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九年级数学下学期-切线的判定

切线的判定

一、学习目标

1.理解切线的判定定理和性质定理。

2.熟练掌握以上内容解决一些实际问题。

3.提升数学学习能力。

二、自主探究

请你先阅读课本，然后解决下面的问题：

（一）引入新知

1 、【画一画】

请你自己动手画一个圆的切线，你怎么知道它是圆的切线？

作法：（1）

（2）

（3）

2、【想一想】

为什么：圆的切线垂直于经过切点的半径？下面的证法对吗？

已知：直线a 切⊙O 于点A.

求证：OA ⊥直线a

证明：假设不垂直,

作OM ⊥a

因“垂线段最短”,

故OA>OM,

即圆心到直线距离小于半径.

这与线圆相切矛盾.

故：圆的切线垂直于经过切点的半径.

3、【说一说】

通过以上两个问题的交流，在阅读课本P 95的基础上，你能用一句话描述什

么是圆的切线吗？

（1）

· · M A O a

（2）

（3）

4、【议一议】

（1）.如图，点D 是∠AOB 的平分线OC 上任意一点，过D 作DE ⊥OB 于E ，以

DE 为半径作⊙D ，判断⊙D 与OA 的位置关系，并证明你的结论。

（2）如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB,CA=CB,求证直线AB 是⊙O 的切线。

（二）尝试运用

1、【动动笔】请你阅读课本，将上面两题中任选一题证出来。

2、【动动手】在理解概念的基础上，请你自己动手来画图，说明圆的切线与判定，再用数学语言描述出来，然后跟你的同学进行交流。

3、【动动脑】已知:如图,A 是⊙O 外一点,AO 的延长线交⊙O 于点C,点B 在圆上,且AB=BC, ∠A=30.

求证:直线AB 是⊙O 的切线.

B E O （1）（2） · O A

C B

初中数学《圆的切线》教案

初中数学《圆的切线》教案教学内容24.2圆的切线（1）课型新授课课时32 执教教学目标使学生掌握切线的识别方法，并能初步运用它解决有关问题通过切线识别方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力教学重点切线的识别方法教学难点方法的理解及实际运用教具准备投影仪,胶片教学过程教师活动学生活动（一）复习情境导入：1、复习、回顾直线与圆的三种位置关系． 2、请学生判断直线和圆的位置关系．学生判断的过程，提问：你是怎样判断出图中的直线和圆相切的？根据学生的回答，继续提出问题：如何界定直线与圆是否只有一个公共点？教师指出，根据切线的定义可以识别一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义识别很不方便，为此我们还要学习识别切线的其它方法．(板书课题) 抢答学生总结判别方法 (二) 实践与探索1：圆的切线的判断方法1、由上面的复习，我们可以把上节课所学的切线的定义作为识别切线的方法1——定义法：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线． 2、当然，我们还可以由上节课所学的用圆心到直线的距离与半径之间的关系来判断直线与圆是否相切，即：当时，直线与圆的位置关系是相切．以此作为识别切线的方法2——数量关系法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线． 3、实验：作⊙O的半径OA，过A作l⊥OA可以发现：（1）直线经过半径的外端点；（2）直线垂

直于半径．这样我们就得到了从位置上来判断直线是圆的切线的方法3——位置关系法：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．理解并识记圆的切线的几种方法，并比较应用。通过实验探究圆的切线的位置判别方法，深入理解它的两个要义。三、课堂练习思考：现在，任意给定一个圆，你能不能作出圆的切线？应该如何作？请学生回顾作图过程，切线是如何作出来的?它满足哪些条件? 引导学生总结出：①经过半径外端；②垂直于这条半径．请学生继续思考：这两个条件缺少一个行不行? （学生画出反例图）（图1）（图2）图（3）图(1)中直线经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)中直线与半径垂直，但不经过半径外端．从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．最后引导学生分析，方法3实际上是从前一节所讲的“圆心到直线的距离等于半径时直线和圆相切”这个结论直接得出来的，只是为了便于应用把它改写成“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这种形式．试验体会圆的位置判别方法。理解位置判别方法的两个要素。（四）应用与拓展例1、如图，已知直线AB经过⊙O上的点A，并且AB＝OA，OBA=45，直线AB是⊙O的切线吗？为什么？例2、如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，BAD＝B＝30，边BD交圆于点D．BD是⊙ O的切线吗？为什么？分析：欲证BD是⊙O的切线，由于BD过圆上点D，若连结OD，则BD过半径OD的外端，因此只需证明BD⊥OD，因OA＝OD，BAD＝B，易证BD⊥OD．

