北京市西城区2012年初三一模试卷数学1

北京市西城区2012年初三一模试卷

数 学 2012. 5

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．6-的相反数是

A ．6

B ．6-

C ．1

6

- D ．16

2．国家体育场“鸟巢”建筑面积达258 000平方米，258 000用科学记数法表示应为 A ．2.58×103 B ．25.8×104 C ．2.58×105 D ．258×103 3．正五边形各内角的度数为

A ．72°

B ．108°

C ．120°

D ．144° 4．抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币落地后，正面都朝上的概率是

A ．2

1

B ．31

C ．41

D ．5

1

5．如图，过O ⊙上一点C 作O ⊙的切线，交O ⊙直径AB 的 延长线于点D . 若∠D =40°，则∠A 的度数为 A ．20° B ．25° C ．30° D ．40°

6．某班体育委员统计了全班45名同学一周的 体育锻炼时间(单位：小时)，并绘制了如图 所示的折线统计图，下列说法中错误．．

的是 A ．众数是9 B ．中位数是9 C ．平均数是9

D ．锻炼时间不低于9小时的有14人

7．由n 个相同的小正方体堆成的几何体，其主视图、俯视图如下所示，则n 的最大值是

A ．16

B ．18

C ．19

D ．20

8．对于实数c 、d ，我们可用min{ c ，d }表示c 、d 两数中较小的数，如min{3，1-}=1-.若关于x 的函数y = min{22x ，2()a x t -}的图象关于直线3x =对称，则a 、t 的值可能是 A ．3，6 B ．2，6- C ．2，6 D ．2-，6

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9．函数2+=x y 中，自变量x 的取值范围是 ．

10．分解因式：2

212123b ab a +-= ．

11．如图，正方形ABCD 的面积为3，点E 是DC 边上一点，DE =1，

将线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上，落点记为F ， 则FC 的长为 .

12．如图，直角三角形纸片ABC 中，∠ACB =90°，AC=8，BC =6．

折叠该纸片使点B 与点C 重合，折痕与AB 、BC 的交点分别 为D 、E . (1) DE 的长为 ；(2) 将折叠后的图形沿直线 AE 剪开，原纸片被剪成三块，其中最小一块的面积等于 ．

三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：12)21(30tan 3201

+-+?--．

14．解不等式组 并求它的所有的非负整数解.

15．如图，在△ABC 中，AB=CB ，∠ABC=90o，D 为AB 延长线 上一点，点E 在BC 边上，且BE=BD ，连结AE 、DE 、DC . (1) 求证：△ABE ≌△CBD ；

(2) 若∠CAE=30o，求∠BCD 的度数. 16．已知20a b +=，其中a 不为0，求

2

222

2b a ab a b

ab a --÷

+的值.

17. 平面直角坐标系xOy 中，反比例函数 的图象经过点),2(m A ，过点A 作

AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为1.

(1) 求m 和k 的值； (2) 若过点A 的直线与y 轴交于点C ，且∠ACO =45°，直接写出点C 的坐标.

18. 列方程（组）解应用题：

为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场. 现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：

)0(>=k x

k

y ???

??-+<-21 15)1(3x x x ，

≥2x -4，

信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍.

根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品.

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19. 为了让更多的失学儿童重返校园，某社区组织“献爱心手拉手”捐款活动. 对社区部分捐

款户数进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计图（图中信息不完整）. 已知A 、B 两组捐款户数的比为1 : 5.

请结合以上信息解答下列问题.

(1) a= ，本次调查样本的容量是 ； (2) 先求出C 组的户数，再补全“捐款户数分组统计图1”；

(3) 若该社区有500户住户，请根据以上信息估计，全社区捐款不少于300元的户数是

多少？

20．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90A ∠=?，BC=2，

15ABD ∠=?，60C ∠=?．

(1) 求∠BDC 的度数； (2) 求AB 的长．

21．如图，AC 为⊙O 的直径，AC=4，B 、D 分别在AC

两侧的圆上，∠BAD=60°，BD 与AC 的交点为E ． (1) 求点O 到BD 的距离及∠OBD 的度数；

(2) 若DE=2BE ，求cos OED ∠的值和CD 的长．

22. 阅读下列材料：

问题：如图1，在正方形ABCD 内有一点P ，P A =5，PB =2，PC =1，求∠BPC 的度数．

小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到了△BP ′A （如图2），然后连结PP ′．

捐款户数分组统计图1

捐款户数分组统计图2

请你参考小明同学的思路，解决下列问题： (1) 图2中∠BPC 的度数为 ；

(2) 如图3，若在正六边形ABCDEF 内有一点P ，且P A =132，PB =4，PC =2，则∠BPC 的度数为 ，正六边形ABCDEF 的边长为 ．

图1 图2 图3

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 已知关于x 的一元二次方程210x px q +++=的一个实数根为 2． (1) 用含p 的代数式表示q ；

