晶体学课后习题参考答案

第一章习题

1. 晶体与非晶体最本质的区别是什么？准晶体是一种什么物态？

答：晶体和非晶体均为固体，但它们之间有着本质的区别。晶体是具有格子构造的固体，即晶体的内部质点在三维空间做周期性重复排列。而非晶体不具有格子构造。晶体具有远程规律和近程规律，非晶体只有近程规律。准晶态也不具有格子构造，即内部质点也没有平移周期，但其内部质点排列具有远程规律。因此，这种物态介于晶体和非晶体之间。

2. 在某一晶体结构中，同种质点都是相当点吗？为什么？

答：晶体结构中的同种质点并不一定都是相当点。因为相当点是满足以下两个条件的点：a点的内容相同；b.点的周围环境相同。同种质点只满足了第一个条件，并不一定能够满足第二个条件。因此，晶体结构中的同种质点并不一定都是相当点。

3. 从格子构造观点出发，说明晶体的基本性质。

答：晶体具有六个宏观的基本性质，这些性质是受其微观世界特点，即格子构造所决定的。现分别变述：

a. 自限性晶体的多面体外形是其格子构造在外形上的直接反映。晶面、晶棱与角顶分别与格子构造中的面网、行列和结点相对应。从而导致了晶体在适当的条件下往往自发地形成几何多面体外形的性质。

b. 均一性因为晶体是具有格子构造的固体，在同一晶体的各个不同部分，化学成分与晶体结构都是相同的，所以晶体的各个部分的物理性质与化学性质也是相同的。

c. 异向性同一晶体中，由于内部质点在不同方向上的排布一般是不同的。因此，晶体的性质也随方向的不同有所差异。

d. 对称性晶体的格子构造本身就是质点周期性重复排列，这本身就是一种对称性；体现在宏观上就是晶体相同的外形和物理性质在不同的方向上能够有规律地重复出现。

e. 最小内能性晶体的格子构造使得其内部质点的排布是质点间引力和斥力达到平衡的结果。无论质点间的距离增大或缩小，都将导致质点的相对势能增加。因此，在相同的温度条件下，晶体比非晶体的内能要小；相对于气体和液体来说，晶体的内能更小。

f. 稳定性内能越小越稳定，晶体的稳定性是最小内能性的必然结果。

，找出其相当点并画出其空间格子（见下图）

第二章习题

1. 讨论一个晶面在与赤道平面平行、斜交或垂直时，投影点与投影基圆之间的距离关系。

答：根据晶面极射赤平投影的步骤和方法可知：与赤道平面平行的晶面投影点位于基圆 的圆心，斜交

的晶面投影点位于基圆的内部，直立的晶面投影点位于基圆上。根据这一 规律可知，投影点与基圆的

距离由远及近顺序分别为与赤道平面平行的晶面、斜交的晶 面和垂直的晶面。

2. 作立方体、四方柱的各晶面投影，讨论它们的关系。

答：立方体有六个晶面，其极射赤平投影点有六个投影点。四方柱由四个晶面组成，其 投影点只有四

个。四方柱的四个投影点的分布与立方体直立的四个晶面的投影点位置相 同。如果将四方柱顶底面也

投影，则立方体与四方柱投影结果一样，由此说明，投影图 不能放映晶体的具体形状，只能反映各晶

面的夹角情况。

3.

已知磷灰石晶体上（见附图），m A m=60，m A r=40 °作其所有晶面的投影，并在投影图中求

r A r=?

答：晶面的极射赤平投影点见右图。在吴氏网中，将两个相邻的r 晶面投影点旋转到过同

一条大圆弧，在这条大圆弧上读取两点之间的刻度即为

4.作立方 r A r=42o 。

m m m 7

m

m m r

卞、

—r

体上所有对称面的极射赤平投影。

第三章习题

1. 总结对称轴、对称面在晶体上可能出现的位置。

答：在晶体中对称轴一般出现在三个位置： a 角顶；b 晶棱的中点；C.晶面的中心。而对

称面一般出现在两个位置：a.垂直平分晶棱或晶面；b.包含晶棱。

2. 旋转反伸操作是由两个操作复合而成的，这两个操作可以都是对称操作，也可以都是非对称操作， 请举例说

明之。

答：旋转反伸轴L i 3是由L 3及C 的操作复合而成，在有L i 3的地方是有L 3和C 存在的， 这两个操作

本身就是对称操作；旋转反伸轴 L i 6是有L 6和C 的操作复合而成，在有L i 6 的地方并没有L 6和C 存在

的，即这两个操作本身是非对称操作，但两个非对称操作复合 可以形成一个对称操作。

3. 用万能公式证明：L i 2= P 丄，L i 6=L 3+P 丄(提示：L i n =L n XC ; L 3+L 2//=L 6)

