能被特殊数整除的特征

能被特殊数整除的特征

1、

能被2整除的数的特征。

如果一个数能被2整除，那么这个数末尾上的数为偶数，“0”、“2”、“4”、“6”、“8”。

2、能被3整除的数的特征。

如果一个数能被3整除，那么这个数所有数位上数字的和是3的倍数。

例如：

225能被3整除，因为2+2+5=9,9是3的倍数，所以225能被3整除。

3、能被4整除的数的特征。

如果一个数的末尾两位能被4整除，这个数就能被4整除。例如：15692512能不能被4整除呢？因为15692512的末尾两位12，能被4整除，所以15692512能被4整除。

4、能被5整除的数的特征。

若一个数的末尾是0或5则这个数能被5整除。

5、能被7

整除的数的特征。

方法一：

若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7

的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否是7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否是7 的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；

又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139 是7的倍数，以此类推。

方法二：

如果一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数的差，是7的倍数，那么这个数就能被7整除。例如：280678末三位数是678，末三位以前数字所组成的数是280,679-280=399,399能被7整除，因此280679也能被7整除。

方法三：

首位缩小法，减少7的倍数。

例如，判断452669能不能被7整除，452669-420000=32669，只要32669能被7整除即可。可对32669继续，32669-28000=4669,4669-4200=469,469-420=49,49当然被7整除所

以452669能被7整除。

6、能被8

整除的数的特征。

若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。

7、能被9整除的数的特征。

若一个数的数位上的数字的和能被9整除，则这个整数能被9整除。例如：111111111能不能被9整除呢？因为1+1+1+1+1+1+1+1+1=9,9是9的倍数，所以111111111能被9整除。

8、能被11

整除的数的特征。

方法一：

若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和（从右往左数）的差能被11整除，则这个数能被11整除。例如，判断491678能不能被11整除。奇位数字之和8+6+9=23；偶2 位数字之和7+1+4=12；23-12=11,11能被11整除，所以491678能被11整除。这种方法叫作“奇偶位差法”。

方法二：11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍

数不是2而是1

！例如：判断491678能不能被11整除，49167-8=49159,4915-9=4906， 490-6=484,48-4=44。44能被11整除，所以得491678能被11整除。

方法三：

还可以根据7的方法二判断。例如：283679的末三位数是679，末三位以前数所组成的数是283,679-283=396,396能被11整除，因此283679就一定能被11整除。

9、能被13整除的数的特征。

方法一：

若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果和太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验和」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断1284322能不能被13整除。128432+2×4=128440,12844+0×4=12844，

1284×4=1300,1300÷13=100。所以1284322能被13整除。

方法二：前面7的方法二，也适用判定13

。

例如：判定1284322能不能被13整除，128432的末尾三位数是322，末尾以前的数字所组成的数是1284,322-1284=-962。962÷13=74。所以1284322能被13整除。

10、能被17整除的数的特征。

方法一：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断1675282能不能被17整除，167528-2×5=167518,16751-8×5=16711,1671-1×5=1666,166-6×5=136, 136÷17=8，所以1675282能被17整除。

方法二：

若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。例如，判断1675282能不能被17整除，1675282的末三位是282，前面的数是1675，

282-1675×3=-4743,4743÷17=279，所以1675282能被17整除。

11、能被19整除的数的特征。

方法一：若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19 整除。

例如，判断234555能不能被19整除，234555末尾三位数是555，前面三位是234，

555-234×7=-1083,1083÷19=57，所以234555能被19整除。

方法二：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19 的倍数，则原数能被19整除。如果和太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续

