为.232

12+-=x x y 图象如图所

(2)在解析式中令y=0,得0232

12=+-x x ,解得.53,5321-=+=x x

所以可以填“抛物线与x 轴的一个交点的坐标是(3+)0,5”或“抛物线与x 轴的一个交点的坐标是).0,53(-令x=3代入解析式,得,2

5-=y 所以抛物线232

12+-=x x y 的顶点坐标为),2

5,3(-

所以也可以填抛物线的顶点坐标为)2

5,3(-等等。

函数主要关注:通过不同的途径(图象、解析式等)了解函数的具体特征;借助多种现实背景理解函数;将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型;渗透函数的思想;关注函数与相关知识的联系。

用二次函数解决最值问题

例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE (如图),其中AF=2,BF=1.试在AB 上求一点P ,使矩形PNDM 有最大面积.

【评析】本题是一道代数几何综合题,把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起,能很好考查学生的综合应用能力.同时,也给学生探索解题思路留下了思维空间.

例2 某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x (元)?与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表: 若日销售量y 是销售价x 的一次函数. (1)求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式; (2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元??此时每日销售利润是多少元? 【解析】(1)设此一次函数表达式为y=kx+b .则1

525,22

0k b k b +=??

+=? 解得k=-1,b=40,

?即一次函数表达式为y=-x+40.

(2)设每件产品的销售价应定为x 元,所获销售利润为w 元 w=(x-10)(40-x )=-x 2+50x-400=-(x-25)2+225.

产品的销售价应定为25元,此时每日获得最大销售利润为225元.

【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似,也有区别,主要有两点:(1)设未知数在“当某某为何值时,什么最大(或最小、最省)”的设问中,?“某某”要设为自变量,“什么”要设为函数;(2)?问的求解依靠配方法或最值公式,而不是解方程. 二次函数对应练习试题 一、选择题

1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )

A.(2,-11)

B.(-2,7)

C.(2,11)

D. (2,-3) 2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位,得到的抛物线是( )

A. 22(1)y x =-+

B. 22(1)y x =--

C. 221y x =-+

D. 221y x =-- 3.函数2y kx k =-和(0)k y k x

=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )

4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论:

①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )

A.1个

B.2个

C. 3个

D. 4个 5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标(-1,-3.2)及部

分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和( )

A.-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3

6. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则点(,)ac bc 在( )

A .第一象限

B .第二象限

C .第三象限

D .第四象限 7.方程22

2x x x

-=的正根的个数为( )

A.0个

B.1个

C.2个. 3 个

8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为

A. 22y x x =--

B. 22y x x =-++

C. 22y x x =--或22y x x =-++

D. 22y x x =---或22y x x =++ 二、填空题

9.二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =,则b =_______。

10.已知抛物线y=-2(x+3)2+5,如果y 随x 的增大而减小,那么x 的取值范围是_______. 11.一个函数具有下列性质:①图象过点(-1,2),②当x <0时,函数值y 随自变量x 的增大而增大;满足上述两条性质的函数的解析式是 (只写一个即可)。

12.抛物线22(2)6y x =--的顶点为C ,已知直线3y kx =-+过点C ,则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。

13. 二次函数2241y x x =--的图象是由22y x bx c =++的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= 。

14.如图,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是16米,跨度是40米,在线段AB 上离中心M 处5米的地方,桥的高度是 (π取3.14). 三、解答题:

15.已知二次函数图象的对称轴是30x +=,图象经过(1,-6),且与y 轴的交点为(0,52

-).

(1)求这个二次函数的解析式;

(2)当x 为何值时,这个函数的函数值为0?

(3)当x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值y 随x 的增大而增大?

16.某种爆竹点燃后,其上升高度h (米)和时间t (秒)符合关系式201

2

h v t gt =- (0

(1)这种爆竹在地面上点燃后,经过多少时间离地15米?

