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高考数学三角函数图像性质和正余弦定理小结

问题一:)sin(?ω+=x A y 图像性质

)sin(?ω+=x A y

(1)周期w

k T π2=

,最小正周期|2|

w

T π= (2)对称轴ππ?

π

πk t Z k w k x +=?∈-+

=

2)(,2

(3)对称中心)0,()0,(π?πk w k ?-

(4)零点(同上)

(5)最值变量:最大值π

π

?

π

πk t Z k w

k x 22

)(,2

2+=

?∈-+

=

最小值ππ?ππk t Z k w k x 22

3)(,232+=?∈-+

=

(6)单调区间:单调递增)22

,

22

(ππ

ππ

k k t ++-

单调递减)22

3,22(ππππk k t ++∈ (7)图像变形:注意先伸缩后平移的平移量问题 (8)奇函数2

??

=?k

(9)偶函数2)12(π

??+=?k

例题: 2008北京理

已知函数2

π()sin 3sin sin 2f x x x x ωωω?

?

=++ ??

?

(0ω>)的最小正周期为π. (Ⅰ)求ω的值;

(Ⅱ)求函数()f x 在区间2π03

??????

,上的取值范围.

解:(Ⅰ)1cos 23()sin 222x f x x ωω-=

+311sin 2cos 2222

x x ωω=-+

π1sin 262x ω?

?=-+ ??

?.

因为函数()f x 的最小正周期为π,且0ω>, 所以

π2ω

=,解得1ω=. (Ⅱ)由(Ⅰ)得π1()sin 262

f x x ??=-

+ ??

?. 因为2π03

x ≤≤, 所以ππ7π2666

x --≤≤,

所以1πsin 2126x ??-

- ??

?≤≤, 因此π130sin 2622x ?

?-+ ??

?≤≤,即()f x 的取值范围为302??

????

,. 2011北京理

已知函数()4cos sin()16

f x x x π

=+-.(1)求()f x 的最小正周期; (2)求()f x 在区间[,]64

ππ

-

上的最大值和最小值。 解:(1)()2sin(2)6

f x x π

=+,函数()f x 的最小正周期为π;

(2)226

6

3x π

π

π-≤+≤

,当262

x ππ+=即6x π

=时,函数()f x 取得最大值2;

当26

6

x π

π

+

=-

即6

x π

=-

时,函数()f x 取得最小值1-;

同学们请注意三角函数所以简单,主要原因在于题目套路实在是明显,请大家

查阅课上笔记,08和11年考题问题基本一致,函数形式差异在于11年将乘积和平方提取了公因式后用和差公式收起来了。

小结:请看考试是如何考察公式化简的

以函数)3

2sin(2π

+=x y 为例,这是标准形式

用两角和打开,得x x x x y 2cos 32sin )2

3

2cos 212(sin 2+=?

+?=,这是正余弦

角度相同次幂为1,系数比1:3形式(名字有点长,还有系数比1:1) 再利用二倍角公式打开,

3cos 32cos sin 22-+=x x x y ,这是乘积配平方形式,考试时这是常见的一种

出题形式,只需倒回)sin(?ω+=x A y 标准形式即可

如果继续变形,将cosx 提出,利用和差公式收回,

3)3

sin(cos 43)cos 3(sin cos 2-+=-+=π

x x x x x y ,就是

2011年的考查

形式,基本变形就是这样,这时我们注意要将)3

sin(π

+x 打开,写回乘

积平方形式,再倒回去。

(08安徽))4

sin()4sin(2)32cos(π

ππ+-+-=x x x y ,求T 和取最大值最小值时候

x 的集合

解:(1)()cos(2)2sin()sin()344

f x x x x π

ππ

=-

+-+

13cos 2sin 2(sin cos )(sin cos )22x x x x x x =

++-+ 2213cos 2sin 2sin cos 22x x x x =

++- 13cos 2sin 2cos 222

x x x =

+- s i n (2)