中考数学专题圆的切线精华习题

中考数学专题圆的位置关系第一部分真题精讲【例1】已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若DE=2，tan C=1 2 ，求⊙O的直径． A 【思路分析】本题和大兴的那道圆题如出一辙，只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着，让人怀疑他们是不是串通好了…近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察，考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。对于此题来说，自然连接OD，在△ABC中OD就是中位线，平行于BC。所以利用垂直传递关系可证OD⊥DE。至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90°这一知识点。利用垂直平分关系得出△ABC是等腰三角形，从而将求AB转化为求BD，从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。【解析】（1）证明：联结OD．∵ D为AC中点， O为AB中点， A ∴ OD为△ABC的中位线．∴OD∥BC． ∵ DE⊥BC，∴∠DEC=90°. ∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD⊥DE于点D. ∴ DE为⊙O的切线．（2）解：联结DB．∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°．∴DB⊥AC．∴∠CDB=90°. ∵ D为AC中点，∴AB=AC．在Rt△DEC中，∵DE=2 ，tanC=1 2 ，∴EC=4 tan DE C =. （三角函数的意义要记牢）由勾股定理得：DC= 在Rt △DCB 中， BD=tan DC C ?= BC=5. ∴AB=BC=5. ∴⊙O的直径为5. 【例2】已知：如图，⊙O为ABC ?的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分CBF ∠，过点A作AD BF ⊥ 于点D.（1）求证：DA为⊙O的切线；（2）若1 BD=， 1 tan 2 BAD ∠=，求⊙O的半径.

人教版数学九年级切线长定理—知识讲解(基础)

切线长定理—知识讲解（基础）【学习目标】 1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义； 2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明. 【要点梳理】要点一、切线的判定定理和性质定理 1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 要点诠释：切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）. 2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 要点诠释：切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 要点二、切线长定理 1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等. 要点三、三角形的内切圆 1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心：

初中数学：圆的切线的证明

中国最大的教育门户网站 E 度网https://www.wendangku.net/doc/0d17642874.html, 圆的切线的证明一、“见切点，连半径”――证明半径与直线垂直例1．A B 是O 的直径，AB AC ⊥，B C 交⊙O 于P Q ，是A C 的中点．求证：QP 是⊙O 的切线．分析：本例中，要证明“QP 是⊙O 的切线”，因为P 在⊙O 上，如果结论成立，则点P 肯定是切点，所以只要连接O P ，证明OP PQ ⊥即可．证明：连接O P ，P A ， A B 是⊙O 的直径，90APB ∠=?∴．在R t A P C △中，Q 是A C 的中点， PQ AQ =∴，QAP QPA ∠=∠∴．又O P O A =，OAP QPA ∠=∠∴，OAQ QPO ∠=∠∴． A B A C ⊥ ，OP PQ ⊥∴．QP ∴是⊙O 的切线．二、“过圆心，作垂线”――证明垂线段等于半径例2．直角梯形A B C D 中，以腰C D 为直径的⊙1O 恰与另一腰A B 相切，求证：以腰A B 为直径的⊙2O 也与腰C D 相切．分析：要证明以腰A B 为直径的⊙2O 与腰C D 相切，因为⊙2O 的半径是A B 的一半，由切线的定义可知，C D 如果与⊙2O 相切，则2O 到C D 的距离应等于半径 12 A B ，所以过2 O 作2O E C D ⊥，证明212 O E A B = 即可．证明：过1O 作12O O AB ⊥，则22O A O B =，作21DF O O ⊥于F ，作2O E C D ⊥于E ， A B 与⊙1O 相切，121O O O D =∴． 211211Rt Rt O O E DO F O O E DO F ∠=∠ ，∴△≌△， 2O E DF =∴． A B C Q P O A B C D E F 1O 2O

