2017-2018学年北师大版高中数学选修4-4全册同步配套教学案

2017-2018学年高中数学北师大版

选修4-4全册同步配套教学案

目录

第一章§1 平面直角坐标系

第一章§2 2.1、2.2 极坐标系的概念点的极坐标与直角坐标的互化第一章§2 2.3 直线和圆的极坐标方程

第一章§2 2.4、2.5曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化圆锥曲线统一的极坐标方程

第一章§3 柱坐标系和球坐标系

第一章章末复习课

第二章§1 参数方程的概念

第二章§2 2.1 直线的参数方程

第二章§2 2.2、2.3、2.4 圆的参数方程椭圆的参数方程双曲线的参数方程

第二章§3 参数方程化成普通方程

第二章§4 平摆线和渐开线

第二章章末复习课

§1平面直角坐标系

[对应学生用书P1]

[自主学习]

1．平面直角坐标系与曲线方程

(1)平面直角坐标系中点和有序实数对的关系：在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的． (2)平面直角坐标系中曲线与方程的关系：

曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下的关系：

①曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解； ②以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．

那么，方程f (x ，y )＝0叫作曲线C 的方程，曲线C 叫作方程f (x ，y )＝0的曲线． (3)一些常见曲线的方程： ①直线的方程：ax ＋by ＋c ＝0；

②圆的方程：圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2；

③椭圆的方程：中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1；

④双曲线的方程：中心在原点，焦点在x 轴上，实轴长为2a ，虚轴长为2b 的双曲线方程为x 2a 2－y 2

b 2＝1；

⑤抛物线的方程：顶点在原点，以x 轴为对称轴，开口向右，焦点到顶点距离为p

2的抛物线方程为y 2

＝2px .

2．平面直角坐标系中的伸缩变换

1．如何根据题设条件建立适当的平面直角坐标系？ 提示：①如果图形有对称中心，选对称中心为坐标原点； ②如果图形有对称轴，选对称轴为坐标轴； ③使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上；

④如果是圆锥曲线，所建立的平面直角坐标系应使曲线方程为标准方程． 2．平面直角坐标系中的伸缩变换可以改变图形的形状，那平移变换呢？ 提示：平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状、大小．

[对应学生用书P1]

的距离之和为12，求椭圆G 的方程．

(2)在边长为2的正△ABC 中，若P 为△ABC 内一点，且|P A |2＝|PB |2＋|PC |2，求点P 的轨迹方程，并画出方程所表示的曲线．

[思路点拨] 本题是曲线方程的确定与应用问题，考查建立平面直角坐标系、数形结合思想、曲线方程的求法及分析推理、计算化简技能、技巧等．解答此题中(1)需要根据已知条件用待定系数法求解；(2)需要先建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，用直接法求解，再根据方程判定曲线类型画出其表示的曲线．

[精解详析] (1)由已知设椭圆方程为 x 2a 2＋y 2

b 2

＝1(a >b >0)， 则2a ＝12，知a ＝6.又离心率e ＝c a ＝3

2，故c ＝3 3.

∴b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9. ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 2

9

＝1.

(2)以BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为原点，BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设P (x ，y )是轨迹上任意一点，又|BC |＝2，∴B (－1,0)，C (1,0)，则A (0，3)；

∵|P A |2＝|PB |2＋|PC |2，

∴x 2＋(y －3)2＝(x ＋1)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2. 化简得x 2＋(y ＋3)2＝4. 又∵P 在△ABC 内，∴y >0.

∴P 点的轨迹方程为x 2＋(y ＋3)2＝4(y >0)．

其曲线如上图所示为以(0，－3)为圆心，半径为2的圆在x 轴上半部分圆孤．

1．求曲线方程的方法：

(1)已知曲线类型求方程一般用待定系数法； (2)求动点轨迹方程常用的方法有：

①直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可直接求曲线的方程，步骤如下：

a ．建立适当的平面直角坐标系，并用(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标；

b ．写出适合条件P 的点M 的集合P ＝{M |P (M )}；

c ．用坐标表示条件P (M )，写出方程f (x ，y )＝0；

d ．化简方程f (x ，y )＝0；

e ．检验或证明d 中以方程的解为坐标的点都在曲线上，若方程的变形过程是等价的，则e 可以省略． ②定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程．

③代入法(相关点法)：如果动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 1，y 1)，而Q (x 1，y 1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x ，y ，x 1，y 1的方程组，利用x ，y 表示x 1，y 1，把x 1，y 1代入已知曲线方程即为所求．

④参数法：动点P (x ，y )的横坐标、纵坐标用一个或几个参数来表示，消去参数即得其轨迹方程． 2．根据曲线的方程画曲线时，关键根据方程判定曲线的类型，是我们熟知的哪种曲线，但要注意是曲线的全部还是局部．

1．在△ABC 中，底边BC ＝12，其他两边AB 和AC 上中线CE 和BD 的和为30，建立适当的坐标系，求此三角形重心G 的轨迹方程．

解：以BC 所在直线为x 轴，BC 边中点为原点，过原点且与BC 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系，

则B (6,0)，C (－6,0)，|BD |＋|CE |＝30， 可知|GB |＋|GC |＝2

3

(|BD |＋|CE |)＝20，

∴重心G 的轨迹是以(－6,0)，(6,0)为焦点，2a ＝20的椭圆，且y ≠0，其轨迹方程为：x 2100＋y 2

64＝1(x ≠±10)．

[例2] 如图，以Rt △ABC 的两条直角边AB ，和正方形BCFG ，连接EC ，AF ，且EC ，AF 交于点M ，连接BM .求证：BM ⊥AC .

[思路点拨] 本题考查坐标法在解决平面几何中垂直、平行、线段相等、平分等问题中的应用，解答此题需要先建立适当的平面直角坐标系，设出相关点的坐标，求出相关线的方程，求出k BM ，k AC ，证明k BM ·k AC ＝－1，即可．

形BCFG 的边长分别为a ，b ，则A (0，a )，B (0,0)，C (b,0)，E (－a ，a )，F (b ，－b )．

直线AF ：y ＋b a ＋b ＝x －b

0－b ，

即(a ＋b )x ＋by －ab ＝0； 直线EC ：y －0a －0＝x －b

－a －b ，

即ax ＋(a ＋b )y －ab ＝0.

解方程组?

???

?

(a ＋b )x ＋by －ab ＝0，ax ＋(a ＋b )y －ab ＝0，

得???

x ＝a 2b

a 2＋a

b ＋b 2

，y ＝

ab

2

a 2

＋ab ＋b 2

.

即M 点的坐标为????a 2

b a 2＋ab ＋b 2，ab

2

a 2＋a

b ＋b 2.

故k BM ＝b a .又k AC ＝0－a b －0＝－a

b ，

∴k BM ·k AC ＝－1， ∴BM ⊥AC .

坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步，通过代数运算解决代数问题；第三步，把代数运算结果翻译成几何结论．

2．已知正△ABC 的边长为a ，在平面上求一点P ，使|P A |2＋|PB |2＋|PC |2最小，并求出此最小值． 解：以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

则A ?

??

?

0，

32a ，B ????－a 2，0，C ????a 2，0. 设P (x ，y )， 则|P A |2＋|PB |2＋|PC |2 ＝x 2＋?

???y －

32a 2＋???

?x ＋a 22＋y 2＋????x －a 22＋y 2

＝3x 2

＋3y 2

－3ay ＋5a 2

4

＝3x 2＋3?

??

?y －

36a 2＋a 2≥a 2， 当且仅当x ＝0，y ＝

3

6

a 时，等号成立， ∴所求最小值为a 2，此时P 点坐标为P ?

??

?

0，

36a ，它是正△ABC 的中心．

[例3] 在下列平面直角坐标系中，分别作出x 25＋y 9＝1的图形．

(1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；

(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的2倍； (3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的1

2

倍．

[思路点拨] 本题考查平面直角坐标系中的伸缩变换对图形的影响及数形结合思想，解决此题只需根据坐标轴的伸缩变换找出变换后x 轴、y 轴单位长度的变化情况，再作出图形即可．

[精解详析] (1)建立平面直角坐标系使x 轴与y 轴具有相同的单位长度，则x 225＋y 2

9

＝1的图形如图①.

