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平面图形的几何性质

HAII

平面面积的几何性质

湖北汽车工业学院汽车工程系

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拉压正应力

A

N =

σ?=dA

A 扭转切应力

p

I T ρτ=

?=A

p dA

I 2

ρ应力的计算通常用要到构件截面的几何参数,例如:

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静矩形心惯性矩极惯性矩惯性积平行移轴公式转轴公式主轴形心主轴形心主惯性矩

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?=A

dA

A 零次矩:

一次矩(静矩):

?=ydA

S z ?=zdA

S y 静矩(Statical moment)、形心(Centroid)

y

o

z

dA 面积A

y

z

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y

o

z

dA 面积A y

z 形心C 的坐标:

A

S dA zdA z y c =

=

?

?A S dA ydA y z

c =

=?

?

形心:使平面图形各微元静矩和为零的坐标原点

C

y C

z C 形心轴:通过截面形心的坐标轴。

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对称图形形心的位置

有一个对称轴:形心C 位于该轴上

y

C

z

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有两个对称轴:两个对称轴的交点就是形心C 的位置

z

y C

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C

z y

对某点对称(中心对称):

形心C位于对称中心

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平面图形的几何性质

在例题I.1中,取微面积dA =dydz ,用面积分重解该题。

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解已知抛物线方程为

???

?

??-=221b y h z 取如图I.1(a’)所示的微面积dA ,则

dzdy

dA =图形的面积和对z 轴的静矩分别为

?

??

???? ??-==

=

A

b

b y h bh dz

dy

dA A 0

10

22

3

2????===A h y h

z dz

y ydy dz ydA S 0002

2

1

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将()h

h b y 22-=代入上式

()42222

22

2

02

h b h h h b dz z h h b S h z =???

? ??-=-=???

?

???

?

? ?

?-???

? ??-===A

b

b y h b y dy b y h zdz dy zdA S 0

102

22

0222

1225

55

421543252bh b b b b h =???? ??-+=其形心的坐标为

b

A S y z 8

3

==h

A S z y

5

2

==

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由n 个规则形状组成的图形∑==

n

i i

A

A 1

∑?∑?=====n

i i

i c n

i i z A y dA y ydA S 11组合(复合)图形的形心

∑∑===

=

n i i

n

i i

i

c y c A

A z

A

S z 1

1∑∑===

=n i i

n

i i

i

c z

c A

A y

A

S y 1

1∑?∑?=====n

i i

i c n i i y A z dA z zdA S 1

1

y C

z

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已知b, c, t ,求C 的坐标

22111b

y t z bt A c c =

==2

2)(222t

y t c z t t c A c c =

+=-=)

(21t c b t A A A -+=+=)

(2

2

22211t ct b t A y A y S c c z -+=+=)

(2

2

22211t c bt t A z A z S c c y -+=+=c

C

z

y C 2

C 1

b

t t

o

C 1、C 2、C 的坐标:

),,(11c c y z ),,(22c c y z )

,(c c y z 组合图形的形心算例

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)

(22

2t c b t

c bt A S z y

c -+-+=

=)

(22

2t c b t ct b A S y z c -+-+=

=注1:由两块组成组合图形,其复合图形形心一定

位于两个子图的形心连线上

注2:组合图形形心计算公式也适用于负面积情况,

但要记住面积为负号

“负面积”

z

y C1

C2

C

2

12211)(A A A y A y y c c c --+=

212211)

(A A A z A z z c c c --+=

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惯性矩

?=dA

y I z 2

?=dA

z I y 2

?=yzdA

I yz 惯性积

o

z

y

dA

面积A ρ

z

y

惯性矩(Moment of inertia)与惯性积(Product of inertia)

(二次矩,Moment of second order )

极惯性矩

?=dA

I p 2

ρ惯性半径

A

i I z

z 2=A

i I y

y 2=

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(3)任一点为原点的所有正交坐标系中,两个惯性矩之

和等于不变的极惯性矩Ip 值

惯性矩、惯性积的性质

(1)惯性矩为正,即,

I z 0>0

>y I (2)若图形有一对称轴,其惯性积为零0=yz I p

y z I I I =+(4)组合图形惯性矩(积)为各个子图惯性矩(积)之和

C

z

z

z

y

y

y 0=yz I 0

=yz I ??

0=yz I C

C

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?

+=

dA )y z (I p 21

211?

+=

dA )y z (22

2

2

2p I =座标转动不改变极惯性矩

?

=dA

2

Z 1

Y 1

Z 2

Y 2

O

A

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例:已知矩形边长分别为b 、h 。求z

y yz y z y z i i I I I S S 、、、、、、y

z

b

h

c

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解:.

0,0==y z

S S (1)(2)

dA z I A

y ?=2?

-=22

2

h h bdz

z 2

2

3

3h

h z

b -=312

1bh =同理

dA y I A z ?=2

3

12

1hb =A I i y y =A I i z z =,6

3h =b 63=0=yz I z y

z

b

h

dz c