二次根式及性质 b.二次根式的基本性质:知识要点:
(1 )平方根与立方
根
②(禹)2 =a (a>0)
a.平方根的概念:如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根。用±V a
表
示。
例如:因为(±5)2 =25,所以25的平方根为±(25=
±5。
b.算术平方根的概念:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根。0的算术平方
a (a >
0)
J a2 =|a|= f 0 (a= 0)
[-a (a c 0)
根为0。用J a表示a的算术平方根。④J ab = 7a V b (a>0, b>0)
例如:3的平方根为土J3,其中为3的算术平方根。
3 —
c.立方根的概念:如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根,用a
6 =芈(a A O, bXO)
⑤ V a V a
c.二次根式的乘除法
表
示。
例如:因为33 =27,所以27的立方根为V27 =3。
①扁尿=届(a>0,b> 0)
d.平方根的特征:
①一个正数有两个平方根,它们互为相反数。
②0有一个平方根,就是0本身。
③负数没有平方根。
e.立方根的特征:
①正数有一个正的立方根。
②负数有一个负的立方根。
③0的立方根为0。
J b f b
〒「一(a>0, b>0)
② V a V a
d.最简二次根式的标准:
①被开方数的因数是整数,因式是整式(分母中不含根号)
②被开方数中不含开得尽方的因数或因式。
e.同类二次根式的识别:
几个二次根式化简到不能再化简为止后,被开方数相同,则这几个二次根式是同类二次根式。
④= -V a。例如:恵=2丘与应是同类二次根式, 3妬与-5爲是同类二次根式。
⑤立方根等于其本身的数有三个:1,0,—1。
(2 )二次根式
a.二次根式的概念:形如脳(a>0)的式子叫做二次根式(二次根式中,被开方数一定是非负数,否则就没有意义,并且根式掐>0 )。
f.二次根式的加减法运算法则:
在加减运算中,一般把二次根式化简后再运算,
并(合并时,只合并根号外的因式,被开方数不
变)为最后的结果(注意:最后结果要尽可能最
简)
h.使分母不带根号(分母有理化)常用方法:
①化去分母中的根号关键是确定与分母相乘后,
运算时只有同类二次根式才能合
,合并同类二次根式之后的式子作
其结果不再含根号的因
式。
i.形如扁的式子,利用(苗)2 =a
,分子、分母同乘以 T a 得
有理数
实数
r 正整数
然数
或
ii.形如a
±用
±b j
y
的式子利用平方差公式,分子、分母同时乘以
a 斗屈或(a V X 斗
b j y )得
2 或
a-b
c(a 坂刁 b j y)
注意:分子、
x-b 2
y
无理数正 L 负 ②按正负分类
正实数
f 正分数
数分数有限小数或无限循墩小
[负分数
无理数
金无限不循环小数
无理数
正有理数 「正整数 [正分数 0
。
分母同时所乘以的式子必须不为
(X -y )( J x -石) (坂+ 77)(坂-77)
正无理数
-y
=長-石
,这样运算不一定正确,
因为- J ?有可能为 ②化去分母中的根号, 有时通过约分来解决 X — y 厂 厂(xHy 且XH0, yHO ) 如:J x ±J y (低+ J y)
V X ± V y
=T x 斗
(3)实数与数轴:
a. 无理数的概念:无限不循环小数叫做无理
数。
b. 实数的概念:有理数与无理数统称为实数。
c. 实数的分类:
①按实数的定义分类
负实数
负有理数 负无理数
d. 实数与数轴上的点之间的关系:
实数与数轴上的点是 对应的。数轴上的任一点表示的数,不是有理数,就是 无理数。数轴上的任一点必定表示一个实数;反过来每一个实数都可以用数轴上的点 来表示。
e. 常见的几种无理数:
①根号型:如
(2、刘
4
等开方开不尽的
数。
1.21121112……等无限不循环小数。 兀(圆周率)的数。 ② 构造型:如 ③ 化简后含有 ④ 在今后学习中还会遇到三角函数型等。
f.实数比较大小的几种常用方法:
①数轴比较法:将两实数分别表示在数轴上,右边的数总比左边的数大,表示在 同一点上的两个数相等。
②差值比较法:设 a 、b 是任意两实数,若 a — bAO ,贝U a>b ;若a — b<0,
则 a
③商值比较法:设 a 、b 是两个正实数
>1, 则a Ab
(1)
2
(2)(A Z5)2
=1,
<1,
(-J
1
勺需
注:除此以外还有平方法等方法。
【典型例题】
例1.判断下列说法是否正确:
(1) (2)
4的平方根是2 —25的平方根是一5 2
(七)的算术平方根是8
(7)
解析: (4) —0.027的立方根是0.3
邑
±2
27的立方根是 3
解析: 要作出正确判断,必须弄清平方根、算术平方根的概念和立方根的概
念。 例2.要使下列各式有意义,字母
x 的取值必须分别满足什么条件?