切线长定理专题

1 《切线长定理》专题班级姓名（一）温故知新： 1．直线和圆有哪几种位置关系？切线的判定定理和性质定理是什么？（二）探究新知：探究一：如图所示，已知⊙O 及圆外一点P ，过点P 作⊙O 的切线，可以作几条？ ☆ 从⊙O 外一点P 可以引⊙O 的条切线， ☆ 切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点与的线段的长，叫做这点到圆的。问题：如图，已知⊙O 及圆外一点P ，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 是切点，连接PO ，图中有哪些相等线段，相等的角？为什么？总结归纳： ☆ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的，圆心和这一点的连线两条切线的夹角. 用符号语言表示定理：（三）学以致用： 1.填空：如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，（1）若PB=12，PO=13，则AO=＿＿＿. （2）若PO=10，AO=6，则PB=＿＿＿；（3）若PA=4，AO=3，则PO=＿＿＿；例 1 如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，PO PA=4cm,PD=2cm. 求半径OA 的长.⑵如果∠APB=50°，C 是⊙O 上异于A 、B 的任意一点，求∠ACB 的度数？ P P

探究二：如图，是一块三角形铁皮，怎样才能从中剪裁一个“最大的圆”？作法：总结归纳： ☆三角形的内切圆：与三角形各边都的圆叫做三角形的.内切圆的圆心是的交点，叫做三角形的。内心到的距离相等 1.已知：如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，图中共有几对相等线段？ ⑴若AD=4，BC=5，CF=2，则△ABC的周长是＿＿；⑵如果∠A=70°，则∠BOC= ； ⑶若AB=4，BC=5，AC=6，求AD，BE，CF的长？例2 如图，⊙I是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，已知∠C=90°，AC=3，BC=4，求⊙I的半径？直线和圆的位置关系习题课 A 2

九年级数学：切线长定理

初中数学新课程标准教材数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校：年级：任课教师：数学教案 / 初中数学 / 九年级数学教案编订：XX文讯教育机构

切线长定理教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中九年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 1、教材分析（1）知识结构（2）重点、难点分析重点：及其应用．因再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用，因此它是本节的重点．难点：与有关的证明和计算问题．如120页练习题中第3题，它不仅应用，还用到解方程组的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的把知识连贯起来． 2、教法建议本节内容需要一个课时．（1）在教学中，组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析的基本图形；对重要的结论及时总结；（2）在教学中，以“观察——猜想——证明——剖析——应用——归纳”为主线，开展

在教师组织下，以学生为主体，活动式教学．教学目标 1．理解切线长的概念，掌握； 2．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想． 3．通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度．教学重点: 是教学重点教学难点: 的灵活运用是教学难点教学过程设计: （一）观察、猜想、证明，形成定理 1、切线长的概念．如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O 的切线长．

初中数学圆专题复习精心整理版

圆一、知识点梳理知识点1：圆的定义： 1. 圆上各点到圆心的距离都等于. 2. 圆是对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的；圆又是对称图形，是它的对称中心. 知识点2：弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、圆心角、圆周角等与圆有关的概念 1.在同圆或等圆中，相等的弧叫做 2. 同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的. 3. 直径所对的圆周角是，90°所对的弦是. 知识点3：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个圆周角中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别.

知识点4：垂径定理垂直于弦的直径平分，并且平分；平分弦(不是直径)的垂直于弦，并且平分. 知识点5：确定圆的条件三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的___________、这个圆的圆心叫做三角形的、这个三角形是圆的. 知识点6：点与圆的位置关系 (1)点与圆的位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外. 其中r为圆的半径，d为点到圆心的距离，

知识点7：直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离．设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表：位置关系相离相切相交公共点个数0 1 2 数量关系 d r d r d r 知识点8：切线的判定与性质判定切线的方法有三种：①利用切线的定义：即与圆有的直线是圆的切线。 ②到圆心的距离等于的直线是圆的切线。 ③经过半径的外端点并且于这条半径的直线是圆的切线。切线的五个性质：①切线与圆只有公共点； ②切线到圆心的距离等于圆的； ③切线垂直于经过切点的； ④经过圆心垂直于切线的直线必过； ⑤经过切点垂直于切线的直线必过。

