实变函数与积分变换-程其襄(电子版)§1.集合的概念

第一章 集 合

§ 1 集 合 的 概 念

实变函数论建立在实数理论和集合论的基础之上,对于实数的性质,我们假定读者已经学过，所以本书只是介绍集合论方面的基本知识.

集合这个概念是数学中所谓原始概念之一,即不能用别的概念加以定义.它像几何学中的“点”，“直线”那样,只能用一组公理去刻画.就目前来说，我们只要求掌握以下元素的说法:

“在一定范围内的个体事物的全体,当将它们看作一个整体时,我们把这个整体称为一个集合,其中每个个体事物叫做该集合的元素.”

顺便说明以下,一个集合的各个元素必须是彼此互异的:哪些事物是给定集合的元素必须是明确的.下面举出几个集合的例子.

例1 4，7，8，3四个自然数构成的集。

例2 全体自然数。

例3 0与1之间的实数全体。

例4 平面上的向量全体。

例5 [0，1]上的所有实函数全体。

例6 A 、B 、C 三个字母构成的集。

“全体大个子”并不构成一个集合.因为一个人究竟算不算“大个子”并没有明确的界限,有时难以判断他是否属于这个集合.

一个具体集合A 可以通过列举其元素a,b,c,…来定义,可记为A={a,b,c,…},也可以通过该集合中的各元素必须且只须满足的条件p 来定义,并记为A={x/x 满足条件p}.如例1可表示为{4,7,8,3}.例3可表示为)}1,0({∈x x .

设A 是一个集合,x 是A 的元素,我们称x 属于A,记为A x ∈.x 不是A 的元素,称x 不属于A,记为A x ?.

一个集合由且只由其全部元素所确定.因此,两个集合A 与B 当且只当它们有完全一致的元素时称为相等,记为A=B.例如A={2,3,5,7},B={3,7,5,2},C=}10{的素数为小于x x ,我们有A=B=C.

为了形式上的方便,我们引进不含任何元素的集合,称之为空集,记为φ.例如

}1{}{2-==≠=x x x x x x 为实数且φ

两个集合A 与B 如果具有关系:A 的每一个元素都是B 的元素,则称A 是B 的子集,记为B A ?(读作A 包含于B);或称B 包含A,记为A B ?.空集可以看成任何集合的子集.若A 是B 的子集但不等于B,则称A 为B 的真子集.例如全体有理数是全体实数的真子集. 必须注意?∈和的区别.∈表示集合和它的元素之间的关系.?表示集合与集合之

间的关系.故当A a ∈时,不能写成A a ?,但可以写成A a ?}{,这里}{a 表示只含一个元素a 的集合.

包含关系显然具有下面的性质:

定理1 对于任何集合A 、B 、C ，均有

（1）A A ?;

（2）B A A B B A =??，则，;

(3) C A C B B A ???，则，.

我们在做题的时候经常会证明两个集合相等，这时，我们经常用性质（2）来证明.