(2)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的12，则x 225＋y 2

9＝1的图形如图②.

(3)如果y 轴上的单位长度不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的12，则x 225＋y 2

9

＝1的图形如图③.

一般地，在平面直角坐标系xOy 中：

(1)使x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的k 倍(k >0)，则当k ＝1时，x 轴与y 轴具有相同的单位长度；

即为?

????

x ′＝x ，y ′＝y 的伸缩变换，当k >1时，相当于x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原

来的1

k ，即为?

????

x ′＝x ，y ′＝1k y 的伸缩变换，当0

度缩小为原来的k 倍，即为?

????

x ′＝kx ，y ′＝y 的伸缩变换．

(2)在平面经过伸缩变换，直线伸缩后仍为直线；圆伸缩后可能是圆或椭圆；椭圆伸缩后可能是椭圆或圆；双曲线伸缩后仍为双曲线；抛物线伸缩后仍为抛物线.

本例中若x 轴的单位长度为y 轴上单位长度的35，则椭圆x 225＋y 2

9＝1的图形如何？

解：如果y 轴上的单位长度不变，x 轴的单位长度缩小为原来的3

5，

即?????

x ′＝35x ，

y ′＝y ，

则x 225＋y 2

9

＝1的图形变为圆．

本课时主要考查平面直角坐标系中曲线的求解，常与平面几何知识结合．

[考题印证]

满足BQ

＝设λ>0，点A 的坐标为(1,1)，点B 在抛物线y ＝x 2上运动，点Q λQA ，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM ＝λMP ，求点

P 的轨迹方程．

[命题立意] 本题考查直线和抛物线的方程、平面向量的概念、性

质与运算、

动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养．

[自主尝试] 由QM ＝λMP

知Q ，M ，P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，

故可设P (x ，y )，Q (x ，y 0)，M (x ，x 2)， 则x 2－y 0＝λ(y －x 2)，即 y 0＝(1＋λ)x 2－λy .①

再设B (x 1，y 1)，由BQ ＝λQA

， 即(x －x 1，y 0－y 1)＝λ(1－x,1－y 0)，

解得?????

x 1＝(1＋λ)x －λ，y 1＝(1＋λ)y 0

－λ.②

将①式代入②式，消去y 0，得

?

????

x 1＝(1＋λ)x －λ，y 1＝(1＋λ)2x 2

－λ(1＋λ)y －λ.③ 又点B 在抛物线y ＝x 2上，所以y 1＝x 21， 再将③式代入y 1＝x 21，

得(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝[(1＋λ)x －λ]2， (1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝(1＋λ)2x 2－2λ(1＋λ)x ＋λ2， 2λ(1＋λ)x －λ(1＋λ)y －λ(1＋λ)＝0.

因λ>0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x －y －1＝0. 故所求点P 的轨迹方程为y ＝2x －1.

[对应学生用书P4]

一、选择题

1．方程x 2＋xy ＝0的曲线是( ) A ．一个点 B ．一条直线

C ．两条直线

D ．一个点和一条直线

解析：选C 方程变形为x (x ＋y )＝0，∴x ＝0或x ＋y ＝0，而方程x ＝0，x ＋y ＝0表示的是直线，∴C 正确．

2．已知△ABC 的底边BC 长为12，且底边固定，顶点A 是动点，且sin B －sin C ＝1

2sin A ，若以底边

BC 为x 轴、底边BC 的中点为原点建立平面直角坐标系，则点A 的轨迹方程是( )

A.x 29－y 2

27＝1 B.x 29－y 2

27＝1(x ＜－3) C.x 227－y 2

9

＝1 D.x 227－y 2

9

＝1(x ＜－3) 解析：选B 由题意知，B (－6,0)，C (6,0) 由sin B －sin C ＝12sin A 得b －c ＝1

2a ＝6，

即|AC |－|AB |＝6.

所以点A 的轨迹是以B (－6,0)，C (6,0)为焦点，2a ＝6的双曲线的左支且y ≠0.其方程为 x 29－y 2

27

＝1(x <－3)． 3．已知一椭圆的方程为x 216＋y 24＝1，如果x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的1

2，则该椭圆的形状为

( )

解析：选B 如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的1

2，则该椭圆的形状为

选项B 中所示．

4．平面内有一条固定线段AB ，|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，O 为AB 的中点，则|OP |的最小值是( )

A.32

B.12 C ．2

D ．3

解析：选A 以AB 的中点O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，

∴a ＝32

.

如图，则点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的一部分.2c ＝4，c ＝2,2a ＝3，

∴b 2＝c 2－a 2＝4－94＝7

4

.

∴点P 的轨迹方程为x 294－y 274

＝1(x ≥3

2)．

由图可知，点P 为双曲线与x 轴的右交点时，|OP |最小，|OP |的最小值是3

2.

二、填空题

5．已知点A (－2,0)，B (－3,0)，动点P (x ，y )满足PA ·

PB

＝x 2＋1，则点P 的轨迹方程是________． 解析：由题意得PA ＝(－2－x ，－y )，PB

＝(－3－x ，－y )． ∴PA ·

PB

＝(－2－x )(－3－x )＋(－y )2＝x 2＋1. 即y 2＋5x ＋5＝0. 答案：y 2＋5x ＋5＝0

6．在平面直角坐标系中，O 为原点，已知两点A (4,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC ＝m OA ＋n OB

，其

中m ，n ∈[0,1]，且m ＋n ＝1，则点C 的轨迹方程为________．

解析：由题意知，A ，B ，C 三点共线且C 在线段AB 上，点A ，B 所在的直线方程为2x ＋5y －13＝0，且点C 的轨迹为线段AB ，所以，点C 的轨迹方程为2x ＋5y －13＝0，x ∈[－1,4]．

答案：2x ＋5y －13＝0(－1≤x ≤4)

7．在平面直角坐标系中，设点P (x ，y )，定义|OP |＝|x |＋|y |，其中O 为坐标原点，对以下结论： ①符合|OP |＝1的点P 的轨迹围成图形面积为2；

②设P 为直线5x ＋2y －2＝0上任意一点，则|OP |的最小值为1；

③设P 为直线y ＝kx ＋b (k ，b ∈R )上任意一点，则“使|OP |最小的点P 有无数个”的必要不充分条件是“k ＝±1”．

其中正确的结论有________．(填序号) 解析：在①中，由于|OP |＝1 ??????

y ＝－x ＋1，0≤x ≤1，y ＝－x －1，－1≤x ≤0，y ＝x ＋1，－1≤x ≤0，y ＝x －1，0≤x ≤1，

其图像如图

故其面积为2×????1

2×2×1＝2. 故①正确． 在②中，当P ??

?

?

255，0时，|OP |＝|x |＋|y |＝255＜1， ∴|OP |的最小值不为1，故②错误． 在③中，∵|x |＋|y |≥|x ＋y |＝|(k ＋1)x ＋b |， 当k ＝－1时，|x |＋|y |≥|b |满足题意， 即|x |＋|y |≥|x －y |＝|(k －1)x －b |，

当k ＝1时，|x |＋|y |≥|b |满足题意，故③正确． 答案：①③

8．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a ＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：

①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；

③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于1

2a 2.

其中，所有正确结论的序号是________．

解析：因为原点O 到两个定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)的距离的积是1，而a ＞1，所以曲线C 不过原点，即①错误；因为F 1(－1,0)，F 2(1,0)关于原点对称，所以|PF 1||PF 2|＝a 2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2≤12|PF 1||PF 2|＝12a

2，即面积不大于1

2

a 2，所以③正确．

答案：②③ 三、解答题

9.如图所示，△ABC 中，角A ，B ，C 所对三边分别为a ，b ，c ，且B (－1，0)，

C (1,0)．

(1)求满足b >a >c ，b ，a ，c 成等差数列时，顶点A 的轨迹方程． (2)在x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的1

2倍的平面直角坐标系中

作出(1)中轨

迹．

解：(1)∵b ，a ，c 成等差数列， ∴b ＋c ＝2a ＝2×2＝4.

即|AB |＋|AC |＝4>|BC |＝2符合椭圆定义条件． 动点A (x ，y )的轨迹是椭圆，且

????? 2a ＝4，2c ＝2，∴?????

a ＝2，c ＝1，

∴A 点的轨迹方程是x 24＋y 2

3

＝1.

