海淀区高三年级第二学期期中练习
数 学 (文科) 2011.4
选择题 (共40分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选
出符合题目要求的一项.
1、已知集合{}
30<<∈=x x A R ,{}
42
≥∈=x x B R ,则=B A
A. {}
2 23x x x ≤-≤<或 B. {}32< 32<≤x x D. R 2. 设0.5 323, log 2, cos 3 a b c π===,则 A. c b a << B. c a b << C. a b c << D. b c a << 3.函数1 ()x f x x += 图象的对称中心为 A .(0,0) B.(0,1) C. (1,0) D. (1,1) 4. 执行如图所示的程序框图,若输入x 的值为2,则输出的x 值为 A. 25 B .24 C. 23 D .22 5.从集合{1,1,2}A =-中随机选取一个数记为k ,从集合{2,1,2}B =-中随机选取一个数记为b ,则直线y kx b =+不经过第三象限的概率为 A . 29 B. 13 C. 49 D. 5 9 6. 在同一个坐标系中画出函数,sin x y a y ax ==的部分图象,其中 01a a >≠且,则下列所给图象中可能正确的是 7. 已知函数221, 1, ()1, 1, x ax x f x ax x x ?++≥?=?++? 则“20a -≤≤”是“()f x 在R 上单调递增”的 A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 8.若直线l 被圆22:2C x y +=所截的弦长不小于2,则l 与下列曲线一定有公共点的是 A .2 2 (1)1x y -+= B ..2212 x y += C. 2 y x = D .221x y -= 非选择题(共110分) 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上. 9. 计算2 1i =+__________________. 10. 为了解本市居民的生活成本,甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示),记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ,2s ,3,s 则它们的大小关系为 . (用“>”连接) 11. 如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,点P 是上底面1111A B C D 内一动点,则三棱锥 P ABC -的主视图与左视图的面积的比值为_________. P D C B A 1 A 1D 1 B 1 C 左视 主视 乙 丙 甲 12. 已知函数()x f x xe =,则'()f x =________;函数()f x 图象在点(0,(0))f 处的切线方程为_______ 13. 已知向量(,2),(1,)a x b y ==,其中,0x y ≥.若4≤ a b ,则y x -的取值范围为 . 14.如图,线段AB =8,点C 在线段AB 上,且AC =2,P 为线段CB 上一动点,点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP =x , △CPD 的面积为()f x .则()f x 的定义域为________;()f x 的最大值为 ________. 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15. (本小题共13分) 在ABC ?中,内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、,已知1tan 2B =,1 tan 3 C =,且1c =. (Ⅰ) 求tan()B C +; (Ⅱ) 求a 的值. 16. (本小题共13分) 数列{}n a 的前n 项和为n S ,若12a =且12n n S S n -=+(2n ≥,*n ∈N ). ( I )求n S ; ( II ) 是否存在等比数列{}n b 满足112339, b a b a b a ===,?若存在,则求出数列{}n b 的通项公式;若不存在,则说明理由. 17. (本小题共13分) 如图:梯形A B C D 和正△PAB 所在平面互相垂直,其中//,AB DC A C P B D ( II ) 求证:AC ⊥PD . 18. (本小题共14分) 已知函数1 ()ln (0,)f x a x a a x = +≠∈ R (Ⅰ)若1a =,求函数()f x 的极值和单调区间; (II) 若在区间[1,e]上至少存在一点0x ,使得0()0f x <成立,求实数a 的取值范围. 19. (本小题共14分) 已知椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>经过点3(1,),2M 其离心率为1 2. (Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)设直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点,以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ,其中顶点P 在椭圆C 上,O 为坐标原点. 