(2) 求证：抛物线2y x px q =++与x 轴有两个交点；

(3) 设抛物线21y x px q =++的顶点为M ，与 y 轴的交点为E ，抛物线221y x px q =+++ 顶点为N ，与y 轴的交点为F ，若四边形FEMN 的面积等于2，求p 的值．

24．已知：在如图1所示的锐角三角形ABC 中，CH ⊥AB 于点H ，点B 关于直线CH 的对称

点为D ，AC 边上一点E 满足∠EDA =∠A ，直线DE 交直线CH 于点F ． (1) 求证：BF ∥AC ；

(2) 若AC 边的中点为M ，求证：2DF EM =；

(3) 当AB =BC 时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与

BE 相等的线段，并证明你的结论．

图1 图2

25．平面直角坐标系xOy 中，抛物线2

44y ax ax a c =-++与x 轴交于点A 、点B ，与y 轴

的正半轴交于点C ，点 A 的坐标为(1, 0)，OB =OC ，抛物线的顶点为D ．

(1) 求此抛物线的解析式；

(2) 若此抛物线的对称轴上的点P 满足∠APB =∠ACB ，求点P 的坐标；

(3) Q 为线段BD 上一点，点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，若2=-QB QA ，

求点Q 的坐标和此时△QAA '的面积．

北京市西城区2012年初三一模试卷

数学答案及评分标准 2012. 5

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13．解：原式=

32133321++?- …………………………………………………………4分 =32

3

+．…………………………………………………………………… 5分

14．解：

由①得2->x ．……………………………………………………………………1分

由②得x ≤

3

7

． ……………………………………………………………………3分 ∴ 原不等式组的解集是-2< x ≤3

7

．………………………………………………4分

∴ 它的非负整数解为0，1，2．………………………………………………… 5分 15.（1）证明：如图1.

∵ ∠ABC=90o，D 为AB 延长线上一点，

∴ ∠A BE=∠CBD=90o . …………………………………………………1分 在△ABE 和△CBD 中,

??

?

??=∠=∠=,,,

BD BE CBD ABE CB AB

∴ △ABE ≌△CBD. …………………… 2分 （2）解：∵ AB=CB ，∠

ABC=90o，

∴ ∠CAB =45°. …….…………………… 3分

又∵ ∠CAE=30o，

∴ ∠BAE =15°. ……………………………………………………………4分

∵ △ABE ≌△CBD ，

∴ ∠BCD =∠BAE =15°. ……………………………………………………5分

?????-+<-215)1(3x x x ≥2x -4，

16. 解：原式=

()()()()

2

a a

b a b a b b a a b ++-?- =()22

b b a +. ..….….….….….……………………3分 ∵ 2a +b =0，

∴ a b 2-=. ……………………………………………………………………… 4分

∴ 原式=22

2

24)2()(a

a a a =--. ∵ a 不为0，

∴ 原式=41

. ..….….….….……………………………………………………… 5分

17. 解：（1）∵ 反比例函数 的图象经过点),2(m A ，

∴ 2m k =，且m ＞0.

∵ AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为1，

∴

1

212

m ??=. 解得 1=m . ……………………………………………………………… 1分 ∴ 点A 的坐标为)1,2(. ………………………………………………… 2分 ∴ 22k m ==. …………………………………………………………… 3分 （2）点C 的坐标为(0,3)或(0,-1). ……………………………………………… 5分 18．解：设甲工厂每天能加工x 件新产品，则乙工厂每天能加工1.5x 件新产品.

依题意得 105.112001200+=x x . ……………………………………………………2分

解得40=x . …………………………………………………………………… 3分 经检验，40=x 是原方程的解，并且符合题意． …………………………… 4分

∴ 605.1=x .