上述「截尾、倍大、相加、验和」的过程，直到能清楚判断为止。

12、能被23整除的数的特征。

若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除。

13、能被25整除的数的特征。

如果一个数的末尾两位能被25整除，则这个数能被25整除。

14、能被125整除的数的特征。

如果一个数的末尾三位能被125整除，则这个数能被125整除。

《能被2、5整除的数的特征》教案

《能被2、5整除的数的特征》教案 教学过程 教学环节教师活动学生活动 使用者再创 及反思记录 一、复习引入 二、探索研究一、复习引入 1．请你说出整除、因数和倍 数的含义。 2．出示情境图： 师：看一下图中的同学在做 什么（在电影院准备看电影）， 你们知道电影票上的单号和双号 是什么意思吗？那么什么座位号 的同学应该从双号入口进？ 3．38970这个数能否被2整 除？你是怎样判断的？ 师：要判断一个数是否能被 另一个数整除，可根据整除的含 义进行判断，但比较慢，我们可 以根据数的特征来进行判断，今 天我们就来学习能被2、5整除的 数的特征。 二、探索研究 1．学生动手操作。学习能被 2整除的数的特征。 （1）写出2的倍数： 1×2＝2；2×2＝4；3×2＝ 6；4×2＝8；5×2＝10…… （2）观察并总结特征 师：自己去观察2的倍数，看 他们有什么特征？ 教师让学生自己观察，如观察 有困难，可作提示：看他们的个 位有什么特征。 通过电影院里“双号”的概 念，使学生利用因数和倍数的概 念，判断出这些“双数”都是2的 倍数。然后引导学生观察这些座位 号的个位上的数的特点，进而概括 出2的倍数的特征。 特征：让学生说出观察的特征。 检验：让学生说出几个较大的 数对观察的结果进行检验看是否正 确。 总结：个位上是0、2、4、6、 8的数都是2的倍数。 让学生举例分别说出几个奇数 和偶数。 比较奇数和偶数个位的特征。

三、课堂实践 四、课堂小结 2．小组合作学习——奇数和 偶数。 总结：自然数中，是2的倍数 的数叫做偶数（包括0），不是2 的倍数的数叫做奇数。 （1）偶数的个位上是： 0、 2、4、6、8。 （2）奇数的个位上是： 1、 3、5、7、9。 3．能被5整除的数的特征。 师：知道了2的倍数的特 征，那么你们还能找到哪些倍数 的特征呢？（10：各位是0）那 么能被5整除数的特征是什么 呢？要想研究能被5整除的数的 特征，应该怎样做？ （2）老师这里有一个表格， 你们看一下这些数中哪些是5的 倍数，用彩笔标记出来！ 教师让学生自己涂色，观察 这些倍数，概括观察的特征，然 后进行检验。 三、课堂实践 1．听要求举起手 师：学号是5的倍数的同学请 举手？学号是2的倍数的同学请 举手？ 2．讨论研究 ①首先让学生分小组讨论。 “既能被2整除又能被5整除 的数”，这个数一定具有什么特 征？为什么？ ②再让学生去找并检验讨论 的结论。 ③集体订正。 四、课堂小结 习题精选 1．在15、26、32、15、51、 24、47、30中： （1）能被2整除的有（）； （2）能被5整除的有（）； （3）能同时被2、5整除的有 （）； 2．123456789能不能被2整 除？96543210能不能被5整除？

能被特殊数整除的特征

能被特殊数整除的特征 1、 能被2整除的数的特征。 如果一个数能被2整除，那么这个数末尾上的数为偶数，“0”、“2”、“4”、“6”、“8”。 2、能被3整除的数的特征。 如果一个数能被3整除，那么这个数所有数位上数字的和是3的倍数。 例如： 225能被3整除，因为2+2+5=9,9是3的倍数，所以225能被3整除。 3、能被4整除的数的特征。 如果一个数的末尾两位能被4整除，这个数就能被4整除。例如：15692512能不能被4整除呢？因为15692512的末尾两位12，能被4整除，所以15692512能被4整除。 4、能被5整除的数的特征。 若一个数的末尾是0或5则这个数能被5整除。 5、能被7 整除的数的特征。 方法一： 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7 的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否是7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否是7 的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数； 又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139 是7的倍数，以此类推。 方法二： 如果一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数的差，是7的倍数，那么这个数就能被7整除。例如：280678末三位数是678，末三位以前数字所组成的数是280,679-280=399,399能被7整除，因此280679也能被7整除。 方法三： 首位缩小法，减少7的倍数。 例如，判断452669能不能被7整除，452669-420000=32669，只要32669能被7整除即可。可对32669继续，32669-28000=4669,4669-4200=469,469-420=49,49当然被7整除所 以452669能被7整除。 6、能被8 整除的数的特征。 若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。

数的整除特征

数的整除特征 It was last revised on January 2, 2021

数的整除性质主要有：（1）若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。 （2）若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。 （3）几个数相乘，若其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。 （4）若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除。 （5）若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。 （6）若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。 （7）个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。 （8）个位上是0或者5的数都能被5整除。 （9）若一个整数各位数字之和能被3（或9）整除，则这个整数能被3（或9）整除。 （10）若一个整数末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。 （11）若一个整数末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。 （12）若一个整数各位数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除。 （13）一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除,只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除