九年级数学人教版上册第24章圆切线的判定和性质说课稿

《切线的判定和性质》说课稿各位评委、各位老师: 大家好! 我说课的内容是《切线的判定和性质》。我将从教材分析、学情分析、目标重难点分析、教法学法分析、教学过程、五个方面阐述我对本节课的设计意图。一、教材分析 1、教材的地位和作用本节内容选自九上册第二十四章《圆》24.2《直线和圆的位置关系》的第二课时《切线的判定和性质》。本课时内容是在学习了直线与圆的位置关系的基础上，进一步探究直线和圆相切的条件，并为探究切线长定理而作准备的，它在圆的学习中起着承上启下的作用，在整个初中几何学习中起着桥梁和纽带的作用。因此，它是几何学习中必不可少的知识工具。 2、本课主要知识点（1）切线的判定定理（2）切线的性质定理 3、教材整改结合教学实际及中考要求，我对教材内容略作了调整。当探究出判定后，为了提高学生将所学的知识应用于实际，我特增加了例1和例2，让学生总结出“证明一条直线是圆的切线时，常常添加辅助线的两种方法”，总结例1主要是连半径、证垂直；例2主要是作垂直、证半径。帮助学生进一步深化理解切线的判定定理，达到学以致用。同时我对学案也作了调整，将在后面的学习过程中得以具体的体现。二、学情分析 1、已有的知识能力学生已经掌握了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，圆周角的知识，与圆有关的性质，切线的定义等。 2、已有的数学能力具有初步的逻辑推理能力等。 3、已有的学习能力预习能力、小组合作能力、讲解能力、概括总结能力，评价能力等。三、目标、重难点分析基于上述情况，结合《新课程标准》和我校学生的实际情况，特制定了如下教学目标。（一）目标分析 1、知识与技能

（1）能判定一条直线是否为圆的切线．（2）切线的性质定理的应用 2、过程与方法（1）通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力．（2）通过切线的判定定理和性质定理的学习，提高学生的综合运用能力。 3、情感态度与价值观（1）经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．（2）经历探究圆与直线的位置关系的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题．设计意图：学习目标是在对教材分析和学情分析基础上设定，它的设定既符合新课标的知识、能力要求，又要适合学生的能力水平。因此，承上：它起着承载知识的生长点以及与旧知识的联系；还要联系学生已有的知识、能力和方法，这些目标针对你的学生一定是最能实现和达到的；启下：它起着教师对教学过程设计中的起点在何处，这个起点是否针对了你自己将要面对的本堂课的学生，是否符合所教学生的认知特点和心理特点。还决定了你的整个教学设计如何来落实完成知识、发展过程、突破能力。（二）重难点分析 1、教学重点：圆的切线的判定定理和性质定理，并能灵活运用。 2、教学难点：圆的切线的判定定理灵活运用。突破措施：主要通过将问题细化，通过学生分组学习、练习、学生板演、学生讲解等方式突破难点。四、教法与学法分析：教法上：我主要采用以学案为载体，当堂达标教学模式，充分发挥学生的主观能动性。以学生自主学习为主，教师引导学生自主探究，并帮助学生课堂讲解，并赋以合理的评价，激发学生的学习兴趣，调动学生课堂积极性。同时还结合了启发、讲解、评价综合的教法。学法上：充分发挥小组作用，采取合作学习的形式，在小组内进行交流、讨论、讲解，再面向全班讲解，让学生自主学习，构建知识体系。五、教学过程：（利用多媒体、制作课件） 1、温故知新。（1）学生填表，复习圆与直线的三种位置关系。（2）观察与思考。下雨天转动的雨伞上的雨滴；砂轮上的火星方向。

