初中数学：二次函数图像及抛物线知识点总结

初中数学：二次函数图像及抛物线知识点总结

作为初中数学函数学习的最后一个函数，也是最难的一个，当属二次函数了。

而对学生来说，抛物线学不好，函数就无从下手，抛物线中的开口问题、对称轴问题、交点问题等充斥大脑，会让很多同学望而却步。

不过，学好函数还是有诀窍的，要结合图像说性质，结合性质画图像，正所谓数形结合，函数无敌!

二次函数知识点总结

二次函数知识点总结 二次函数知识点总结 一、函数定义与表达式 1.一般式：y = ax^2 + bx + c（a、b、c为常数，a≠0）； 2.顶点式：y = a(x - h)^2 + k（a、h、k为常数，a≠0）； 3.交点式：y = a(x - x1)(x - x2)（a≠0，x1、x2是抛物线与 x轴两交点的横坐标）。 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b^2 - 4ac≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式 表示。二次函数解析式的这三种形式可以互相转化。 二、函数图像的性质——抛物线 1）开口方向——二次项系数a

二次函数y = ax^2 + bx + c中，a作为二次项系数，显然 a≠0. 当a>0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反 之a的值越小，开口越大； 当a<0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反 之a的值越大，开口越大。 顶点坐标：（h，k）一般式：（-b/2a，-Δ/4a） 总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负 决定开口方向，a的大小决定开口的大小。|a|越大开口就越小，|a|越小开口就越大。 y = 2x^2 y = x^2 y = (1/2)x^2 y = -(1/2)x^2 y = -x^2 y = -2x^2

2）抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x = -b/2a。 对称轴顶点式：x = h 两根式：x = x1、x = x2 3）对称轴位置 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。（“左同右异”） a与b同号（即ab>0）对称轴在y轴左侧 a与b异号（即ab<0）对称轴在y轴右侧 4）增减性，最大或最小值 当a>0时，在对称轴左侧（当x。-b/2a时），y随着x的增大而增大； 当a -b/2a时），y随着x的增大而增大； 当a>0时，函数有最小值，并且当x = -b/2a时，ymin = -Δ/4a；当a<0时，函数有最大值，并且当x = -b/2a时，ymax = -Δ/4a；

人教版九年级数学《二次函数》知识点梳理与总结(超经典)

九年级《二次函数》知识梳理与总结 一、二次函数的概念 1、定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2、注意点： （1）二次函数是关于自变量x 的二次整式，二次项系数a 必须为非零实数，即a ≠0， 而b 、c 为任意实数。 （2）当b=c=0时，二次函数2 ax y =是最简单的二次函数。 （3）二次函数c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a 自变量的取值为全体实数 （c bx ax ++2 为整式） 3、三种函数解析式： （1）一般式： y=ax2+bx+c （a ≠0）， 对称轴：直线x=a b 2- 顶点坐标：( a b ac a b 4422--， ) （2）顶点式：()k h x a y +-=2 （a ≠0）， 对称轴：直线x=h 顶点坐标为（h ,k ） （3）交点式：y=a （x-x 1）（x-x 2）（a ≠0）, 对称轴:直线x= 2 2 x1x + (其中x 1、x 2是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标). 二、二次函数的图象 1、二次函数 c bx ax y ++=2 的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线. 2、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2 ； ③()2 h x a y -=；④()k h x a y +-=2 ；⑤c bx ax y ++=2 . 注：二次函数的图象可以通过抛物线的平移得到

3、二次函数c bx ax y ++=2 的图像的画法 因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是： (1)先找出顶点坐标，画出对称轴； (2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)； (3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来. 注：常用性质： 1、开口方向：当a>0时，函数开口方向向上； 当a<0时，函数开口方向向下； 2、增减性： 当a>0时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大； 当a<0时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减少； 3、最大或最小值： 当a>0时，函数有最小值，并且当x=a b 2- ， y 最小 ＝a b ac 442- 当a<0时，函数有最大值，并且当x=a b 2- ， y 最大 ＝a b ac 442-