(2)在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内,判断爆竹是上升,或是下降,并说明理由.

17.如图,抛物线2y x bx c =+-经过直线3y x =-与坐标轴的两个交点A 、B ,此抛物线与x 轴的另一个交点为C ,抛物线顶点为D. (1)求此抛物线的解析式;

(2)点P 为抛物线上的一个动点,求使APC S ?:

ACD S ?=5 :4的点P 的坐标。

18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理).当每吨售价为260元时,月销售量为45

吨.该建材店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销.经

第15题图

市场调查发现:当每吨售价每下降10元时,月销售量就会增加7. 5吨.综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元.设每吨材料售价为x (元),该经销店的月利润为y (元). (1)当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量; (2)求出y 与x 的函数关系式(不要求写出x 的取值范围); (3)该建材店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元?

(4)小静说:“当月利润最大时,月销售额也最大.”你认为对吗?请说明理由. 练习试题答案 一,选择题、

1.A 2.C 3.A 4.B 5.D 6.B 7.C 8.C 二、填空题、

9.4b =- 10.x <-3 11.如224,24y x y x =-+=+等(答案不唯一) 12.1 13.-8 7 14.15 三、解答题

15.(1)设抛物线的解析式为2bx c y ax ++=,由题意可得 解得15,3,22a b c =-=-=- 所以215322y x x =---

(2)1x =-或-5 (2)3x <-

16.(1)由已知得,21

1520102

t t =-??,解得123,1t t ==当3t =时不合题意,舍去。所以当爆竹点燃后1秒离地15米.(2)由题意得,2520h t t =-+=25(2)20t --+,可知顶点的横坐标2t =,又抛物线开口向下,所以在爆竹点燃后的1.5秒至108秒这段时间内,爆竹在上升.

17.(1)直线3y x =-与坐标轴的交点A (3,0),B (0,-3).则9303

b c c +-=??

-=-?解得2

3b c =-??=?

所以此抛物线解析式为223y x x =--.(2)抛物线的顶点D (1,-4),与x 轴

32652b a a b c c ?-=-??++=-???=-?

的另一个交点C (-1,0).设P 2(,23)a a a --,则21

1(423):(44)5:422

a a ??--??=.化简得2235a a --=

当223a a -->0时,2235a a --=得4,2a a ==- ∴P (4,5)或P (-2,5) 当223a a --<0时,2235a a -++=即2220a a ++=,此方程无解.综上所述,满足条件的点的坐标为(4,5)或(-2,5).

18.(1)5.710

24026045?-+=60(吨).(2)260(100)(457.5)10

x y x -=-+?,化简得:

23

315240004y x x =-+-.

(3)240003154

32-+-=x x y 23(210)90754x =--+. 红星经销店要获得最大月利润,材料的售价应定为每吨210元. (4)我认为,小静说的不对. 理由:方法一:当月利润最大时,x 为210元,而对于月销售额)5.710

26045(?-+=x x W 2

3(160)

192004

x =--+来说,

当x 为160元时,月销售额W 最大.∴当x 为210元时,月销售额W 不是最大.∴小静说的不对.

方法二:当月利润最大时,x 为210元,此时,月销售额为17325元; 而当x 为200元时,月销售额为18000元.∵17325<18000, ∴当月利润最大时,月销售额W 不是最大.∴小静说的不对.

初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案

初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随 x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0.

中考数学知识点总结

中考数学知识点总结 一、常用数学公式 公式分类公式表达式 乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注:韦达定理 判别式 b2-4ac=0 注:方程有两个相等的实根 b2-4ac>0 注:方程有两个不等的实根 b2-4ac<0 注:方程没有实根,有共轭复数根 某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注:其中R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注:角B是边a和边c的夹角 二、基本方法 1、配方法 所谓配方,就是把一个解析式利用恒等变形的方法,把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中,用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法,它的应用十分非常广泛,在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法 因式分解,就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础,它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多,除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外,还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元,所谓换元法,就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子,使它简化,使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理

初三.二次函数知识点总结

二次函数知识点总结 二次函数知识点: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c , ,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项 系数0a ≠,而b c , 可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c , ,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结:

2. 2 =+的性质: y ax c 结论:上加下减。 总结:

3. ()2 =-的性质: y a x h 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 =-+的性质: y a x h k

总结: 1. 平移步骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法 如下:

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成 ()2 y a x h k =-+。 总结: 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者 通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式 2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧, 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c , 关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.