数学人教版九年级上册《切线长定理》

《切线长定理》教案浠水县望城实验中学万春光教学目标 1．知识与技能：理解切线长的概念，掌握切线长定理的内容，并会运用切线长定理解决相关的问题. 2．过程与方法：通过复习引导给出切线长定义，经过实验、猜想、证明发现切线长定理。培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想． 3．情感、态度和价值观：通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度．教学重点切线长定理及其运用. 教学难点切线长定理的导出及证明和运用定理解决实际问题. 教学过程 (一)情景引入由如何求“V ”形支架內篮球的半径而引出切线长. (二)探求新知活动一：切线长定义

如图，已知⊙O外一点P,过P作⊙O的切线PA，切点为A，则P点与A点之间的线段长度，就是P点到⊙O的切线长. 切线长定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长. （引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.）活动二：过圆外一点最多可以引圆的几条线. （演示）过圆外一点最多可以引圆的两条切线. 活动三：观察：如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，则线段PA，PB 都是点P到⊙O的切线长． 1、提出问题：（1）线段PA与PB的长度有什么关系呢. (2)连接PO,则∠OPA与∠OPB的大小有什么关系. 2、观察：在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？ 3、猜想：PA=PB，∠APO=∠BPO 4、证明猜想，形成定理

浙教版数学九年级下册《切线长定理》习题.docx

《切线长定理》习题 1．一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于（) A．21 B．20 C．19 D．18 2．如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP，则与∠PAB相等的角（不包括∠PAB本身)有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的（) A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 4．△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是（）A．120° B．125° C．135° D．150° 5．一个钢管放在V形架内，右图是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25cm，∠MPN=60 ，则OP =（) A．50cm B．253cm C． 33 50 cm D．503cm 6．如图，PA、PB分别切圆O于A、B两点，C为劣弧AB上一点，∠APB=30°，则∠ACB=（）．

B A C P O A．60° B．75° C．105° D．120° 7．如图，在△ABC中，5cm AB AC = =，cosB 3 5 =．如果⊙O的半径为10cm，且经过点B、C，那么线段AO =__________cm． 8．如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，点E是⊙O上一点，且 60 = ∠AEB，则= ∠P_____度．9．如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD=20，求△ABC的周长． 10．如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BC、CD为⊙O的切线，切点分别是A、B、E，则有一下结论：（1）CO ⊥DO；（2）四边形OFEG是矩形．试说明理由． G F E C B 初中数学试卷

初中数学-证明圆的切线经典例题

初中数学-证明圆的切线方法及例题证明圆的切线常用的方法有：一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 证明：连结OE，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=BC， ∴∠3=∠4. ⌒⌒ ∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE，OF=OF， ∴△BOF≌△EOF（SAS）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF与⊙O相切， ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF与⊙O相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的

例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E ∵AE是⊙O的直径， ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切. 证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE. ∵AD是∠BAC的平分线， ⌒⌒ ∴BE=CE， ∴OE⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE,

∴∠1+∠PAD=900 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切. 证明一：连结OD. ∵AB=AC， ∴∠B=∠C. ∵OB=OD， ∴∠1=∠B. ∴∠1=∠C. ∴OD∥AC. ∵DM⊥AC， ∴DM⊥OD. ∴DM与⊙O相切证明二：连结OD，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=AC, ∴∠1=∠2. ∵DM⊥AC， ∴∠2+∠4=900 ∵OA=OD， ∴∠1=∠3. ∴∠3+∠4=900. D C

新人教版九年级上册数学[切线长定理—知识点整理及重点题型梳理](提高)

新人教版九年级上册初中数学重难点有效突破知识点梳理及重点题型巩固练习切线长定理—知识讲解（提高）【学习目标】 1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义； 2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明. 【要点梳理】要点一、切线的判定定理和性质定理 1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 要点诠释：切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）. 2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 要点诠释：切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 要点二、切线长定理 1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 3．圆外切四边形的性质：

圆外切四边形的两组对边之和相等. 要点三、三角形的内切圆 1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 要点诠释： (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). 【典型例题】类型一、切线长定理 1.如图，等腰三角形ABC中，6 AC BC ==，8 AB=．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC 于点G，DF AC ⊥，垂足为F，交CB的延长线于点E．求证：直线EF是⊙O的切线. 【答案与解析】如图，连结OD、CD，则90 BDC ∠=?． ∴CD AB ⊥． ∵ AC BC =，∴AD BD =． ∴D是AB的中点． ∵O是BC的中点，