6

x π

=- 2T 2

π

π=

=周期∴ 由2(),()6

2

23

k x k k Z x k Z π

π

ππ

π-

=+

∈=

+∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3

x k k Z π

π=+

(2)5[,],2[,]122636

x x ππ

πππ

∈-

∴-∈- 因为()sin(2)6

f x x π

=-

在区间[,]123

ππ-

上单调递增,在区间[,]32ππ

上单调

递减,

所以 当3

x π

=

时,()f x 取最大值 1

又 31()()12

222f f π

π-

=-

<= ,当12

x π

=-时,()f x 取最小值32-

所以 函数 ()f x 在区间[,]122

ππ

-

上的值域为3

[,1]2-

问题二:二次复合问题

此类问题常考求最值,属于函数求值域范畴,注意换元思想转化二次函数 (06全国),ABC ?求角A 为何值时,2

cos

2cos C

B A ++取最大值? 解: 由A+B+C=π, 得B+

C 2 = π2 -A 2 , 所以有cos B+C 2 =sin A

2 .

cosA+2cos B+C 2 =cosA+2sin A 2 =1-2sin 2A 2 + 2sin A

2

=-2(sin A 2 - 12)2+ 3

2

当sin A 2 = 12 , 即A=π3 时, cosA+2cos B+C 2取得最大值为3

2

(2010北京卷)已知函数2

()2cos 2sin 4cos .f x x x x =+- (Ⅰ)求()3

f π

的值;

[来源学科网ZXXK]

(Ⅱ)求()f x 的最大值和最小值。

问题三:解斜三角形问题

解斜三角形整体可以分4类:

(1)已知3边入手,自然使用余弦定理求角

(2)已知2边一对角入手,如果求角,由于有对角所以可以使用正弦定理,如果求边使用余弦定理可以列方程解边(有可能会多产生2个解)

(3)已知2边一夹角入手,此时不可以使用正弦定理了,只能余弦定理求第三边,如果题目求角,那就求出第三边后再去利用正弦定理求角

(4)已知1边2角入手,如果求角利用内角和180°进行诱导公式,如果求边则需再使用正弦定理

(2010北京理数)在△ABC 中,若b = 1, c =3,23

C π

∠=,则a = 。 直接使用余弦定理,

例:在△ABC 中,若b = 1, c =3,6

π

=∠B ,求∠A

(2011北京理)在△ABC 中,若b=5,,2tan ,4

==∠A B π

求a = 。

两角一边问题,求边,正弦定理

(2010陕西文数)

在△ABC 中,已知B=45°,D 是BC 边上的一点, AD=10,AC=14,DC=6,求AB 的长.

解:在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得cos ∠2222AD DC AC AD DC +- =100361961

21062

+-=-??,

∴∠ADC=120°, ∠ADB=60°[来源:Z*xx*https://www.wendangku.net/doc/0815644605.html,]

在△ABD 中,AD=10, ∠B=45°, ∠ADB=60°,

由正弦定理得sin sin AB AD

ADB B

=

∠, ∴AB =

3

10sin 10sin 60256sin sin 452

2

AD ADB B ?∠?

==

=?

(2010全国卷2理数)

ABC ?中,D 为边BC 上的一点,33BD =,5sin 13B =

,3

cos 5

ADC ∠=,求AD .

问题四:边角关系式问题

所谓边角关系问题,就是题目已知包含边角等式,和解斜三角形的区别在于,

解斜三角形是边角条件,而边角关系式问题是式子,如果都是角关系式那就属于三角公式的恒等变形了,而这类问题其实本质就是三角恒等变形加上正余弦定理的恒等变形,其中化简的统一思想也很重要,一般情况会往角或者边其中之一先去统一化简,而余弦定理的功能主要是将角化为三条边,而正弦定理的功能非常强大可以将对角正弦转化为对边,还可以将对边转化为对角正弦

例:C A B C A sin sin sin sin sin 222+=+,求∠B

同时请大家注意余弦定理的形式,补充一个:在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a,b,c,设S 为△ABC 的面积,满足2

223()4

S a b c =

+-。,求角C 的大小;

例:(08 年全国理)三角形ABC ,c A b B a 53cos cos =-,求B

A

tan tan 值

(2009全国II )设ABC ?的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,

3

cos()cos 2

A C

B -+=,2b ac =,求B 。

(2009全国I )在ABC ?中,内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,已知2

2

2a c b -=,且sin cos 3cos sin ,A C A C =求b

例(2011石景山一模)在ABC ?中,a b c 、、分别为角A B C 、、的对边,且

2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++

(Ⅰ)求角A 的大小;

(Ⅱ)若sin sin 1B C +=,试判断ABC ?的形状.

