理科数学
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设全集U =R ,集合{}2=≤-A x x {}1,,=≥-B x x 则()=eU A B
A.
[]21,- B.21(,)-- C.(][)21,,-∞--+∞ D.21(,)-
2.复数2
1i
z =
+在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.空气质量指数AQI 是检测空气质量的重要参数,其数值越大说明空
气污染状况越严重,空气质量越差.某地环保部门统计了该地区12月1日至12月24日连续24天空气质量指数AQI ,根据得到的数据绘制出如图所示的折线图.则下列说法错误..
的是 A.该地区在12月2日空气质量最好
B.该地区在12月24日空气质量最差
C.该地区从12月7日到12月12日AQI 持续增大
D.该地区的空气质量指数AQI 与日期成负相关
4.已知锐角ABC ?的三个内角分别为,,,A B C 则“sin >sin A B ”是“tan >tan A B ”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5. “更相减损术”是我国古代数学名著《九章算术》中的算法案例,其对应的程序框图如图所示.若输入的x,y,k 的值分别为4,6,1,则输出的k 的值为
A.2
B.3
C.4
D.5
6.若关于x 的不等式2
210x ax ++≥在[)0+∞,上恒成立,
则实数a 的取值范围为
A.0+∞(,)
B.[
)1-+∞, C.[
]11-, D.[)0+∞,
[)[)[][)
26210001110.,()(,)(),(),(),x a A B C D ++≥+∞+∞ -+∞ - +∞若关于的不等式在上恒成立,则实数的取值范围为x ax
7.如图,已知双曲线22
22100x y E a b a b
-=:(,)>>,长方形ABCD 的顶点A ,
B 分别为双曲线E 的左,右焦点,且点
C ,
D 在双曲线
E 上.若6AB =,
5
2
BC =,则此双曲线的离心率为
B.
3
2 C.52
22
2281005
62
.:(,),,,,,,,ABCD A B E C D E AB BC -===如图已知双曲线长方形的顶点分别为双曲线的左、右焦点且
点在双曲线上若则双曲线的离心率为
x y E a b a b
>>
8.已知3sin 0652
ααππ
-=
∈(),(,),则cos α的值为
A.
310
B.310
C.410-
D.410
9.在三棱锥P ABC -中,已知PA ⊥底面ABC ,1202BAC PA AB AC ?
∠====,.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为
A. B.18π C.20π
D.
10.已知定义在R 上的奇函数f x ()满足20f x f x ++=()(),且当[]
01x ∈,时,2log 1f x x =+()().则下列不等式正确的是
A. ()()()2log 756f f f <-<
B. ()()()2log 765f f f <<-
C. ()()()25log 76f f f -<<
D. ()()()256log 7f f f -<< 11.设函数sin 23
f x x π
=+
()(),若12x x 0,<且120f x f x +=()(),则21x x -的取值范围为 A.6π∞(,+)
B.3
π∞(,+) C.23π+∞(
,)
D.43π+∞(,)
12.已知关于x 的方程e 0e e
x
x x
++-x m =x 有三个不相等的实数根123x x x ,,,且1230x x 2312 111e e e x x x ---( )()()x x x 的值为 A.e B. 1 C. 1m + D. 1m - 第II 卷(非选择题,共90分) 二、填空题:本大题共4道小题,每小题5分,共20分. 13.5 2()y x+的展开式中的第三项系数为. 14.若实数x y ,满足线性约束条件124+≥?? ≤??-≤? x y y x x y ,则2+x y 的最大值为. 15.如图,在直角梯形ABDE 中,已知90 ABD EDB ? ∠=∠=,C 是BD 上一点, 315,AB ACB ?=∠=60,ECD ?∠=45EAC ?∠=,则线段DE 的长度为 . 16.在长方体1111ABCD A B C D -中,已知底面ABCD 为正方形,P 为11A D 的中点,12AD AA =,,点Q 是 正方形ABCD 所在平面内... 的一个动点,且=QC ,则线段BQ 的长度的最大值为. 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,24316a S ==,,* n ∈N . (1)求数列 {}n a 的通项公式; (2)设2n n n b a =,求数列{}n b 的前n 项和n T . 18. (本小题满分12分) 某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况,对每天的用水量作了记录,得到了大量的该企业的日用水量的统计数据.从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本,得到如图所示的茎叶图(单位:吨). 若用水量不低于95(吨),则称这一天的用水量超标. (1)从这12天的数据中随机抽取3个,求至多有1天是用水量超标的概率; (2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率,估计该企业未来3天中用水量超标的天数.记随机变量X 为未来这3天中用水量超标的天数,求X 的分布列和数学期望. 19.