初三数学知识点归纳

北师大版初中数学定理知识点汇总[九年级(上册) 第一章 证明(二) ※等腰三角形的“三线合一”:顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ※等边三角形是特殊的等腰三角形,作一条等边三角形的三线合一线,将等边三角形分成两个全等的 直角三角形,其中一个锐角等于30o,这它所对的直角边必然等于斜边的一半。 ※有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。 ※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有: ①勾股定理:222c b a =+(注意区分斜边与直角边) ②在直角三角形中,如有一个内角等于30o,那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半(此定理将在第三章出现) ※垂直平分线.....是垂直于一条线段..并且平分这条线段的直线.. 。(注意着重号的意义) <直线与射线有垂线,但无垂直平分线> ※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 ※线段垂直平分线逆定理:到一条线段两端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。 ※三角形的三边的垂直平分线交于一点,并且这个点到三个顶点的距离相等。(如图1所示,AO=BO=CO ) A C O O A C D F

※角平分线上的点到角两边的距离相等。 ※角平分线逆定理:在角内部的,如果一点到角两边的距离相等,则它在该角的平分线上。 角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 ※三角形三条角平分线交于一点,并且交点到三边距离相等,交点即为三角形的内心。(如图2所示,OD=OE=OF) 第二章一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程,且都可以化为0 2= ax(a、b、c为 bx +c + 。 常数,a≠0)的形式,这样的方程叫一元二次方程 ...... ※把0 2= ax(a、b、c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式,a为二次bx +c + 项系数;b为一次项系数;c为常数项。

(完整版)初三数学二次函数所有经典题型

初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题: 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线,则m = . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ,与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点(-1,2),则它的解析式是 , 当x 时,y 随x 的增大而增大. 4.抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到. 5.抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 . 6.抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点,则=m . 7.抛物线m x x y +-=2 ,若其顶点在x 轴上,则=m . 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x =-2,且开口方向与形状与抛物线 相同,又过原点,那么a = ,b = ,c = . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示,则对称轴是 ,当函数值0y <时, 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A (-2,4)和 B (8,2),如上右图所示,则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题: 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A .2 1xy x += B . 2 20x y +-= C . 2 2y ax -=- D .2 2 10x y -+= 2 2 3x y -=

12.在同一坐标系中,作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象,它们共同特点是 ( ) A . 都是关于x 轴对称,抛物线开口向上 B .都是关于y 轴对称,抛物线开口向下 B . 都是关于原点对称,顶点都是原点 D .都是关于y 轴对称,顶点都是原点 13.抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点,则m 为( ) A .0 B .1 C .-1 D .±1 14.把二次函数122 --=x x y 配方成为( ) A .2 )1(-=x y B . 2)1(2--=x y C .1)1(2 ++=x y D .2)1(2 -+=x y 15.已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点,则m 的范围是( ) A . 1-m D . 2->m 16、函数2 21y x x =--的图象经过点( ) A 、(-1,1) B 、(1 ,1) C 、(0 , 1) D 、(1 , 0 ) 17、抛物线23y x =向右平移1个单位,再向下平移2个单位,所得到的抛物线是( ) A 、2 3(1)2y x =-- B 、23(1)2y x =+-C 、23(1)2y x =++ D 、2 3(1)2y x =-+ 18、已知h 关于t 的函数关系式2 12 h gt = ( g 为正常数,t 为时间)如图,则函数图象为 ( ) 19、下列四个函数中, 图象的顶点在y 轴上的函数是( ) A 、2 32y x x =-+ B 、25y x =- C 、2 2y x x = -+ D 、2 44y x x =-+ 20、已知二次函数2 y ax bx c =++,若0a <,0c >,那么它的图象大致是( ) 21、根据所给条件求抛物线的解析式: (1)、抛物线过点(0,2)、(1,1)、(3,5) (2)、抛物线关于y 轴对称,且过点(1,-2)和(-2,0) 22.已知二次函数c bx x y ++=2 的图像经过A (0,1),B (2,-1)两点. (1)求b 和c 的值; (2)试判断点P (-1,2)是否在此函数图像上? 23、某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌,广告设计费为每平方米1000元,设矩形一边