由于b >c ，即|AC |>|AB |，可知A 点轨迹是椭圆左半部分，还必须除去点(0，－3)，(0，3)． ∵A ，B ，C 构成三角形，∴必须除去点(－2,0)． ∴所求轨迹方程为x 24＋y 2

3

＝1 (－2

(2)如果y 轴上的单位长度不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的12，x 24＋y 2

3

＝1(－2

10．我海军某部发现，一艘敌舰从离小岛O 正东方向80 n mile 的B 处，沿东西方向向O 岛驶来，指挥部立即命令在岛屿O 正北方向40 n mile 的A 处的我军舰沿直线前往拦截，以东西方向为x 轴，南北方向为y 轴，岛屿O 为原点，建立平面直角坐标系并标出A ，B 两点，若敌我两舰行驶的速度相同，在上述坐标系中标出我军舰最快拦住敌舰的位置，并求出该点的坐标．

解：A ，B 两点如图所示，A (0,40)，

B (80,0)，

∴OA ＝40(n mile)，OB ＝80(n mile)． 我军舰直行到点C 与敌舰相遇， 设C (x,0)，

∴OC ＝x ，BC ＝OB －OC ＝80－x . ∵敌我两舰速度相同， ∴AC ＝BC ＝80－x .

在Rt △AOC 中，OA 2＋OC 2＝AC 2， 即402＋x 2＝(80－x )2，解得x ＝30. ∴点C 的坐标为(30,0)．

11.如图，椭圆C 0：x 2

a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0，a ，b 为常数)，动圆C 1：

x 2＋y 2＝t 21，b

C ，

D 四点．

(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；

(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四

点，其中

b

2为定值．

解：(1)设 A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y 1

x 1＋a (x ＋a )，①

直线A 2B 的方程为y ＝－y 1

x 1－a (x －a )．②

由①②得y 2

＝－y 21x 21－a

2(x 2－a 2

)．③ 由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故x 21a 2＋y 2

1b 2＝1.从而y 21＝b 2????1－x 21a 2，代入③得x 2a 2－y 2b

2＝1(x <－a ，y <0)．

(2)设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得4|x 1||y 1|＝4|x 2||y 2|，

故x 21y 21＝x 22y 2

2.

因为点A ，A ′均在椭圆上，所以 b 2x 21

????1－x 21a 2＝b 2x 22???

?1－x 2

2a 2. 由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 21＋x 22＝a 2.从而y 21＋y 22＝b 2， 因此t 21＋t 22＝a 2＋b 2为定值．

§2极_坐_标_系

2．1&2.2 极坐标系的概念 点的极坐标与直角坐标的互化

[对应学生用书P5]

[自主学习]

1．极坐标系的概念 (1)极坐标系：

在平面内取一个定点O ，叫作极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫作极轴；选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

(2)点的极坐标：对于平面上任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长，用θ表示以Ox 为始边，OM 为终边的角度，ρ叫作点M 的极径，θ叫作点M 的极角，有序实数对(ρ，θ)就叫作点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．

①特别地，当点M 在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值；

②点与极坐标的关系：平面内一点的极坐标可以有无数对，当k ∈Z 时，(ρ，θ)，(ρ，θ＋2k π)，(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)表示同一个点，如果规定ρ>0,0≤θ<2π或者－π<θ≤π，那么除极点外，平面内的点和极坐标就一一对应了．

2．点的极坐标与直角坐标的互化 (1)互化的前提条件：

①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合； ③两种坐标系取相同的长度单位． (2)极坐标与直角坐标的互化：

①将点M 的极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x ，y )的关系式为?

????

x ＝ρcos θ，

y ＝ρsin θ.

②将点的直角坐标(x [合作探究]，y )化为极坐标(ρ，θ)的关系式为?

???

?

ρ2＝x 2＋y 2

，tan θ＝y

x (x ≠0).

1．极坐标系与平面直角坐标系有什么区别和联系？

提示：区别：平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景，而极坐标以角和距离为背景． 联系：二者都是平面坐标系，用来研究平面内点与距离等有关问题．

2．点M (ρ，θ)关于极轴、极点以及过极点且垂直于极轴的直线的对称点的坐标各为什么？ 提示：(ρ，2π－θ)，(ρ，π＋θ)，(ρ，π－θ)．

3．把直角坐标转化为极坐标时，表示方法唯一吗？ 提示：通常有不同的表示法．(极角相差2π的整数倍)

[对应学生用书P6]

[例1] 在极坐标系中，画出点A ???1，π4，B ???2，3π2，C ???3，－π4，D ?

??4，9π4. [思路点拨] 本题考查极坐标系以及极坐标的概念，同时考查数形结合思想，解答此题需要先建立极坐标系，再作出极角的终边，然后以极点O 为圆心，极径为半径分别画弧，从而得到点的位置．

[精解详析] 在极坐标系中先作出π4线，再在π

4线上截取|OA |＝1，这样可得到点A ????1，π4.同样可作出点B ????2，3π2，C ????3，－π4，D ?

???4，9π

4，如图所示．

由极坐标确定点的位置的步骤 (1)取定极点O ；

(2)作方向为水平向右的射线Ox 为极轴；

(3)以极点O 为顶点，以极轴Ox 为始边，通常按逆时针方向旋转极轴Ox 确定出极角的终边； (4)以极点O 为圆心，以极径为半径画弧，弧与极角终边的交点即是所求点的位置．

1．在极坐标系中，作出以下各点：A (4,0)，B ????3，π4，C ????2，π2，D ????3，7π

4；结合图形判断点B ，D 的位置是否具有对称性；并求出B ，D 关于极点的对称点的极坐标．(限定ρ≥0，θ∈[0,2π))

解：如图，A ，B ，C ，D 四个点分别是唯一确定的．

由图形知B ，D 两点关于极轴对称，且B ，D 关于极点的对称点的极坐标分别为?

???3，5π4，????3，3π

4.

[例2] 已知A ???3，－π3，B ???1，2π

3，将A ，B 坐标化为直角坐标，并求A ，B 两点间的距离． [思路点拨] 本题考查如何将极坐标化为直角坐标，解答此题需要利用互化公式先将极坐标化为直角坐标，再由两点间的距离公式得结果．

[精解详析] 将A ????3，－π3，B ????1，2π

3由极坐标化为直角坐标， 对于点A ，有x ＝3cos ????－π3＝3

2， y ＝3sin ????－π3＝－332，∴A ????32

，－332. 对于点B ，有x ＝1×cos 2π3＝－12，y ＝1×sin 2π3＝3

2，

∴B (－12，3

2)．

∴|AB |＝

????32＋122＋???

?－332－322 ＝4＋12＝4.

1．将极坐标M (ρ，θ)化为直角坐标(x ，y )，只需根据公式：?

????

x ＝ρcos θ，

y ＝ρsin θ即可得到；

2．利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的极坐标问题转化为熟悉的直角坐标问题求解．

本例中如何由极坐标直接求A ，B 两点间的距离？ 解：根据M (ρ1，θ1)，N (ρ2，θ2)，则由余弦定理得：

|MN |＝ρ21＋ρ2

2－2ρ1ρ2cos (θ1－θ2)，

所以|AB |＝

32＋12－2×3×1×cos ???

?2π

3－???

?－π3＝4.

[例3] 分别将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ>0，(1)(－1,1)，(2)(－3，－1)．

[思路点拨] 本题考查如何将直角坐标化为极坐标，同时考查三角函数中由值求角问题，解答此题利用互化公式即可，但要注意点所在象限．

[精解详析] (1)∵ρ＝

(－1)2＋12＝2，

tan θ＝－1，θ∈[0,2π)， 又点(－1,1)在第二象限，

∴θ＝3π4

.

∴直角坐标(－1,1)化为极坐标为????2，3π4. (2)ρ＝(－3)2＋(－1)2＝2， tan θ＝－1－3＝3

3，θ∈[0,2π)，

∵点(－3，－1)在第三象限， ∴θ＝76

π.

∴直角坐标(－3，－1)化为极坐标为?

???2，7π6.

将点的直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)时，运用公式????

?

