高考数学140分必读之把关题解析30讲(1)
1．重庆一模
21．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点。 （Ⅰ）求这三条曲线的方程；
（Ⅱ）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由。
21．（12分）
解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =
24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………（1分）
由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………（2分） 对于椭圆，
1222a MF MF =+=
=+
(
2
22222211321
a a
b a
c ∴=+∴==+∴=-=+∴= 椭圆方程为：………………………………（4分）
对于双曲线，1222a MF MF '=-=
2222221321
a a
b
c a '∴='∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为：………………………………（6分）
（Ⅱ）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，DE 中点为H
令()11113,,,22x y A x y +??∴ ??
? C ………………………………………………（7分）
()111231
23
22
DC AP x CH a x a ∴=
=+=-=-+
()()(
)22
2
2
2
2111212
1132344-23246222
DH DC CH x y x a a x a a
a DH DE DH l x ????∴=-=
-+--+???
?=-+==-+=∴=='= 当时,为定值; 此时的方程为： …………（12分）
22．（14分）已知正项数列{}n a 中，16a
=，点(n n A a 在抛物线21y x =+上；数列{}n b 中，点(),n n B n b 在过
点()0,1，以方向向量为()1,2的直线上。
（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；
（Ⅱ）若()()()n n a f n b ??=???, n 为奇数, n 为偶数，问是否存在k N ∈，使()()274f k f k +=成立，若存在，求出k 值；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）对任意正整数n
，不等式1120111111n n
n a b b b +-≤??????+++ ? ?????????
成立，求正数a 的取值范围。
22．（14分）
解：
（Ⅰ）将点(n n A a 代入21y x =+中得
()11111115:21,21
n n n n n n a a a a d a a n n l y x b n ++=+∴-==∴=+-?=+=+∴=+ 直线 …………………………………………（4分）
（Ⅱ）()()()
521n f n n ?+?=?+??, n 为奇数, n 为偶数………………………………（5分）
()()()()()()27274275421,42735
227145,2
4k k f k f k k k k k k k k k k ++=∴++=+∴=+∴++=+∴== 当为偶数时，为奇数， 当为奇数时，为偶数， 舍去综上，存在唯一的符合条件。
……………………（8分）
（Ⅲ）由
1120111
111n n
n a b b b +≤??????+++ ? ?????????
(
)(
)()(
)
121212111111111111111111111111124
123
n n
n n n a b b b f n b b b f n
b b b b f n
n f
n b n ++?????≤
+++
??????????????=
+++
????????????????∴+=++++
?????????????+??+∴=
+== ?+?? 即记 ()()()()()min 1
1,4130f n f n f n f n f a =
>∴+>∴===∴<≤
即递增， 2．南京三模
21.（本小题满分12分）将圆O: 4y x 2
2
=+上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变),
得到曲线C. (1) 求C 的方程; (2) 设O 为坐标原点, 过点)0,3(F 的直线l 与C 交于A 、B 两点, N 为线段AB 的中点, 延长线段ON 交C 于点E.
求证: 2=的充要条件是3|AB |= . 21．（本小题满分12分）
解: (1)设点)y ,x (P '' , 点M 的坐标为)y ,x ( ,由题意可知?
??='=',y 2y ,x x ………………(2分)
又,4y x 2
2='+'∴1y 4x 4y 4x 2222=+?=+. 所以, 点M 的轨迹C 的方程为1y 4
x 22
=+.………………(4分) (2)设点)y ,x (A 11 , )y ,x (B 22 , 点N 的坐标为)y ,x (00 ,
㈠当直线l 与x 轴重合时, 线段AB 的中点N 就是原点O, 不合题意,舍去; ………………(5分) ㈡设直线l : ,3my x += 由????
?=++
=4
y 4x 3
my x 22消去x,
得01my 32y )4m (2
2
=-++………………①
∴,4
m m
3y 2
0+-
=………………(6分) ∴4m 3
44m 34m 34m m 33my x 2
222200+=++++-=+=, ∴点N 的坐标为)4
m m
3,4m 34(22
+-+ .………………(8分)
①若OE ON 2=, 坐标为, 则点E 的为)4
m m
32,4m 38(
2
2+-+ , 由点E 在曲线C 上, 得1)
4m (m 12)4m (482
22
22=+++, 即,032m 4m 24=-- ∴4m (8m 22-== 舍去). 由方程①得,14
m 1
m 44m 16m 4m 12|y y |2
222221=++=+++=- 又|,)y y (m ||my my ||x x |212121-=-=-
∴3|y y |1m |AB |212
=-+= .………………(10分)
②若3|AB |= , 由①得,34m )
1m (42
2=++∴ .8m 2= ∴点N 的坐标为)66,33(± , 射线ON 方程为: )0x (x 2
2
y >±= ,
由?????=+>±=4y 4x )0x (x 22y 22 解得???
???
?±==36
y 3
32x ∴点E 的坐标为),36,332(± ∴2=.
综上, 2=的充要条件是3|AB |= .………………(12分)
22.（本小题满分14分）已知函数241
)x (f x
+=
)R x (∈. (1) 试证函数)x (f 的图象关于点)4
1
,21( 对称;
(2) 若数列}a {n 的通项公式为)m ,,2,1n ,N m ()m
n
(f a n =∈=+, 求数列}a {n 的前m 项和;S m
(3) 设数列}b {n 满足: 31b 1=, n 2
n 1n b b b +=+. 设1b 11b 11b 1T n
21n ++++++= . 若(2)中的n S 满足对任意不小于2的正整数n, n n T S <恒成立, 试求m 的最大值.