九年级上册数学知识点总结

九年级上册知识点总结 (数学) 2017年12月

第二十一章 一元二次方程 22.1 一元二次方程 知识点一 一元二次方程的定义 等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。 注意一下几点: ① 只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2;③是整式方程。 知识点二 一元二次方程的一般形式 一般形式:)0(02≠=++a c bx ax 其中,2ax 是二次项,a 是二次项系数; bx 是一次项,b 是一次项系数;c 是常数项。 知识点三 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 22.2 降次——解一元二次方程 22.2.1 配方法 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 (1) 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方。一般地,对于形如)0(2≥=a a x 的方程,根据平方根的定义可解得a x a x -=+=21 (2) 直接开平方法适用于解形如p x =2或 )0(2≠=+m p a mx )(形式的方程, 如果 p≥0,就可以利用直接开平方法。 (3) 用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。 (4) 直接开平方法解一元二次方程的步骤是:①移项;②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1;③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程;④解一元一次方程,求出原方程的根。 知识点二 配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为:一移、二除、三配、四开。 (1) 把常数项移到等号的右边; (2) 方程两边都除以二次项系数;

中考数学复习专题二次函数知识点归纳

二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: o o 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 2. 2y ax c =+的性质: 结论:上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0.

总结: 3. ()2 y a x h =-的性质: 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 总结: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

初中数学知识点总结(最新版)

中考数学知识点 知识点1:一元二次方程的基本概念 1.一元二次方程3x 2+5x-2=0的常数项是-2. 2.一元二次方程3x 2+4x-2=0的一次项系数为4,常数项是-2. 3.一元二次方程3x 2-5x-7=0的二次项系数为3,常数项是-7. 4.把方程3x(x-1)-2=-4x 化为一般式为3x 2-x-2=0. 知识点2:直角坐标系与点的位置 1.直角坐标系中,点A (3,0)在y 轴上。 2.直角坐标系中,x 轴上的任意点的横坐标为0. 3.直角坐标系中,点A (1,1)在第一象限. 4.直角坐标系中,点A (-2,3)在第四象限. 5.直角坐标系中,点A (-2,1)在第二象限. 知识点3:已知自变量的值求函数值 1.当x=2时,函数y=32-x 的值为 1. 2.当x=3时,函数y= 2 1-x 的值为1. 3.当x=-1时,函数y= 3 21-x 的值为1. 知识点4:基本函数的概念及性质 1.函数y=-8x 是一次函数. 2.函数y=4x+1是正比例函数. 3.函数x y 2 1-=是反比例函数. 4.抛物线y=-3(x-2)2-5的开口向下. 5.抛物线y=4(x-3)2-10的对称轴是x=3.