九年级数学证明圆的切线专题

证明圆的切线专题证明一条直线是圆的切线,主要有两个思路： 1是证这条直线到圆心的距离等于这个圆的半径： 2,是利用切线的判判定定理,证明这条直线经过一条半径的外端,并且和这条半径垂直. 1不常用,一般常用2. 1. 如图，在Rt ABC ?中， 90C ?∠=，点D 是AC 的中点，且90A CDB ?∠+∠=,过点,A D 作O ，使圆心O 在AB 上，O 与AB 交于点E ．（1）求证：直线BD 与O 相切；（2）若:4:5,6AD AE BC ==,求O 的直径． 2.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90o，O 、D 分别为AB 、BC 上的点，经过A 、D 两点的⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F ，且D 为EF 的中点。（1）（4分）求证：BC 与⊙O 相切（2）（4分）当，∠CAD=30o时，求AD 的长。 3. 如图，已知CD 是ΘO 的直径，AC ⊥CD ，垂足为C ，弦DE ∥OA ，直线AE 、CD 相交于点B ． (1)求证：直线AB 是OO 的切线； (2)如果AC =1，BE =2，求tan ∠OAC 的值．

4. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E 。（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）如果BC =8，AB =5，求CE 的长。 5.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ACB 的平分线交AB 于点O ，以O 为圆心的⊙O 与AC 相切于点D ．（1）求证：⊙O 与BC 相切；（2）当AC=3，BC=6时，求⊙O 的半径 6. 如图，AB 是⊙O 的直径，AM ，BN 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 交AM ，BN 于点D ，C ，DO 平分∠A DC ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD=4，BC=9，求⊙O 的半径R ． 7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是?AB 的中点，连接P A ，PB ，PC ．（1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证： AP AC 3=；（2）如图②，若2524sin = ∠BPC ，求PAB ∠tan 的值．

证明圆的切线经典例题

证明圆的切线方法及例题证明圆的切线常用的方法有：一、若直线l 过⊙O 上某一点A ，证明l 是⊙O 的切线，只需连OA ，证明OA ⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F. 求证：EF 与⊙O 相切. 证明：连结OE ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC. 又∵AB=BC ， ∴∠3=∠4. ∴BD=DE ，∠1=∠2. 又∵OB=OE ，OF=OF ， ∴△BOF ≌△EOF （SAS ）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB ⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF 与⊙O 相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 ⌒ ⌒

例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA 与⊙O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD ， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB ， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E ， ∴∠1=∠E ∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC ⊥EC ，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA ⊥PA. ∴PA 与⊙O 相切. 证明二：延长AD 交⊙O 于E ，连结OA ，OE. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴BE=CE ， ∴OE ⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE ， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD ， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ⌒ ⌒

初中数学如何证明圆的切线

如何证明圆的切线一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ，点C 在圆上，∠CAB ＝30o．求证：DC 是⊙O 的切线．思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90o即可．证明：连接OC ，BC ． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90o． ∵∠CAB ＝30o，∴BC ＝ 21AB ＝OB ． ∵BD ＝OB ，∴BC ＝2 1OD ．∴∠OCD ＝90o． ∴DC 是⊙O 的切线．【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．本题在证明∠OCD ＝90o时，运用了“在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，当然也可以从角度计算的角度来求∠OCD ＝90o．二、如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径．【例2】如图2，已知OC 平分∠AOB ，D 是OC 上任意一点，⊙D 与OA 相切于点E ．求证：OB 与⊙D 相切．思路：连接DE ，过点D 作DF ⊥OB 于点F ，证明DE ＝DF 即可，这可由角平分线上的点到角两边的距离相等证得．请同学们写出证明过程．【评析】一定要防止出现错将圆上的一点当作公共点而连接出半径．同学们一定要认真体会证明切线时常用的这两种方法，作辅助线时一定要注意表述的正确性．【例3】如图3，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证：AC 平分∠DAB ．思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径．