ρ＝x 2＋y 2

，tan θ＝y

x (x ≠0)

即可，在[0,2π)范围内，由tan θ＝y

x (x ≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征，判断出点所在象限，如果允许θ∈R ，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2k π，k ∈Z 即可．

2．将下列各点由直角坐标化为极径ρ是正值，极角在0到2π之间的极坐标． (1)(3，3)；(2)(－2，－23)．

解：(1)ρ＝32＋(3)2＝23，tan θ＝y x ＝3

3，

又点(3，3)在第一象限，所以θ＝π

6.

所以点(3，3)的极坐标为

23，π6

.

(2)ρ＝(－2)2＋(－23)2＝4， tan θ＝y x ＝－23－2

＝3，

又点(－2，－23)在第三象限，所以θ＝4π3.

所以点(－2，－23)的极坐标为?

???4，4π3.

本课时常考查极坐标的确定及点的直角坐标与极坐标的互化，特别是直角坐标化为极坐标常与三角知识交汇命题，更成为命题专家的新宠．

点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为( ) A.????2，π

3 B.????2，4π

3 C.?

???2，－π3 D.?

???2，－4π3 [命题立意] 本题主要考查点的极坐标与直角坐标 的互化，同时还考查了三角知识及运算解题能力． [自主尝试]

ρ＝12＋(－3)2＝2，tan θ＝－3

1

＝－3，

又点(1，－3)在第四象限，所以OP 与x 轴所成的角为

5π

3

，故点P 的一个极坐标为????2，5π3，排除A ，B 选项．又－43π＋2π＝23π，所以极坐标????2，－4π3所表示的点在第二象限，故D 不正确，而－π3＋2π＝5

3

π. [答案] C

[对应学生用书P8]

一、选择题

1．点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为( ) A.????2，π

4 B.????2，3π

4 C.?

???2，5π4 D.?

???2，7π4 解析：选B ρ＝(－2)2＋(2)2＝2， tan θ＝2

－2＝－1，

∵点P 在第二象限， ∴最小正角θ＝3π

4

.

2．在极坐标系中与点A ????3，－π

3关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是( ) A.????3，2π

3 B.????3，π

3 C.?

???3，4π3 D.?

???3，5π6 解析：选B 与点A ????3，－π3关于极轴所在直线的对称的点的极坐标可以表示为????3，2k π＋π

3(k ∈Z )，这时只有选项B 满足条件．

3．在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是A ????2，π4，B ?

???2，5π4，那么可能是顶点C 的坐标的是( )

A.????4，3π4

B.????23，3π

4 C.()23，π

D.()3，π

解析：选B 如图，由题设，可知A ，B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的

中点．

又|AB |＝4，△ABC 为正三角形，

∴|OC |＝23，∠AOC ＝π2，点C 的极角θ＝π4＋π2＝3π4或5π4＋π2＝7π

4，

即点C 的极坐标为?

???23，3π4或????23，7π4. 4．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( ) A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称

C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称

D ．两点重合

解析：选A 因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称．

二、填空题

5．将极轴Ox 绕极点顺时针方向旋转π

6得到射线OP ，在OP 上取点M ，使|OM |＝2，则ρ>0，θ∈[0,2π)

时点M 的极坐标为________，它关于极轴的对称点的极坐标为________(ρ>0，θ∈[0,2π))．

解析：ρ＝|OM |＝2，

与OP 终边相同的角为－π

6＋2k π(k ∈Z )．

∵θ∈[0,2π)，∴k ＝1，θ＝11π

6.∴M ????2，11π6. ∴M 关于极轴的对称点为(2，π

6)．

答案：????2，11π6 ????2，π6 6．点A ???

?5，π

3在条件： (1)ρ>0，θ∈(－2π，0)下的极坐标是________； (2)ρ<0，θ∈(2π，4π)下的极坐标是________．

解析：(1)当ρ>0时，点A 的极坐标形式为????5，2k π＋π

3(k ∈Z )， ∵θ∈(－2π，0)．令k ＝－1，点A 的极坐标为????5，－5π

3，符合题意． (2)当ρ<0时，????5，π3的极坐标的一般形式是?

???－5，(2k ＋1)π＋π

3(k ∈Z )．

∵θ∈(2π，4π)，当k ＝1时，点A 的极坐标为????－5，10π

3，符合题意． 答案：????5，－5π3 (2)?

???－5，10π

3 7．直线l 过点A ????7，π3，B ????7，π

6，则直线l 与极轴所在直线的夹角等于________． 解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后

根据点A ，B 的位置分析夹角大小．

因为|AO |＝|BO |＝7，∠AOB ＝π3－π6＝π

6，

所以∠OAB ＝π－

π62＝5π

12.

所以∠ACO ＝π－π3－5π12＝π

4.

答案：π4

8．已知两点的极坐标是A ????3，π12，B ????－8，π

12，则AB 中点的一个极坐标是________． 解析：画出示意图，A ，B 与极点O 共线，

∴ρ＝12(3－8)＝－5

2，

θ＝π12

. 故AB 中点的一个极坐标为????－52，π12. 答案：????－52，π

12 三、解答题

9．设有一颗彗星，围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于该抛物线的焦点处，当此彗星离地球30万千米时，经过地球和彗星的直线与抛物线对称轴的夹角为30°，试建立适当的极坐标系，写出彗星此时的极坐标．

解：如图所示，建立极坐标系，使极点O 位于抛物线的焦点处，极轴Ox 过抛物线的对称轴，由题设可得下列4种情形：

①当θ＝30°时，ρ＝30(万千米)； ②当θ＝150°时，ρ＝30(万千米)； ③当θ＝210°时，ρ＝30(万千米)； ④当θ＝330°时，ρ＝30(万千米)．

∴彗星此时的极坐标有4种情形：(30,30°)，(30,150°)，(30,210°)，(30,330°)． 10．在极坐标系中，点A 和点B 的极坐标分别为????2，π

3和(3,0)，O 为极点． (1)求|AB |；(2)求S △AOB .

解：|AB |＝ρ2

1＋ρ22－2ρ1ρ2cos (θ1－θ2)

＝

22＋32－2×2×3×cos ????

π3－0

＝4＋9－6＝7.

S △AOB ＝1

2|OA |·|OB |·sin ∠AOB

＝1

2×2×3×sin ????π3－0 ＝33

2

. 11．在极坐标系中，如果A ????2，π4，B ????2，5π

4为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C 的极坐标． 解：法一：对于A ????2，π4有ρ＝2，θ＝π

4， ∴x ＝ρcos θ＝2cos π

4＝2，

y ＝ρsin θ＝2sin π

4＝ 2.

∴A (2，2)．

对于B ????2，5π4有ρ＝2，θ＝54π. ∴x ＝2cos 5π

4＝－2，

y ＝2sin 5π

4＝－ 2.

∴B (－2，－2)．

设C 点的坐标为(x ，y )，由于△ABC 为等边三角形，故有|AB |＝|BC |＝|AC |. ∴有(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝(x －2)2＋(y －2)2 ＝(2＋2)2＋(2＋2)2.

∴有???

(x －2)2＋(y －2)2

＝16，(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝16.

解之得??? x ＝6，y ＝－6，或?

??

x ＝－6，y ＝ 6.