(1,2). 6.抛物线 2)1(2 1 2+-= x y 的顶点坐标是7.反比例函数x y 2=的图象在第一、三象限. 知识点5:数据的平均数中位数与众数 1.数据13,10,12,8,7的平均数是10. 2.数据3,4,2,4,4的众数是4. 3.数据1,2,3,4,5的中位数是3. 知识点6:特殊三角函数值 1.cos30°= 2 3. 2.sin 260°+ cos 260°= 1. 3.2sin30°+ tan45°= 2. 4.tan45°= 1. 5.cos60°+ sin30°= 1. 知识点7:圆的基本性质 1.半圆或直径所对的圆周角是直角. 2.任意一个三角形一定有一个外接圆. 3.在同一平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆. 4.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等. 5.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6.同圆或等圆的半径相等. 7.过三个点一定可以作一个圆. 8.长度相等的两条弧是等弧.

初中数学知识点总结

初中数学知识点总结 一、基本知识 ㈠、数与代数A、数与式: 1、有理数 有理数:①整数→正整数/0/负整数 ②分数→正分数/负分数 数轴:①画一条水平直线,在直线上取一点表示0(原点),选取某一长度作为单位长度,规定直线上向右的方向为正方向,就得到数轴。②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。③如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数,也称这两个数互为相反数。在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的两侧,并且与原点距离相等。④数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大。正数大于0,负数小于0,正数大于负数。 绝对值:①在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小,绝对值大的反而小。 有理数的运算: 加法:①同号相加,取相同的符号,把绝对值相加。②异号相加,绝对值相等时和为0;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。 减法:减去一个数,等于加上这个数的相反数。 乘法:①两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。 除法:①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。 乘方:求N个相同因数A的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫幂,A叫底数,N叫次数。 混合顺序:先算乘法,再算乘除,最后算加减,有括号要先算括号里的。 2、实数 无理数:无限不循环小数叫无理数 平方根:①如果一个正数X的平方等于A,那么这个正数X就叫做A的算术平方根。②如果一个数X的平方等于A,那么这个数X就叫做A的平方根。③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。④求一个数A的平方根运算,叫做开平方,其中A叫做被开方数。 立方根:①如果一个数X的立方等于A,那么这个数X就叫做A的立方根。②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。③求一个数A的立方根的运算叫开立方,其中A叫做被开方数。 实数:①实数分有理数和无理数。②在实数范围内,相反数,倒数,绝对值的意义和有理数范围内的相反数,倒数,绝对值的意义完全一样。③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。 3、代数式 代数式:单独一个数或者一个字母也是代数式。 合并同类项:①所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项。②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。③在合并同类项时,我们把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变。 4、整式与分式 整式:①数与字母的乘积的代数式叫单项式,几个单项式的和叫多项式,单项式和多项式统称整式。②一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。③一个多项式中,次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。整式运算:加减运算时,如果遇到括号先去括号,再合并同类项。 幂的运算:AM+AN=A(M+N) (AM)N=AMN (A/B)N=AN/BN 除法一样。 整式的乘法:①单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母的幂分别相乘,其余字母连同他的指数不变,作

二次函数知识点总结及典型题目

二次函数知识点总结及典型题目 一.定义: 一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数的图象是抛物线,所以也叫抛物线y=ax2+bx+c ;抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界,一半图象上坡,另一半图象下坡;其中c 叫二次函数在y 轴上的截距, 即二次函数图象必过(0,c )点. 二.二次函数2ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0

初三数学知识点归纳

初三数学知识点归纳 1过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9 同位角相等,两直线平行 10 内错角相等,两直线平行 11 同旁内角互补,两直线平行 12两直线平行,同位角相等 13 两直线平行,内错角相等 14 两直线平行,同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等

22边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形

最新史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结

二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0a 时,开口向上;当0

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法:a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ??? ? ? +=++=,∴顶点是),(a b ac a b 4422--,对称轴是直线a b x 2-=. (2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式,得到顶点为(h ,k ),对称轴是直线 h x =. (3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对 称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2 中,c b a ,,的作用 (1)a 决定开口方向及开口大小,这与2 ax y =中的a 完全一样. (2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是直线 a b x 2- =,故:①0=b 时,对称轴为y 轴;②0>a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧;③0c ,与y 轴交于正半轴;③0