初中数学圆的切线Word版

切线的证明 1.已知：如图6，△ABC内接于⊙O，过A点作直线DE，当∠BAE=∠C时，试确定直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论．（图） 2.如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O,交⊙O于点C,∠A=∠B=30°. (1)直线BD是否与⊙O相切？为什么？（2）连接CD,若CD=5，求AB的长。

3.如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．（1）若AB=2，∠P=30°，求AP的长；（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线 4.如图，AB 是⊙O的直径，AC和BD是它的两条切线，CO平分∠ACD。（1）求证：CD 是⊙O的切线；（2）若AC=2 ，BC=3 ，求AB的长。

5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O 过B,D两点，且分别交AB,BC雨点E,F。（1）求证：AC是⊙O的切线。（2）已知AB=10，BC=6，求⊙O的半径r。 6.如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上的一点，过点C的直线MN满足∠MCA=∠CBA．（1）求证：直线MN是⊙O的切线；（2）过点A作AD⊥MN于点D，交⊙O于点E，已知AB=6，BC=3，求阴影部分的面积．（ 7、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BE交AC于点E,点D在AB上,DE⊥BE, （1）.求证；PC是⊙O的切线（2）.若AD=6，AE=6倍根号2，则BE=？

8、如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，R是OA延长线上任一点，BQ是弦，BQ与OA交于点P。（1）若 RP=RQ，求证：RQ是切线。（2）若RQ是切线，求证：RP=RQ。

初中数学九年级《圆的切线判定和性质》公开课教学设计

圆的切线判定和性质（一）学习目标： 1、掌握圆的切线判定和性质，并能熟练运用切线的判定与性质进行证明和计算。 2、掌握圆的切线常用添加辅助线的方法（二）过程与方法： 1、运用圆的切线的性质与判定解决数学问题的过程中，进一步培养学生运用已有知识综合解决问题的能力； 2、进一步感悟数形结合、转化和分类的思想的重要性，培养观察、分析、归纳、总结的能力。（三）情感态度与价值观：形成知识体系，教育学生用动态的眼光、运动的观点看待数学问题。教学重点：对切线的判定方法及其性质的准确、熟炼、灵活地运用．教学难点：综合型例题分析和论证的思维过程．教学方法：先学后教，当堂训练教学过程：画一个圆O及半径OA，画一条直线l经过⊙O的半径OA的外端点A，且垂直于这条半径OA，这条直线与圆有几个交点？思考：直线l一定是圆O的切线吗？由此，你知道如何画圆的切线吗？想一想过圆0内一点作直线，这条直线与圆有怎样的位置关系？过半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？一、切线的判定定理切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。几何符号表达：∵OA是半径，OA⊥l于A ∴l是⊙O的切线。如图,如果直线I是⊙O的切线,A是切点,那么半径OA与L垂直吗? 二、切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.（简单用反证法证明一下） ∵直线I切⊙O于点Ａ， ∴ＯＡ⊥I 判断 1. 过半径的外端的直线是圆的切线（）

2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件,缺一不可: (1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直。判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法? 切线判定有以下三种方法: 1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。 2.利用d与r的关系作判断:当d＝r时直线是圆的切线。 3.利用切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。例1 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。求证：直线AB是⊙O的切线。分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明 AB⊥OC即可。例2 已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。求证：⊙O与AC相切。小结例1与例2的证法有何不同? (1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：有交点,连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：无交点,作垂直,证半径。练习：如图AB是⊙O的直径，∠B＝45°，AC＝AB。 AC是⊙O的切线吗？为什么？练习如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E。求证:PE是⊙O的切线。例3 如图AB是⊙O的直径.AE是弦, EF是⊙O的切线,E是切点,AF⊥EF, 垂足为F,AE平分∠FAB吗? 例4 如图CB是⊙O的切线,C是切点,OB交⊙O于D, ∠B＝30°,BD=6cm,求BC 练习：如图,点P在⊙0外，PC是⊙0的切线,切点是C.直线PO与⊙0交于A、B,试探求∠P与∠A的数量关系. (1)已知⊙O直径为8cm，直线L到圆心O的距离为4 cm，则直线L 与⊙O的位置关系为。（2）PA切⊙O于点A,PA=4,OP=5,则⊙O的半径是____

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