安徽合肥市包河区2020-2021第一学期九年级期末数学试卷(解析版)

合肥市包河区2020-2021第一学期九年级期末数学试卷（解析版）

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

1.下列图案中，是中心对称图形的是( )

A B C D

【答案】A

【解析】A、是中心对称图形，故本选项符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

故选A

2、对抛物线y=-x2+4x-3而言，下列结论正确的是( )

A 开口向上 B.与y轴的交点坐标是(0，3) C 与两坐标轴有两个交点 D.顶点坐标是（2，1）【答案】D

【解析】A、因为a=-1＜0，故抛物线开口向下，故本选项不符合题意；

B、当x=0时，y=-3，抛物线与y轴的交点坐标是(0，-3)，故本选项不符合题意；

C、△=42-4×（-1）×（-3）=16-12=4＞0，抛物线与x轴有两个交点，所以与两坐标轴有三个交点，故本选项不符合题意；

D、对抛物线y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，顶点坐标是（2，1），故本选项符合题意；

故选D

3、点P1（-1，y1）、P2（3，y,2）、P3（5，y3）均在二次函数y=-x2+2x+c的图像上，则y1、y2、y3的大小关系是( )

A y1=y2＞y3

B y1＞y2＞y3

C y3＞y2＞y1

D y3＞y1=y2

【答案】A

【解析】∵二次函数y=-x2+2x+c图像的开口向下，且对称轴是直线x=1，（-1+3）÷2=1，∴y1=y2；

∵当x＞1时，y随x的增大而减小，∴当1＜3＜5时，y2＞y3

故选A

4、如图，在△ABC中，AB=3，

BC=5.2，∠B=60°，将△ABC绕点A逆时针旋转△ADE，若点B的对应点D恰好落在BC 边上时，则CD的长为( )

A.0.8

B.2

C.2.2

D.2.8

【答案】C

【解析】∵△ABC绕点A逆时针旋转△ADE，∴AB=AD，∵∠B=60°，∴△ABD为等边三角形，即BD=AB=3，

∴CD=BC-BD=5.2-3=2.2；

故选C

5、如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O(0，0)，A(-6，4)，B(-3，0)。以点O为位似中心，在第四象限内作与△0AB的位似比为

2

1的位似图形△0CD，则点C坐标为（ )

1

2 A (2，-1) B.(3，

-2) C )23,23(- D.)1,2

3(-

【答案】B

【解析】∵△0AB 的位似比为21的位似图形是△0CD ，位似点为0，反向位似；设点C 坐标为（a ，b ），

则a=-2

1×（-6）=3，b=-2

1×4=-2，∴C （3，-2）

故选B

6、如图，已知A 为反比例函数y=x

k (x< 0)的图象上一点，过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ，若△OAB 的面积为3，

则k 的值为（ ) A.3 B.-3 C.6 D.-6

【答案】D

【解析】∵△OAB 的面积为3，∴|k|=2×3=6，∵反比例函数y=x

k (x< 0)的图象位于第二象限，∴k=-6

故选D

7、若ad=bc ，则下列不成立的是( )

A d

c b a = B.b a

d b =-c -a C.d b b a d c +=+ D.111b 1a ++=++d c 【答案】D 【解析】A 由

d c b a =可以得到ad=bc ，故本选项正确，但是不符合题意； B 、由

b

a d

b =-

c -a 可得：（a-c ）b=（b-

d ）a ，即ad=bc ，故本选项正确，但是不符合题意； C 、由d

b b a d

c +=+可得（a+b ）d=（c+

d ）b ，即ad=bc ，故本选项正确，但是不符合题意； D 、由111b 1a ++=++d c ，可得（a+1）（d+1）=（b+1）（c+1），即ad+a+d=bc+c ，不能得到ad=bc ，故本选项错误，符合题意；

故选D

8、如图，AB 是圆O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且0C ∥DB ，连接AD 、CD ，若∠C=28°，则∠A 的大小为( )

A.30°

B.28°

C.24°

D.34°

3

【答案】D

【解析】如图，连接OD ，则OC=OD ，∴∠OBC=∠C=28°，∵OC//BD ，∴∠BDC=∠C=28°，∴∠BD0=56°， ∵OB=OD ，∴∠B=∠ODB=56°，∵∠ADB=90°，∴∠A=90°-56°=34°；

故选D

9、如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过(-1，0)和(0，-1)两点，则抛物线y=cx 2+bx+a 的图像大致为（ )

A B C D

【答案】B

【解析】∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过(-1，0)和(0，-1)两点，则a-b+c=0，且c=-1；∴a=b+1，a ＞0，-1＜b ＜0；

A 、由图像知a=1，则b=0，图像关于y 轴对称，A 图像不符合题意；

B 、由图像知a ＜1，即b+1＜1，∴b ＜0，不矛盾，B 图像符合题意；

C 、由图像知a ＞1，则b+1＞1，∴b ＞0，与-1＜b ＜0矛盾，C 图像不符合题意；

D 、由图像知a ＜-1，与a ＞0矛盾，D 图像不符合题意；

故选B

10、正方形ABCD 中，AB=4，P 为对角线BD 上一动点，F 为射线AD 上一点，若AP=PF ，则△APF 的面积最大值为( )