人教版初三数学二次函数知识点及难点总结

初三数学二次函数知识点总结 二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小. 当a>0时,二次函数图像向上开口;当a<0时,抛物线向下开口. |a|越大,则二次函数图像的开口越小. 1、决定对称轴位置的因素 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置. 当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号 可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab< 0 ),对称轴在y轴右. 事实上,b有其自身的几何意义:二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值.可通过对二次函数求导得到. 2、决定二次函数图像与y轴交点的因素 常数项c决定二次函数图像与y轴交点. 二次函数图像与y轴交于(0,c) 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2 =++(a b c y ax bx c ,,是常数,0 a≠)的函数,叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0 a≠,而b c,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2 =++的结构特征: y ax bx c ⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2. ⑵a b c ,,是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.

二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2 =的性质: y ax a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。Array 2. 2 =+的性质:上加下减。 y ax c

【数学】初中数学知识点归纳总结(精华版)

(4)线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。 3、线段垂直平分线的性质定理及逆定理 垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。 线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。 考点二、角(3分) 1、角的度量:角的度量有如下规定:把一个平角180等分,每一份就是1度的角,单位是度,用“°”表示,1度记作“1°”,n度记作“n°”。 把1°的角60等分,每一份叫做1分的角,1分记作“1’”。 把1’ 的角60等分,每一份叫做1秒的角,1秒记作“1””。 1°=60’=60” 2、角的平分线及其性质 一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。 角的平分线有下面的性质定理: (1)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 (2)到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 第五章相交线与平行线 考点一、平行线(3~8分) 1、平行线公理及其推论 平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。 推论:如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。 2、平行线的判定 平行线的判定公理:同位角相等,两直线平行。 平行线的两条判定定理:(1)内错角相等,两直线平行。(2)同旁内角互补,两直线平行。 补充平行线的判定方法: (1)平行于同一条直线的两直线平行。(2)垂直于同一条直线的两直线平行。(3)平行线的定义。 3、平行线的性质(1)两直线平行,同位角相等。(2)两直线平行,内错角相等。(3)两直线平行,同旁内角互补。 考点二、命题、定理、证明(3~8分) 所谓正确的命题就是:如果题设成立,那么结论一定成立的命题。 所谓错误的命题就是:如果题设成立,不能证明结论总是成立的命题。 考点三、投影与视图(3分) 1、投影 投影的定义:用光线照射物体,在地面上或墙壁上得到的影子,叫做物体的投影。 平行投影:由平行光线(如太阳光线)形成的投影称为平行投影。 中心投影:由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。 2、视图 物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。 第六章实数 考点一、实数的倒数、相反数和绝对值(3分) 1、相反数 a+b=0,a=—b,反之亦成立。 2、绝对值:一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离,|a|≥0。零的绝对值时它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0。正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数,两

(完整)初三数学二次函数经典习题

初三数学二次函数综合练习 卷 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题: 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线,则m = . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ,与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点(-1,2),则它的解析式是 , 当x 时,y 随x 的增大而增大. 4.抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到. 5.抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 . 6.抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点,则=m . 7.抛物线m x x y +-=2 ,若其顶点在x 轴上,则=m . 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x =-2,且开口方向与形状与抛物线 相同,又过原点,那么a = ,b = ,c = . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示,则对称轴是 ,当函数值0y <时, 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A (-2,4)和 B (8,2),如上右图所示,则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题: 2 2 3x y -=