（14） （15）末位数字为零的整数必能被10整除 （16） （17）另外,一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差如果是11的倍数,那么这个整数也是11的倍数.（一个整数的个位、百位、万位、…称为奇数位,十位、千位、百万位……称为偶数位.） （18） （19）至于6和12的整除特性，通过以上的原则判断即可：各位数之和能被3整除的偶数能被6整除；各位数之和能被3整除且末两位数字组成的两位数能被4整除的整数能被12整除。 （20）能被7整除的数的特征：若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。 方法1、（适用于数字位数少时）一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数（包括0），那么，原来的这个数就一定能被7整除．例如：判断133是否7的倍 数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7 的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。 方法2、（适用于数字位数在三位以上）一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，如果能被7整除，那么，这个多位数就一定能被7整除．

能被2、3、4、5、6、7、8、9………..等数整除的数的特征 2018.1.8

能被2、3、4、5、6、7、8、9………..等数整除的数的特征 性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c整除。 性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。 能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除 能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除 能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除 能被6整除的数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除 能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。 能被8整除的数，百位、十位和个位所组成的三位数能被8整除，那么这个数能被8整除能被9整除的数，各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数能被9整除能被10整除的数，如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位数为零）能被11整除的数，奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！ 能被12整除的数，若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除 能被13整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 能被17整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 另一种方法：若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除 能被19整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 另一种方法：若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除 能被23整除的数，若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除 能被25整除的数，十位和个位所组成的两位数能被25整除。 能被125整除的数，百位、十位和个位所组成的三位数能被125整除。

数的整除特征(一)教案

数的整除特征（一） 新课引入： 数的整除问题是整数的内容中最基本的问题。常见数的整除特征如下：（1）1与0的特性： 1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a. 0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0. （2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。 （3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。 （4）若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。 （5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。 （6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。 （7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。 （8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。 （9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。 （10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。 （11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！如121，1375。 （12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。 （13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。如312。 新课讲授： 例1．在能被2,3,5整除。 能被 2,3,5和5整除的数的特征是个位上的数字必须是0， 里填 能被3+9+0的和能被3整除，那有几种呢？ 填1,4,7.符合条件的有2190,2490,2790。 做练习题。 例2．五位数2A10B能被72整除，这样的五位数有几个？ 解题思路：因为72=8×9，且8和9互质，这个数必须同时能被8和9整除。要能被8整除得看末三位，B必须是4；当个位是4时，千位上必须是2（因为2+2+1+0+4=9），所以符合条件的只有1个，即22104。 解：要使2A10B能被72整除，B=4，因为2+2+1+0+4=9，所以A=2。

能被3整除的数的特征

能被3整除的数的特征 于育强 片段： 师：同学们，我们已经掌握了能被２、５整除数的特征，你能用３、４、５三个数字很快组成能被２整除的三位数吗？ 生：３５４、５３４能被２整除。(板书) 师：怎样的数能被２整除呢？ 生：一个数的个位是０、２、４、６、８，这个数能被２整除。 师：你能用３、４、５再很快组成能被５整除的三位数吗？ 生：３４５、４３５能被５整除。（板书） 师：能被５整除的数的特征怎样？ 生：一个数的个位上是0或5，这个数能被5整除。 设疑，引入新课。 师：那么，用３、４、５这三个数字能不能组成能被３整除的三位数呢？请同位合作试试组一组、算一算看。 生：345 生：435 生：534 生：453 生：543…… 师：奇怪，这三个数字不论怎样排列，所得到的三位数都能被３整除。到底能被３整除的数有什么特征呢？这节课我们一起来学习能被３整除的数的特征。（板书课题）能被3整除的数的特征 分析：在还没有学习新课之前教师先让学生自己动手排列3，4，5这三个数字，，目的是让学生感觉到无论怎么排列，所得到的三位数都能被３整除。到底能被３整除的数有什么特征呢？激起学生的疑问，使学生能更好的投入新课的学习。反思： 整堂课从让学生举例子的方法先找出已学的数的特征，使学生确实感到数学原来这么简单有趣，从而提高了学生学习数学的兴趣。因此学生在整堂课中情绪一直很饱满，积极举手发言，各抒己见，纷纷阐述自己的观点。包括小组讨论也是如此，每个小组通过实验，让学有余力的学生有表现的机会，让学习困难的学生有借鉴他人经验的可能。通过举例发现了能被3整除的数的特征，学生归纳的虽不完整但已是八九不离十了，完全提高了学生的积极性。当然由于时间有限，如果可能的话，从能被2，3，5整除的数的特征引到能被6，9整除的数的特征效果会更好。