∴C 点的坐标为(6，－6)或(－6，6)．

(北师大版)高一数学必修1全套教案

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第一章集合 课题:§0 高中入学第一课（学法指导） 教学目标：了解高中阶段数学学习目标和基本能力要求，了解新课程标准的基本思路，了解高考意向，掌握高中数学学习基本方法，激发学生学习数学兴趣，强调布置有关数学学习要求和安排。 教学过程： 一、欢迎词： 1、祝贺同学们通过自己的努力，进入高一 级学校深造。希望同学们能够以新的行动， 圆满完成高中三年的学习任务，并祝愿同 学们取得优异成绩，实现宏伟目标。 2、同学们军训辛苦了，收获应是：吃苦耐 劳、严肃认真、严格要求 3、我将和同学们共同学习高中数学，暂定 一年，… 4、本节课和同学们谈谈几个问题：为什么 要学数学？如何学数学？高中数学知识结

构？新课程标准的基本思路？本期数学教 学、活动安排？作业要求？ 二、几个问题： 1.为什么要学数学：数学是各科之研究工具，渗透到各个领域；活脑，训练思维；计算机等高科技应用的需要；生活实践应用的需要。 2.如何学数学： 请几个同学发表自己的看法→共同完善归纳为四点：抓好自学和预习；带着问题认真听课；独立完成作业；及时复习。注重自学能力的培养，在学习中有的放矢，形成学习能力。 高中数学由于高考要求，学习时与初中有所不同，精通书本知识外，还要适当加大难度，即能够思考完成一些课后练习册，教材上每章复习参考题一定要题题会做。适当阅读一些课外资料，如订阅一份数学报刊，购买一本同步辅导资料. 3.高中数学知识结构： 书本：高一上期（必修①、②），高一下期（必

修③、④），高二上期（必修⑤、选修系列）， 高二下期（选修系列），高三年级：复习资 料。 知识：密切联系，必修（五个模块）＋选修系列（4个系列，分别有2、3、6、10个模块）能力：运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力、分析和解决实际问题的能力、应用能力。 4.新课程标准的基本理念： ①构建共同基础，提供发展平台；②提供多样课程，适应个性选择；③倡导积极主动、勇于探索的学习方式；④注重提高学生的数学思维能力；⑤发展学生的数学应用意识；⑥与时俱进地认识“双基”；⑦强调本质，注意适度形式化；⑧体现数学的文化价值；⑨注重信息技术与数学课程的整合；⑩建立合理、科学的评价体系。 5.本期数学教学、活动安排： 本期学习内容：高一必修①、②，共72课时，

北师大版高中数学必修1-知识点总结

高中数学必修1知识点 第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集， Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等

（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有 21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 B {|x x x ∈A A = ?=? B A ? A B B ? B {|x x x ∈A A = A ?= B A ?

B B ? ⑷ ⑼ 集合的运算律： 交换律： 结合律: 分配律: 0-1律： 等幂律： 求补律：A ∩ A ∪ =U 反演律： (A ∩B)=( A)∪( B) (A ∪B)=( A)∩( B) 第二章函数 §1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的 元 素，在集合B 中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射，那么和A 中的元素a 对应的 叫做象， 叫做原象。二、函数1．定义：设A 、B 是 ，f :A →B 是从A 到B 的一个映射，则映射f :A →B 叫做A 到B 的 ，记作 .2．函数的三要素为 、 、 ，两个函数当且仅当 分别相同 .;A B B A A B B A ==)()();()(C B A C B A C B A C B A ==)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A ==,,,A A A U A A U A U Φ =ΦΦ ===.,A A A A A A ==

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北师大版高中数学 必修1 全书目录： 第一章集合 §1 集合的含义与表示 §2 集合的基本关系 §3 集合的基本运算 阅读材料康托与集合论 第二章函数 §1 生活中的变量关系 §2 对函数的进一步认识 §3 函数的单调性 §4 二次函数性质的再研究 §5 简单的幂函数 阅读材料函数概念的发展 课题学习个人所得税的计算 第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数 §2 指数概念的扩充 §3 指数函数 §4 对数 §5 对数函数 §6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 阅读材料历史上数学计算方面的三大发明 第四章函数应用 §1 函数与方程 §2 实际问题的函数建模 阅读材料函数与中学数学 探究活动同种商品不同型号的价格问题 必修2 全书目录： 第一章立体几何初步 §1 简单几何体 §2 三视图 §3 直观图 §4 空间图形的基本关系与公理 §5 平行关系 §6 垂直关系 §7 简单几何体的面积和体积 §8 面积公式和体积公式的简单 应用 阅读材料蜜蜂是对的 课题学习正方体截面的形状 第二章解析几何初步 §1 直线与直线的方程 §2 圆与圆的方程 §3 空间直角坐标系 阅读材料笛卡儿与解析几何 探究活动1 打包问题 探究活动2 追及问题 必修3 全书目录 第一章统计 §1 统计活动：随机选取数字 §2 从普查到抽样 §3 抽样方法 §4 统计图表 §5 数据的数字特征 §6 用样本估计总体 §7 统计活动：结婚年龄的变化 §8 相关性 §9 最小二乘法 阅读材料统计小史 课题学习调查通俗歌曲的流行 趋势 第二章算法初步 §1 算法的基本思想 §2 算法的基本结构及设计 §3 排序问题 §4 几种基本语句 课题学习确定线段n等分点的 算法 第三章概率 §1 随机事件的概率 §2 古典概型 §3模拟方法――概率的应用 探究活动用模拟方法估计圆周 率∏的值 必修4 全书目录： 第一章三角函数 §1 周期现象与周期函数 §2 角的概念的推广 §3 弧度制 §4 正弦函数 §5 余弦函数 §6 正切函数 §7 函数的图像 §8 同角三角函数的基本关系 阅读材料数学与音乐 课题学习利用现代信息技术探 究的图像 第二章平面向量 §1 从位移、速度、力到向量 §2 从位移的合成到向量的加法 §3 从速度的倍数到数乘向量 §4 平面向量的坐标 §5 从力做的功到向量的数量积 §6 平面向量数量积的坐标表示 §7 向量应用举例 阅读材料向量与中学数学 第三章三角恒等变形 §1 两角和与差的三角函数 §2 二倍角的正弦、余弦和正切 §3 半角的三角函数 §4 三角函数的和差化积与积化 和差 §5 三角函数的简单应用 课题学习摩天轮中的数学问题 探究活动升旗中的数学问题

高中数学北师大版必修全册知识点总结

高中数学必修1知识点 第一章集合与函数概念 （1）集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). （6）子集、真子集、集合相等

（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. （8）交集、并集、补集

⑼ 集合的运算律： 交换律： 结合律: 分配律: 0-1律： 等幂律： 求补律：A ∩uA = A ∪CuA =U uU =u =U 反演律：u (A ∩B)=(u A)∪(u B) u (A ∪B)=(u A)∩(u B) .;A B B A A B B A Y Y I I ==)()();()(C B A C B A C B A C B A Y Y Y Y I I I I ==)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A Y I Y I Y I Y I Y I ==,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===I U I U .,A A A A A A ==Y I

高中数学目录——北师大版

北师大版高中数学必修一 ·第一章集合 · 1、集合的基本关系 · 2、集合的含义与表示 · 3、集合的基本运算 ·第二章函数 · 1、生活中的变量关系 · 2、对函数的进一步认识 · 3、函数的单调性 · 4、二次函数性质的再研究 · 5、简单的幂函数 ·第三章指数函数和对数函数 · 1、正整数指数函数 · 2、指数概念的扩充 · 3、指数函数 · 4、对数 · 5、对数函数 · 6、指数函数、幂函数、对数函数增·第四章函数应用 · 1、函数与方程 · 2、实际问题的函数建模 北师大版高中数学必修二 ·第一章立体几何初步 · 1、简单几何体 · 2、三视图 · 3、直观图 · 4、空间图形的基本关系与公理· 5、平行关系 · 6、垂直关系 · 7、简单几何体的面积和体积 · 8、面积公式和体积公式的简单应用·第二章解析几何初步 · 1、直线与直线的方程 · 2、圆与圆的方程 · 3、空间直角坐标系 北师大版高中数学必修三 ·第一章统计 · 1、统计活动：随机选取数字 · 2、从普查到抽样 · 3、抽样方法 · 4、统计图表 · 5、数据的数字特征

· 6、用样本估计总体 · 7、统计活动：结婚年龄的变化· 8、相关性 · 9、最小二乘法 ·第二章算法初步 · 1、算法的基本思想 · 2、算法的基本结构及设计 · 3、排序问题 · 4、几种基本语句 ·第三章概率 · 1、随机事件的概率 · 2、古典概型 · 3、模拟方法――概率的应用 北师大版高中数学必修四 ·第一章三角函数 · 1、周期现象与周期函数 · 2、角的概念的推广 · 3、弧度制 · 4、正弦函数 · 5、余弦函数 · 6、正切函数 · 7、函数的图像 · 8、同角三角函数的基本关系 ·第二章平面向量 · 1、从位移、速度、力到向量 · 2、从位移的合成到向量的加法· 3、从速度的倍数到数乘向量 · 4、平面向量的坐标 · 5、从力做的功到向量的数量积· 6、平面向量数量积的坐标表示· 7、向量应用举例 ·第三章三角恒等变形 · 1、两角和与差的三角函数 · 2、二倍角的正弦、余弦和正切· 3、半角的三角函数 · 4、三角函数的和差化积与积化和差· 5、三角函数的简单应用 北师大版高中数学必修五 ·第一章数列 · 1、数列的概念 · 2、数列的函数特性 · 3、等差数列