(1) J3-4X
/ 2
(2) V —X
J x +1 + U 2 -x
^3 - X
(4) X —1
二次根式有意义的条件是被开方数为非负数,分式有意义的条件是分母不
为0,对于含有多个表达式的式子需同时让每一个式子有意义,此表达式才有意义。
解析: 例3.已知J
a
-b +3与|a +b-5|互为相反数,求a 2 +b 2的值。
(屁-4需)—
-4705)
(1)由公式?£)2
=*
(
a^O )可以直接得到。
/ 1^、n n I n
根据积的乘方法则(ab) =a
可以求解。
利用j a T b
(a > 0, b > 0)进行乘法计算。
(4 )利用V a 47= J ab (a>0, b>0)进行乘法计算,但应知道 y>0, x>0。
T a
f a / * C , c 、 =上(a ", b A 0)
(5)利用U b ' b
进行计算。
(6)和(7)应先对式子中的每个二次根式进行化简,然后对同类二次根式进行 合并。
例5.化简下列各式:
(2)J (x-2)2
(XC2)
(3) J X 2
-8X + 16
(4 )412a 4b 4
c
(6) 話(a>0, b>0)
解析:(1 ) ( 2 ) ( 3 )都是形如 V a 2
的化简,关键是正确理解和使用 2 a =- 斗 3
b 13 b =—
解得J
6
C
l a (a >0) 荷孙L a (a <0) 例7.比较^3 - J
2
与J 2 -1的大小。
(4)运用 vab = j a J b (a >0, b > 0)对二次根式进行化简时尽可能将被
开方数的因式写成平方的形式。 (5) (6)去掉分母中的根号,常用的方法是使分母化为 J a 2 (或 掐2)的形式。
5-辰=2b + 2
73 - a 例6.已知a 、b 均为有理数,并且满足等式:
3
,求a 、b
的值。 2 5-屆=2b +-J 3 -a 解析:因为 3
所以 2 (a -2b +5)+(-a -)73 =0 3 因为 a 、b 均是有理数
5+a —2b 与一
a
所以 2
3都是有理数
fe+a-2b =0
j-a -2
=0 所以有I 3
分析:比较丿
3
—丿2
与J 2 -
1
的大小,可先将各数的近似值求出来
,3-42* 1.732-1414 = 0318
42-1^ 1414-1 = 0414
再比较大小,本题还有一种方法“分子有理
化”
73_占=("-应)(方 + 72)
解:?
(72 +
1)
例8.观察下列各式及其验证过程:
2+彳
3 +鲁
23
3 /(2^2 ) + 2 ¥ 22
-1
(2(22-1) + 2 V 22-1
验证:
(2)针对上述各式反映的规律,写出用
n (n 为任意自然数,且n>2)表示的等
式,并给出证明。
证。
验证:
3
J l
严
3
-3)+3 /3(32
-1)+3
3—1
32
—
1
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路猜想 15的变形结果并进行验
【模拟试题】(答题时间:80分钟)
一.填空题
1.计算H/2|= 1
2.在二次根式: (1 )^/12
;
_ 2
J? ;(3)V 3 ;(4)/27 中,与是同类二
2.若代数式J1 - 2x有意义,则x的取值范围是次根式的是(
A. (1)和(
(3)和(4)
13.下列实数中,
)
3
)
B
.
(2) 和(3) C. (1)和(4) D.
无理数是(
)一+718
3.计算:寸2 -1 A.
3.14
1
B.
2 C.
4.在实数范围内分解因式: X2-2U3X+3 =
14.下列各组数中, 互为相反数的是(
5.若x<5,则-5)
1
-2禾口 -
A. 2
B. 1一21
与2
C.
-2 与J (-
2)2
D.
6.绝对值不超过3的无理数有(只需写出3个即
可)。
7.已知a= _ b _ 1
罷-2’嘉+2,则嘉匚产貯的值为
15.若a为实数,下列代数式中,一定是负数的是(
8.实数a
、b、c在数轴上的对应点如
图。
A. -a2
B. -(a + O?
C. -J a2
D. —(I—
a|+1) a+|a +b|-Jc2-|b-c|
=
16.如图,数轴上表示1, V2的对应点分别为A、点B关于A对称点为C,则
点C所表示的数是(
A. 1 B
.
1-42
9.已知(a-b +1)272a-b+4 =0,计算ab= C. 2-72 D. 72-2
10. 的整数部分为a,小数部分为b,则a= ,b=
二.选择题
11.在二次根式娱'殛肯,K,护
中,最简二次根式共有(
17.下列命题中正确的是(
A. 1个
B. 2
个C. 3
个
D. 4个
A.如果a、b同号,则
B.如果a、b异号,则
C.如果a 、b 异号,则
、丿-ab 有意义
(2)JE+鲁占(0
-< 舟)
D.如果a 、b 同号,贝y -Jab 无意义 23.比较两数的大小:
18.下列计算正确的是( A. a L
(1) -AZ6 和-6'
7 ;
B .