六年下册奥数试题：数的整除特征(一)全国通用(含答案)

第1讲数的整除特征（一） 知识网络 数的整除性质主要有： （1）若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。 （2）若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。 （3）几个数相乘，若其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。 （4）若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除。 （5）若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。 （6）若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。 （7）个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。 （8）个位上是0或者5的数都能被5整除。 （9）若一个整数各位数字之和能被3整除，则这个整数能被3整除。 （10）若一个整数末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。 （11）若一个整数末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。 （12）若一个整数各位数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除。 重点·难点 数的整除概念、性质及整除特征为解决一些整除问题带来了很大方便，在实际问题中应用广泛。要学好数的整除问题，就必须找到规律，牢记上面的整除性质，不可似是而非。 学法指导 能被2和5，4和25，8和125整除的数的特征是分别看这个数的末一位、末两位、末三位。我们可以综合推广成一条：末n位数能被（或）整除的数，本身必能被（或）整除；反过来，末n位数不能被（或）整除的数，本身必不能被（或）整除。例如，判断253200、371601能否被16整除，因为，所以只要看各数的末四位数能否被16整除。学习这一讲知识要学会举一反三。 经典例题 [例1]在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数尽可能小。 思路剖析 这个六位数分别被3、4、5整除，故它应满足如下三个条件： （1）各位数字和是3的奇数；

(能被2、5、3整除的数的特征教案设计)

《能被2 3 5整除数的特征》 学案设计 教学目标： 1、通过教学使学生初步掌握能被 2、 3、5整除数的特征 2、通过教学活动，培养学生观察、分析、概括以及推理的能力。 3、通过教学活动，使学生亲身经历数学探索的过程，提高学生学 习数学的兴趣。 教学重点：掌握能被235整除数的特征，理解奇数、偶数的概念。 教学难点：能被2和5同时整除数的特征及能被3整除数的特征。教学过程： （一）创设情境，激发兴趣： 谈话导入：现在我们的生活水平提高了，经济收入也很高，大多数家庭都有存款，为了确保安全，在帐号上设置有密码，为了好记又不易忘记有的人设置这样的密码，能被2整除的最大的六位数或最小六位数，或能被5整除的最小六位数或最大六位数，或能被3整除的最大六位数或最小的六位数等等方法。同学们听了以后非常感兴趣，学习的动力就激发起来了。师：这就是我们今天所要学习的内容。板书课题。

（二）探索新知： 学习能被2和5整除的数的特征 师：你们任意报一个整数，我都能马上告诉它能否被2或5整除。(指名学生报数，教师判断，其他学生笔算验证。) 师：你们想不想知道其中有什么秘密？现在我们一起去发现这个秘密好不好？ 1、学生动手操作，学习能被2整除的数的特征 （1）写出2的倍数 ×2 1＿＿＿＿＿＿＿＿2 2＿＿＿＿＿＿＿＿4 3＿＿＿＿＿＿＿＿6 4＿＿＿＿＿＿＿＿8 5＿＿＿＿＿＿＿＿10 6＿＿＿＿＿＿＿＿12 7＿＿＿＿＿＿＿＿14 8＿＿＿＿＿＿＿＿16 9＿＿＿＿＿＿＿＿18 10＿＿＿＿＿＿＿＿20 （2）观察：先让让学生自己观察2的倍数，看他们有什么特征。如

果观察有困难可以作提示：看他们的个位有什么特征。 （3）特征：让学生说出观察到的特征（板书在黑板上） （4）检验：让学生说出几个比较大的数对观察结果进行检验，看是否正确。 （5）小组合作学习奇数和偶数 ①翻开书本第5页自己学习书本上的内容 ②让学生举例分别说出几个奇数和偶数 ③比较奇数和偶数个位特征（让学生填） A偶数的个位上是（0、2、4、6、8） B奇数的个位上是（1、3、5、7、9） ④练习、运用：判断下列各数中偶数有哪些？奇数有哪些？ 2435、346、127、303、284、0 2、小组合作学习----能被5整除的数的特征 （1）要想研究能被5整除的数的特征，应该怎样做？用学习能被2整除的方法来学习 （2）做法是：写出5的倍数-----观察这些数-----概括观察特------进行检验 （3）让学生按这四点自己去体会并找出能被5整除的数的特征（学生有了找能被2整除的数的特征的经验，找能被5整除的数的特征比较容易） 3、练习巩固：完成第46页“练一练”。并找出能同时被2和5整除数