答: 甲工厂每天能加工40件新产品, 乙工厂每天能加工60件新产品. ……………5分

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．解：（1）2，50；…………………………………2分 （2）5040%20?=，C 组的户数为20. … 3分

补图见图2． …………………………4分 （3）∵ 500(28%8%)180?+=，

∴ 根据以上信息估计，全社区捐款不少 于300元的户数是180．

……………………………… 5分

20．解：（1）∵ 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90A ∠=?，60C ∠=?，

∴ 90ABC ∠=?，180120ADC C ∠=?-∠=?．

)

0(>=k x k

y

捐款户数分组统计图1

在Rt △ABD 中，∵90A ∠=?，15ABD ∠=?， ∴ 75ADB ∠=?．

∴ 45BDC ADC ADB ∠=∠-∠=?．…… 2分 （2）作BE CD ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ．（如图3）

在Rt △BCE 中，∵ BC=2，60C ∠=?， ∴

sin BE BC C =?=cos 1CE BC C =?=． ∵ 45BDC ∠=?， ∴

DE BE ==．

∴

1CD DE CE =+=．

…………………………………………… 3分 ∵ BC DF CD BE ?=?， ∴

CD BE DF BC ?=

==

． …………………………… 4分 ∵ AD ∥BC ，90A ∠=?，DF BC ⊥，

∴ AB DF ==

…………………………………………………… 5分 21．解：（1）作OF BD ⊥于点F ，连结OD ．（如图4） ∵ ∠BAD=60°，

∴ ∠BOD=2∠BAD =120°．……………1分 又∵OB =OD ，

∴ 30OBD ∠=?．……………………… 2分

∵ AC 为⊙O 的直径，AC=4， ∴ OB= OD= 2．

在Rt △BOF 中，∵∠OFB =90°， OB=2，?=∠30OBF ， ∴ 130sin 2sin =?=∠?=OBF OB OF ，

即点O 到BD 的距离等于1. ………………………………………… 3分

（2）∵ OB= OD ，OF BD ⊥于点F ，

∴ BF=DF ．

由DE=2BE ，设BE=2x ，则DE=4x ，BD=6x ，EF=x ，BF=3x ． ∵ cos30BF OB =??

∴ x =

， 在Rt △OEF 中，90OFE ∠=?， ∵ tan OF

OED EF

∠=

= ∴ 60OED ∠=?，1

cos 2

OED ∠=

． …………………………………… 4分 ∴ 30BOE OED OBD ∠=∠-∠=?． ∴ 90DOC DOB BOE ∠=∠-∠=?． ∴ 45C ∠=?．

图3 F

B

图4

A

C

∴

CD = ………………………………………………… 5分 22．解：（1）135°；………………………………………………………………………… 2分

（2）120°；………………………………………………………………………… 3分

． ……………………………………………………………………… 5分

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）∵ 关于x 的一元二次方程2 10x px q +++=的一个实数根为 2，

∴ 22 210p q +++=．…………………………………………………… 1分 整理，得 25q p =--． …………………………………………………… 2分 （2）∵ 222244(25)820(4)4p q p p p p p ?=-=++=++=++， 无论p 取任何实数，都有2(4)p +≥0，

∴ 无论p 取任何实数，都有 2(4)40p ++>．

∴ 0?>． ………………………………………………………………… 3分

∴ 抛物线2y x px q =++与x 轴有两个交点．………………………… 4分

（3）∵ 抛物线2

1y x px q =++与抛物线221y x px q =+++

的对称轴相同，都为直线2

p

x =-

抛物线221y x px q =+++可由抛物线2

1y x =沿y 轴方向向上平移一个单位得到， （如图5所示，省略了x 轴、y 轴） ∴ EF ∥MN ，EF =MN =1．

∴ 四边形FEMN 是平行四边形． ………………5由题意得 22FEMN p

S EF =?-=四边形．

解得4p =±．………………………………………724．证明：（1）如图6．

∵ 点B 关于直线CH 的对称点为D ，

CH ⊥AB 于点H ，

直线DE 交直线CH 于点F ，

∴ BF=DF ，DH=BH ．…………………1分 ∴ ∠1=∠2．

又∵ ∠EDA =∠A ，∠EDA =∠1， ∴ ∠A ＝∠2．

∴ BF ∥AC ．……………………………………………………………… 2分 （2）取FD 的中点N ，连结HM 、HN . ∵ H 是BD 的中点，N 是FD 的中点，

