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周志国--解析几何

2012年江苏省数学奥林匹克夏令营讲座解析几何盱眙中学 周志国一.一般圆锥曲线的性质对于一般圆锥曲线,令,若22(,)0f x y Ax Bxy Cy Dx Ey F =+++++=24B AC ?=-<0,则为椭圆型;若=0,则为抛物线型;若24B AC ?=-(,)0f x y =24B AC ?=-(,)0f x y =>0,则为双曲线型.24B AC ?=-(,)0f x y =对于一般圆锥曲线,有如下一些性质:

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2.设圆锥曲线的焦点为F ,过曲线上一点P 的切线与相应于焦点F 的准线L 相交Q ,则∠PFQ =.90?3.设为圆锥曲线上一点,则过点P 的切线方程为00(,)P x y 220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=.0000000222y x x y x x y y Ax x B

Cy y D E F ++++++++=4.设是圆锥曲线C :的一条弦AB 的中点,C /00(,)P x y 22(,)0f x y Ax Bxy Cy Dx Ey F =+++++=是C 关于点P 的对称的曲线,则曲线C /的方程为,而弦AB 就是曲线C 与C /的公

00(2,2)0f x x y y --=共弦,其方程为—.

(,)f x y 00(2,2)0f x x y y --=

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个方面:

(1)运用方程(组)求圆锥曲线的基本量;

(2)运用函数(不等式)研究圆锥曲线有关的参变量的范围;

(3)运用直译法或参数法求动点的轨迹方程;

(4)运用“计算”的方法证明圆锥曲线的有关性质;

(5)运用一元二次方程研究直线与圆锥曲线相交的问题.

3.直线与圆锥曲线的位置关系,可转化为直线与圆锥曲线的方程公共解的问题,体现了方程的思

想.数形结合也解决直线与圆锥曲线位置关系常用的方法,一些最值问题中,经常用函数思想、判别式、根与系数的关系解决中点和弦长的问题.4.对称问题、轨迹问题、多变量的范围问题、位置问题及最值问题是本部分的几个热点问题. 5.研究定点、定值问题时,可先猜想结论,由猜想中寻找解题途径,曲线与方程、函数与图象是两类不同的研究对象,它们之间有一定的联系,也存在着一定的区别.图象是函数的一种表现形式,而方程是从曲线的几何特征出发,建立的曲线几何特征的代数关系表达式,用方程研究曲线,是解析几何的思想.例题讲解1.过点的动直线交圆于、两点.分别过、作圆的切线,如果两切线(1,3)P 22:4C x y +=A B A B C 相交于点,那么点的轨迹为 .Q Q 2.过直线和圆的交点且面积最小的圆的方程为 230x y -+=222410x y x y ++-+=.3.如果直线与圆相交,且两个交点关于直线对称,那么1x my =-22:0C x y mx ny p ++++=y x =实数的取值范围为 .p 4.已知P 为直线y =x +1上的一点,M 、N 分别为圆C 1:(x -4)2+(y -1)2=4与圆C 2:x 2+(y -2)2=1上的点,则|PM |-|PN |的最大值= .5.在平面直角坐标系中,⊙C 1与⊙C 2相交于点P 、Q ,其中P (3,2),两圆半径积为.若直线

132y =kx (k >0)及x 轴均与⊙C 1、⊙C 2相切,则k = .

6.已知点A (5,5),直线l :x =my +n (n >0)过点A ,若可行域的外接圆的直径为20,则3{x ≤my +n ,

x -3y ≥0,

y ≥0.)

n = .

7.证明:已知半圆直径∣AB ∣=2(>0),半圆外一条直线与AB 所在直线垂直相交于点T ,并且∣AT ∣=2

r r l .若半圆上相异两点M 、N 到的距离∣MP ∣,∣NQ ∣满足2

2(r a a

8.和是平面上不重合的固定圆,是平面上的一个动圆,与、都相切,则的圆心的轨

1C 2C C C 1C 2C C ,当不同电压回路交叉时,应采用金属隔板进行隔开处理;同一线槽内,强电回路须同时切断习题电源,线缆敷设完毕,要进行检查和检测处理。试过程中高中资料试卷技术问题,作为调试人员,需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料,并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况,然后根据规范与规程规定,制定设备调试高中资料试卷方案。动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时,需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。

迹是何种曲线?说明理由.