数的整除的特性(五年级)

第四讲：数论初步（二） ——整除问题 一、训练目标 知识传递：掌握和拓展数的整除特征，根据整除特征灵活应用。 能力强化：分析能力、观察能力、综合能力、判断能力、推算能力。 思想方法：假设思想、对应思想、排除思想、尝试思想、重叠思想。 二、知识与方法归纳 1、熟悉并掌握 2、 3、5、9的倍数的特征。 2、一个数的末两位数能4或25整除，这个数就一定能被4或25整除。（4×25=100）。 （8×125=1000。） 3、一个数的末三位数能被8或125整除。那么这个数就能被8或25整除。 4、一个数的末三位数与末三位以前的数字组成的数的差分别能被7、11、13整除，这个数就能被7、11、13整除。另外，一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（差 （7×11×13=1001。）等于0比较常见）能被11整除，这个数就能被11整除。（很常用，请牢记。） 5、如果两个数都能被同一个数整除，那么这两个数的和或差也能被这个数整除。即如果ca，c︱b，则c︱（a+b）或c︱（a-b）。 6、如果一个数能被另一个数整除，那么这个数的整倍数也一定能被另一个数整除。即如果c︱a，b是整数，则c︱ab。 7、如果一个数能被第二个数整除，第二个数又能被第三个数整除，那么，第一个数也能被第三个数整除。即如果a︱b，b︱c，则a︱c。 8、如果一个数能同时被另外两个数整除，而且这两个数互质，那么这一个数一寂能被另外两个数的积整除。即如果a︱c，b︱c，且a、b互质，则ab︱c。 三、经典例题 例1、七位数83□534□能被88整除，两个□中所填数字之和是。 解： 答：。 例2、在358后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除，符合这些条件的六位数中，最小的一个是多少？ 解：

能被2、3、5、7、9、11、13、17、19整除的数的特征

能被2、3、5、7、9、11、13、17、19整除的数的特征 能被2整除的数的特征是个位上是偶数， 能被3整除的数的特征是所有位数的和是3的倍数（例如：315能被3整除，因为3+1+5=9是3的倍数） 能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 能被5整除的数个位上的数为0或5， 能被7整除的数的特征 若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。 能被9整除的数的特征是所有位数的和是9的倍数 能被11整除的数的特征 把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。 例如：判断491678能不能被11整除。 奇位数字的和9+6+8=23 偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11 因此,491678能被11整除。这种方法叫“奇偶位差法”。 能被13整除的数的特征 把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。 如：判断1284322能不能被13整除。 128432+2×4=128440 12844+0×4=12844 1284+4×4=1300 1300÷13=100 所以，1284322能被13整除。 【其它方法：能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。】 例1：判断1059282是否是7的倍数？ 例2：判断3546725能否被13整除？ 能被17整除的数的特征 把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。 例如：判断1675282能不能被17整除。 167528-2×5=167518 16751-8×5=16711 1671-1×5=1666 166-6×5=136 到这里如果你仍然观察不出来，就继续…… 6×5=30，现在个位×5=30>剩下的13，就用大数减去小数，30-13=17，17÷17=1；所以1675282能被17整除。

被20以内整除数的特征

被0—20以内数整除的数性质 （1）1与0的特性： 1是任何整数的约数,即对于任何整数a,总有1|a. 0是任何非零整数的倍数,a≠0,a为整数,则a|0. （2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8,则这个数能被2整除. （3）若一个整数的数字和能被3整除,则这个整数能被3整除. (4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除,则这个数能被4整除. （5）若一个整数的末位是0或5,则这个数能被5整除. （6）若一个整数能同时被2和3整除,则这个数能被6整除. （7）若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除.如果差太大或心算不易看出是否7的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止.例如,判断294是否是7的倍数的过程如下：29-4×2=21,所以294是7 的倍数；又例如判断3983是否是7的倍数的过程如下：398－3×2＝392 ,39－2×2＝35,所以3983是7的倍数,以此类推. （8）若一个整数的未尾三位数能被8整除,则这个数能被8整除. （9）若一个整数的数字和能被9整除,则这个整数能被9整除. （10）若一个整数的末位是0,则这个数能被10整除. （11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除.例如,判断649是否是11的倍数的过程如下：