证明：??? L i 2=L 2>C ，而万能公式中L 2>C= P 丄

2

? '?L i =卩丄

??? L i 6=L 6>C ，将 L 3+L 2//=L 6代入可得：L i 6= ( L 3+L 2//) X C = L 3+ (L 2 &) = L 3+P

4. L 33L 24P 属于什么晶系 ?为什么 ?

答：它属于六方晶系。因为L 33L 24P 也可以写成L i 63L 23P ,而L i 6为六次轴，级别比L 3 的轴次要高，

因此在晶体分类中我们一般将 L i 63L 23 P 归属六方晶系。

5. 找出晶体模型上的对称要素，分析晶体上这些对称要素共存符合于哪一条组合定理 称型、

晶系。 答：这一题需要模型配合动手操作才能够完成。因此简单介绍一下步骤：

1) 2) 3) 4) 第四章 习题

1.

总结下列对称型中,各对称要素在空间的分布特点,它们与三个晶轴的关系： m3m , m3,3m 。

答：在m3m 对称型中，其所有对称要素为 3L 44L 36L 29PC 。其中对称中心C 在原点；3 个P 分别

垂直于其中一个结晶轴，另外 6个P 分别处于两个结晶轴夹角平分线处； L 2分别是任意

两个结晶轴的对角线；4和L 3分别位于三个结晶轴的体对角线处， 相互垂直且分别与一个结晶轴重合。

在m3对称型中，其所有对称要素为3L 24L 33PC 。其中对称中心C 在原点；3个P 相互垂 直且分别

垂直于其中一个结晶轴；4和L 3分别位于三个结晶轴的体对角线处，3个L 2相 互垂直且分别与一个

结晶轴重合。

在3m 对称型中，其所有对称要素为L 33P 。L 3与Z 轴重合，3个P 分别垂直于X 、丫、U 轴。

2. 区别下列对称型的国际符号：

23 与 32 3m 与 m3 6/mmm 与 6mm

3m 与 mm 4/mmm 与 mmm m3m 与 mmm 答：首先我们可以通过这些对称型的国际符号展示的对

称要素,确定它们所属的晶系。 然后将对称要素按照国际符号书写的方位分别置于其所在的位置。

最后根据对称要素组 合定律将完整的对称型推导出来。

23 与 32： 23 为等轴晶系,对称型全面符号为 3L 24L 3; 32 为三方晶系,对称型全面

符号为 L 33L 2。

?写出晶体的对

根据各种对称要素在晶体中可能出现的位置，找出晶体中所有的对称要素；

结合对称型的推导(课本P32,表3-2)来分析这些对称要素共存所符合的组合定律; 根据找出

的对称要素，按照一定的书写原则写出对称型； 根据晶体对称分类中晶系的划分原则,确定

其所属的晶系。

6个 3 个 L 4

3

3m 与m3: 3m 为三方晶系，对称型全面符号为 L 3P ; m3为等轴晶系，对称型全面符 号为

3L 24L 33PC 。

6/mmm 与6mm ： 6/mmm 为六方晶系，对称型全面符号为L 66L 27PC; 6mm 为六方晶系, 对称型

全面符号为L 66P 。

3m 与mm ： 3m 为三方晶系，对称型全面符号为 L 33P ; mm 为斜方晶系，对称型全面 符号为

L 22P

4/mmm 与mmm ： 4/mmm 为四方晶系，对称型全面符号为 L 44L 25PC ; mmm 为斜方晶

系，对称型全面符号为3L 23 PC 。

m3m 与mmm ： m3m 为等轴晶系，对称型全面符号为 3L 44L 36L 29PC ; mmm 为斜方晶 系，对称

型全面符号为3L 23 PC 。

3. 观察晶体模型，找出各模型上的对称要素，确定对称型及国际符号，并画出对称要素的赤平投影。 答：这一

题需要模型配合动手操作才能够完成。因此简单介绍一下步骤：

根据各种对称要素在晶体中可能出现的位置，找出晶体中所有的对称要素;

写出其对称型后，根据晶体对称分类中晶系的划分原则，确定其所属的晶系;

按照晶体的定向原则(课本 P42-43,表4-1)给晶体定向;

按照对称型国际符号的书写原则(课本 P56,表4-3)写出对称型的国际符号;

将对称要素分别用极射赤平投影的方法投影到平面上。投影的顺序一般为先投影对称 面，接着

投影对称轴最后投影对称中心。

4. 同一晶带的晶面，在极射赤平投影图中怎样分布

答：同一晶带的晶面的投影先投到投影球上，它们分布在同一个大圆上。用极射赤平投 影的方法投

影到水平面上可以出现三种情况：分布在基圆上(水平的大圆)；分布在一 条直径上(直立的大圆)；

分布在一条大圆弧上(倾斜的大圆)。同一晶带的晶面投影 在同一大圆上，因为同一晶带的晶面其法

线处于同一圆切面上。

5.下列晶面哪些属于［001 ］晶带？哪些属于［010］晶带？哪些晶面为［001］与［010］二晶带所共有？

(100)，(010 )，(001)，(100 )，(010 )，(001 )，(110 )，(110)，(011)，(011),( 101 )，(101), (110 )，