A.8

B.6

C.4

D.22

【答案】C

【解析】∵AP=PF ，∴点P 在AF 的垂直平分线上，过P 作PG ⊥AF ，G 为垂足，则AG=GF ，DG=PG ，设DF=x ， 则AG=42x +，GD=PG=42x -，S △APF =2141(4)4224

x x x -?+?=-+≤4，所以△APF 面积最大值为4；

故选C

4 二、 填空题(本大题共

4小题，每小题5分，满分20分)

11、抛物线y=-（x+2）2的顶点坐标是 。

【答案】（-2，0）

【解析】抛物线y=-（x+2）2的顶点坐标是（-2，0）

故答案：（-2，0）

12、如图，若芭蕾舞者拍起的脚尖点C 分线段AB 近似于黄金分割( AC

【答案】98.9cm

【解析】∵C 分线段AB 近似于黄金分割，且AC

AB --?=?≈160×0.618=98.9cm ；

故答案：98.9cm

13、如图，在边长为1的小正方形网格中，点A 、B 、C 均在格点上，则tan ∠B 的值为 .

【答案】12

【解析】如图所示，BE//AD ，∴∠B=∠BAD ，tan ∠B=tan ∠BAD=

12 故答案：12

14、如图，矩形ABCD 中，AB=6，AD=8，点P 是AB 边上一动点，把△ADP 沿DP 折叠得△A ′DP ，射线DA ′交直线AB 于点Q 点。

5 （1）当Q 点和B 点重合时，PQ 长为 ； （2）当△A ′DC 为等腰三角形时，DQ 长为

.

【答案】（1）103；（2）645555

或2455

【解析】（1）如图1，当点Q 与B 重合时，QD=10，则BA ′=2，设AP=PA ′=x ，则PB=6-x ，由勾股定理得PQ=103

； （2）①如图1：当A ′D=A ′C 时，DM=

12DC=3，∴A ′M=55，由△AQD ∽△MDA ′得：DQ=645555； ②如图2，当A ′C=DC 时，DM=12DA ′=4，∴CM=25，由△AQD ∽△MDC 得：DQ=2455

； ③如图3，当A ′D=AD=8，CD=6，∴A ′D ≠CD ；

故答案：（1）103；（2）645555或2455

图1

图2 图3

三、(本大题共1小题，每小题8分，满分16分) 15、计算： 2sin 245°-6cos30°+ 3tan45°+4sin60°

【答案】

【解析】原式=2×（2）2-6×3+3×1+4×3=1-33+3+23=4-3；

16、如图，二次函数y=-22

1x +bx+c 的图象经过A(2，0)、B(0，-4)两点 （1）求二次函数的解析式:

（2）设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA 、BC ，求△ABC 的面积。

【答案】

【解析】（1）由题意得：2122024x c c ?-?++=???=-?

； 解得：34b c =??=-?； ∴y=-221x +3x-4； （2）y=-221x +3x-4=221113(6913)(3)222

x x x --+-=--+；∴C （3，0），AC=3-2=1，

6 S △ABC

=

12

×1×|-4|=2； 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

17、如图，一次函数y 1=kx+b 的图象与反比性函数y 2=m x

的图象交于A(2，1)、 B （-1

，n ）两点。 （1）利用图中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图象直接写出使y 1＜y 2的自变量x 取值范围。

【答案】

【解析】（1）由题意得：m=2×1=2，（-1）×n=2，n=-2，∴y=2x ；再由题意得：212k b k b +=??-+=-?；解得：11k b =??=-? ∴y=x-1；

（2）由图像可知：当y 1＜y 2时，自变量x 取值范围是：x ＜-1或0＜x ＜2；

18、如图，在网格中(小正方形的边长为1)，△ABC 的三个原点都在格点上.

（1）把△ABC 沿着x 轴向右平移6个单位得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1。

（2）请以O 点为位似中心在第一象限内画出△ABC 的位似图形△A 2B 2C 2，使得△ABC 与△A 2B 2C 2的位似比为1：2；

（3）请写出△A 2B 2C 2三个顶点的坐标。

【答案】

【解析】（1）如图所示； （2）如图所示； （3）A 2、（6，0）； B 2 、（6，4）； C 2 、（2，6）

五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)

19、2020年6月23日，我国第55颗北斗卫星，即北斗全球卫星导航系统最后一颗组网卫星发射成功北斗导航装备

7 的不断更新，极大方便人们的出行，某中学从A 地出发。组织学生利用导航到C 地区进行研学活动，出发时发现

C 地恰好在A 地正北方向，且距离A 地24千米，由于A 、C 两地间是一块湿地。所以导航显示的路线是沿北偏东60°方向走到B 地，再沿北编西37°方向走一段距离才能到达C 地，求A 、B 两地的距离(精确到1千米).