9.双曲线-=1(a >b >0)的左焦点为F 1,顶点为A 1、A 2,P 为双曲线上任一点,则分别以线段x 2a 2y 2

b 2PF 1,A 1A 2为直径的两个圆的位置关系为 .

10.为过抛物线的焦点的弦,为坐标原点,且,为抛物线准线与轴AB 24y x =F O 135OFA ∠=

C x 的交点,则的正切值为 .ACB ∠11.已知椭圆的两个焦点为、,且椭圆与直线相切.

1(1,0)F -2(1,0)

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F y x =(1)求椭圆的方程;

(2)过作两条相互垂直的直线、,与椭圆分别交于、及、,求四边形面积的最1F 1l 2l P Q M N PMQN 大值与最小值.

12.为抛物线的焦点,过点的直线与抛物线交于、两点,、分别是该抛物线在F 2

2y px =F l A B 1l 2l 、两点处的切线,、相交于点,设,,则 .A B 1l 2l C ||AF a =||BF b =||CF =13.求证:从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过椭圆的另一焦点.14.抛物线上四点、、、,、关于对称轴对称,过点作抛物线的切线,与切24y x =A B C D A D D 线平行的直线交抛物线于、,已知点到、的距离分别为、,l B C D AB AC 1h 2h 且

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.12|h h AD +=(1)请问是什么三角形?说明理由;ABC ?(2)已知的面积是,求点的坐标及直线的方程.ABC ?240A l 15.已知AB 、BC 、AC 是抛物线y 2=2px (p >0)的任意三条切线,它们交成一个ΔABC ,求证ΔABC 的垂心在某条固定的直线上.16.双曲线

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,两点在双曲线上,22221x y a b -=(0,0)a b >>11(,)A x y 22(,)B x y 且.

12x x ≠(1)若线段的垂直平分线经过点,且线段的中点坐标为,试求的值;

AB (4,0)Q AB 00(,)x y 0x (2)双曲线上是否存在这样的点与,满足?

A B OA OB ⊥ 17.已知线段长度为3,两端均在抛物线上,试则的中点到轴的最短距离此时点

AB 2y

x =AB M y M 的坐标为 .

18.过直线l :x -y -10=0上的一点P 作椭圆+=1的切线PM 、PN ,切点分别为M 、N .x 225y 2

9

⑴ 证明:当P 在l 上运动时,直线MN 过一定点Q ;⑵ 当MN ∥l 时,证明:定点Q 平分线段MN .19.过不在圆锥圆锥上的一定点一定点P 引已知圆锥曲线的任意相互垂直的两弦AB 与CD ,求证:+是定值.1PA ·PB 1PC ·PD 20.已知椭圆C :+=1(a >b >0).任作不与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点,点S 与x 2a 2y 2b 2点P 关于x 轴对称,求△OSQ 的面积的最大值.21.求过抛物线和的交点的直线方程.2

221y x x =--2523y x x =-++22.椭圆与抛物线有公共点,求实数的取值范围.224()4x y a +-=22x y =a 23.点在上运动,点在上运动,求的最小值.P 21y x =--Q 21x y =+||PQ 24.顶点在原点,焦点在y 轴上的抛物线,其内接△ABC 的重心为抛物线焦点,若直线BC 方程为x -4y -20=0.

(1)求抛物线方程;

(2)设M 为抛物线上及其内部的点的集合,,求使M ∩N =N 成立的充要条22{(,)|()1}N x y x y a =+-≤件.

25.设P ,Q ,R 是等边双曲线xy =m 上的任意三点,求证:ΔPQR 的垂心也在这等边双曲线上.26.曲线与圆交于两点,线段的中点在上,求.()220y px p =>22(2)3x y -+=A B 、AB y x =p 27.已知抛物线,圆.