22．（本小题满分14分）
解: (1)设点)y ,x (P 000 是函数)x (f 的图象上任意一点, 其关于点)4
1,2
1( 的对称点为)y ,x (P .
由???????=+=+412
y y 2
1
2x x 00 得?????-=-=.y 21
y ,x 1x 00 所以, 点P 的坐标为P )y 2
1
,x 1(00-- .………………(2分)
由点)y ,x (P 000 在函数)x (f 的图象上, 得2
41
y 0
x 0+=.
∵,)
24(244244241)x 1(f 0
000
x x x x x 10+=?+=+=
-- =+-=-24121y 210x 0,)24(2400x x + ∴点P )y 2
1
,x 1(00
-- 在函数)x (f 的图象上. ∴函数)x (f 的图象关于点)4
1
,21( 对称. ………………(4分)
(2)由(1)可知, 21)x 1(f )x (f =
-+, 所以)1m k 1(2
1
)m k 1(f )m k (f -≤≤=-+ , 即,2
1a a , 21)m k m (f )m k (f k m k =+∴=-+- ………………(6分)
由m 1m 321m a a a a a S +++++=- , ……………… ①
得,a a a a a S m 13m 2m 1m m +++++=--- ………………② 由①＋②, 得,6
12m 61221m a 221)1m (S 2m m -=?+-=+?-= ∴).1m 3(121
S m -=
………………(8分) (3) ∵,3
1b 1=)1b (b b b b n n n 2
n 1n +=+=+, ………………③
∴对任意的0b ,N n n >∈+ . ………………④
由③、④, 得,1b 1b 1)1b (b 1b 1n n n n 1n +-=+=+即1n n n b 1b 11b 1+-=+. ∴1
n 1n 11n n 3221n b 1
3b 1b 1)b 1b 1()b 1b 1()b 1b 1(T +++-=-=-++-+-= .……………(10分)
∵,b b ,0b b b n 1n 2
n n 1n >∴>=-++ ∴数列}b {n 是单调递增数列. ∴n T 关于n 递增. 当2n ≥, 且+∈N n 时, 2n T T ≥.
∵,81
52)194(94b ,94)131(31b ,31b 321=+==+==
∴.52
75
b 13T T 12n =-
=≥………………(12分) ∴,5275S m <即,5275)1m 3(121<-∴,39
4
639238m =< ∴m 的最大值为6. ……………(14分)
3．重庆预测
21．（12分）E 、F 是椭圆22
24x y +=的左、右焦
点，l 是椭圆的右准线，点
P l ∈，过点E 的直线交椭圆于A 、B 两点。
（1） 当AE AF ⊥时，求AEF ?的面积；
（2） 当3AB =时，求AF BF +的大小；
（3） 求EPF ∠的最大值。 21．（1）22
41
28
2AEF m n S mn m n ?+=??==?
+=? （2）因4
84AE AF AB AF BF BE BF ?+=??++=?
+=??
， 则 5.AF BF +=
（1）
设)(0)P t t > ()tan EPF tan EPM FPM ∠=∠-∠
(1=÷+==≤，
当t =
30tan EPF EPF ∠=
?∠= 22．（14分）已知数列{}n a 中，11
3
a =，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足2221n n n S a S =-，
（2） 求n S 的表达式及2
lim
n
n n
a S →∞的值；
（3） 求数列{}n a 的通项公式； （4）
设n b =
n N ∈且2n ≥时，n n a b <。
22．（1）21111
211
22(2)21n n n n n n n n n n n S a S S S S S S n S S S ----=-=
?-=?-=≥- 所以1n S ??????是等差数列。则1
21n S n =+。
222lim
lim 2212lim 1n n n n n n
n a S S S →∞→∞→∞
===---。
（2）当2n ≥时，12
112
212141
n n n a S S n n n --=-=
-=+--， 综上，()()2
1
13
2214n n a n n ?=??=??≥?-?。
（3
）令a b =
=
，当2n ≥
时，有0b a <<≤ （1） 法1：等价于求证
1
1
21
21
n n ->-+。
当2n
≥
时，0<
≤
令()23,0f x x x x =-<≤ (
)233232(1)2(12(1022f x x x x x x x '=-=-
≥-=->， 则()
f x 在递增。
又0<
<≤
所以g g <即n n a b <。
法（2
）223311()2121n n a b b a b a n n -=
--=---+- 22()()a b a b ab a b =-++-- （2）
22()[()()]22ab ab
a b a a b b =-+
-++- ()[(1)(1)]22b a
a b a a b b =-+-++- （3）
因3111110222a b a b a +
-<+-<-<=-< 所以(1)(1)022
b a
a a
b b +
-++-< 由（1）（3）（4）知n n a b <。
法3：令()2
2
g b a b ab a b =++--，则()12102
a
g b b a b -'=+-=?=
所以()()(){}{}
2
2
0,,32g b max g g a max a a a a ≤=--
因0a <≤
则()210a a a a -=-<
22323()303a a a a a -=-≤<
所以()2
2
0g b a b ab a b =++--< （5）
由（1）（2）（5）知n n a b <
例1 解关于x 的不等式：()()()0]
12[log 1log 42>+->-a x a x ．
讲解：解不等式实质上就是等价变形，利用对数函数的单调性，我们不难得到：原不等式等价于
()()()???