完整版)抛物线知识点归纳总结

完整版)抛物线知识点归纳总结 抛物线是一种经典的二次函数图像，具有许多重要的特点和性质。以 下是对抛物线知识点的详细总结。 1.定义：抛物线是平面上一点P到定点F的距离等于点P到定直线上 一点的距离的轨迹。 2.构成：抛物线由平面上的点集组成，由对称轴与焦点决定。 3. 表达式：一般形式的抛物线方程是y=ax^2 + bx + c，其中a、b、c是实数且a不等于0。 4.开口方向：抛物线开口方向由a的正负决定，如果a大于0，抛物 线开口向上；如果a小于0，抛物线开口向下。 5.对称轴：抛物线的对称轴是一条与抛物线的开口方向垂直的直线， 由方程x=-b/2a给出。 6. 焦点：抛物线的焦点是与抛物线上任意一点的距离相等的定点F，其坐标为((-b/2a), (4ac-b^2)/4a)。 7.直径：抛物线的直径是通过焦点且与抛物线相交于两点的直线。 8.非退化抛物线：当a不等于0时，抛物线是非退化的，并且它的对 称轴是直线x=-b/2a。 9.顶点：抛物线的顶点是抛物线上最高或最低的点，它是通过对称轴 的纵坐标最小（或最大）的点。 10.切线：抛物线上任意一点的切线是通过该点并且与抛物线仅有一 个交点的直线。

11.弦：抛物线上的弦是通过抛物线上两个点并且与抛物线仅有两个交点的线段。 12. 与X轴交点：抛物线与X轴的交点可通过求解方程ax^2 + bx + c = 0得到。 13.与Y轴交点：抛物线与Y轴的交点是抛物线上当x=0时的点，即把x替换为0后求解方程得到。 14.对称性：抛物线具有关于对称轴对称的性质，即对称轴上的一点关于对称轴上的另一点的映射是自身。 15.焦点和直角三角形：抛物线上两点和焦点构成的三角形是直角三角形。 16.抛物线的图像：抛物线的图像是一个开口朝上或朝下的弧线，形状可以通过方程中的系数来确定。 17.抛物线的平移：抛物线可以通过平移来改变其位置，平移的方式是通过方程中的常数项来实现。 18.抛物线的拉伸/压缩：通过改变抛物线方程中的a的值，可以改变抛物线的宽度。 19.抛物线与其他图形的关系：抛物线与其他图形的关系可以通过其方程和图像进行分析，例如抛物线与直线或者其他抛物线之间的交点、切点等。 总结: 抛物线是一种重要的二次函数，具有许多重要的性质和特点。了解这些性质对于理解和分析抛物线的方程和图像非常有帮助，也为研究更高级

初中二次函数常考知识点总结

二次函数常考知识点总结 一、 函数定义与表达式 1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠） ； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3. 交点式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化 二、 函数图像的性质——抛物线 （1）开口方向——二次项系数a 二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠． 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． （2）抛物线是轴对称图形，对称轴为直线 一般式：2b x a =- 对称轴 顶点式：x=h 两根式：x= 2 2 1x x + （3）对称轴位置 （4）增减性，最大或最小值 当a>0时，在对称轴左侧（当2b x a <-时），y 随着x 的增大而减少；在对称轴右侧（当2b x a <- 时），y 随着x 的增大而增大； 当a<0时，在对称轴左侧（当2b x a <-时），y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧（当2b x a <- 时），y 随着x 的增大而减少； 当a>0时，函数有最小值，并且当x=a b 2- ，2min 44ac b y a -=；当a<0时，函数有最大值，并且 当x=a b 2-，2 max 44ac b y a -=； （5）常数项c 常数项c 决定抛物线与y 轴交点。 抛物线与y 轴交于（0，c ）。 （6） a\b\c 符号判别 二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0） 中a 、b 、c 的符号判别： （1）a 的符号判别由开口方向确定：当开口向上时，a ＞0；当开口向下时，a ＜0； 一般式：2424b ac b a a ?? -- ???， 顶点式：（h 、k ） y=-2x 2