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北师大版(新课标)高中数学课本目录大全（含必修和选修） 北师大必修 《数学1(必修)》 全书目录： 第一章集合 §1 集合的含义与表示 §2 集合的基本关系 §3 集合的基本运算 阅读材料康托与集合论 第二章函数 §1 生活中的变量关系 §2 对函数的进一步认识 §3 函数的单调性 §4 二次函数性质的再研究 §5 简单的幂函数 阅读材料函数概念的发展 课题学习个人所得税的计算 第三章指数函数和对数函数 §1 正整数指数函数 §2 指数概念的扩充 §3 指数函数 §4 对数 §5 对数函数 §6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 阅读材料历史上数学计算方面的三大发明 第四章函数应用 §1 函数与方程 §2 实际问题的函数建模 阅读材料函数与中学数学 探究活动同种商品不同型号的价格问题

必修2 全书目录： 第一章立体几何初步 §1 简单几何体 §2 三视图 §3 直观图 §4 空间图形的基本关系与公理 §5 平行关系 §6 垂直关系 §7 简单几何体的面积和体积 §8 面积公式和体积公式的简单应用阅读材料蜜蜂是对的 课题学习正方体截面的形状 第二章解析几何初步 §1 直线与直线的方程 §2 圆与圆的方程 §3 空间直角坐标系 阅读材料笛卡儿与解析几何 探究活动1 打包问题 探究活动2 追及问题 必修3 全书目录 第一章统计 §1 统计活动：随机选取数字 §2 从普查到抽样 §3 抽样方法 §4 统计图表 §5 数据的数字特征 §6 用样本估计总体 §7 统计活动：结婚年龄的变化 §8 相关性 §9 最小二乘法 阅读材料统计小史 课题学习调查通俗歌曲的流行趋势 第二章算法初步 §1 算法的基本思想 §2 算法的基本结构及设计

北师大版高一数学必修1试题及答案

高一数学必修1质量检测试题（卷） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至6页。考试结束后. 只将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。 一、选择题：本答题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．集合｛0,1｝的子集有 （ ）个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2．已知集合2 {|10}M x x =-=，则下列式子正确的是 A ．{1}M -∈ B ． 1 M ? C ． 1 M ∈－ D ． 1 M ?－ 3．下列各组函数中，表示同一函数的是 A ．1y =与0y x = B ．4lg y x =与2 2lg y x = C ．||y x =与2 y = D ．y x =与ln x y e = 4.设集合{(,)|46},{(,)|53}A x y y x B x y y x ==-+==-，则B A = A ．{x =1，y =2} B ．{（1，2）} C ．{1，2} D ．（1，2） 5. 函数()ln 28f x x x =+-的零点一定位于区间 A. (1, 2) B. (2 , 3) C. (3, 4) D. (4, 5) 6．二次函数2 ()23f x x bx =++()b R ∈零点的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．以上都有可能 7.设 ()x a f x =（a>0，a ≠1），对于任意的正实数x ，y ，都有 A.()()()f xy f x f y = B. ()()()f xy f x f y =+ C.()()()f x y f x f y += D. ()()()f x y f x f y +=+

北师大版高中数学课本目录(含重难点及课时分布)

高中数学课本内容及其重难点北师大版高中数学必修一 ·第一章集合（考点的难度不是很大，是高考的必考点） · 1、集合的基本关系 · 2、集合的含义与表示 · 3、集合的基本运算（重点） （2课时） ·第二章函数 · 1、生活中的变量关系 · 2、对函数的进一步认识 · 3、函数的单调性（重点） · 4、二次函数性质的再研究（重点） · 5、简单的幂函数 （5课时） ·第三章指数函数和对数函数 · 1、正整数指数函数 · 2、指数概念的扩充 · 3、指数函数（重点） · 4、对数 · 5、对数函数（重点） · 6、指数函数、幂函数、对数函数增减性（重点） （3课时） ·第四章函数应用 · 1、函数与方程 · 2、实际问题的函数建模 （2课时） 北师大版高中数学必修二 ·第一章立体几何初步 · 1、简单几何体 · 2、三视图（重点） · 3、直观图（1课时） · 4、空间图形的基本关系与公理（重点） · 5、平行关系（重点）

· 6、垂直关系（重点） · 7、简单几何体的面积和体积（重点） · 8、面积公式和体积公式的简单应用（重点、难点）（4课时） ·第二章解析几何初步 · 1、直线与直线的方程 · 2、圆与圆的方程 · 3、空间直角坐标系 （4课时） 北师大版高中数学必修三 ·第一章统计 · 1、统计活动：随机选取数字 · 2、从普查到抽样 · 3、抽样方法 · 4、统计图表 · 5、数据的数字特征（重点） · 6、用样本估计总体 · 7、统计活动：结婚年龄的变化 · 8、相关性 · 9、最小二乘法 （3课时） ·第二章算法初步 · 1、算法的基本思想 · 2、算法的基本结构及设计（重点） · 3、排序问题（重点） · 4、几种基本语句 （2课时） ·第三章概率 · 1、随机事件的概率（重点） · 2、古典概型（重点） · 3、模拟方法――概率的应用（重点、难点） （4课时） 北师大版高中数学必修四 ·第一章三角函数 · 1、周期现象与周期函数

高中数学北师大版必修1 全册 知识点总结

高中数学北师大版必修1 全册 知识点总结 第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集；N *或N +表示正整数集；Z 表示整数集；Q 表示有理数集；R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈；或者a M ?；两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来；写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}；其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等

（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素；则它有2n 个子集；它有21n -个真子集；它有21n -个非空子集；它有22n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集

A B B ?U 补集 {|,}x x U x A ∈?且%1 （ %1 %1 %1 %1 ⑼ 集合的运算律： 交换律：.;A B B A A B B A Y Y I I == 结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A Y Y Y Y I I I I == 分配律:)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A Y I Y I Y I Y I Y I == 0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===I U I U 等幂律：.,A A A A A A ==Y I 求补律：A ∩ A ∪=U 反演律：(A ∩B)=(A)∪(B) (A ∪B)=(A)∩(B) 第二章函数 §1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合；如果按照某种对应关系f ；对于集合A 中的 元素；在集合B 中都有 元素和它对应；这样的对应叫做 到 的映射；记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射；那么和A 中的元素a 对应的 叫做象； 叫做原象.二、函数1．定义：设A 、B 是 ；f :A →B 是从A 到B 的一个映射；则映射f :A →B 叫做A 到B 的 ；记作 .2．函数的三要素为 、 、 ；两个函数当且仅当 分别相

北师大版高中数学必修知识点总结

北师大版高中数学必修3知识与题型归纳 第一章《统计》知识与题型归纳复习 （一）、抽样方法 1、简单随机抽样 （1）、相关概念：总体、个体、样本、样本容量。（2）、基本思想：用样本估计总体。 （3）、简单随机抽查概念。一般的，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本)(N n ≤ ，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽 样。其特点：①总体个数有限；②逐个抽取；③不放回抽样；④等可能抽样。 （4）、抽样方法：①抽签法；②随机数表。 2、系统抽样 （1）、定义：当总体元素个数很大时，样本容量不宜太小，这时可将总体分为均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本（等距抽样）。 （2）、步骤：①编号；②分段；③不确定起始个体编号；④按规则抽取。 3、分层抽样 （1）、定义：当总体由差异明显的几部分组成时，为了使抽取的样本更好的反应总体情况，我们经常将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样。 适用特征①总体由差异明显的几部分组成；②分成的各层互不重叠；③各层抽取的比例等于样本客样在总体中的比例，即 N n 。 （二）、用样本的频率分布估计总体的分布（统计图表） 1、列频率分布表，画频率分布直方图： （1）计算极差（2）决定组数和组距（3）决定分点（4）列频率分布表（5）画频率分布直方图 2、茎叶图；3、扇形图； 4、条形图；5、折线图； 6、散点图。 （三）、用样本的数字特征估计总体的数字特征 1、有关概念 （1）、众数：频率分布最大值所对应的样本数据（或出现最多的那个数据）。 （2）、中位数：累积频率为0.5时，所对应的样本数据。 （3）、平均数：)(1 21n x x x n x +++= Λ （4）、三个概念的区别：①都是描述一组数据集中趋势的量，平均数较重要。②平均数的大小与每个数相关。③众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，众数更能反映问题，中位数仅与排列有关。 2、样本方差与样本标准差 1样本方差：( )()( )[]2 22212 1 x x x x x x n S n -++-+-=Λ样本方差大说明样本差异和波动性大。 （2）、样本标准差：方差的算术平方根( )()( )[]2 22211 x x x x x x n S n -++-+-= Λ （3）、要有单位，方差的单位是原数据的单位的平方，标准差的单位与原数据单位同。 （四）、变量的相关性： 1、变量与变量之间存在着的两种关系①函数关系：确定性关系。②相关关系：自变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系。