求O 到直线距离的l 最小值. 20. (本小题共13分) 已知每项均是正整数的数列123100,,,,a a a a ,其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i = , 设j j k k k b +++= 21(1,2,3)j = ,12()100m g m b b b m =+++- (1,2,3).m = (Ⅰ)设数列1240,30,k k ==34510020,10,...0k k k k =====,求(1),(2),(3),(4)g g g g ; (II) 若123100,,,,a a a a 中最大的项为50, 比较(),(1)g m g m +的大小; (Ⅲ)若12100200a a a +++= ,求函数)(m g 的最小值. 海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学(文) 答案及评分参考 2011.4 选择题 (共40分) 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分) 非选择题 (共110分) 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目,第一空3分,第二空2分) 9.1i - 10. s 1>s 2>s 3 11. 1 12. (1)x x e +, y x = 13. [4,2]- 14. (2,4),三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15. (共13分) 解:(I )因为1tan 2B = ,1tan 3 C =,tan tan tan()1tan tan B C B C B C ++= - …………………3分 代入得到,1123tan()1123 B C ++= =-?. …………………6分 (II )因为180A B C =-- …………………7分 所以tan tan[180()]tan()1A B C B C =-+ =-+=- …………………9分 又0180A << ,所以135A = . …………………10分 因为1 tan 03C = >,且0180C << ,所以sin C = , …………………11分 由 sin sin a c A C =,得a = …………………13分 16. (共13分) 解:(I )因为12n n S S n -=+,所以有12n n S S n --=对2n ≥,*N n ∈成立 ………2分 即2n a n =对2n ≥成立,又1121a S ==?, 所以2n a n =对*N n ∈成立 …………………3分 所以12n n a a +-=对*N n ∈成立 ,所以{}n a 是等差数列, …………………4分 所以有212 n n a a S n n n += ?=+ ,*N n ∈ …………………6分 (II )存在. …………………7分 由(I ),2n a n =,*N n ∈对成立 所以有396,18a a ==,又12a =, ………………9分 所以由 112339, b a b a b a ===,,则 23 12 3b b b b == …………………11分 所以存在以12b =为首项,公比为3的等比数列{}n b , 其通项公式为1 23n n b -=? . ………………13分 17. (共13分) 证明: (I) 因为O 为AB 中点, 所以1 ,2 BO AB = …………………1分 又//,AB CD 1 2 CD AB =, 所以有,//,CD BO CD BO = …………………2分 所以ODCB 为平行四边形,所以//,BC OD …………………3分 又DO ?平面,POD BC ?平面,POD 所以//BC 平面POD . …………………5分 (II)连接OC . B A C D O P 又AD CD =,所以ADCO 为菱形, 所以 AC DO ⊥, …………………7分 因为正三角形PAB ,O 为AB 中点, 所以PO AB ⊥ , …………………8 分 又因为平面ABCD ⊥平面PAB ,平面ABCD 平面PAB AB = , 所以PO ⊥平面ABCD , …………………10分 而AC ?平面ABCD ,所以 PO AC ⊥, 又PO DO O = ,所以AC ⊥平面POD . …………………12分 又PD ?平面POD ,所以AC ⊥PD . …………………13分 18. (共14分) 解:(I )因为2211'()a ax f x x x x -=-+= , …………………2分 当1a =, 21 '()x f x x -= , 令'()0f x =,得 1x =, …………………3分 又()f x 的定义域为(0,)+∞, ()f x ',()f x 随x 的变化情况如下表: 所以1x =时,()f x 的极小值为1 . …………………5分 ()f x 的单调递增区间为(1,)+∞,单调递减区间为(0,1); …………………6分 (II )解法一: 因为2211 '()a ax f x x x x -=- += ,且0a ≠, 令'()0f x =,得到1 x a = , 若在区间(0,]e 上存在一点0x ,使得0()0f x <成立, 其充要条件是()f x 在区间(0,]e 上的最小值小于0即可. …………………7分 (1)当1 0x a = <,即0a <时,'()0f x <对(0,)x ∈+∞成立, 所以,()f x 在区间(0,]e 上单调递减, 故()f x 在区间(0,]e 上的最小值为11 ()ln f e a e a e e = +=+, 由10a e +<,得1 a e <-,即1(,)a e ∈-∞- …………………9分 (2)当1 0x a =>,即0a >时, ① 若1 e a ≤,则'()0f x ≤对(0,]x e ∈成立,所以()f x 在区间(0,]e 上单调递减, 所以,()f x 在区间(0,]e 上的最小值为11 ()ln 0f e a e a e e =+=+>, 显然,()f x 在区间(0,]e 上的最小值小于0不成立 …………………11分 ② 若10e < <,即1 a >时,则有 所以()f x 在区间(0,]e 上的最小值为()ln f a a a a =+, 由11 ()ln (1ln )0f a a a a a a =+=-<, 得 1ln 0a -<,解得a e >,即(,)a e ∈+∞. …………………13分 综上,由(1)(2)可知:1(,)(,)a e e ∈-∞-+∞ 符合题意. …………………14分 解法二:若在区间(0,]e 上存在一点0x ,使得0()0f x <成立, 即00 1 ln 0a x x +<, 因为00x >, 所以,只需001ln 0ax x +< …………………7分 令()1ln g x ax x =+,只要()1ln g x ax x =+在区间(0,]e 上的最小值小于0即可 因为'()ln (ln 1)g x a x a a x =+=+, 令'()(ln 1)0g x a x =+=,得1 x e = …………………9分 (1)当0a <时: 因为(0,)x e ∈时,()1ln 0g x ax x =+>,而()1ln 1g e ae e ae =+=+, 只要10ae +<,得1 a e <-,即1(,)a e ∈-∞- …………………11分 所以,当 (0,]x e ∈时,()g x 极小值即最小值为1()1ln 1a g a e e e e =+?=-, 由10a e - <, 得 a e >,即(,)a e ∈+∞. …………………13分 综上,由(1)(2)可知,有1 (,)(,)a e e ∈-∞-+∞ . …………………14分 19. (共14分) 解:(Ⅰ)由已知,222 2 1 4 a b e a -==,所以2234a b =, ① …………………1分 又点3 (1,)2M 在椭圆C 上,所以221914a b += , ② …………………2分 由①②解之,得2 2 4,3a b ==. 故椭圆C 的方程为22 143 x y +=. …………………5分 (Ⅱ) 当直线l 有斜率时,设y kx m =+时, 则由22 , 1.4 3y kx m x y =+???+=? ? 消去y 得,222(34)84120k x kmx m +++-=, …………………6分 222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ?=-+-=+->, ③…………7分 设A 、B 、P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、,则: 0120121222 86,()23434km m x x x y y y k x x m k k =+=- =+=++=++, …………8分 由于点P 在椭圆C 上,所以22 00 143x y += . ……… 9分 从而2222222 16121(34)(34) k m m k k +=++,化简得22 434m k =+,经检验满足③式. ………10分 又点O 到直线l 的距离为: d = = == ………11分 当且仅当0k =时等号成立 …………12分 当直线l 无斜率时,由对称性知,点P 一定在x 轴上, 从而P 点为(2,0),(2,0)-,直线l 为1x =±,所以点O 到直线l 的距离为1 ……13分 所以点O 到直线l ……14分 20. (共13分) 解: (I) 因为数列1240,30,k k ==320,k =410k =, 所以123440,70,90,100b b b b ====, 所以(1)60,(2)90,(3)100,(4)100g g g g =-=-=-=- . …………………3分 (II) 一方面,1(1)()100m g m g m b ++-=-, 根据j b 的含义知1100m b +≤, 故0)()1(≤-+m g m g ,即 )1()(+≥m g m g , ① …………………5分 当且仅当1100m b +=时取等号. 因为123100,,,,a a a a 中最大的项为50,所以当50m ≥时必有100m b =, 所以(1)(2)(49)(50)(51)g g g g g >>>=== 即当149m <<时,有()(1)g m g m >+; 当49m ≥时,有()(1)g m g m =+ . …………………7分 (III )设M 为{}12100,,,a a a 中的最大值. 由(II )可以知道,()g m 的最小值为()g M . 下面计算()g M 的值. 123()100M g M b b b b M =++++- 1231(100)(100)(100)(100)M b b b b -=-+-+-++- 233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++- 23[2(1)]M k k M k =-+++- 12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++ 123100()M a a a a b =-+++++ 123100()100a a a a =-+++++ , ∵123100200a a a a ++++= , ∴()100g M =-, ∴()g m 最小值为100-. …………………13分 说明:其它正确解法按相应步骤给分.