(Ⅰ)由正弦定理C c

B b A a sin sin sin =

=及已知,得

c b c b c b a )2()2(22+++=

整理,得

bc c b a ++=222

有余弦定理bc

a c

b A 2cos 2

22-+=,得

2

1

cos -=A

在ABC ?中,π<

2π=

A

(Ⅱ)由正弦定理

C

c

B b A a sin sin sin =

=及已知,得 C B C B C B A s i n )s i n s i n 2(s i n )s i n s i n

2(s i n 22

+++=

C B C B A sin sin sin sin sin 222++=

C B C B A sin sin )sin (sin sin 22-+=

结合32π=

A 及已知sin sin 1

B

C +=解得 4

1

sin sin =C B ,得 2

1

sin sin ==C B

即 C B =

因此ABC ?是一个等腰钝角三角形

问题五:面积公式

例三角形ABC ,c=2,C=

3

π,(1)若三角形面积3,求a ,b

(2)A A B C 2sin 2)sin(sin =-+,求三角形面积

例2(2011西城一模理)设ABC ?的内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,且

4

cos 5

B =

,2=b . (Ⅰ)当o

30=A 时,求a 的值;

(Ⅱ)当ABC ?的面积为3时,求c a +的值. (III )求ABC ?面积的最大值.

(Ⅰ)因为54cos =

B ,所以5

3

sin =B . 因为o

30=A ,2=b ,由正弦定理B

b A a sin sin =

可得,a=5/3 (II )因为ABC ?的面积1sin 2S ac B =,5

3

sin =B ,

所以3

310

ac =,10=ac .

由余弦定理B ac c a b cos 22

22-+=, 得165

8

4222

2-+=-

+=c a ac c a ,即2022=+c a . 所以2

()220a c ac +-=,2

()40a c +=, 所以,102=+c a . (III )因为ABC ?的面积ac B ac S 10

3

sin 21==

, 所以当ac 最大时,ABC ?的面积最大.

因为B ac c a b cos 22

22-+=,所以ac c a 5

8

42

2

-+=. 因为2

2

2a c ac +≥,所以8

245

ac ac -

≤, 所以10≤ac ,(当10a c ==时等号成立)

例3(2011东城一模理)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c 分,且满足

2cos cos c b B

a A

-=

. (Ⅰ)求角A 的大小;

(Ⅱ)若25a =,求△ABC 面积的最大值. (Ⅰ)因为

2cos cos c b B

a A

-=

, 所以(2)cos cos c b A a B -?=?

由正弦定理,得(2sin sin )cos sin cos C B A A B -?=?. 整理得2sin cos sin cos sin cos C A B A A B ?-?=?. 所以2sin cos sin()sin C A A B C ?=+=. 在△ABC 中,sin 0C ≠. 所以1cos 2

A =

,3A π

∠=.

(Ⅱ)由余弦定理2221

cos 22

b c a A bc +-==,25a =.

所以2

2

20220b c bc bc +-=≥-

所以20bc ≤,当且仅当b c =时取“=” . 所以三角形的面积1

sin 532

S bc A =

≤. 所以三角形面积的最大值为53.

问题:补充(一)三角函数关系

(1)直角三角形中:1sin sin ,...,cos sin 22=+=B A B A

(2)斜三角形中:C B A sin )sin(=+,C B A cos )cos(-=+,......

C B A tan )tan(-=+C B A tan tan tan ++?=C B A tan tan tan

(在三角形ABC 中,

B

A C

C A B C B A sin sin cos sin sin cos sin sin cos +

+=2。) 2

sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+(三角形中常利用内角和诱导)

(3)锐角三角形中:,...cos sin ,cos sin C B B A >>

(4)A ,B 为钝角三角形中的两个锐角,A B B A cos sin ,cos sin << (二).三角形五心概念

重心:中线交点(重心分中线长度比1:2) 垂心:高交点

内心:角分线交点 外心:中垂线交点

O 是平面上一点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足: (1))(AC AB OA OP ++=λ重心 (2))|

|||(

AC AC

AB AB

OA OP ++=λ,内心

(3))cos ||cos ||(C

AC AC B

AB AB OA OP +

+=λ),0[+∞∈λ,则P 一定过三角形ABC

的什么心?垂心

(4)三角形ABC 中,已知OA OC OC OB OB OA ?=?=?,则O 是三角形ABC 的什么心?垂心

(5)0=++OC OB OA 则O 是三角形ABC 的什么心?重心

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