??+->->+->-1
210
120
12
x a x x a x ① 即 ()()??
??
???>--->>0
2121x a x a x x .
由于1>a ，所以a
1
21-
<，所以，上述不等式等价于
()()????
?
>---
>0
212x a x a x ② 解答这个含参数的不等式组，必然需要分类讨论，此时，分类的标准的确定就成了解答的关键．如
何确定这一标准？
首先，我们可以从解不等式()()02>--x a x 入手，不难看到2=a 是一个分界点，这可以看作是本题
分类讨论的第一层次；其次，要解上述不等式组，从两个不等式取交集的角度，必然需要考虑到a
12-
，a ，2这三个数之间的大小关系，这应该是本题分类讨论的第二层次．但是，在本题的条件及第一分类标准之下，这三个数的大小关系已经确定，所以，我们只需考虑以2=a 为分界点．
（1）当21< ?? <>->a x x a x 或212 此时，由于()01122 <--= -??? ? ? -a a a a ，所以 a a <-12． 从而 21 2><<- x a x a 或． （2）当2=a 时，不等式组②等价于?????≠> 2 23x x 所以 22 3 ≠>x x ，且． （3）当2>a 时，不等式组②等价于????? ><- >a x x a x 或212 此时，由于212<- a ，所以，a x x a ><<-或21 2． 综上可知：当21<<<-21 2x a x a x 或；当2=a 时，原不等式的解集 为??????≠>223x x x ，且；当2>a 时，原不等式的解集为? ?????><<-a x x a x 或21 2． 如果将本题中的条件1>a 去掉，则在将原不等式等价转化为不等式组①后，就应该开始确定分类标准．从解不等式()012>+-x a 和()()02>--x a x 入手，可知0=a ，2=a 是两个分界点，另外，从解不等式组的角度，即不等式取交集的角度，可以看出需要比较a 1 2-，a ，1，2这四个数的大小关系，为了找到分界点，可以令a 1 2- ＝a ，解得：1=a ，于是，我们得到了此题分类讨论的3个界点：0，1，2．从不重不漏的原则出发，我们可以画出如下数轴，并标出0，1，2三个点，以此把数轴分成()0,∞-，()1,0， ()2,1，()+∞,2四个区间及2,1,0=a 三个点． 下面只需在各区间及各界点展开讨论即可．结论如下： 当0 ? ??-< 当10≤≤a 时，原不等式的解集为{}2>x x ； 当21<<<-21 2x a x a x 或； 当2=a 时，原不等式的解集为??????≠>223 x x x ，且； 当2>a 时，原不等式的解集为? ?????><<-a x x a x 或21 2． 点评：解含参数的不等式时，关键在于分类标准的确定．函数单调性的变化常常作为确定分类标准的依据．分类需要不重不漏，尤其注意不要忽略参数a 在分界点的取值． 例2 设函数()12--=x ax x f ， （1）当2=a 时，解不等式()1)(f x f ≤； （2）求a 的取值范围，使得函数()x f 在[)+∞,1上为单调函数． 讲解：（1）2=a 时，()1)(f x f ≥可化为：()1122-≤-x x ，等价于： ()???-≤-≥-1 14012 2x x x ① 或 ???≥-<-010 12x x ② 解①得 3 5 1≤ ≤x ，解②得 1-≤x ． 所以，原不等式的解集为 ? ?????-≤≤≤135 1x x x 或． （2）任取[)+∞∈,1,21x x ，且21x x <，则 ()()()()()??? ? ? ? -+-+- -=-+----=? ? ? ??-----=? ? ? ??---??? ??--=-111 111112 2 2 121212 22 122 21212221212 2221121x x x x a x x x x x x x x a x x x x a x ax x ax x f x f 要使函数()x f 在[)+∞,1上为单调函数，需且只需： 1 12 22 12 1-+-+> x x x x a 恒成立，（或1 12 22 12 1-+-+< x x x x a 恒成立）． 因此，只要求出 1 12 2212 1-+-+x x x x 在条件“[)+∞∈,1,21x x ，且21x x <”之下的最大、最小值即可．为 了探求这个代数式的最值，我们可以考虑极端情况，如：1,121→=x x ，容易知道，此时 1 12 22 12 1-+-+x x x x +∞→；若考虑+∞→<21x x ，则不难看出，此时 1 12 22 12 1-+-+x x x x 1→，至此我们 可以看出：要使得函数()x f 为单调函数，只需1≤a ． 事实上，当1≤a 时，由于0112 22 121>-+->+x x x x 恒成立，所以， 11 12 22 12 1>-+-+x x x x ．所 以，在条件“[)+∞∈,1,21x x ，且21x x <”之下，必有：()()021>-x f x f ． 所以，()x f 在区间[)+∞,1上单调递减． 当1>a 时，由（1）可以看出：特例2=a 的情况下，存在()?? ? ??=351f f ．由此可以猜想：函数()x f 在 区间[)+∞,1上不是单调函数．为了说明这一点，只需找到[)+∞∈,1,21x x ，使得()()21x f x f =即可．简便 起见，不妨取11=x ，此时，可求得11 1 2 22>-+=a a x ，也即：()a a a f f =??? ? ??-+=11122，所以，()x f 在区间[)+∞,1上不是单调函数． 点评：本题是函数、不等式型综合问题，注意：不等式解区间的端点往往与方程的解相关（如（1） 中()?? ? ??=351f f . 高考真题 1. （1991年全国高考）已知n 为自然数，实数1>a ，解关于x 的不等式： () ()() a x x n x x x a n a n a a a n --->-+++--21 log 3 21log 2log 12log 4log 32 . 2. （2000年全国高考）设函数 ，其中a>0． （I ）解不等式f(x)≤1； （II ）求a 的取值范围，使函数f(x)在区间[0，＋∞]上是单调函数． [答案与提示：1．当n 为奇数时，不等式的解集为??? ???????++<<2411a x a x ；当n 为偶数时，解集为 ??? ???????++>2411a x x ． 2．（I ）0 22. (本小题满分14分) 已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = 1 x x +(x ≠ –1)的图象上，且有t 2 – c 2at + 4c 2 = 0 ( c ≠ 0 ). (1) 求证：| ac | ≥ 4; (2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增. (3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 证：(1) ∵ t ∈R, t ≠ –1, ∴ ⊿ = (–c 2a)2 – 16c 2 = c 4a 2 – 16c 2 ≥ 0 ， ∵ c ≠ 0, ∴c 2a 2 ≥ 16 , ∴| ac | ≥ 4. (2) 由 f ( x ) = 1 – 1 x 1+, 法1. 设–1 < x 1 < x 2, 则f (x 2) – f ( x 1) = 1– 1x 12+–1 + 1x 1 1+= ) 1x )(1x (x x 1221++-. ∵ –1 < x 1 < x 2, ∴ x 1 – x 2 < 0, x 1 + 1 > 0, x 2 + 1 > 0 , ∴f (x 2) – f ( x 1) < 0 , 即f (x 2) < f ( x 1) , ∴x ≥ 0时，f ( x )单调递增. 法2. 由f ` ( x ) = 2 )1x (1 +> 0 得x ≠ –1, ∴x > –1时，f ( x )单调递增. （3）（仅理科做）∵f ( x )在x > –1时单调递增，| c | ≥ | a |4 > 0 , ∴f (| c | ) ≥ f (|a |4) = 1| a |4| a |4 += 4|a |4+ f ( | a | ) + f ( | c | ) = 1|a ||a |++ 4|a |4+> 4|a ||a |++4 |a |4 +=1. 即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 3．南通二模 19．