北师大版高中数学课本目录标准版

必修1 第一章集合 §1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算交集与并集全集与补集 第二章函数 §1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识函数概念函数的表示法映射 §3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究二次函数的图像二次函数的性质§5 简单的幂函数 课题学习个人所得税的计算 第三章指数函数和对数函数 §1 正整数指数函数§2 指数扩充及其运算性质指数概念的扩充指数运算的性质§3指数函数指数函数的概念指数函数和的图像和性质指数函数的图像和性质§4 对数 对数及其运算换底公式§5 对数函数对数函数的概念y=log2x的图像和性质对数函数的图像和性质§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 第四章函数应用 §1 函数与方程利用函数性质判定方程解的存在利用二分法求方程的近似解 §2 实际问题的函数建模实际问题的函数刻画用函数模型解决实际问题函数建模案例 必修2 第一章立体几何初步 §1 简单几何体简单旋转体简单多面体§2 直观图§3 三视图简单组合体的三视图由三视图还原成实物图§4 空间图形的基本关系与公理空间图形基本关系的认识空间图形的公理§5 平行关系平型关系的判定平行关系的性质§6 垂直关系垂直关系的判定垂直关系的性质§7 简单几何体的面积和体积简单几何体的侧面积棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积课题学习正方体截面的形状

第二章解析几何初步 §1 直线与直线的方程直线的倾斜角和斜率直线的方程两条直线的位置关系两条直线的交点平面直角坐标系中的距离公式§2 圆与圆的方程圆的标准方程圆的一般方程直线与圆、圆与圆的位置关系§3 空间直角坐标系空间直角坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标空间两点间的距离公式 必修3 第一章统计 §1 从普查到抽样§2 抽样方法简单随机抽样分层抽样与系统抽样§3 统计图表§4 数据的 数字特征平均数、中位数、众数、极差、方差标准差§5 用样本估计总体估计总体的分布估计总体的数字特征§6 统计活动：结婚年龄的变化§7 相关性§8 最小二乘估计 第二章算法初步 §1 算法的基本思想算法案例分析排序问题与算法的多样性§2 算法框图的基本结构及设计顺序结构与选择结构变量与赋值循环结构§3 几种基本语句条件语句循环语句 第三章概率 §1 随机事件的概率频率与概率生活中的概率§2 古典概型古典概型的特征和概率计算公式建立概率模型互斥事件§3 模拟方法—概率的应用 必修4 第一章三角函数 §1 周期现象§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式任意角的正弦函数、余弦函数的定义单位圆与周期性单位圆与诱导公式§5 正弦函数的性质与图像 从单位圆看正弦函数的性质正弦函数的图像正弦函数的性质§6 余弦函数的性质与图像正弦函数的图像正弦函数的性质§7 正切函数正切函数的定义正切函数的图像与性质正切函数的诱导公式§8 函数y=Asin 的图像§9 三角函数的简单应用

2017新版北师大版小学数学教材内容整合

北师大版小学数学教材内容整合 册别单 元 内 容 版 块 标题课题摘要 一年级上册 前言数学来源于生活 第 一 单 元 生 活 中 的 数 数 与 代 数 1、可爱的校园10以内的个数有什么，有多少，数一数 2、快乐的家园数的意义1、2、 3、4分别可以表示什么。 3、玩具5以内的数数一数，说一说，写一写 4、小猫钓鱼0的认识生活中用到0的地方 5、文具6—10的认识数一数，写一写，6—10分别可以 表示什么。 第 二 单 元 比 较 统 计 与 概 率 1、动物乐园比多少知道符号>,=,<的意义；会读，会写 2、高矮比高矮谁高谁矮，比一比 3、轻重比轻重说一说、掂一掂、称一称 第 三 单 元 加 减 法 （ 一 ） 数 与 代 数 1、有几支铅笔什么是加法认识加号，理解加号的意义，会读 加法算式。 2、有几辆车加法交换律a+b=b+a；两个数相加，交换加数 的位置，和不变。 3、摘果子什么是减法认识减号，理解减号的意义，会读 减法算式。 4、小猫吃鱼得数是0的减法依次减，直到减到0为止。 练习一5以内的加减法 5、猜数游戏做加法想减法，做减法想加法 6、跳绳8和9的加减法数一数，算一算 7、可爱的企鹅8、9的应用题 练习二9以内的加减法 8、分苹果10的加减法10个苹果分成两堆，每堆有几个？ 9、操场上求谁多谁少的应用题甲比乙多4→乙比甲少4 10、乘车一位数加减混合运算从前往后，依次计算 练习三10的加减法，加减混合运算整理与复习（一）0—10加减法表 11、大家来锻炼生活中处处有数学 第 四 单 元 分 类 统 计 与 概 率 1、整理房间大分类怎样整理，分类依据 2、整理书包小分类怎样整理，分类依据 第 五 单 元 位 置 与 顺 序 空 间 与 图 形 1、前后森林运动会，看图说一说 2、上下看图填一填，说一说 3、左右要发言的请举右手，另一只手是？ 4、教室前后左右上下说一说教室里面有什么，是怎样摆 放的？

北师大版高中数学必修必修课后习题答案

第一章 算法初步 1．1算法与程序框图 练习（P5） 1、算法步骤：第一步，给定一个正实数r . 第二步，计算以r 为半径的圆的面积2 S r π=. 第三步，得到圆的面积S . 2、算法步骤：第一步，给定一个大于1的正整数n . 第二步，令1i =. 第三步，用i 除n ，等到余数r . 第四步，判断“0r =”是否成立. 若是，则i 是n 的因数；否则，i 不是n 的因数. 第五步，使i 的值增加1，仍用i 表示. 第六步，判断“i n >”是否成立. 若是，则结束算法；否则，返回第三步. 练习（P19） 算法步骤：第一步，给定精确度d ，令1i =. 第二步，取出 的到小数点后第i 位的不足近似值，赋给a 的到小数点后 第i 位的过剩近似值，赋给b . 第三步，计算55b a m =-. 第四步，若m d <，则得到5a ；否则，将i 的值增加1，仍用i 表示.返 回第二步. 第五步，输出5a .

程序框图：

习题1.1 A 组（P20） 1、下面是关于城市居民生活用水收费的问题. 为了加强居民的节水意识，某市制订了以下生活用水收费标准：每户每月用水未超过7 m 3时，每立方米收费1.0元，并加收0.2元的城市污水处理费；超过7m 3的部分，每立方收费1.5元，并加收0.4元的城市污水处理费. 设某户每月用水量为x m 3，应交纳水费y 元， 那么 y 与x 之间的函数关系为 1.2,07 1.9 4.9,7x x y x x ≤≤?=? ->? 我们设计一个算法来求上述分段函数的值. 算法步骤：第一步：输入用户每月用水量x . 第二步：判断输入的x 是否不超过7. 若是，则计算 1.2y x =； 若不是，则计算 1.9 4.9y x =-. 第三步：输出用户应交纳的水费 y . 程序框图： 2、算法步骤：第一步，令i =1，S=0. 第二步：若i ≤100成立，则执行第三步；否则输出S. 第三步：计算S=S+i 2. 第四步：i = i +1，返回第二步.