11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A .2 1xy x += B . 2 20x y +-= C . 2 2y ax -=- D .2 2 10x y -+= 12.在同一坐标系中,作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象,它们共同特点是 ( ) A . 都是关于x 轴对称,抛物线开口向上 B .都是关于y 轴对称,抛物线开口向下 B . 都是关于原点对称,顶点都是原点 D .都是关于y 轴对称,顶点都是原点 13.抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点,则m 为( ) A .0 B .1 C .-1 D .±1 14.把二次函数122 --=x x y 配方成为( ) A .2 )1(-=x y B . 2)1(2--=x y C .1)1(2 ++=x y D .2)1(2 -+=x y 15.已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点,则m 的范围是( ) A . 1-m D . 2->m 16、函数2 21y x x =--的图象经过点( ) A 、(-1,1) B 、(1 ,1) C 、(0 , 1) D 、(1 , 0 ) 17、抛物线23y x =向右平移1个单位,再向下平移2个单位,所得到的抛物线是( ) A 、2 3(1)2y x =-- B 、23(1)2y x =+-C 、23(1)2y x =++ D 、2 3(1)2y x =-+ 18、已知h 关于t 的函数关系式2 12 h gt = ( g 为正常数,t 为时间)如图,则函数图象为 ( ) 19、下列四个函数中, 图象的顶点在y 轴上的函数是( ) A 、2 32y x x =-+ B 、25y x =- C 、2 2y x x =- + D 、2 44y x x =-+ 20、已知二次函数2 y ax bx c =++,若0a <,0c >,那么它的图象大致是( ) 21、根据所给条件求抛物线的解析式: (1)、抛物线过点(0,2)、(1,1)、(3,5) (2)、抛物线关于y 轴对称,且过点(1,-2)和(-2,0) 22.已知二次函数c bx x y ++=2 的图像经过A (0,1),B (2,-1)两点.

新人教版初中数学知识点总结(完整版)

人教新版初中数学知识点总结(全面最新) 目录 一、七年级数学(上)知识点 1、有理数 2、整式的加减 3、一元一次方程 4、图形的认识初步 二、七年级数学(下)知识点 5、相交线与平行线 6、实数 7、平面直角坐标系 8、二元一次方程组 9、不等式与不等式组 10、数据的收集、整理与描述 三、八年级数学(上)知识点 11、三角形 12、全等三角形 13、轴对称 14、整式的乘除与分解因式 15、分式

四、八年级数学(下)知识点 16、二次根式 17、勾股定理 18、平行四边形 19、一次函数 20、数据的分析 五、九年级数学(上)知识点 21、一元二次方程 22、二次函数 23、旋转 24、圆 25、概率 六、九年级数学(下)知识点 26、反比例函数 27、相似 28、锐角三角函数 29、投影与视图 七年级数学(上)知识点

第一章 有理数 一. 知识框架 二.知识概念 1.有理数: (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数,都是有理数. (2)有理数的分类: ① ??? ?????? ????负分数负整数 负有理数零正分数正整数 正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 注意:0即不是正数,也不是负数; -a 不一定是负数,+a 也不一定是正数; π不是有理数; 2.数轴:数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3.相反数: (1)只有符号不同的两个数,互为相反数,即a 和- a 互为相反数;

0的相反数还是0; (2) a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值: (1)绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离; (2) ?? ???<-=>=) 0()0(0) 0(a a a a a a 或???<-≥=)0a (a ) 0a (a a 或???≤->=)0()0(a a a a a ; 正数的绝对值是其本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数; 绝对值的问题经常分类讨论,零既可以和正数一组也可以和负数一组; 5.有理数比大小: 两个负数比大小,绝对值大的反而小; 数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大; 大数-小数 > 0,小数-大数 < 0. 6.倒数:乘积为1的两个数互为倒数; 注意:0没有倒数; 若 a ≠0,那么a 的倒数是a 1; 若ab=1? a 、b 互为倒数; 若ab=-1? a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则: (1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加; (2)异号两数相加,取绝对值较大的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对

二次函数知识点汇总(全)

二次函数知识点(第一讲) 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质:(上加下减)

3. ()2 y a x h =-的性质:(左加右减) 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k , 处,具体平移方法如下:

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数() 2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到 前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方 向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为: 顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a =-时,y 有

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