(本小题满分12分) 如图①,在边长为5的菱形ABCD 中,6AC =.现沿对角线AC 把ADC ?翻折到APC ?的位置得到四面体 P ABC -,如图②所示. 已知PB =(1)求证:平面PAC ⊥平面ABC ; (2)若Q 是线段AP 上的点,且1 3 AQ = AP ,求二面角Q BC A --的余弦值. 图① 图② 20.(本小题满分12分) 已知椭圆22 2210x y C a b a b +=:()>> 的右焦点0F ),长半轴与短半轴之比等于2. (1)求椭圆C 的标准方程; (2)设不经过点01(,)B 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M N ,.若线段MN 的中点H 满足2MN =BH ,证明直线l 过定点,并求出该定点的坐标. 21.(本小题满分12分) 已知函数e x f x =(),其中e 271828=???.为自然对数的底数. (1)若曲线()=y f x 在点00e x P x (,)处的切线方程为y kx b =+,求k b -的最小值; A A (2)当常数()2,+m ∈∞时,已知函数2 12g x x f x mx =--+()()()在0(,)+∞上有两个零点()1212x x x x ,<. 证明:214 ln e <- 请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4-4:极坐标与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为12222x t t y t ?=+?? ? ?=+??(为参数).在以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为2 sin 4sin ρθθρ+=. (1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程; (2)已知点M 的直角坐标为22(,).若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A B ,,求 MA MB ?的值. 23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数21f x x k x k =-++∈(),R . (1)当1k =时,若不等式4f x ()<的解集为{}12x x x x |<<,求12x x +的值; (2)若关于x 的不等式f x k ≥()当x ∈R 时恒成立,求k 的最大值. 数学(理科)参考答案及评分意见 第I 卷(选择题,共60分) 一.选择题:(每小题5分,共60分) 1.B ; 2.D ; 3.D ; 4.C ; 5.C ; 6.B ; 7.B ; 8.A ; 9.C ;10.C ;11.B ;12.B. 第II 卷(非选择题,共90分) 二.填空题:(每小题5分,共20分) 13.40;14.12;15.6;16.6. 三.解答题:(共70分) 17.解:(1)设数列{}n a 的公差为d . 24316a S ==,, 1134616a d a d ∴+=+=,. 解得121d a ==,. ………4分 21n a n ∴=-. ………6分 (2)由题意,212n n b n =-?(). 1211232232212n n n T n n -∴=?+?+???+-?+-?()(). ① 21212232212n n n T n n +=?+???+-?+-?()(). ② 由①-②,可得 1231122222212n n n T n +-=?+?++???+--?()(). ………9分 311122212126232n n n n T n n -++∴-=+---?=-+-+?()()(). ………11分 16232n n T n +∴=+-?(). ………12分 18.解:(1)记“从这12天的数据中随机抽取3个,至多有1天是用水量超标” 为 事件A . 则12348 8331212C C C 16842C C 22055 P A =+==(). ………4分 (2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率,易知其概率为13. 随机变量X 表示未来三天用水量超标的天数,∴X 的取值分别为:0123,,,. 易知33112 30123333 k k k X B P X k C k -===(,),()()(),,,,. 则8421 0123279927 P X P X P X P X == ======()(),(),()., ………8分 ∴随机变量X 的分布列为 ………10分 数学期望1 313E X =?=(). ………12分 19.解:(1)取AC 的中点O ,连接,PO BO 得到?PBO . ABCD 是菱形,∴=PA PC ,PO AC ⊥. 5634DC AC OC PO OB ==∴===,,, , 4PB = 222 PO OB PB ∴+=. PO OB ∴⊥. BO AC O =,∴⊥PO 平面ABC . ?PO 平面PAC , ∴平面ABC ⊥平面PAC . ………4分 (2) AB BC BO AC =∴⊥., 易知,,OB OC OP 两两相互垂直. 以O 为坐标原点,OB OC OP ,,分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方 向建立空间直角坐标系Oxyz ,如图所示. 则400030004030B C P A -(,,),(,,),(,,),(,,). 设点(,,)Q x y z . 由13AQ AP = , 得4 023Q -(,,). ………6分 4 430423 BC BQ ∴=-=--(,,),(,,). 