高三总复习48-曲线与方程
课时作业(五十)
一、选择题
1．已知定点A (1,1)和直线l ：x ＋y －2＝0，那么到定点A 的距离和到定直线l 距离相等的点的轨迹为
( )
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．直线
解析：由于点A 在直线x ＋y －2＝0上，因此选D. 答案：D
2．方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0的曲线形状是
( )
解析：由题意可得???
x 2＋y 2
－4＝0，
x ＋y ＋1≥0
或x ＋y ＋1＝0.它表示直线x ＋y ＋1＝0
和圆x 2＋y 2－4＝0在直线x ＋y ＋1＝0右上方的部分．
答案：C
3．已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是
( )
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
解析：∵|P A |＝|PN |，∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|P A |＝|MA |＝6>|MN |.故动点P 的轨迹是椭圆．
答案：B
4．已知F 是抛物线y ＝1
4x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中
点的轨迹方程是
( )
A ．x 2＝2y －1
B ．x 2＝2y －1
16 C ．x 2＝y －1
2
D ．x 2＝2y －2
解析：把抛物线方程y ＝1
4x 2化成标准形式x 2＝4y ，可得焦点F (0,1)， 设P (x 0，y 0)，PF 的中点M (x ，y )． 由中点坐标公式得?????
x ＝x 0
2，
y ＝y 0＋1
2，
∴???
x 0＝2x ，
y 0＝2y －1.
又∵P (x 0，y 0)在抛物线y ＝14x 2
上， ∴2y －1＝1
4(2x )2，即x 2＝2y －1. 答案：A
5．(2013年合肥月考)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且
|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是
( )
A ．2x ＋y ＋1＝0
B ．2x －y －5＝0
C ．2x －y －1＝0
D ．2x －y ＋5＝0
解析：由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0.
答案：D
6．(2013年温州八校联考)设动圆M 与y 轴相切且与圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为
( )
A ．y 2＝4x
B ．y 2＝－4x
C ．y 2＝4x 或y ＝0(x <0)
D ．y 2＝4x 或y ＝0
解析：解法一 设动圆圆心M (x ，y )，半径为R ，根据已知条件得： R ＝|x |＝|MC |－1，即|x |＝(x －1)2＋y 2－1.
①x ≥0时，(x ＋1)2＝(x －1)2＋y 2，即y 2＝4x ； ②x <0时，(－x ＋1)2＝(x －1)2＋y 2，即y ＝0.
综合①②得，圆心M 的轨迹方程为y 2＝4x 或y ＝0(x <0)．
解法二 当x >0时，转化为动点M 到直线x ＝－1的距离与它到定点C (1,0)的距离相等，
根据抛物线的定义，M 的轨迹方程为y 2＝4x ；
当x <0时，因C (1,0)到y 轴的距离为1，∴x 轴负半轴上的点均满足． 综上，圆心M 的轨迹方程为y 2＝4x 或y ＝0(x <0)． 故选C. 答案：C 二、填空题
7．平面上有三点A (－2，y )，B ? ?
???0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的
轨迹方程为________．
解析：AB →＝? ????2，－y 2，BC →＝? ????x ，y 2.∵AB →⊥BC →
，
∴AB →·BC →＝0，得2·x －y 2·
y
2＝0. 得y 2＝8x . 答案：y 2＝8x
8．直线x a ＋y
2－a ＝1与x 、y 轴交点的中点的轨迹方程是________．
解析：设直线x a ＋y
2－a ＝1与x 、y 轴交点为A (a,0)、B (0,2－a )，A 、B 中点为
M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a
2，消去a ，得x ＋y ＝1，∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.
答案：x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1)
9．(2012年开封模拟)已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→
，则动点Q 的轨迹方程是________．
解析：由OQ →＝PF 1→＋PF 2→
， 又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →，
设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y )＝? ????－x
2，－y 2，
即P 点坐标为? ????－x
2，－y 2，又P 在椭圆上，
则有? ????－x 22a 2＋? ????－y 22
b 2＝1，即x 24a 2＋y 2
4b 2＝1. 答案：x 24a 2＋y 2
4b 2＝1 三、解答题
10．已知椭圆C ：x 216＋y 2
9＝1和点P (1,2)，直线l 经过点P 并与椭圆C 交于A 、
B 两点，求当l 的倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程．
解：设弦中点为M (x ，y )，交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．当M 与P 不重合时，A 、B 、M 、P 四点共线．
∴(y 2－y 1)(x －1)＝(x 2－x 1)(y －2)，
①
由x 2116＋y 219＝1，x 2216＋y 22
9＝1两式相减得 (x 1－x 2)(x 1＋x 2)16＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)
9＝0.