因为奇数位之和6+9=15,15减去4等于11，所以649是11的倍数. （12）若一个整数能被3和4整除,则这个数能被12整除. （13）若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果差是13的倍数,则原数能被13整除.如果差太大或心算不易看出是否13的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止.例如,判断585是否是13的倍数的过程如下：58+5×4=78,7+8×4=39,所以585是13的倍数;又例如判断8476是否是13的倍数的过程如下：847+6是否是13的倍数的过程如下：4=871,87+1×4=91,9+1×4=13,所以585是13的倍数. （14）若一个整数同时被2和7整除,则这个数能被14整除.例如,判断6328是否是14的倍数的过程如下：首先6328能被2整除，其次判断它被7整除特征，632-8×2=616,61-6×2=49，因此6328是7的倍数，即6328是14的倍数. （15）若一个整数同时被3和5整除,则这个数能被15整除.判断方法与被6、14整除类似，与下文的18,20一样. （16）若一个整数末尾四位数能被16整除，则这个数能被16整除. （17）若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,如果差是17的倍数,则原数能被17整除.如果差太大或心算不易看出是否17的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止.例如,判断7701是否是17的倍数的过程如下：770-1×5=765,76-5×5=51,所以7701是17的倍数. （18）若一个整数同时能被2和9整除,则这个数能被18整除.

能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征讲解学习

能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除 的数的特征

能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征 性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c 整除。 性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。 能被2整除的数，个位上的数是0、2、4、6、8、的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除 能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除 能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被4或25整除． 例如：4675＝46×100＋75 由于100能被25整除，100的倍数也一定能被25整除，4600与75均能被25整除，它们的和也必然能被25整除．因此，一个数只要末两位数能被25整除，这个数就一定能被25整除． 又如： 832＝8×100＋32 由于100能被4整除，100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除，它们的和也必然能被4整除．因此，因此，一个数只要末两位数字能被4整除，这个数就一定能被4整除． 能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除 能被6整除的数，个数位上的数字和能被3整除的偶数， 如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除 能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。 能被8整除的数，百位、个位和十位所组成的三位数能被8整除，那么这个数能被8整除

数的整除特征基础篇

数的整除特征基础篇 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

数的整除特征(上) 什么是整除？ 若整数a 除以大于0的整数b，商为整数，且余数为零。我们就说a能被b整除(或说b能整除a)，记作b|a，读作b整除a或a能被b整除。 常见数的整除特征： 末位系：2，5：看末一位 4，25：看末两位 8，125：看末三位 数字和系：3，9：看数字和 数字差系：11：看奇位和与偶位和的差 7，11，13系列： ⑴看多位数的末三位和前面部分之差能否被7，11，13整除； ⑵把数从末三位开始，三位为一段断开，只需看奇数段的和与偶数段的和的差是否为7，11，13的倍数。 常见整除性质： ⑴如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。 ⑵如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。 ⑶如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。 例

(★★★) 两个四位数275A 和275B 相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A 和B 。 (★★) 在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。 例 例

(★★★) 四位偶数64能被11整除，求出所有满足要求的四位数。 例 (★★★) 在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？ 例

【先睹为快】 将三位数3ab 连续重复地写下去，共写2005个3ab ，所得的数20053333ab ab ab ab 个正好是91的倍数，试求ab ＝___________。 (★★★) 能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？ (★★★★) 请用1，2，5，7，8，9这六个数字(每个数字至多用一次)来组成一个五位数，使得它能被75整除，并求出这样的五位数有几个？ 例

能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征

能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征 性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c 整除。 性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。 能被2整除的数，个位上的数是0、2、4、6、8、的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除 能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除 能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被4或25整除．例如：4675＝46×100＋75 由于100能被25整除，100的倍数也一定能被25整除，4600与75均能被25整除，它们的和也必然能被25整除．因此，一个数只要末两位数能被25整除，这个数就一定能被25整除．又如： 832＝8×100＋32 由于100能被4整除，100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除，它们的和也必然能被4整除．因此，因此，一个数只要末两位数字能被4整除，这个数就一定能被4整除． 能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除 能被6整除的数，个数位上的数字和能被3整除的偶数， 如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除 能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。 能被8整除的数，百位、个位和十位所组成的三位数能被8整除，那么这个数能被8整除 能被9整除的数，各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数能被9整除 能被10整除的数，如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个