掐十 J b = J a +b (2)3-6/5和3-5左。
C (J a + T b )2
=a +b
D.
24.化简求值:
19.若x 为任意实数,下列各式一定有意义的是(
a T B + bVa ( 4
b 1 )亠 V b
爲十 J b T Ob -b 爲十 J b
a-b ,其中 a=3-V5, b=3 +^5。
A. J X 2
-3
B
.
25.解不等式或方程:
(1)73x + 1 c 2^2
+2x ;
D.
J x 2 +1 75x = 尸 X + 2 (2)
J 5-v 3
。
20.把£根号外的因式移入根号内等于( A. V x B
. C. -V x D.
三、解答题 21.在实数范围内分解因式
26. 某公司向银行贷款 20万元资金,约定两年到期时一次性还本付息,利息是本金
的12%,该公司利用这笔贷款经营,两年到期时除还清贷款的本金和利息外,还盈余 6.4万元,若在经营期间每年比上一年资金增长百分数相同,试求这个百分数。
27. 阅读(1),解答(2)、( 3)。
(1)举例说明“两个无理数的和有可能为有理数。 ” 解:如应、一丘都是无理数,而+ e 0
,0就是有理数。
3
(1)x -10x ;
(2 )有没有不相等的两个无理数的差为有理数?如果有,请用
与
42、门、丁 5
4 (2)9x -16。
22.计算:
相关的数举例说明。
(3)有没有绝对值不相等的两个无理数的平方差为有理数?如果有,请用与 J 2
、丿
3
、 J 5相关的数举例说明。
(1严五吨一誌;
28.先观察下列等式,再回答问题:
二次根式知识点总结 王亚平 1. 二次根式的概念 二次根式的定义: 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式,其中a 叫被开方数,只有当a 是一个非负数时, a 才有意义. 2. 二次根式的性质 1. 非负性:)0(≥a a 是一个非负数. 注意:此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到. 2.)0()(2 ≥=a a a 注意:此性质既可正用,也可反用,反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完 全平方的形式:)0()(2 ≥=a a a 3. ? ? ?<-≥==)0() 0(2 a a a a a a 注意:(1)字母不一定是正数. (2)能开得尽方的因式移到根号外时,必须用它的算术平方 根代替. 3. 最简二次根式和同类二次根式 1、最简二次根式: (1)最简二次根式的定义:①被开方数是整数,因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的数或 2、同类二次根式(可合并根式): 几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式,即可以合并的两个根式 4. 二次根式计算——分母有理化 1.分母有理化 定义:把分母中的根号化去,叫做分母有理化。 2.有理化因式:
两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下: ①单项二次根式:利用a a a =?来确定,如:a 与a ,b a +与b a +,b a -与b a -等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式:利用平方差公式来确定。如b a +与b a - ,b a + 与 b a - ,y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。 3.分母有理化的方法与步骤: ①先将分子、分母化成最简二次根式; ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式; 5. 二次根式计算——二次根式的乘除 1.积的算术平方根的性质:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积。 )0,0(≥≥? = b a b a ab 2.二次根式的乘法法则:两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根。 )0,0(≥≥= ? b a ab b a 3.商的算术平方根的性质:商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 。 )0,0(≥≥= b a b a b a 4.二次根式的除法法则:两个数的算术平方根的商,等于这两个数的商的算术平方根。 )0,0(≥≥= b a b a b a 注意:乘、除法的运算法则要灵活运用,在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边,同时还 要考虑字母的取值范围,最后把运算结果化成最简二次根式. 6. 二次根式计算——二次根式的加减 二次根式的被开方数相同时是可以直接合并的,如若不同,需要先把二次根式化成最简二次根式,然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减,被开方数不变。 1、判断是否同类二次根式时,一定要先化成最简二次根式后再判断。 2、二次根式的加减分三个步骤: ①化成最简二次根式; ②找出同类二次根式; ③合并同类二次根式,不是同类二次根式的不能合并
二次根式知识点总结及练习题大全 1.二次根式:式子(≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式:必须同时满足下列条件: ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式: 二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质: (1)()2= (≥0);(2) 5.二次根式的运算: (1)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,?变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面. (2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式. =·(a≥0,b≥0);(b≥0,a>0). (4)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算. 【典型例题】 (2)、平方法 当时,①如果,则;②如果,则。 例1、比较与的大小。 例2、比较与的大小。 (3)、分母有理化法 通过分母有理化,利用分子的大小来比较。 例3、比较与的大小。
(4)、分子有理化法 通过分子有理化,利用分母的大小来比较。 例4、比较与的大小。 (5)、倒数法 例5、比较与的大小。 (6)、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值,利用传递性进行比较。 例6、比较与的大小。 (7)、作差比较法 在对两数比较大小时,经常运用如下性质: ①;② 例7、比较与的大小。 (8)、求商比较法 它运用如下性质:当a>0,b>0时,则: ①;② 例8、比较与的大小。 二次根式的概念和性质1.判断题(对的打“∨”,错的打“×”) (1)()2=- ();(2)=- () (3)(-)2=- ();(4)(2)2=2×=1 () 2.下面的计算中,错误 ..的是() A.=±0.03 B.±=±0.07 C.=0.15 D.-=-0.13 3.下列各式中一定成立的是() A.=+=3+4=7 B.=- C.(-)2= D.=1-= 4.()2-=________; 5.+(-)2=________.6.[-]·-6;