九年级数学上册 第二十二章 二次函数知识点总结 新人教版

第22章 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 （1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点； ②当0a 时，开口向上；当0

二次函数图象和性质知识点总结

二次函数的图象和性质知识点总结 一、知识点回顾 1. 二次函数解析式的几种形式： ①一般式： （a 、b 、c 为常数，a ≠0） ②顶点式：（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐 标。 ③交点式：，其中是抛物线与x 轴交点的横坐标，即 一元二次方程的两个根，且a ≠0，（也叫两根式）。 2. 二次函数 的图象 ①二次函数 的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状） 完全相同，只是位置不同。 ②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动 规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。 ③在画的图象时，可以先配方成的形式，然后将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成 的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。然后取图象与y 轴的交点（0，c ），及此点关于对称轴 对称的点（2h ，c ）；如果图象与x 轴有两个交点，就直接取这两个点（x 1，0）， y ax bx c =++2 y a x h k =-+()2y a x x x x =--()()12x x 12，ax bx c 2 0++=y ax bx c =++2 y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax = 2 y ax bx c =++2y a x h k =-+()2 y ax =2 y ax bx c =++2y a x h k =-+()2

（x 2，0）就行了；如果图象与x 轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y 轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。 a ＞0 a ＜0 a ＞0 a ＜0 (1)抛物线开口向上，(1)抛物线开口向下，(1)抛物线开口(1)抛物线开 4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法 ①配方法：将解析式化为 的形式，顶点坐标为y ax bx c =++2y a x h k =-+()2

北师大版数学九年级下册：二次函数知识点总结

北师大版数学九年级下册：二次函数知识 点总结 二次函数知识点总结 一、二次函数概念： 二次函数是指形如y=ax^2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数。需要注意的是，和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b、c可以为零。二次函数的定义域是全体实数。 二、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式：y=ax^2的性质： a的绝对值越大，抛物线的开口越小，a的符号决定开口方向，顶点坐标在对称轴上方（a>0）或下方（a<0）。 性质：

当x增大时，y随之增大，当x减小时，y随之减小，当x等于顶点时，y有最小值（a>0）。 当x增大时，y随之减小，当x减小时，y随之增大，当x等于顶点时，y有最大值（a<0）。 2.y=ax^2+c的性质： 上加下减，a的符号决定开口方向，顶点坐标在对称轴上方（a>0）或下方（a<0）。 性质： 当x增大时，y随之增大，当x减小时，y随之减小，当x等于顶点时，y有最小值c（a>0）。 当x增大时，y随之减小，当x减小时，y随之增大，当x等于顶点时，y有最大值c（a<0）。 3.y=a(x-h)^2的性质：

左加右减，a的符号决定开口方向，顶点坐标为(h,k)。 性质： 当x大于h时，y随之增大，当x小于h时，y随之减小，当x等于h时，y有最小值k。 当x大于h时，y随之减小，当x小于h时，y随之增大，当x等于h时，y有最大值k。 4.y=a(x-h)^2+k的性质： a的符号决定开口方向，顶点坐标为(h,k)。 性质： 当x大于h时，y随之增大，当x小于h时，y随之减小，当x等于h时，y有最小值k。

当x大于h时，y随之减小，当x小于h时，y随之增大，当x等于h时，y有最大值k。 三、二次函数图象的平移 平移步骤： 方法一：将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)^2+k，确 定其顶点坐标(h,k)处，具体平移方法如下： 保持抛物线y=ax^2的形状不变，将其顶点平移到(h,k)， 向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|个单位。 向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|个单位。 1.平移规律：对于二次函数y=a(x-h)^2+k，平移h个单位 时向右移动h个单位，平移k个单位时向上移动k个单位。可 以概括为“左加右减，上加下减”。 2.平移方法：对于函数y=ax^2+bx+c，沿y轴平移m个单 位可得y=ax^2+bx+c+m（或y=ax^2+bx+c-m），沿x轴平移