数的整除特征

数的整除特征 一、整除特征------尾数分析法 1、尾数分析法判断整除性 （1）一个数的末一位能被2或者说整除，这个数就能被2或5整除。 （2）一个数的末两位数能被4或25整除，这个数就能被4或25整除。 （3）一个数的末三位数能被8或者125整除，这个数就能被8或是25整除。 2、被25或125整除的数的特点 （1）被25整除的数必须是以25、75、00结尾的数 （2）被125整除的数必须是以125、250、375、500、625、750、875、000结尾的数。 二、整除特征-----数位和分析法 1、数位和分析法判断整除性 （1）一个数各个数位上的数字和能被3整除，这个数能被3整除。 （2）一个数各个数位上的数字和能被9整除，这个数就能被9整除. 2、数位和分析法原理 数位和分析法同样是根据位值原理推导出来的， 举例：1234=1×1000+2×100+3×10+4×1 =1×（999+1）+2×（99+1）+3（9+1）+4×1 =1×999+2×99+3×9+（1+2+3+4） 其中999、99、9都能被3或9整除，所以只需要看1234的各位数字和1+2+3+4能否被3或9整除即可，用这种方法同样能求出1234除以3或9的余数。 3、弃9法 “弃九法”也叫做弃九验算法，利用这种方法可以验算加、减、乘计算的结果是否错误，把一个数的各位数字相加，直到和是一个一位数（和是9，要减去9得0），这个数就叫做原来数的弃九数。 三、整除特征---数位差分析法 1、 11的整除特征： 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。 2、 7、11、13的整除特征 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11、或者3整除，那么这个数能被7、11、或者3整除。

能被2,5,3整除的数的特征

能被2，5，3整除的数 凡是个位数是0，2，4，6，8的整数一定能被2整除，能被5整除的数的个位数一定是0或5，如果整数的各位数字之和能被3整除，那么此整数能被3整除。 偶数和奇数有如下运算性质：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数，偶数±奇数=奇数，奇数±偶数=奇数，偶数×偶数=偶数，偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数。 例1在1～199中，有多少个奇数？有多少个偶数？其中奇数之和与偶数之和谁大？大多少？ 例2(1)不算出结果，判断数(524+42-429)是偶数还是奇数？ (2)数(42□+30-147)能被2整除，那么，□里可填什么数？ (3)下面的连乘积是偶数还是奇数？ 1×3×5×7×9×11×13×14×15。 例3在黑板上先写出三个自然数3，然后任意擦去其中的一个，换成所剩两个数的和。照这样进行100次后，黑板上留下的三个自然数的奇偶性如何？它们的乘积是奇数还是偶数？为什么？ 例4由0，3，5写成的没有重复数字的三位数中，有哪些能被5整除？ 例5下面的连乘积中，末尾有多少个0？ 1×2×3×…×29×30。 例6判断下列各数是否能被3整除： 2574，38974，587931。 例7六位数能被3整除，数字a=？ 例8由1，3，5，7这四个数字写成的没有重复数字的三位数中，有几个能被3整除？ 例9被2，3，5除余1且不等于1的最小整数是几？ 例10同时能被2，3，5整除的最小三位数是几？

练习 1.在20～200的整数中，有多少个偶数？有多少个奇数？偶数之和与奇数之和谁 大？大多少？ 2.不算出结果，直接判断下列各式的结果是奇数还是偶数： (1)1＋2＋3＋4＋5； (2)1＋2＋3＋4＋5＋6＋7； (3)1＋2＋3＋…＋9＋10； (4)1＋3＋5＋…＋21＋23； (5)13-12＋11-10＋…＋3-2＋1。 3.由4，5，6三张数字卡片能组成多少个能被2整除的三位数？ 4.两个质数之和是13，这两个质数之积是多少？ 5.下面的连乘积中，末尾有多少个0？ 20×21×22×…×49×50。 6.用0，1，2，3，4，5这六个数码组成的没有重复数字的两位数中，能被5整除的有几个？能被2整除的有几个？能被10整除的有几个？ 7.直接判断25874和978651能否被3整除。 8.由2，3，4，5这四个数字写成的没有重复数字的三位数中，有几个能被3整除？ 9.(1)被2，3除余1且不等于1的最小整数是几？ (2)被3，5除余2且不等于2的最小整数是几？ 10.同时能被2，3，5整除的最小自然数是几？ 11.同时能被2，3，5整除的最大三位数是几？ 12.一根铁丝长125厘米，要把它剪成长2厘米、3厘米、5厘米的三种不同规格 的小段。最多能剪成多少段？