（本小题满分15分） 设定义在R 上的函数4 3 2 01234()f x a x a x a x a x a =++++（其中i a ∈R ，i =0,1,2,3,4），当 x = －1时，f (x )取得极大值2 3 ，并且函数y =f (x +1)的图象关于点（－1，0）对称． （1） 求f (x )的表达式； （2） 试在函数f (x )的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直， 且切点的横坐标都在区间?? 上； （3） 若+213),(N )23n n n n n n x y n --==∈，求证：4 ()().3 n n f x f y -< 解：（1）3 1().3 f x x x = -…………………………5分 （2）( )0,0,?或( )0,0,.? ?? …………10分 （3）用导数求最值，可证得4 ()()(1)(1).3 n n f x f y f f -<--<……15分 20．（本小题满分13分） 设M 是椭圆22 : 1124 x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程． 解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠ 则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分 2 2 112 2 22 1,(1)12 4 1.(2)124 x y x y ?+=????+=?? ………………………………………………………3分 由（1）－（2）可得1.3 MN QN k k ?=-………………………………6分 又MN ⊥MQ ，111,,MN MQ MN x k k k y ?=-=- 所以11 .3QN y k x = 直线QN 的方程为1111()3y y x x y x = +-，又直线PT 的方程为11 .x y x y =-……10分 从而得1111 ,.22 x x y y = =-所以112,2.x x y y ==- 代入（1）可得2 21(0),3 x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程.………………13分 1．杭州二模 21． (本小题满分14分) 设双曲线22 22b y a x -=1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A ，P 是双曲线上异于顶点的一个动点，从A 引双曲线的两条 渐近线的平行线与直线OP 分别交于Q 和R 两点. (1) 证明：无论P 点在什么位置，总有|→ --OP |2 = |→ -OQ ·→ --OR | ( O 为坐标原点)； (2) 若以OP 为边长的正方形面积等于双曲线实、虚 轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围； 解：(1) 设OP ：y = k x, 又条件可设AR: y = a b (x – a ), 解得：→--OR = (b ak ab --,b ak kab --), 同理可得→-OQ = (b ak ab +,b ak kab +), ∴|→ -OQ ·→ --OR | =|b ak ab --b ak ab ++b ak kab --b ak kab +| =| b k a |)k 1(b a 2 22222-+. 4分 设→ --OP = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP 方程联立解得: m 2 =22222k a b b a -, n 2 = 2 22222k a b b a k -, ∴ |→ --OP |2 = :m 2 + n 2 = 22222k a b b a -+ 2222 22k a b b a k -=2 22222k a b )k 1(b a -+ , ∵点P 在双曲线上，∴b 2 – a 2k 2 > 0 . ∴无论P 点在什么位置，总有|→ --OP |2 = |→-OQ ·→ --OR | . 4分 （2）由条件得： 2 22222k a b )k 1(b a -+= 4ab, 2分 即k 2 = 2 2a 4ab ab b 4+-> 0 , ∴ 4b > a, 得e > 4 17 2分 22. (本小题满分12分) 已知常数a > 0, n 为正整数，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是关于x 的函数. (1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论. (2) 对任意n ≥ a , 证明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n `(n) 解: (1) f n `( x ) = nx n – 1 – n ( x + a)n – 1 = n [x n – 1 – ( x + a)n – 1 ] , ∵a > 0 , x > 0, ∴ f n `( x ) < 0 , ∴ f n ( x )在（0，+∞）单调递减. 4分 （2）由上知：当x > a>0时, f n ( x ) = x n – ( x + a)n 是关于x 的减函数, ∴ 当n ≥ a 时, 有：(n + 1 )n – ( n + 1 + a)n ≤ n n – ( n + a)n . 2分 又 ∴f `n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [x n –( x+ a )n ] , ∴f `n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )n –( n + 1 + a )n ] < ( n + 1 )[ n n – ( n + a)n ] = ( n + 1 )[ n n – ( n + a )( n + a)n – 1 ] 2分 ( n + 1 )f n `(n) = ( n + 1 )n[n n – 1 – ( n + a)n – 1 ] = ( n + 1 )[n n – n( n + a)n – 1 ], 2分 ∵( n + a ) > n , ∴f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n `(n) . 2分 2．杭州一模 21. (本小题满分12分) 已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v ∈[–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | . (1) 判断函数p ( x ) = x 2 – 1 是否满足题设条件？ (2) 判断函数g(x)=1,[1,0] 1,[0,1]x x x x +∈-??-∈? ，是否满足题设条件？ 解： (1) 若u ,v ∈ [–1，1]， |p(u) – p (v)| = | u 2 – v 2 |=| (u + v )(u – v) |， 取u = 43∈[–1，1]，v = 2 1 ∈[–1，1], 则 |p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | = 4 5 | u – v | > | u – v |， 所以p( x)不满足题设条件. （2）分三种情况讨论： 10. 若u ,v ∈ [–1，0]，则|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |，满足题设条件； 20. 若u ,v ∈ [0，1]， 则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|，满足题设条件； 30. 若u ∈[–1，0]，v ∈[0，1]，则： |g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|，满足题设条件; 40 若u ∈[0，1]，v ∈[–1，0], 同理可证满足题设条件. 综合上述得g(x)满足条件. 故存在λ=1使得0)(2 =+?λ…………………………………………12分 22．（本小题满分14分） 设函数x ax x x f ln 1)(+-= 在),1[+∞上是增函数。 （1） 求正实数a 的取值范围； （2） 设1,0>>a b ，求证：.ln 1b b a b b a b a +<+<+ 解：（1）01 )(2 ' ≥-= ax ax x f 对),1[+∞∈x 恒成立， x a 1 ≥ ∴对),1[+∞∈x 恒成立 又 11 ≤x 1≥∴a 为所求。…………………………4分 （2）取b b a x +=，1,0,1>+∴>>b b a b a ， 一方面，由（1）知x ax x x f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数， 0)1()(=>+∴f b b a f 0ln 1>+++?