2

x ky =22(4)12x y +-=(1)抛物线与圆有四个不同的交点时,求实数的取值范围;k (2)求四个交点围成图形面积最大时的值.k 28.已知同心圆(x -)2+(y -)2=R 2(R >0)与椭圆+=1有公共点,求半径R 的最小值.23x 23y 2229.如果抛物线x 2=2py 的切线交等轴双曲线xy =1于P 1,P 2两点,求P 1P 2中点的轨迹方程.30

.在x 轴上方作与x 轴相切的圆,切点横坐标为,过B (-3,0),C (3,0)分别作圆的切线A 和,并相交于P .设在的角平分线上的投影为BP CP C BPC ∠.Q (1)求P 的轨迹方程;(2)求的轨迹方程.Q 31.已知动点在椭圆上运动.(,)x y 22221(0)x y a b a b +=>>(1)求点的轨迹的方程;(,)y xy x C 过管线生产护高中

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(2)若把轨迹的方程写成,且在内有最大值,求离心率的取值范围.C ()y f x

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=()y f x =e 32.已知常数、满足,设和分别是以和1k 2k 120k k <<12 1.k k =1C 2C 1(1)1y k x =±-+为渐近线且通过原点的双曲线,则和的离心率之比等于 .2(1)1y k x =±-+1C 2C 12e e 33.设有抛物线y 2=2px (p >0),点B 是抛物线的焦点,点C 在正x 轴上,动点A 在抛物线上,试问:点C 在什么范围之内时∠BAC 是锐角?

34.对于抛物线上两相异点、,如果弦不平行于轴且其垂直平分线交轴于点,2

4y x =A B AB y x P 那么称弦是点的一条相交弦.已知点存在无穷多条相关弦,其中.AB P 00(,0)P x 02x >(1)证明:点的所有相关弦的中点的横坐标均相同;

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0P (2)试问:点的所有相关弦中是否存在长度最大的弦?若存在,则求此最大弦长(用表示);若不0P 0x 存在,则阐述理由. 35.如图,已知直线经过点,交抛物线于、两点.坐标原点是的中l (4,0)P 22(0)y ax a =>A B O PQ 点,设直线、的斜率分别为、.AQ BQ AQ k BQ k (1)证明:;0AQ BQ k k +=(2)当时,是否存在垂直于轴的直线,被以为直径的圆2a =x l 'AP 截得的弦长为定值?若存在,请求出直线

l '36.设2

|16|25616||.y x x -=-(1)记方程表示的曲线围成的封闭区域为,试作出这个区域

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;D D (2)过抛物线焦点的直线与该抛物线交于、两点,求的最小值;216y x =l M N OMN S ?(3)当过焦点的直线与在区域内的部分相交于、(线段均在区域内)时,l 216y x =D M N M N D 求的最大值.OMN S ?37.已知双曲线(),、分别为2222:1x y C a b -=0,0a b >>1F 2F C 右焦点.为右去上一点,且使,又的面积为P C 123F PF π∠=12F PF ?(1)求的离心率;C e (2)设为的左顶点,为第一象限内上任意一点,问是否A C Q C

存在常数(),使得恒成立.若存在,求出的值;若不存在,请说明理λ0λ>22QAF QF A λ∠=∠λ由.

38.已知抛物线方程为22.

y px =(1) 过焦点的直线斜率为,交抛物线与、,求;

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k A B ||AB (2) 是否存在正方形,使在抛物线上,D 在抛物线内,若存在,求这样的k ?ACBD C 39. 如图,P 是抛物线y 2=2x 上的动点,点B ,C 在y 轴上,圆(x -1)2+y 2=1内切于△PBC ,求△PBC 面积的最小值.40. 已知抛物线及点P (1,1),过点P 的两条不重合的直线、与这抛物线分别交于点、x y 22=1l 2l 1A ,、(如图),、的斜率分别为、. 证明:=成立的充要

1B 2A 2B 1l 2l 1k 2k ||||11PB PA ?||||22PB PA ?条件为+=0.1k 2k

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