数的整除特性练习题

数的整除专题训练 知识梳理： 性质1.如果一个自然数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个自然数就能被4（或25）整除，否则这个数就不能被4（或25）整除。 性质2.如果一个自然数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个自然数就能被8（或125）整除，否则这个数就不能被8（或125）整除。 性质3.如果一个数的各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数就能被9整除，否则这个数就不能被9整除。 性质4.如果一个自然数的奇数位上数字和与偶数位上数字和的差能被11整除，那么这个数便能被11整除，否则这个数便不能被11整除。 性质5.如果一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差能被11（7、13）整除，那么这个数就能被11（7、13）整除，否则这个数就不能被11（7、13）整除。 例题精讲： 1. 三年级共有75名学生参加春游，交的总钱数为一个五位数“2□7□5”元，求每位学生最多可能交多少元 解：先求出满足条件的最大五位数。75=25 ×3，则这个五位数是25和3的倍数。 因为是25的倍数，所以十位为7或2，设千位为x， 如十位为7，则使2+x+7+7+5=21+x为3的倍数的x最大为9，得此五位数为29775；如十位为2，则使2+x+7+2+5=16+x为3的倍数的x最大为8，得此五位数为28725。所以，满足题意的最大五位数为29775。 29775÷75=397(元)， 即每位学生最多可能交397元。

2. 小勤想在电脑上恢复已经删除掉的72个文件，可是他只记得这些文件的总大小是“*679.*KB”，“*”表示小勤忘掉的第一个和最后一个数字(两个数字可能不同)，你能帮他算出这两个数字吗 解：“*679. *”能被72除尽，则“*679*”应是72的倍数。72=8 ×9，先考虑8，末三位数字79*应满足被8整除，所以十分位数字是2；考虑9，已知数字之和是6+7+9+2=24，所以原数的千位上应是3，即这两个数字分别是3和2。 3. 有三个连续的四位数，它们的和也是四位数，并且是3333的倍数，求中间那个数可能的最小取值。 解：设中间的数为a，则另外两个数是(a-1)和(a+1)，所以要a+(a+1)+(a-1)=3a是3333的倍数，那么a是1111的倍数，又3a<10000，所以a≤3333，所以a可取1111、2222、3333。所以。取可能的最小的值为1111。 4. 一个整数的末三位数字组成的数与其末三位以前的数字组成的数之间的差是7的倍数时，这个整数可以被7整除吗请证明你的判断。 解：设末三位数字组成的数为m，末三位以前数字组成的数为n，则m-n=7d(d 为整数),即n=m-7d，原数为m+1000n=m+1000 ×(m-7d)=1001m-7000d，1001=13 ×11 ×7，7000d=7 ×1000d，所以原数是7的倍数。 5. 小明有一些数字卡片，现在要从这些卡片中挑出2、4、5、7、8这几张，任选4张，能组成可以被75整除的没有重复数字的四位数，它能组成几种呢 解：75=3 ×5 ×5， 要被75整除，必可被3整除，所以有4、5、7、8，2、4、7、8和2、4、5、7三种选法； 又要被25整除，所以未两位为25或75，所以排除2、4、7、8的选法。 则4、5、7、8的选法有2种组合，2、4、5、7的选法有4种组合，所以共可

能被11整除的数的特点

能被11整除的数的特点 例1 判断七位数1839673能否被11整除。 分析与解：奇数位上的数字之和为1＋3＋6＋3=13，偶数位上的数字之和为8＋9＋7=24，因为24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。 根据能被11整除的数的特征，也能求出一个数除以11的余数。 一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同。如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，那么应在奇数位上的数字之和上再增加11的整数倍，使其大于偶数位上的数字之和。 例2 求下列各数除以11的余数： （1）41873；（2）296738185。 分析与解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11=7÷11＝0……7， 所以41873除以11的余数是7。 （2）奇数位之和为2＋6＋3＋1＋5=17，偶数位之和为9＋7＋8＋8＝32。因为17＜32，所以应给17增加11的整数倍，使其大于32。（17+11×2）-32＝7， 所以296738185除以11的余数是7。

需要说明的是，当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时，为了计算方便，也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得余数与11的差即为所求。如上题（2）中，（32-17）÷11＝1……4，所求余数是11-4=7。 例3 求除以11的余数。 分析与解：奇数位是101个1，偶数位是100个9。 （9×100-1×101）÷11 =799÷11=72……7， 11-7=4，所求余数是4。 例3还有其它简捷解法，例如每个“19”奇偶数位上的数字相差9-1＝8，奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相差8×99=8×9×11，能被11整除。所以例3相当于求最后三位数191除以11的余数。