(参考数据sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan37°=0.7

，2≈1.4，3≈1.7)

【答案】

【解析】如图，过点B 作BD ⊥AC 于点D ，设AD=x ，∵∠A=60°，则BD=3x ，CD=24-x ，AB=2x ；

∵∠BCD=37°，∴tan ∠BCD=BD CD

，即tan37°=3x ，解得x=7，即AB=2x=14（千米）

20、已知，如图在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，点E 为直角边AC 的中点，过D 、E 作直线交AB 的廷长线于F 。

（1）若AB=6，AC=8，求BD 长； （2）求证：AB ·AF=AC ·DF

【答案】

【解析】（1）由勾股定理得：22226810AB AC ++；∵AD ⊥BC ，∴∠ADB=∠BAC=90°，

∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，∴∠BAD=∠C ，∴△BAD ∽△BCA ，∴AB ：BC=BD ：AB ，

即6：10=BD ：6，解得BD=3.6；

（2）∵DE 为AC 边上的中线，∴DE=AE=EC ，∴∠C=∠EDC=∠BDF=∠FAD ，∵∠F=∠F ，∴△FDB ∽△FAD ， ∴DF ：AF=BD ：AD ，∵BAD ∽△BCA ，∴AB ：AC=BD ：AD ，∴DF ：AF=AB ：AC ，即AB ·AF=AC ·DF ；

六、(本题满分12 分)

21、如图，B 是圆O 的直径，点C 、M 为圆O 上两点，且C 点为AM 的中点，过C 点的切线交射线EM 、 BA 于点E 、F

8 点。

（1）求证：BE ⊥FE （2）若∠F=30°，MB=2，求BM 的长度。

【答案】

【解析】（1）连接OC ，∵FC 是⊙0的切线，∴∠OCF=90°，∵点M 是弧AM 的中点，

∴∠EBC=∠OBC ，∵∠OBC=∠OCB ，∴0C//BE ，∴BE ⊥FE ；

（2）连接OM ，∵∠F=30°， ∠E=90，∴∠FBE=60°，∴△OBM 为等边三角形，∴弧BM=

60221803

ππ??=；

七、(本题满分12分)

22、如图，已知抛物线y 1=a （x-1）（x-5）和直线y 2=-ax-a （其中a ＞0）相交于A ，B 两点。抛物线y 1与x 轴交于

C 、

D 两点，与y 轴交于点G 直线y 2与坐标轴交点于

E 、

F 两点。

（1）若G 点的坐标为（0，5），求抛物线y 1和直线y 2的解析式。

（2）求证：直线y 2始终经过抛物线y 1的顶点。

（3）求AF EF AB +的值。

【答案】

【解析】（1）把G （0，5）代入抛物线y 1=a （x-1）（x-5）解得a=-1，

所以抛物线解析式为y 1=-（x-1）（x-5）；直线解析式为y 2=-x-1

（2）y 1=a （x-1）（x-5）与x 轴交点为(1，0)和(5，0)，所以其对称轴为直线x=3，顶点壁标为(3，4a)，把顶点代入直线解析式y 2=-ax-a 得y=-4a ，所以直线y 2=-ax-a 始终经过该抛物线的顶点。

（3）过A.、B 两点作x 轴的垂线，重足分别为M 、N 两点，令y 2=-ax-a 中y=0，解得x=-1，

即E （-1，0），再联立两个解析式：a （x-1）（x-5）=-ax-a ，解得x 1=2，x 2=3，

所以M （2，0）、 N （3，0），由OF//AM/BN 得EF ：FA ：AB=EO ：OM ：MN=1：2：1.

所以1AB EF AF

+=

9

八、(本题满分14分)

23、如图1，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，E 为△ABC 的中线BD 上的一点，将线段AE 以E 点为中心逆时针旋转 90°得到线段EF ，EF 正好经过点C 点，如图1.

（1）若∠CAF=a ，则∠CBE= .

（2）若BH 平分∠EBC ，交EC 于点G ，交AF 于点H ，如图2；

①求证：△BEG ∽△ACF ； ②若EG=1，求CF 的长.

图1

图2

【答案】 【解析】（1）∵D 为AC 的中点，∴∠AEC=90°，∴AD=DE=DC ，∴∠DAE=∠AED ，∵∠EAF=45°， ∴∠DAE=45°-a ，∴∠DEA=∠DAE=45°-a ，∴∠EDC=90°-2a ，∵∠BCA=90°，则∠CBE=2a ；

（2）∵BH 为角平分线，∴∠CBG=∠EBG ，由（1）可知∠CBE=2∠CAF ，∴∠EBG=∠CBG=∠CAF ，

∵∠BCA=90°，∴∠BHA=90°，∵∠F=45°，∴∠HGF=45°，∴∠EGB=45°=∠F ，∴△BEG ∽△ACF ；

（3）由BC=2DC=2DE ，可设BC=2x ，则CD=DE=x ，BE=5）x ，得51BE BC

-， 由（2）可知：△BEG ∽△ACF ，得51EG BE BE CF AC BC -==151FC -=，即51+；