初中数学二次函数知识点总结

初中数学二次函数知识点总结 （经典版） 编制人：__________________ 审核人：__________________ 审批人：__________________ 编制单位：__________________ 编制时间：____年____月____日 序言 下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢! 并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如演讲稿、总结报告、合同协议、方案大全、工作计划、学习计划、条据书信、致辞讲话、教学资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注! Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of classic sample essays, such as speech drafts, summary reports, contract agreements, project plans, work plans, study plans, letter letters, speeches, teaching materials, essays, other sample essays, etc. Want to know the format and writing of different sample essays, so stay tuned!

初三数学：《二次函数的图象和性质》知识点归纳

初三数学：《二次函数的图象和性质》知识点归纳 二次函数图像的性质： 1.二次函数(a≠0)的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点是原点(0,0)。 (1)二次函数图像怎么画 作法：①列表：一般取5个或7个点，作为顶点的原点(0,0)是必取的，然后在y轴的两侧各取2个或3个点，注意对称取点;②描点：一般先描出对称轴一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点;③连线：按照自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线连接所描的点，两端无限延伸。 (2)二次函数与的图像和性质： 2.二次函数(a，k是常数，a≠0)的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，k)，它与的图像形状相同，只是位置不同。函数的图像是由抛物线向上(或下)平移|k|个单位得到的。

当a>0时，抛物线的开口向上，在对称轴的左边(x<0时)，曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小;在对称轴的右边(x>0时)，曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大。顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当x=0时，y最小值=k。 当a<0时，抛物线的开口向下，在对称轴的左边(x<0时)，曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大;在对称轴的右边(x>0时)，曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小。顶点是抛物线的最高点，在顶点处函数y取得最大值，即当x=0时，y最大值=k。 3.二次函数(a≠0)的图像是一条抛物线，它的对称轴是平行于y轴或与y轴重合的直线x=h，顶点坐标是(h，0)，它与的图像形状相同，位置不同，函数(a≠0)的图像是由抛物线向右(或左)平移|h|个单位得到的。 画图时，x的取值一般为h和h左右两侧的值，然后利用对称性描点画图。 当a>0时，抛物线的开口向上，在对称轴的左边(xh时)，曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大。顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当x=h时，y最小值=0。 当a<0时，抛物线的开口向下，在对称轴的左边(xh时)，曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小。顶点是抛物线的最高点，在顶点处函数y取得最大值，即当x=h时，y最大值=0。 4.二次函数(a≠0)的图像是一条抛物线，它的对称轴是直线x=h，顶点坐标是(h，k)，是由抛物线向右(或左)平移|k|个单位，再向上(下)平移|k|个单位得到的。 当a>0时，抛物线的开口向上，在对称轴的左边(xh时)，曲线自左向右上升，函数y随x的增大而增大。顶点是抛物线的最低点，在顶点处函数y取得最小值，即当x=h时，y最小值=k。 当a<0时，抛物线的开口向下，在对称轴的左边(xh时)，曲线自左向右下降，函数y随x的增大而减小。顶点是抛物线的最高点，在顶点处函数y取得最大值，即当x=h时，y最大值=k。 5.二次函数的图像的画法：