(110)，(101 )，(bi )，(011 )，(0)1)。

答：属于［001］的晶面有：(100),(010)，( i oo ),( o i o ),( i i o ),( 110)，

■ ■

(1 l o ),( 110)。

1) 2) 3) 4) 5)

属于［010］的晶面有：(100)，( 001)，( 100),( 00 1)，(101)，( 101)，(10

1)

［001］与［010］二晶带所共有：（100），（100）。

6

（1）

与（010）。

（2）单斜晶系晶体：（001 ）与［001 ］； : 100］与［001 ］；（001 ）与（100）；（100）与（010）。

⑶三、六方晶系晶体：（10^0）与（0001）；（10i。）与（112 0）；（10）0）与（10i 1）（0001）与（112。）。答：（1）等轴晶系中（001）与［001 ］垂直；（010）与［010］垂直；［110］与［001］垂直；（110）与（010）斜交。

四方晶系中（001）与［001 ］垂直；（010）与［010］垂直；［110］与［001 ］垂直; （110）与（010）斜交。

斜方晶系中（001）与［001 ］垂直；（010）与［010］垂直；［110］与［001 ］垂直; （110）与（010）斜交。

单斜晶系中（001）与: 001］斜交；［100］与［001 ］斜交；（001）与（100）斜

（100）与（010）垂直。

（3）

与（10 11）斜交；（0001）与（1120）垂直。第七章习题

1.有一个mm2对称平面图形，请你划出其最小重复单位的平行四边形。答：平行四边形见右图

2.说明为什么只有14种空间格子？

答：空间格子根据外形可以分为7种，根据结点分布可以分为4种。布拉维格子同时考虑外形和结点分布两个方面，按道理应该有28种。但28种中有些格子不能满足晶体的对称，如：立方底心格子，不能满足等轴晶系的对称，另外一些格子可以转换成更简单的格子，如：四方底心格子可以转换成为体积更小的四方原始格子。排除以上两种情况的格子，所以布拉维格子只有14种。

3. 分析金红石晶体结构模型，找出图7-16中空间群各内部对称要素。

,(10 1)。

判定晶面与晶面，晶面与晶棱，晶棱与晶棱之间的空间关系（平行，垂直或斜交）：

等轴晶系、四方晶系及斜方晶系晶体：（001）与［001 ］；（010）与［010］； : 110］与［001］；

（110）

（2

）

三、六方晶系中（10 10）与（0001）垂直；（10 10）与（112 0）斜交；（10 10）

2, m , n , 1。图中的空间群内部对称要

n

X n m n

4. Fd3m 是晶体的什么符号？从该是属于什么晶系 ？具什么格子类型？有

符号中可以看出该晶体

些什么

对称要素？ 答：Fd3m 是空间群的国际符号。该符号第二部分可以看出该晶体属于等轴晶系。具有立 方面心格

子。从符号上看，微观对称有金刚石型滑移面

d ,对称轴3,对称面m 。该晶体

对应的点群的国际符号为m3m ，该点群具有的宏观对称要素为3L 44L 36L 29 PC 。 5. 在一个实际晶体结构中，同种原子 （或离子）一定是等效点吗？一定是相当点吗？如果从实际晶体结构 中画出了空间格子，空间格子上的所有点都是相当点吗 ？都是等效点吗？

答：实际晶体结构中，同种质点不一定是等效点，一定要是通过对称操作能重合的点才 是等效点。例如：因为同种质点在晶体中可以占据不同的配位位置，对称性就不一样， 如：铝的铝硅酸盐，这些铝离子不能通过内部对称要素联系在一起。

同种质点也不一定是相当点。因为相当点必须满足两个条件：质点相同，环境相同。同 种质点的环境不一定相同，如：金红石晶胞中，角顶上的 Ti 4+与中心的Ti 4+的环境不同, 故它们不是相当点。

空间格子中的点是相当点。因为从画空间格子的步骤来看，第一步就是找相当点，然后 将相当点按照一定的原则连接成为空间格子。所以空间格子中的点是相当点。

空间格子中的点也是等效点。空间格子中的点是相当点，那么这些点本身是相同的质点, 而且周围的环境一样，是可以通过平移操作重合在一起的。因此，它们符合等效点的定 义，故空间格子中的点也是等效点。

疋等 A 2

tn

n

答：金红石晶体结构中的内部对称要素有：

42,

素分别标注在下图中： z