又x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ， ∴
2x (x 1－x 2)16＝－2y (y 1－y 2)
9
，
② 由①②可得：9x 2＋16y 2－9x －32y ＝0，
③
当点M 与点P 重合时，点M 坐标为(1,2)适合方程③， ∴弦中点的轨迹方程为：9x 2＋16y 2－9x －32y ＝0.
11．设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的
轨迹方程．
解：解法一：直接法．
如图，设OQ 为过O 点的一条弦，P (x ，y )为其中点，则CP ⊥OQ .因OC 中点为M ? ??
??
12，0，连接PM .
故|MP |＝12|OC |＝12，得方程? ????
x －122＋y 2＝14，由圆的范围知0 解法二：定义法． ∵∠OPC ＝90°， ∴动点P 在以点M ? ????12，0为圆心，OC 为直径的圆上，由圆的方程得? ????x －122 ＋y 2＝1 4(0 解法三：代入法． 设Q (x 1，y 1)，则????? x ＝x 1 2， y ＝y 12???? x 1＝2x ， y 1 ＝2y . 又∵(x 1－1)2＋y 21＝1， ∴(2x －1)2＋(2y )2＝1(0 设动弦OQ 的方程为y ＝kx ，代入圆的方程得(x －1)2＋k 2x 2＝1. 即(1＋k 2)x 2－2x ＝0， ∴x ＝ x 1＋x 22＝11＋k 2，y ＝kx ＝k 1＋k 2，消去k 即可得到(2x －1)2＋(2y )2 ＝1(0 12．如图，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程． 解：设动点P 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 1，y 1)，则N 点的坐标为(2x －x 1,2y －y 1)． ∵N 在直线x ＋y ＝2上， ∴2x －x 1＋2y －y 1＝2. ① 又∵PQ 垂直于直线x ＋y ＝2， ∴y －y 1x －x 1＝1，即x －y ＋y 1－x 1＝0， ② ①、②联立解得????? x 1＝32x ＋12y －1， y 1＝12x ＋3 2y －1， ③ 又点Q 在双曲线x 2－y 2＝1上， ∴x 2 1－y 21＝1.④ ③代入④，得动点P 的轨迹方程是 2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0. [热点预测] 13．点P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆上一点，过焦点作∠F 1PF 2外角平分线的垂线．垂足为M ，则点M 的轨迹是 ( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 解析：如图，延长F 2M 交F 1P 延长线于N . ∵|PF 2|＝|PN |， ∴|F 1N |＝2a . 连接OM ，则在△NF 1F 2中， OM 为中位线， 则|OM |＝1 2|F 1N |＝a . ∴M 的轨迹是圆． 答案：A 14．△ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________． 解析：如图，|AD |＝|AE |＝8， |BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6. 根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 2 16＝1(x >3)． 答案：x 29－y 2 16＝1(x >3) 15．已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆的圆心为点C . (1)求动点C 的轨迹方程； (2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P 、Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ → 的最小值． 解：(1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线， ∴动点C 的轨迹方程为x 2＝4y . (2)由题意知，直线l 2的方程可设为y ＝kx ＋1(k ≠0)， 与抛物线方程联立消去y ，得x 2－4kx －4＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 又易得点R 的坐标为? ???? －2k ，－1， ∴RP →·RQ →＝? ????x 1＋2k ，y 1＋1· ? ???? x 2＋2k ，y 2＋1 ＝? ? ???x 1＋2k ? ????x 2＋2k ＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(1＋k 2 )x 1x 2＋? ?? ?? 2k ＋2k (x 1＋x 2)＋4k 2＋4 ＝－4(1＋k 2)＋4k ? ????2k ＋2k ＋4 k 2＋4 ＝4? ? ? ??k 2＋1k 2＋8. ∵k 2＋1 k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号， ∴RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.