高中数学北师大版必修1-全册-知识点总结

高中数学北师大版必修1-全册-知识点总结 高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集. （3）集合与元素间的关系对象与集合的关系是，或者，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(). 【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集（或 A中的任一元素都属于B (1)AA (2) (3)若且，则 (4)若且，则或真子集 AB （或BA）， （A为非空子集） (2)若且，则集且B中至少有一元素不属于A （1） 合相等 A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A (1)AB (2)BA （7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算（8）交

集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集且（1）（2）（3）⑷Α?B?A∩B=A 并集或（1）（2）（3）⑷A?B?A∪B=B 补集?uA ⑴（?uA）∩A=?, ⑵?uA∪A=U, ⑶?u?uA=A, ⑷?uA∩B=?uA∪?uB, ⑸?u(A∪B)=(?uA)∩(?uB) ⑼集合的运算律：交换律：结合律: 分配律: 0-1律：等幂律：求补律：A∩?uA=? A∪CuA=U ?uU=??u?=U 反演律：?u(A∩B)=(?uA)∪(?uB) ?u(A∪B)=(?uA)∩(?uB) 第二章函数§1函数的概念及其表示一、映射 1．映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的元素，在集合B 中都有元素和它对应，这样的对应叫做到的映射，记作 . 2．象与原象：如果f:A→B是一个A到B的映射，那么和A中的元素a对应的叫做象，叫做原象。 二、函数 1．定义：设A、B是，f:A→B是从A到B的一个映射，则映射f:A→B叫做A到B的，记作 . 2．函数的三要素为、、，两个函数当且仅当分别相同时，二者才能称为同一函数。 3．函数的表示法有、、。 §2函数的定义域和值域一、定义域： 1．函数的定义域就是使函数式的集合. 2．常见的三种题型确定定义域：①已

北师大版高中数学《必修5》全部教案

北师大版高中数学必修5第一章《数列》全部教案 第一课时 1.1.1 数列的概念 一、教学目标 1、知识与技能：（1）理解数列及其有关概念；（2）了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；（3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式。 2、过程与方法：（1）采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；（2）发挥学生的主体作用，作好探究性学习；（3）理论联系实际，激发学生的学习积极性。 3、情感态度与价值观：（1）.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；（2）.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣. 二、教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用. 教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式. 三、教学方法：探究、交流、实验、观察、分析 四、教学过程 （一）、揭示课题:今天开始我们研究一个新课题． 先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要但求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数 象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列． （二）、推进新课 ［合作探究］ 折纸问题 师请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓). 生一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了. 师你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？

高中数学(北师大版)必修1知识点

数学必修1知识点1.集合的基本运算 ；； 2.集合的包含关系:；； 3.识记重要结论：A B A = ?A B ?; A B A A B =?? ; () U U U A B C C A C B = ; ()U U U A B C C A C B = 4．对常用集合的元素的认识 ①{} 2340 A x x x =+-=中的元素是方程2340 x x +-=的解，A即方程的解集； ②}0 6 | {< - =x x B中的元素是不等式0 6< - x的解，B即不等式的解集； ③{} 221,05 C y y x x x ==+-≤≤中的元素是函数221,05 y x x x =+-≤≤的函数值， C即函数的值域； ④() {} 2 2 log21 D x y x x ==+-中的元素是函数() 2 2 log21 y x x =+-的自变量，D即函数的定义域； ⑤() {} ,23 M x y y x ==-中的元素可看成是关于,x y的方程的解集，也可看成以方程23 y x =-的解为坐标的点，M为点的集合，是一条直线。 5.集合 12 {,,,} n a a a 的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个； 非空的真子集有2n–2个. 6.方程)0 (0 2≠ = + +a c bx ax有且只有一个实根在) , ( 2 1 k k内,等价于0 ) ( ) ( 2 1 < k f k f， 或0 ) ( 1 = k f且 2 2 2 1 1 k k a b k + < - <, 或0 ) ( 2 = k f且 2 2 1 2 2 k a b k k < - < + . 7.闭区间上的二次函数的最值问题： 二次函数)0 ( ) (2≠ + + =a c bx ax x f在闭区间[]q p,上的 最值只能在 a b x 2 - =处及区间的两端点处取得。 8.()()max a f x a f x ≥?≥?? ??；()()min a f x a f x ≤?≤?? ?? 9.由不等导相等的有效方法：若a b ≥且a b ≤，则a b =. 函数 一、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集 合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做 函数的值域． 注：1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；（3)对数式对数式的真数必 须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5指数为零底不可以等于零， 2.相同函数的判断：①定义域一致②表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关） 3.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 二次函数在闭区间上必有 最值，求最值问题用“两看法”： 一：看开口方向；二：看对称轴 与所给区间的相对位置关系。

北师大版高中数学必修知识点总结完整版

北师大版高中数学必修 知识点总结 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

高中数学必修1知识点 第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类

①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有 任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等

（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 x ∈?=? B A ? A B B ? ΑBA ∩B =A

x∈ A ?= B A ? B ? ⑷ABA∪B=B ⑼集合的运算律： 交换律：结合律:分配律: . ;A B B A A B B A = = ) ( ) (); ( ) (C B A C B A C B A C B A = = ) ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) (C A B A C B A C A B A C B A = =

北师大版高一数学必修

`北师大版高一数学必修1 第二章函数 §1 生活中的变量关系 桐柏一高中刘莉 ★教学目标 1．知识目标:通过高速公路上的实际例子，引起积极的思考和交流，从而认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系．能够利用初中对函数的认识， 了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系． 2．能力目标:培养学生类比分析问题的能力，并通过对现实生活中依赖关系的观察、分析归纳和比较来提高学生的实践能力． 3．情感目标:培养学生合作交流的意识及广泛联想的能力和热爱数学的态度.★教学重难点： 1．重点：生活中变量之间有依赖关系,掌握变量之间的函数关系. 2．难点：变量之间的依赖关系不一定都是函数关系. ★授课类型：新授课 ★教具：多媒体、实物投影仪 ★教学方法:启发式、交互式教学 ★教学过程： 一、创设情景，引入课题 多媒体展示“神舟七号”发射的电脑模拟动画，提出问题：在“神七”发射升空的过程中，随着时间的变化，你能发现哪些量也在变化？从而导出课题生活中的变量关系.(板书课题生活中的变量关系) 二、新课讲解 1、温故知新：◇初中学习的函数定义是什么? ◇下图为运行中的电梯,它离地面高度h与时间t是否存在函数关系?

◇下图为行驶中的汽车,它行驶速度v 与时间t 是否存在函数关系? 2、知识探究： 阅读课文23—24页，在高速公路情境下的函数问题 （1）课本高速公路情景下研究了哪些函数关系？请指出它们的自变量和因变量。 （2）对问题3，储油量v 对油面高度h 、油面宽度w 都存在依赖关系，两种依赖关系 都有函数关系吗？ （3）请以高速公路为背景再研究一些函数关系，并思考自变量与因变量交换后是否 为函数关系。 （4） 归纳依赖关系与函数关系的区别与联系。 探究结论 ：依赖关系与函数关系 (1)、依赖关系不一定是函数关系，但函数关系一定是依赖关系。 (2)、若两个变量间存在依赖关系，且由对于其中一个变量的每一个值都有另一个变 量的唯一值和它对应，则两个变量间有函数关系。 (3)、研究函数关系时，通常要指明自变量和因变量，因为两者交换位置不一定还存 在函数关系。 3、议一议： （1） 骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化.如图.请问：骆驼的体温与时间之间存在依赖关系吗？若存在，这种依赖关系是函数关系吗？ 图1 3032343638404204812162024283236404448时间/时温度/摄氏度

北师大版高中数学必修全部教案

北师大版高中数学必修全 部教案 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

北师大版高中数学必修5第一章《数列》全部教案 第一课时数列的概念 一、教学目标 1、知识与技能：（1）理解数列及其有关概念；（2）了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；（3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式。 2、过程与方法：（1）采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；（2）发挥学生的主体作用，作好探究性学习；（3）理论联系实际，激发学生的学习积极性。 3、情感态度与价值观：（1）.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；（2）.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣. 二、教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用. 教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式. 三、教学方法：探究、交流、实验、观察、分析 四、教学过程 （一）、揭示课题:今天开始我们研究一个新课题． 先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层第57层有多少根从第1层到第57层一共有多少根我们不能满足于一层层的去数，而是要但求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数 象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列． （二）、推进新课