∴ HN ∥BF ． 由（1）得BF ∥AC ， ∴ HN ∥AC ，即HN ∥EM ． ∵ 在Rt △ACH 中，∠AHC =90°，

21

AC 边的中点为M ， ∴ 12HM AC AM ==．

∴ ∠A ＝∠3． ∴ ∠EDA =∠3． ∴ NE ∥HM ．

∴ 四边形ENHM 是平行四边形．……………………………………… 3分 ∴ HN=EM ．

∵ 在Rt △DFH 中，∠DHF =90°，DF 的中点为N ， ∴ 12

HN DF =，即2DF HN =．

∴ 2DF EM =． ………………………………………………………… 4分 （3）当AB =BC 时，在未添加辅助线和其它字母的条件下，原题图2中所有与BE

相等的线段是EF 和CE ． （只猜想结论不给分） 证明：连结CD ．（如图8）

∵ 点B 关于直线CH 的对称点为D ，CH ⊥AB 于点H ，

∴ BC=CD ，∠ABC ＝∠5． ∵ AB ＝BC ，

∴ 1802ABC A ∠=?-∠， AB ＝CD ．① ∵ ∠EDA =∠A ，

∴ 61802A ∠=?-∠，AE =DE ．② ∴ ∠ABC ＝∠6=∠5． ∵ ∠BDE 是△ADE 的外角， ∴ 6BDE A ∠=∠+∠． ∵ 45BDE ∠=∠+∠， ∴ ∠A ＝∠4．③

由①，②，③得 △ABE ≌△DCE ．………………………………………5分 ∴ BE = CE ． ……………………………………………………………… 6分 由（1）中BF=DF 得 ∠CFE=∠BFC ． 由（1）中所得BF ∥AC 可得 ∠BFC=∠ECF ． ∴ ∠CFE=∠ECF ． ∴ EF=CE ．

∴ BE=EF ． ……………………………………………………………… 7分 ∴ BE =EF =CE ．

（阅卷说明：在第3问中，若仅证出BE =EF 或BE =CE 只得2分）

25．解：（1）∵ 22

44(2)y ax ax a c a x c =-++=-+，

∴ 抛物线的对称轴为直线2x =．

∵ 抛物线2

44y ax ax a c =-++与x 轴交于

点A 、点B ，点A 的坐标为(1,0)，

∴ 点B 的坐标为(3,0)，OB ＝3．…………… 1分 可得该抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =--． ∵ OB =OC ，抛物线与y 轴的正半轴交于点C ， ∴ OC =3，点C 的坐标为(0,3)．

将点C 的坐标代入该解析式，解得a =1．……2分

∴ 此抛物线的解析式为243y x x =-+．（如图9）

（2）作△ABC 的外接圆☉E ，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为点F ，设☉E 与抛物

线的对称轴位于x 轴上方的部分的交点为点1P ，点1P 关于x 轴的对称点为点

2P ，点1P 、点2P 均为所求点.（如图10）

可知圆心E 必在AB 边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线2x =上．

∵ 1

APB ∠、ACB ∠都是弧AB 所对的圆周角， ∴ ACB B AP ∠=∠1，且射线FE 上的其它点P 都不满足AC

B APB ∠=∠． 由（1）可知 ∠OBC=45°，AB=2，OF=2．

可得圆心E 也在BC 边的垂直平分线即直线y x =上．

∴ 点E 的坐标为(2,2)E ．………………………………………………… 4分

∴ 由勾股定理得 EA ∴ 1EP EA ==

∴ 点1P 的坐标为1(2,2P ．…………………………………………… 5分 由对称性得点2P 的坐标为2(2,2P -． ……………………………… 6分 ∴符合题意的点P 的坐标为1(2,2P 、2(2,2P -. （3）∵ 点B 、D 的坐标分别为(3,0)B 、(2,1)D -，

可得直线BD 的解析式为3y x =-，直线BD 与x 轴所夹的锐角为45°．

∵ 点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，（如图11） 若设AA '与∠AQB 的平分线的交点为M ，

则有 QA QA '=，AM A M '=，AA QM '⊥，Q ，B ，A '三点在一条直线上． ∵ QA QB -=

∴ .2''=-=-=QB QA QB QA BA 作A N '⊥x 轴于点N ．

∵ 点Q 在线段BD 上， Q ，B ，A '三点在一条直线上， ∴ sin 451A N BA ''=??=，cos 451BN BA '=??=． ∴ 点A '的坐标为(4,1)A '． ∵ 点Q 在线段BD 上，

∴ 设点Q 的坐标为(,3)Q x x -，其中23x <<． ∵ QA QA '=，

∴ 由勾股定理得 2222(1)(3)(4)(31)x x x x -+-=-+--．

解得11

4

x =． 经检验，11

4

x =在23x <<的范围内．

∴ 点Q 的坐标为111

(,)44

Q -． …………………………………………… 7分

此时1115

()2(1)2244

QAA A AB QAB A Q S S S AB y y '''???=+=??+=??+=．… 8分

图11