二次根式知识总结 一、基本知识点 1.二次根式的有关概念: (1)形如 的 式子叫做二次根式. (即一个 的算术平方根叫做二次根式 二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于零 (2)满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式: ①被开方数不含分母;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式; (3)几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 2.二次根式的性质: (1) 非负性 3.二次根式的运算: 二次根式乘法法则 二次根式除法法则 二次根式的加减: (一化,二找,三合并 ) (1)将每个二次根式化为最简二次根式; (2)找出其中的同类二次根式; ( 3)合并同类二次根式。 Ps:类似于合并同类项,关键是把同类二次根式合并。 二次根式的混合运算:原来学习的运算律(结合律、交换律、分配律)仍然适用 0()a ≥0 2(2)(0 )a = ≥ = (0,0)a b = ≥ ≥ (0 0)a b = ≥> (0,0)a b = ≥≥ (0,0)a b = ≥>
二、二次根式的应用 1、非负性的运用 例:1.已知:0+=,求x-y 的值. 2、根据二次根式有意义的条件确定未知数的值 例1 有意义的x 的取值范围 例2.若2)(11y x x x +=-+-,则y x -=_____________。 3、运用数形结合,进行二次根式化简 例:.已知x,y 都是实数,且满足5.011+-+- 二次根式知识点总结 1. 二次根式的概念 二次根式的定义: 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式,其中a 叫被开方数,只有当a 是一个非负数时,a 才有意义. 2. 二次根式的性质 1. 非负性:)0(≥a a 是一个非负数. 注意:此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到. 2.)0()(2≥=a a a 注意:此性质既可正用,也可反用,反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式:)0()(2≥=a a a 3. ? ??<-≥==)0()0(2a a a a a a 注意:(1)字母不一定是正数. (2)能开得尽方的因式移到根号外时,必须用它的算术平方根代替. 3. 最简二次根式和同类二次根式 1、最简二次根式: (1)最简二次根式的定义:①被开方数是整数,因式是整式; ②被开方数中不含能开得尽方的数或因式;分母中不含根号. 2、同类二次根式(可合并根式): 几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式,即可以合并的两个根式 4. 二次根式计算——分母有理化 1.分母有理化 定义:把分母中的根号化去,叫做分母有理化。 2.有理化因式: 两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两 个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下: ①单项二次根式:利用a a a =?来确定,如:a 与a ,b a +与b a +,b a -与b a -等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式:利用平方差公式来确定。如b a +与b a -,b a +与b a -,y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。 3.分母有理化的方法与步骤: ①先将分子、分母化成最简二次根式; ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式; 5. 二次根式计算——二次根式的乘除 1.积的算术平方根的性质:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积。 )0,0(≥≥?=b a b a ab 2.二次根式的乘法法则:两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根。 )0,0(≥≥=?b a ab b a 3.商的算术平方根的性质:商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 。 )0,0(≥≥=b a b a b a 4.二次根式的除法法则:两个数的算术平方根的商,等于这两个数的商的算术平方根。 )0,0(≥≥=b a b a b a 注意:乘、除法的运算法则要灵活运用,在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边,同时还 要考虑字母的取值范围,最后把运算结果化成最简二次根式. 二次根式的知识点汇总 知识点一:二次根式的概念 形如()的式子叫做二次根式。 注: 在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,,等是二次根式,而,等都不是二次根式。 知识点二:取值围 1. 二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当a≧0时,有意义,是二次根 式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a﹤0时,没有意义。知识点三:二次根式()的非负性 ()表示a的算术平方根,也就是说,()是一个非负数,即0()。 注: 因为二次根式()表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,所以非负数()的算术平方根是非负数,即0(),这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多,如若,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0。 知识点四:二次根式()的性质 () 文字语言叙述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注: 二次根式的性质公式()是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用:若,则,如:,. 知识点五:二次根式的性质 文字语言叙述为:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注: 1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本 身,即;若a是负数,则等于a的相反数-a,即; 2、中的a的取值围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义; 3、化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六:与的异同点 1、不同点:与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实 数a的平方的算术平方根;在中,而中a可以是正实数,0,负实数。但与都是非负数,即,。因而它的运算的结果是有差别的,,而 2、相同点:当被开方数都是非负数,即时,=;时,无意义,而. 知识点七:二次根式的运算 (1)因式的外移和移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,?变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式. 二次根式 【知识回顾】 1.