+- ∴ b b a b b a a b b a 即 b a b b a +> +1ln ……………………………………8分 另一方面，设函数)1(ln )(>-=x x x x G )1(01 11)('>>-=- =x x x x x G ∴)(x G 在),1(+∞上是增函数且在0x x =处连续，又01)1(>=G ∴当1>x 时，0)1()(>>G x G ∴x x ln > 即 b b a b b a +>+ln 综上所述，.ln 1b b a b b a b a +<+<+………………………………………………14分 2．扬州二模 20．(本小题满分12分) 90C ∠= ，B 、C 如图，直角坐标系xOy 中，一直角三角形ABC ，在x 轴上且关于原点O 对称，D 在边BC 上，3BD DC =，ABC !的周长为 12．若一双曲线E 以B 、C 为焦点，且经过A 、D 两点． (1) 求双曲线E 的方程； 曲线E 相交于不同 (2) 若一过点(,0)P m （m 为非零常数）的直线l 与双 于双曲线顶点的两点M 、N ，且MP PN λ= ，问在x 轴上是否存在定点G ，使()BC GM GN λ⊥- ？若存在，求 出所有这样定点 G 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1) 设双曲线E 的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>， 则(,0),(,0),(,0)B c D a C c -． 由3BD DC =，得3()c a c a +=-，即2c a =． ∴222||||16,||||124,||||2.AB AC a AB AC a AB AC a ?-=? +=-??-=? （3分） 解之得1a = ，∴2,c b == ∴双曲线E 的方程为2 2 13 y x -=． （5分） (2) 设在x 轴上存在定点(,0)G t ，使()BC GM GN λ⊥- ． 设直线l 的方程为x m ky -=，1122(,),(,)M x y N x y ． 由MP PN λ= ，得120y y λ+=． 即12 y y λ=- ① （6分） ∵(4,0)BC = ， 1212(,)GM GN x t x t y y λλλλ-=--+- ， x x x 192920628.doc 第 16 页 共 42 页 ∴()BC GM GN λ⊥- 12()x t x t λ?-=-． 即12()ky m t ky m t λ+-=+-． ② （8分） 把①代入②，得 12122()()0ky y m t y y +-+= ③ （9分） 把x m ky -=代入2 2 13 y x -=并整理得 222(31)63(1)0k y kmy m -++-= 其中2310k -≠且0?>，即21 3k ≠且2231k m +>． 2 1212 2263(1) ,3131 km m y y y y k k --+==--． （10分） 代入③，得 2226(1)6() 03131 k m km m t k k ---=--， 化简得 kmt k =． 当1 t m = 时，上式恒成立． 因此，在x 轴上存在定点1 (,0)G m ，使()BC GM GN λ⊥- ． （12分） 21．(本小题满分14分) 已知数列{}n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且对任意*n ∈N 都有(1)n n p S p pa -=-（p 为大于1的常数），记 12121C C C ()2n n n n n n n a a a f n S ++++= ． (1) 求n a ； (2) 试比较(1)f n +与 1 ()2p f n p +的大小（*n ∈N ） ； (3) 求证：21 11(21)()(1)(2)(21)112n p p n f n f f f n p p -?? ??++-+++--?? ?-?????? 剟，（*n ∈N ）． 解：(1) ∵(1)n n p S p pa -=-， ① ∴11(1)n n p S p pa ++-=-． ② ②－①，得 11(1)n n n p a pa pa ++-=-+， 即1n n a pa +=． （3分） 在①中令1n =，可得1a p =． ∴{}n a 是首项为1a p =，公比为p 的等比数列，n n a p =． （4分） (2) 由(1)可得 (1)(1) 11 n n n p p p p S p p --== --． 12121C C C n n n n n a a a ++++ 1221C C C (1)(1)n n n n n n n p p p p p =++++=+=+ ． ∴12121C C C ()2n n n n n n n a a a f n S ++++= 1(1)2(1) n n n p p p p -+=?-， （5分） (1)f n +1 111(1)2(1) n n n p p p p +++-+= ?-． 而1 ()2p f n p +1111(1)2()n n n p p p p p +++-+=?-，且1p >， ∴1110n n p p p ++->->，10p ->． ∴(1)f n +< 1 ()2p f n p +， （*n ∈N ）． （8分） (3) 由(2)知 1(1)2p f p +=，(1)f n +<1 ()2p f n p +， （*n ∈N ）． ∴当2n …时，211111()(1)()(2)()(1)()2222n n p p p p f n f n f n f p p p p -++++<-<-<<= ． ∴221 111(1)(2)(21)222n p p p f f f n p p p -?? ??++++++-+++ ? ????? … 21 11112n p p p p -????++=-?? ?-?????? ， （10分） （当且仅当1n =时取等号）． 另一方面，当2n …，1,2,,21k n =- 时， 2221(1)(1)()(2)2(1)2(1)k n k k k n k n k p p p f k f n k p p p ---?? -+++-=+??--?? 1p p -?… 1p p -= 1p p -=． ∵22k n k n p p p -+…，∴2222121(1)n k n k n n n p p p p p p ---+-+=-…． ∴12(1)()(2)2()2(1) n n n p p f k f n k f n p p -++-?=-…， （13分） （当且仅当k n =时取等号）． ∴2121 21 1111()[()(2)]()(21)()2n n n k k k f k f k f n k f n n f n ---====+-=-∑∑∑…． （当且仅当1n =时取等号）． 综上所述，21 21 111(21)()() 112n n k p p n f n f k p p --=?? ??++--??∑ ?-?????? 剟，（*n ∈N ）．（14分） 3．北京朝阳二模 （19）（本小题满分13分） 如图，已知双曲线C ：x a y b a b 222 2100-=>>()，的右准线l 1与一条渐 近线l 2交于点M ，F 是双曲线C 的右焦点，O 为坐标原点。 （I ）求证：OM MF →⊥→ ； （II ）若||MF → =1且双曲线C 的离心率e = 6 2 ，求双曲线C 的方程； （III ）在（II ）的条件下，直线l 3过点A （0，1）与双曲线C 右支交于不同的两点P 、Q 且P 在A 、Q 之间，满足 AP AQ →=→ λ，试判断λ的范围，并用代数方法给出证明。 解：（I ） 右准线l 12：x a c =，渐近线l 2：y b a x = ∴=+M a c ab c F c c a b ()()2222 0，，，， ∴→=OM a c ab c ()2， MF c a c ab c b c ab c →=--=-()()22，， OM MF a b c a b c OM MF →?→=-=∴→⊥→ 22222 20 ……3分 （II ） e b a e a b = ∴=-=∴=62122 2222，， ||() MF b c a b c b b a c b a →=∴+=∴+=∴==11111 422222222 22，，， ∴双曲线C 的方程为：x y 2 22 1-= ……7分 （III ）由题意可得01<<λ ……8分 证明：设l 31：y kx =+，点P x y Q x y ()()1122，，， 由x y y kx 22221 -==+???