F题 雪堆融化时间
F题
雪堆融化时间
目录
一问题的提出与问题分析 (3)
二关键词与符号约定 (4)
三模型的建立及模型求解...........................................5-6 四参考文献 (7)
问题：一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S 成正比，比例
系数K>0。假设在融化过程中雪堆始终保持着半球体状，已知半径为0r 的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的7
8
，问雪堆全部融化需要多少小时？
问题分析：
根据“一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S 成正比，比例系数K>0”的条件，我们可以列得方程
()
()dV t KS t dt
=-，显然这里为常微分方程。
即可得到基本思路就是：先找到()V t 与()S t 的关系，将()S t 替换()V t 的代数式，再利用已知条件“半径为0r 的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的
78
，则302(0)3V r π=，301
(3)12
V r π=”解出()V t 的具体表达式，而雪堆全部融化所用
的时间，为满足()0V n =的n 值，解出n 即为所求。
关键词半径，半圆面积，半圆体积，常数，常微分
符号约定
t t小时，t>0
S t t时刻半球状球体表面面积
()
V t t时刻半球状球体体积
()
r t t时刻半球状球体半径
()
C常数C
模型的建立和求解：
模型的建立：
1. 一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S 成正比，比例系数
K>0.即()
()dV t KS t dt
=-。 2. 雪堆始终保持着半球体状，则有32
()()3
V t r t π=，2()2()S t r t π=。
3. 半径为0r 的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的78，则302
(
0)3
V r π=，301
(3)12V r π=。
4. 雪堆全部融化所用的时间，为满足()0V n =的n 值。
模型的求解：
因为有 2()2()
S t r t π= 32
()()3
V t r t π=
解出关系:
112
3
()3()()22S t V t r t ππ????==????????
23
3()()22V t S t ππ??
=????()22
3
3
32
32()2V t ππ??=???
? ()2133
18()V t π=23
()NV t = ( 其中令()13
18N π= )
由
()
()dV t KS t dt
=-得： 2
3()
()()dV t KS t K N V t dt
=-=- 求解常微分方程：
23
()()V t dV t K N dt -
=- （方程左右两边求积）
1
3
13()V t C K N t =-
解出()V t ： 3
()3K N V t C t ??=- ???
······················○1
因为又有302
(0)3
V r π= 代入○
1： 3302
(0)3
V C r π==
解出常数C ： 1
3
023C r π??
= ???
常数C 代入○1得： 3
1
302()33K N V t r t π??????=- ???????
······················○2 因为又有301
(3)12
V r π=
，代入○
2解出K 值： 016
K r =
代回○
2解得()V t ： ()3
1
1330021()18318V t r r t ππ??????=- ???????
················○3 最后将()0V n =代入○
3则： ()3
11330021180318r r n ππ??????-= ???????
()1
1
3
3
1218183n ππ??= ???
所以 13
118627n ??
== ???
（小时）
答：雪堆全部融化需要6小时.
参考文献:
《大学数学实验》清华出版社 姜启源 邢文训 谢金星 杨顶辉 编著
总结：