二次根式:式子 a (a ≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式:必须同时满足下列条件: ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式: 二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质: (1)(a )2=a (a ≥0); (2)==a a 2 5.二次根式的运算: (1)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先分解因式,变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面. a (a >0) a -(a <0) 0 (a =0); (2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式. ab =a ·b (a≥0,b≥0); b b a a =(b≥0,a>0). (4)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算. 【典型例题】 1、概念与性质 例1、下列各式 1)222 11,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+, 其中是二次根式的是_________(填序号). 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 (1) x x -- +31 5;(2) 2 2)-(x 二次根式知识点归纳和题型归类 一、知识框图 二、知识要点梳理 知识点一、二次根式的主要性质: 1.; 2.; 3.; 4.积的算术平方根的性质:; 5.商的算术平方根的性质:. 6.若,则. 知识点二、二次根式的运算 1.二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求:①应为最简二次根式或有理式;②分母中不含根号. (2) 注意每一步运算的算理; (3) 乘法公式的推广: 2.二次根式的加减运算 先化简,再运算, 3.二次根式的混合运算 (1)明确运算的顺序,即先乘方、开方,再乘除,最后算加减,有括号先算括号里; (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 一. 利用二次根式的双重非负性来解题(0≥a (a ≥0),即一个非负数的算术平方根是一个非负数。) 1.下列各式中一定是二次根式的是( )。 A 、3-; B 、x ; C 、12+x ; D 、1-x 2.x 取何值时,下列各式在实数范围内有意义。 (1) (2)121+-x (3)45++x x (6). (7)若1)1(-=-x x x x , 则x 的取值范围是 (8)若1 313++=++x x x x ,则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义,则m 能取的最小整数值是 ;若20m 是一个正整数,则正整数m 的最小值是________. 4.当x 为何整数时,1110+-x 有最小整数值,这个最小整数值为 。 5. 若20042005a a a -+-=,则2 2004a -=_____________;若433+-+-=x x y ,则=+y x 6.设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ,则mn = 。 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0,则第三边c 的取值范围是 10.若0|84|=--+-m y x x ,且0>y 时,则( ) A 、10< 二次根式 【知识回顾】 1.二次根式:式子a (a ≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式:必须同时满足下列条件: ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式: 二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质: (1)(a )2 =a (a ≥0); (2)==a a 2 5.二次根式的运算: (1)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,?变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面. (2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式. ab =a ·b (a≥0,b≥0); b b a a =(b≥0,a>0). (4)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算. 【典型例题】 a (a >0) a -(a <0) 0 (a =0); 1、概念与性质 例1下列各式1)22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+, 其中是二次根式的是_________(填序号). 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 (1)x x --+31 5;(2)22)-(x 例3、 在根式1) 222;2);3);4)275x a b x xy abc +-,最简二次根式是( ) A .1) 2) B .3) 4) C .1) 3) D .1) 4) 例4、已知:的值。 求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 例5、 (2009龙岩)已知数a ,b ,若2()a b -=b -a ,则 ( ) A. a>b B. a 一. 利用二次根式的双重非负性来解题(0≥a (a ≥0),即一个非负数的算术平方根是一个非负数。) 题型一:判断二次根式 (1)下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:2、33、1x 、x (x>0)、0、42、-2、1x y +、x y +(x≥0,y ≥0). (2)在式子()()()230,2,12,20,3,1,2 x x y y x x x x y +=--++f p 中,二次根式有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 (3)下列各式一定是二次根式的是( )A. 7- B. 32m C. 21a + D. a b 题型二:判断二次根式有没有意义 1、写出下列各式有意义的条件: (1)43-x (2)a 83 1- (3)42+m (4)x 1- 2、21 x x --有意义,则 ;3、若x x x x --=--32 32成立,则x 满足_____________。 练习:1.下列各式中一定是二次根式的是( )。 A 、3-; B 、 x ; C 、12+x ; D 、1-x 2.x 取何值时,下列各式在实数范围内有意义。 (1) (2)121+-x (3) . (5)若1)1(-=-x x x x , 则x 的取值范围是 (6)若1 313++=++x x x x ,则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义,则m 能取的最小整数值是 ;20m 是一个正整数,则正整数m 的最小值是________. 4.当x 为何整数时,1110+-x 有最小整数值,这个最小整数值为 。 5. 若20042005a a a --=,则2 2004a -=_____________;若433+-+-=x x y ,则=+y x 6.