设1111x y z =(,,)n 为平面BCQ 的一个法向量. 由 11 1 111 1 430 4 420 3 x y BC x y z BQ -+= ? ??= ?? ? ?? --+ ?= ?? ?? . = n n 解得 11 11 3 4 4 15 x y y z ? = ?? ? ? ?? . = 取 115 z=,则 1 3415 =(,,). n………8分 取平面ABC的一个法向量 2 001 =(,,) n . 12 12 12 cos, ? === n n n n n n ………11分 ∴二面角-- Q BC A………12分20.解:(1)222 32 a c a b c b ===+ ,,, ∴21 , == a b. ∴椭圆的标准方程为 2 21 4 x y +=.………4分(2)易知当直线l的斜率不存在时,不合题意. 设直线l的方程为1) y kx m m =+≠ (,点 1122 M x y N x y (,),(,). 联立 22 44 y kx m x y =+ ? ? += ? ,消去y可得222 418440 k x kmx m +++-= (). 22 122 2 122 410 8 41 44 41 k m km x x k m x x k ? ??=+-> ? - ? ∴+= ? + ? ?- = ? + ? . 由2 MN=BH,可知点B在以MN 为直径的圆上. BM BN ∴⊥.0 BM BN ∴?=.………7分 1122 11 (,)(,) ?=+-?+- BM BN x kx m x kx m 22 1212 1110 k x x k m x x m =++-++-= ()()()(), 2 22 22 448 1110 4141 m km k k m m k k -- ∴++-+-= ++ ()()(). 整理,得2 5230m m --=. 解得3 5 =- m 或1=m (舍去). ∴直线l 的方程为35 y kx =- . 故直线l 经过定点,且该定点的坐标为3 05-(,). ………12分 21.解:(1)曲线在点00e x P x (,)处的切线为0000e e e x x x y x x =-+. 0000e e e x x x k b x ∴==-+,. 00e x k b x ∴-=. ………3分 设e x H x x =(). 由1e 0x H x x '=+=()(),解得1x =-. 当x >-1时,0H x '()>,∴H x ()单调递增; 当x <-1时, 0H x '<(),∴H x ()单调递减. H x ∴()的极小值(也是最小值)为1 1e H -=-(). ∴-k b 的最小值为1 e -. ………5分 (2)当0>x 时,由e 20x g x x m '=-=()(),解得ln 2.x m = 当ln 2x m >时,()0g x '>,∴()g x 在(ln 2,)+∞m 上单调递增; 当0ln 2x m <<时,()0g x '<,∴()g x 在(0,ln 2)m 上单调递减. ∴()g x 的极小值为(ln 2).g m ………7分 ∵(1)20g m =-<,ln 2ln 41x m =>>,(ln 2)0.g m ∴< 又 010120(),(),=>=- 101(,),?∈x 使得10g x =(). 2ln 2ln 4,x m >>214ln 41ln .e x x ∴->-= ………9分 当x m =时,31e 22m g m m m m =--+()(),.> 2e 3e 3m m g m m m m m '∴=-=-()(). 设e 32m G m m m =-(),.> e 30m G m '=-(),>()∴G m 在2(,)+∞上单调递增. 22e 60G m G ∴=-()().>>0()g m '∴>恒成立. 22e 60g m g ∴=-()().>>2(ln 2,),x m m ∴?∈使得20g x =(). 2m x ∴.>21m x x ∴-. > 故214 ln e <- 22.解:(1) 由1222x t y ?=+?? ??=??, 消去参数t 可得22y x =-+). ∴直线l 20y -+-=. ………2分 2222sin 4sin sin 4sin .ρθθρρθρθρ+=∴+=, 222sin ,y x y ρθρ==+, 故曲线C 的直角坐标方程为2 4x y =. ………4分 (2 )将12222 x t y ? =+????=+??代入抛物线方程2 4x y =, 可得212422t +=()(). 即2 8160t t +--=(. ………8分 设点,A B 对应的参数分别为12,t t . 则12120,+8,16,?>==-t t t t ∴1216MA MB t t ==. ………10分 23.解:(1)由题意,得214x x -++<. i ()当2x >时,原不等式即25x <.∴5 22 x <<; ii ()当x <-1时,原不等式即23x -<.∴3 12 -<<-x ; iii ()当2x -1≤≤时,原不等式即3<4.∴12x -≤≤. 综上,原不等式的解集为3 52 2x |x ??- <?? ?,即12 35 22 x x =-=,. 121x x ∴+=. ………5分 (2)由题意,得21x k x k -++≥. 当2=x 时,即不等式k k ≥3成立.0.k ∴≥ i ()当2-≤x 或0≥x 时, 11x +≥,∴不等式k x k x ≥++-|1||2|恒成立. ii ()当12-≤<-x 时, 原不等式可化为2---≥x kx k k .可得24 1.22x k x x -≤ =-+++ 3.k ∴≤ iii ()当01<<-x 时, 原不等式可化为2.x kx k k -++≥可得21.k x ≤- 3.k ∴≤ 综上,可得03k ≤≤,即k 的最大值为3. ………10分