得()1244022 --+=k x kx l 3与双曲线C 右支交于不同的两点P 、Q ∴-≠=+->+=->=-->????? ? ? ??∴≠±<<- ??? ?? ?12016161204120 41202 210120222 12 2122 2 2 k k k x x k k x x k k k k k ?() ∴-<<- 12 2 k ……11分 AP AQ x y x y →=→ ∴-=-λλ，，，()()112211，得x x 12=λ ∴+= -=--∴+=--=-=+-()()()14124121164124212221 222 2 2 22222 2 λλλλx k k x k k k k k k ， -<<-∴<-<∴+>1220211142 2k k ，，()λλ ∴+>∴-+>()142102 2λλ λλ ∴λ的取值范围是（0，1） ……13分 （20）（本小题满分13分） 已知函数f x x n x n f n n x n n N ()()[()]() (*) =≤--+--<≤∈?? ?0 0111，，数列{}a n 满足a f n n N n =∈()(*) （I ）求数列{}a n 的通项公式； （II ）设x 轴、直线x a =与函数y f x =()的图象所围成的封闭图形的面积为S a a ()()≥0，求 S n S n n N ()()(*)--∈1； （III ）在集合M N N k k Z ==∈{|2，，且10001500≤ a S n S n n ->--10051()()对一切n N >恒成立？若存在，则这样的正整数N 共有多少个？并求出满足条件的最小 的正整数N ；若不存在，请说明理由。 （IV ）请构造一个与{}a n 有关的数列{}b n ，使得lim()n n b b b →∞ +++12 存在，并求出这个极限值。 解：（I ） n N ∈* ∴=--+-=+-f n n n n f n n f n ()[()]()()111 ∴--=f n f n n ()()1 ……1分 ∴-=-=-=f f f f f f ()()()()()()101 212323 …… f n f n n ()()--=1 将这n 个式子相加，得 f n f n n n ()()() -=++++= +012312 f f n n n ()()()00 12 =∴= + ∴= +∈a n n n N n () (*)12 ……3分 （II ）S n S n ()()--1为一直角梯形（n =1时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为f n f n ()()-1，，高为1 ∴--= -+?=+-S n S n f n f n a a n n ()()()() 11212 1 =-++= 1212122 2 [()()]n n n n n ……6分 （III ）设满足条件的正整数N 存在，则 n n n n n ()+->?>?>12100522 100520102 又M ={}200020022008201020122998，，，，，，， ∴=N 201020122998，，……，均满足条件 它们构成首项为2010，公差为2的等差数列。 设共有m 个满足条件的正整数N ，则2010212998+-=()m ，解得m =495 ∴M 中满足条件的正整数N 存在，共有495个，N min =2010 ……9分 （IV ）设b a n n = 1 ，即b n n n n n =+=-+212111 ()() 则b b b n n n n 12211 2 12131314111211 1 +++=-+-+-++-+=-+ [()( )()()]() 显然，其极限存在，并且lim()lim[]n n n b b b n →∞→∞+++=-+=1221 1 2 ……10分 注：b c a n n =（c 为非零常数），b b q q n a n n a n n n ==<<++()(||)12012121，等都能使lim()n n b b b →∞+++12 存在。 1．泉州模拟 21．（本小题满分12分） 过抛物线y x 42 =上不同两点A 、B 分别作抛物线的切线相交于P 点，.0=? （1）求点P 的轨迹方程； （2）已知点F （0，1），是否存在实数λ使得0)(2 =+?λ？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由。 解法（一）：（1）设)(),4 ,(),4,(212 2 2211x x x x B x x A ≠ 由,42y x =得：2 ' x y = 例谈高中数学一题多解和一题多变的意义 杨水长 摘 要：高中数学教学中,用一题多解和一题多变的形式,可以使所学的知识得到活化，融会贯通，而且可以开阔思路，培养学生的发散思维和创新思维能力，从而达到提高学生的学习兴趣，学好数学的效果。 关键词：一题多变 一题多解 创新思维 数学效果 很大部分的高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、不好学、没兴趣.但由于高考“指挥棒”的作用，又只能硬着头皮学.如何才能学好数学？俗话说“熟能生巧”，很 多人认为要学好数学就是要多做.固然，多做题目可以 使学生提高成绩，但长期如此，恐怕也会使学生觉得数学越来越枯燥。 我觉得要使学生学好数学，首先要提高学生的学 习兴趣和数学思维能力。根据高考数学“源于课本， 高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可 以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取 一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径。下面举例说明： 例题： 已知tanα=4 3 ,求sinα,cosα的值 分析：因为题中有sinα、cosα、tanα，考虑他们之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题： 法一 根据同角三角函数关系式tanα= 4 3= α αcos sin ， 且sina2α + cos2α =1。 两式联立，得出：cos2α=2516,cosα= 5 4 或者 cosα= -54 ；而sinα=53或者sinα=-53 。 分析：上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接求解就简洁些： 法二 tanα=4 3 ：α在第一、三象限 在第一象限时： cos2α = ααcos sin cos 2 2 2 5+=αtan 2 11+=2516 cosα=5 4 sinα=αcos 21-=5 3 而在第三象限时： cosa=- 5 4 sina=- 53 分析：利用比例的性质和同角三角函数关系式，解此题更妙： 法三 tanα= 43= αα cos sin ?4cos α= 3sin α ?4cos α= 3sin α= ± 3 4cos sin 2 2 2 2 ++α α ∴sinα=53，cosα= 54 或sinα=-53，cosα=-54 分析： 上面从代数法角度解此题，如果单独考虑sinα、cosα、tanα，可用定义来解此题。初中时，三角函数定义是从直角三角形引入的，因此我们可以尝试几何法来解之： 法四 当α为锐角时，由于tana=4 3,在直角△ABC 中，设α=A,a=3x,b=4x ，则勾股定理，得，c=5x sinA=AB BC = 53 ,cosA=AB AC =5 4 一．解答题（共30小题） 1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值； （2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k； （3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．（2011?重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4． （Ⅰ）求{a n}的通项公式； ( （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．（2011?重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）． （Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3． （Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤． 4．（2011?浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n 项和为S n，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； ` （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 5．（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2， （1）写出c1，c2，c3，c4； （2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…； （3）求数列{c n}的通项公式． 6．（2011?辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10 * （I）求数列{a n}的通项公式； （II）求数列{}的前n项和． 7．（2011?江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值； （2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由． 8．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5． （I）求数列{b n}的通项公式； ] （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 9．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2） （1）求数列{a n}的通项公式； （4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1． 高考理科数学压轴题 (21)(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点 ,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点 的距离的最大值为 3,最小值为 1. (I) 求椭圆 C 的标准方程 ; (II) 若直线l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点 ),且以 AB 为直径的圆 过椭 圆 C 的右顶点 .求证 :直线 l 过定点 ,并求出该定点的坐标 . (22)(本小题满分 14分)设函数 f(x) x 2 bln(x 1),其中 b 0. 1 (I) 当 b 时 ,判断函数 f (x) 在定义域上的单调性 ; 2 (II)求函数 f (x)的极值点 ; 1 1 1 (III) 证明对任意的正整数 n ,不等式 ln( 1) 2 3 都成立 . n n n 22 xy (21)解： (I) 由题意设椭圆的标准方程为 2 2 1(a b 0) ab 2 a c 3,a c 1，a 2,c 1, b 2 3 22 x 2 y 2 1. 43 Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD k BD 1， y kx m (II)设 A(x 1, y 1),B(x 2,y 2)， 由 2 x 2 y 得 1 4 3 2 2 2 (3 4k 2 )x 2 8mkx 4(m 2 3) 2 2 2 64m 2 k 2 16( 3 4k 2)( 2 m 3) 0， 22 3 4k 2 m 2 0 8mk 2 ,x 1 x 2 2 4(m 2 3) 3 4k 2 y 1 y 2 2 (kx 1 m) (kx 2 m) k x 1x 2 mk(x 1 x 2) m 2 3(m 2 4k 2) 3 4k 2 1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点； （ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：． 6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性； 高三《一题多解 一题多变》题目 一题多解 一题多变（一） 原题：482++=x mx x f )( 的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482≥++x mx 在R 上恒成立 0>∴m 且Δ0≤，得4≥m 变1：4823++=x mx x f log )(的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482>++x mx 在R 上恒成立 0>∴m 且Δ0<，得4>m 变2：)(log )(4823++=x mx x f 的值域为R ，求m 的取值范围 解：令=t 482++x mx ，则要求t 能取到所有大于0的实数， ∴ 当0=m 时，t 能取到所有大于0的实数 当0≠m 时，0>m 且Δ0≥4≤0?m < 40≤≤∴m 变3：182 23++=x n x mx x f log )(的定义域为R,值域为[]20,，求m,n 的值 解：由题意，令[]911 82 2,∈+++=x n x mx y ，得0-8--2=+n y x x m y ）（ m y ≠时，Δ0≥016-)(-2≤++?mn y n m y - ∴ 1和9时0162=++-)(-mn y n m y 的两个根 ∴ 5==n m ∴ 当m y =时，08 ==m n x - R x ∈ ，也符合题意 ∴5==n m 一 题 多 解- 解不等式523<<3-x 解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解 （1）当03-≥x 2时，不等式可化为53-< 2014年普通高等学校统一考试（大纲） 理科 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设103i z i =+，则z 的共轭复数为 （ ） A ．13i -+ B ．13i -- C ．13i + D ．13i - 【答案】D ． 2.设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N = （ ） A ．(0,4] B ．[0,4) C ．[1,0)- D ．(1,0]- 【答案】B. 3.设sin33,cos55,tan35,a b c =?=?=?则 （ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >> 【答案】C ． 4.若向量,a b 满足：()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥则b = （ ） A ．2 B C ．1 D ． 2 【答案】B ． 5.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ） A ．60种 B ．70种 C ．75种 D ．150种 【答案】C ． 6.已知椭圆C ：22 221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F 2F 的 直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ?的周长为C 的方程为 （ ） A ．22132x y += B ．2213x y += C ．221128x y += D ．22 1124 x y += 【答案】A ． 7.曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于 （ ） A ．2e B ．e C ．2 D ．1 【答案】C ． 8．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ） A ．814 π B ．16π C ．9π D ．274π 【答案】A ． 9.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则 21cos AF F ∠=（ ） A ．14 B ．13 C ．4 D ．3 【答案】A ． 10.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【答案】C ． 11.已知二面角l αβ--为60?，AB α?，AB l ⊥，A 为垂足，CD β?，C l ∈，135ACD ∠=?，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 （ ） 2017高考压轴题精选 黄冈中学高考数学压轴100题 目录 1.