设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ,则mn = 。 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442 -++-b a a =0,则第三边c 的取值范围是 第十六章 二次根式 知识点: 1、二次根式的概念:形如(a ≥0)的式子叫做二次根式。“”= “”,叫做二次根号,简称根号。根号下面的整体“a ”叫做被开方数。 2、二次根式有意义的条件:a ≥0; 二次根式没有意义的条件:a 小于0; 例1、 a +1表示二次根式的条件是______。 例2、已知y=2x -+2x -+5,求x y 的值。 例3、若1a ++1b -=0,求a 2004+b 2004的值。 例4、 当x ______时,12--x 有意义,当x ______时,3 1+x 有意义。 例5、若无意义2+x ,则x 的取值范围是______。 例6、(1)当x 是多少时,31x -在实数范围内有意义? (2)当x 是多少时, 2x 在实数范围内有意义?3x 呢? 3、二次根式的双重非负性: ≥0;a ≥0 。 例1、 已知+ =0,求x,y的值. 例2、 若实数a、b满足 +=0,则2b-a+1=___. 例3、 已知实a满足,求a-2010的值. 例4、 在实数范围内,求代数式 的值. 例5、 设等式=在实数范围内成立,其中a、x、y是两两不同的实数,求的值. 例6、已知9966 x x x x --=--,且x 为偶数,求(1+x )22541x x x -+-的值. 4、二次根式的性质: (3) 例1、(1) ()25.1=________ (2) ()252 =________ (3) ()2 2.0-=________ (4) 272??? ? ??=________ 例2、化简 (1)9=_____ (2)2(4)-=_____ (3)25=_____ (4)2 52??? ??--=_____ (4)2(3)- =_____ 例3.(1)若2a =a ,则a 可以是什么数? (2)若2a =-a ,则a 是什么数? (3)2a >a ,则a 是什么数? 例4.当x>2,化简2(2)x --2(12)x -. 5、积的算术平方根的性质 (a ≥0,b ≥0)即两个非负数的积的算术平方根,等于积中各因式的 算术平方根的积。 , 6、商的算术平方根的性质 (a ≥0,b >0) 商的算术平方根,等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 。 例1、计算 (1)57 (2139(3927 (412 6 例2、化简 (1916?(21681?(3229x y (4)54 二次根式知识点总结及常见题型 资料编号:20190802 一、二次根式的定义 形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式.其中“ ”叫做二次根号,a 叫做被开方数. (1)二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围; (2)判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“”; ②被开方数是否为非负数. 若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式. (3)形如a m (a ≥0)的式子也是二次根式,其中m 叫做二次根式的系数,它表示的是: a m a m ?=(a ≥0); (4)根据二次根式有意义的条件,若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 二、二次根式的性质 二次根式具有以下性质: (1)双重非负性:a ≥0,a ≥0;(主要用于字母的求值) (2)回归性: () a a =2 (a ≥0);(主要用于二次根式的计算) (3)转化性:? ??≤-≥==)0() 0(2a a a a a a .(主要用于二次根式的化简) 重要结论: (1)若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0. 若02=++C B A ,则0,0,0===C B A . 应用与书写规范:∵02=++C B A , A ≥0,2 B ≥0, C ≥0 ∴0,0,0===C B A . 该性质常与配方法结合求字母的值. (2) ()() ()? ??≤-≥-=-=-B A A B B A B A B A B A 2;主要用于二次根式的化简. (3)()() ?????->?=002 2A B A A B A B A ,其中B ≥0; 该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简:可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内,以达到化简的目的. (4)() B A B A ?=22 ,其中B ≥0. 该结论主要用于二次根式的计算. 例1. 式子 1 1-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是_________. 分析:本题考查二次根式有意义的条件,即被开方数为非负数,注意分母不能为0. 解:由二次根式有意义的条件可知:01>-x ,∴1>x . 例2. 若y x ,为实数,且2 1 11+ -+-=x x y ,化简:11--y y . 分析:本题考查二次根式有意义的条件,且有重要结论:若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 解:∵1-x ≥0,x -1≥0 ∴x ≥1,x ≤1 ∴1=x ∴12 1 2100<=++=y ∴ 11 11 1-=--= --y y y y . 习题1. 如果53+a 有意义,则实数a 的取值范围是__________. 习题2. 若233+-+-=x x y ,则=y x _________. 习题3. 要使代数式x 21-有意义,则x 的最大值是_________. 习题4. 若函数x x y 21-= ,则自变量x 的取值范围是__________. 习题5. 已知128123--+-=a a b ,则=b a _________. 一、选择题 1. 5﹣x ,则x 的取值范围是( ) A .为任意实数 B .0≤x≤5 C .x≥5 D .x≤5 2. ,a ==b a 、 b 可以表示为 ( ) A . 10 a b + B .10 -b a C . 10 ab D . b a 3.下列各式成立的是( ) A 3= B 3= C .22(3 =- D .2-= 4.下列计算结果正确的是( ) A B .3= C =D =5.下列各式中,运算正确的是( ) A .= -= .2=D 2=- 6.m 能取的最小整数值是( ) A .m = 0 B .m = 1 C .m = 2 D .m = 3 7. 已知 4 4 2 2 0,24,180x y x y >+=++=、.则xy=( ) A .8 B .9 C .10 D .11 8.当4x = - 的值为( ) A . 1 B C .2 D .3 9 .有意义,则字母x 的取值范围是( ) A .x≥1 B .x≠2 C .x≥1且x =2 D ..x≥-1且x ≠2 10 .若a ,b = ,则a b 的值为( ) A . 1 2 B . 14 C . 3 21 + D 二、填空题 11.已知实数, x y 满足(2008x y =,则 2232332007x y x y -+--的值为______. 12.能力拓展: 1:2121A -= +;2:3232A -=+;3:4343 A -=+; 4:54A -=________. …n A :________. ()1请观察1A ,2A ,3A 的规律,按照规律完成填空. ()2比较大小1A 和2A ∵32+ ________21+ ∴32+________21 + ∴32-________21- ()3同理,我们可以比较出以下代数式的大小: 43-________32-; 76-________54-;1n n +-________1n n -- 13.