二次函数的初三数学知识点归纳

二次函数的初三数学知识点归纳 二次函数的初三数学知识点归纳 二次函数（quadratic function）的基本表示形式为y=ax+bx+c （a≠0）。二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。二次函数表达式为y=ax+bx+c （且a≠0），它的定义是一个二次多项式（或单项式）。下面店铺整理了二次函数的初三数学知识点归纳,希望对复习的学生有所帮助。仅供大家参考。 1.二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c.(a0) 2.关于二次函数的几个概念：二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax2+bx+c;抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡;其中c叫二次函数在y轴上的'截距,即二次函数图象必过(0，c)点. 3. y=ax20)的特性：当y=ax2+bx+c (a0)中的b=0且c=0时二次函数为y=ax20); 这个二次函数是一个特殊的二次函数，有下列特性： (1)图象关于y轴对称;(2)顶点(0，0); 4.求二次函数的解析式：已知二次函数图象上三点的坐标，可设解析式y=ax2+bx+c，并把这三点的坐标代入，解关于a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值,从而求出解析式-------待定系数法. 5.二次函数的顶点式：y=a(x-h)2+k(a 由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标(h, k)，对称轴方程x=h和函数的最值y最值= k. 6.求二次函数的解析式：已知二次函数的顶点坐标(h,k)和图象上的另一点的坐标，可设解析式为y=a(x -h)2+ k，再代入另一点的坐标求a，从而求出解析式. 7.二次函数图象的平行移动：二次函数一般应先化为顶点式，然后才好判断图象的平行移动;y=a(x-h)2+k的图象平行移动时，改变的

初中二次函数知识点总结

初中二次函数知识点总结 一、定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.） 则称y为x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 二、二次函数的三种表达式 一般式：y=ax^2；+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）。 顶点式：y=a(x-h)^2；+k[抛物线的顶点P（h，k）]。 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B （x2，0）的抛物线]。 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-b/2ak=(4ac-b^2；)/4ax1，x2=(-b±√b^2；-4ac)/2a。 三、二次函数与一元二次方程 特别地，二次函数（以下称函数）y=ax²+bx+c。 当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax²+bx+c=0。 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 1.二次函数y=ax²，y=a(x-h)²，y=a(x-h)²+k，y=ax²+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同。 当h>0时，y=a(x-h)²的图象可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到。 当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到。 当h>0，k>0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图象。 当h>0，k<0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向

初三数学二次函数知识点总结归纳

初三数学二次函数知识点总结归纳 二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y 轴平行或重合于y轴的抛物线，如果令y值等于零，则可得一个二次方程。下面是小编为大家整理的关于初三数学二次函数知识点总结，希望对您有所帮助! 初三数学二次函数知识点总结 1二次函数的定义 一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数.如y=3x2，y=3x2-2，y=2x2+x-1等都是二次函数. 注意：(1)二次函数是关于自变量的二次式，二次项系数a必须是非零实数，即a≠0，而b，c是任意实数，二次函数的表达式是一个整式; (2)二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，自变量x的取值范围是全体实数; (3)当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数; (4)一个函数是否是二次函数，要化简整理后，对照定义才能下结论，例如y=x2-x(x-1)化简后变为y=x，故它不是二次函数. 2二次函数解析式的几种形式 (1)一般式：y=ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0). (2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0). (3)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a≠0. 说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点 3二次函数y=ax2+c的图象与性质 (1)抛物线y=ax2+c的形状由a决定，位置由c决定. (2)二次函数y=ax2+c的图象是一条抛物线，顶点坐标是(0，c)，

九年级数学二次函数知识点归纳总结

二次函数知识点归纳 1.定义：一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 1抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. 2函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点； ②当0a 时,开口向上；当0

初中数学二次函数知识详细归纳

初中数学二次函数知识归纳 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质：（1）抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点； ②当0a 时，开口向上；当0

初中二次函数知识点汇总(史上最全)

二次函数知识点 一、基本概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 y ax bx c =++（a b c a≠）的函数，叫做二次函数。 ，，是常数，0 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0 a≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2 =++的结构特征： y ax bx c ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 二、基本形式 1. 二次函数基本形式：2 =的性质： y ax a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2 y ax c =+的性质：（上加下减）

3. ()2 y a x h =-的性质：（左加右减） 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．

方法2： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数() 2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到 前者，即2 2424b ac b y a x a a -⎛ ⎫=++ ⎪⎝⎭ ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开 口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，， ()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值2 44ac b a -． 七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.