二次函数 ................................................................................................................................................................................ 2 2 复合函数 ............................................................................................................................................................................... 4 3.创新型函数............................................................................................................................................................................. 6 4.抽象函数 .............................................................................................................................................................................. 12 5.导函数——不等式 ............................................................................................................................................................... 13 6.函数在实际中的应用 ........................................................................................................................................................... 20 7. 函数与数列综合 ................................................................................................................................................................. 22 8.数列的概念与性质 ............................................................................................................................................................... 33 9. Sn 与an 的关系 ................................................................................................................................................................... 38 10.创新型数列......................................................................................................................................................................... 41 11.数列—不等式 ..................................................................................................................................................................... 43 12．数列与解析几何 .............................................................................................................................................................. 47 13．椭圆 ................................................................................................................................................................................. 49 14.双曲线 ................................................................................................................................................................................ 52 15.抛物线 ................................................................................................................................................................................ 56 16 解析几何中的参数范围问题 .......................................................................................................................................... 58 17 解析几何中的最值问题 .................................................................................................................................................. 64 18 解析几何中的定值问题 .................................................................................................................................................... 67 19 解析几何与向量 .......................................................................................................................................................... 70 20 探索问题............................................................................................................................................................................ 77 （1）2a b c π++...， ....................................................................................................................................................... 110 （2）2a b c π++< (110)例谈高中数学一题多解和一题多变的意义
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