(1)已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,化简 () 2 22144a a ab b +--+=_____________; (2)已知正整数p ,q 32016p q =()p q , 的个数是_______________; (3)△ABC 中,∠A=50°,高BE 、CF 所在的直线交于点O,∠BOC 的度数__________. 14.计算(π-3)02-2 11(223)-4-22 --() 的结果为_____. 15.() 2 117932x x x y ---=-,则2x ﹣18y 2=_____. 16.甲容器中装有浓度为a 40kg ,乙容器中装有浓度为b 90kg ,两个容器都倒出m kg ,把甲容器倒出的果汁混入乙容器,把乙容器倒出的果汁混入甲容器,混合后,两容器内的果汁浓度相同,则m 的值为_________. 17.为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根,许多数学家进行了探索,期间经历了400余年,直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用”表示算数平 方根.我国使用根号是由李善兰(1811-1882年)译西方数学书时引用的,她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为:22164?a x a x =则图2所示题目(字母代表正数)翻译为_____________,计算结果为_______________. 二次根式知识点总结及应用 一、基本知识点 1.二次根式的有关概念: (1)形如 的 式子叫做二次根式. 二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于零 (2)满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式: ①被开方数不含分母;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式; (3)几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 2.二次根式的性质: (1) 非负性 3.二次根式的运算: 二次根式乘法法则 二次根式除法法则 二次根式的加减: (一化,二找,三合并 ) (1)将每个二次根式化为最简二次根式; (2)找出其中的同类二次根式; (3 )合并同类二次根式。 Ps:类似于合并同类项,关键是把同类二次根式合并。 二次根式的混合运算:原来学习的运算律(结合律、交换律、分配律)仍然适用 0()a ≥0 2(2)(0 )a = ≥ = (0,0)a b = ≥ ≥ (0 0) a b = ≥> (0,0) a b = ≥≥ (0,0)a b = ≥> 二、二次根式的应用 1、非负性的运用 例:1.已知: 0+ =,求x-y 的值. 2、根据二次根式有意义的条件确定未知数的值 例1 有意义的x 的取值范围 例2.若2)(11y x x x +=-+-,则y x -=_____________。 3、运用数形结合,进行二次根式化简 例:.已知x,y 都是实数,且满足5.011+-+- 一、选择题 1.若3 x+在实数范围内有意义,则x的取值范围是() A.x>3 B.x>-3 C.x≥-3 D.x≤-3 2.下列运算正确的是() A.3223 ÷=B.235 += C.233363 ?=D.18126 -= 3.下列说法错误的个数是() ①所有无限小数都是无理数;②()23-的平方根是3 ±;③2a a =;④数轴上的点都表示有理数 A.1个B.2个C.3个D.4个 4.对于已知三角形的三条边长分别为a,b,c,求其面积的问题,中外数学家曾经进行过深入研究,古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式: ()()() S p p a p b p c =---,其中 2 a b c p ++ =,若一个三角形的三边长分别为 2,3,4,则其面积() A. 3 15 4 B. 3 15 2 C. 3 5 2 D. 3 5 4 5.当4 x=时, 22 2323 43124312 x x x x x x -+ - -+++ 的值为() A.1 B.3C.2 D.3 6.若 1 x+ 有意义,则字母x的取值范围是( ) A.x≥1B.x≠2C.x≥1且x=2 D..x≥-1且x≠2 7.已知a满足2018a -+2019 a-=a,则a-2 0182=( ) A.0 B.1 C.2 018 D.2 019 8.若a ab +有意义,那么直角坐标系中点A(a,b)在() A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 9.实数a,b在数轴上的位置如图所示,则化简﹣+b的结果是 () A.1B.b+1C.2a D.1﹣2a 10.如果实数x,y23 x y xy y =-(),x y在() 知识点一:二次根式的概念 【知识要点】 二次根式的定义:形如的式子叫二次根式,其中叫被开方数,只有当是一个 非负数时, 才有意义. 【例2】若式子 3 x -有意义,则x 的取值范围是 . 举一反三: 1、使代数式2 21x x - +-有意义的x 的取值范围是 2、如果代数式mn m 1+ -有意义,那么,直角坐标系中点P (m ,n )的位置在( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y=5-x +x -5+2009,则x+y= 解题思路:式子a (a ≥0),50 ,50 x x -≥?? -≥? 5x =,y=2009,则x+y=2014 举一反三: 111x x --2()x y =+,则x -y 的值为( ) A .-1 B .1 C .2 D .3 3、当a 211a +取值最小,并求出这个最小值。 已知a 5b 是 51 2 a b + +的值。 若17的整数部分为x ,小数部分为y ,求y x 1 2 + 的值. 知识点二:二次根式的性质 【知识要点】 1. 非负性:是一个非负数. 注意:此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到. 2. ()()a a a 20=≥. 注意:此性质既可正用,也可反用,反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式: 3. a a a a a a 200==≥-?? ||() () 注意:(1)字母不一定是正数. (2)能开得尽方的因式移到根号外时,必须用它的算术平方根代替. (3)可移到根号内的因式,必须是非负因式,如果因式的值是负的,应把负号留在根号外. 4. 公式a a a a a a 2 00==≥-??||()() 与()()a a a 20=≥的区别与联系 (1)a 2表示求一个数的平方的算术根,a 的范围是一切实数. (2)()a 2表示一个数的算术平方根的平方,a 的范围是非负数. (3)a 2和()a 2的运算结果都是非负的. 【典型例题】 【例4】若()2 240a c -+-=, 则=+-c b a . 举一反三: 1、已知直角三角形两边x 、y 的长满足|x 2-4|+652+-y y =0,则第三边长为 ______. 2、若1a b -+() 2005 _____________a b -=。 (公式)0((2≥=a a a 的运用) 二次根式的知识点汇总 知识点一: 二次根式的概念 形如()的式子叫做二次根式。 注:在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,,等是二次根式,而,等都不是二次根式。 例1、1x x>0)、、1x y +、 x ≥0,y?≥0) . ”;第二,被开方数是正数或0. 知识点二:取值范围 1、 二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当a ≧0时, 有意义,是二次根式,所以要使二次 根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。 2、 二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a ﹤0时,没有意义。 例2.当x 例3.当x 11x +在实数范围内有意义? 知识点三:二次根式()的非负性 ()表示a 的算术平方根,也就是说,()是一个非负数,即0()。 注:因为二次根式()表示a 的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,所以非负 数()的算术平方根是非负数,即0(),这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多,如若 ,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0;若 ,则a=0,b=0。 例4(1)已知,求x y 的值.(2)=0,求a 2004+b 2004的值 知识点四:二次根式()的性质 () 文字语言叙述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注:二次根式的性质公式()是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用:若, 则,如:,. 例1 计算 )2 1.)2 2.(2 3.2 4.( 2 例2在实数范围内分解下列因式: (1)x2-3 (2)x4-4 (3) 2x2-3 知识点五:二次根式的性质 文字语言叙述为:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注: 1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身, 即;若a是负数,则等于a的相反数-a,即; 2、中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义; 3、化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简。 例1 化简 (1(2(3(4 例2 填空:当a≥0;当a<0,?并根据这一性质回答下列问题. (1,则a可以是什么数?(2,则a是什么数?(3,则a是什么数? 二次根式 知识点一:二次根式的概念 形如()的式子叫做二次根式。 注:在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为 负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,,等是二次根式,而, 等都不是二次根式。 知识点二:取值范围 1. 二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当a≧0时,有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a﹤0时,没有意义。 知识点三:二次根式()的非负性 ()表示a的算术平方根,也就是说,()是一个非负数,即0()。 注:因为二次根式()表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,所以非负数()的算术平方根是非负数,即0(),这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、 偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多,如若,则a=0,b=0;若,则 a=0,b=0;若,则a=0,b=0。 知识点四:二次根式()的性质 () 文字语言叙述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注:二次根式的性质公式()是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应 用:若,则,如:,. 知识点五:二次根式的性质 文字语言叙述为:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注: 1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即 ;若a是负数,则等于a的相反数-a,即; 2、中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义; 3、化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六:与的异同点 1、不同点:与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术平方根;在中,而中a可以是正实数,0,负实数。但与都是非负数,即 ,。因而它的运算的结果是有差别的,,而 2、相同点:当被开方数都是非负数,即时,=;时,无意义,而. 知识点七:二次根式的性质和最简二次根式 二次根式 1.二次根式:式子a (a ≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式:必须同时满足下列条件: ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式: 二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质: (1)(a )2=a (a ≥0); (2) 5.二次根式的运算: (1)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,?变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面. (2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式. ab =a ·b (a≥0,b≥0); b b a a =(b≥0,a>0). (4)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算. 【典型例题】 1、概念与性质 例1下列各式1)22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+, a (a >0) ==a a 2 a -(a <0) 0 (a =0); 其中是二次根式的是_________(填序号). 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 (1)x x -- +315;(2)22)-(x 例3、 在根式1) 222;2);3);4)275 x a b x xy abc +-,最简二次根式是( ) A .1) 2) B .3) 4) C .1) 3) D .1) 4) 例4、已知:的值。求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 例5、 (2009龙岩)已知数a ,b ,若2()a b -=b -a ,则 ( ) A. a>b B. a二次根式知识点总结复习整理
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