八年级数学各章家庭辅导资料 华东师大版

华师大版八年级数学下册家庭辅导资料

第十七章 分式

知识结构：

分式方程分式运算

分式

分式的基本性质

零指数冪与负数指数冪

科学记数法

可能产生增根

通分

分式的乘除

分式的加减

约分

应知 一、基本概念。 分式： 一般地，形如

B

A

的式子叫做分式，其中A 和B 均为整式，B 中含有字母，且B ≠0。 【注意】

①对整式、分式的正确区别：分式的分子和分母都是整式，分子可以含有字母，也可以不含有字母，而分母中必须含有字母，这是分式与整式的根本区别。 ②

a

1＋4带有a 是无理式，不是整式，故不是分式。

③当分式的分母为零时，分式无意义；当分式的分母不等于零时，分式有意义。当分式的分子是零而分母不等于零时，分式的值等于零。

最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。分式运算的结果均要化为最简分式。

有理式：整式和分式统称有理式。

约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。

【注意】

①约分的步骤主要是：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式。 ②分式的约分是分式的分子与分母整体进行的，分式的分子和分母必须都是乘积的形式，才能进行约分。

③分式分子有负号时，先把负号提到分式的前面。

④要将(a －b)与(b －a)统一成(a －b)，注意－(a －b)3=(b －a)3，(a －b)4=(b －a)4

。

⑤分式的分子与分母虽然是积的形式，但没有公因式，并且每一个因式都还能分解时，要先分解再约分。

通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做通分。 【注意】

①通分的关键大确定几个分母的最简公分母。 ②找最简公分母的方法步骤：

（1）找系数：如果各分母的系数都是整数，那么取它们的最小公倍数。 （2）找字母：凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的式子都要选取。 （3）找指数：取分母因式中出现的所有字母或含字母的式子中指数最大的。 这样取出的因式的积，就是最简公分母。

③系数不是整数时，要先根据分式的基本性质，把它们化成整数。

④分母是多项式时，要对分母进行因式分解，并注意统一字母排列顺序（一般按某一字母的降幂排列）；分母的系数是负数的，一般把负号提到分式本身前面去。

分式方程：分母中含未知数的方程叫做分式方程。 增根：将分式方程变形为整式方程时，?方程两边同乘以一个含有未知数的整式，并约去分母，有可能产生不适合原方程的解（或根），这种根通常称为增根。 二、基本法则

1. 分式的基本性质

分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，即： A/B=(A 3M)/(B 3M)=(A ÷N)/(B ÷N) ,其中M 、N 为整式，且B ≠0,M ≠0,N ≠0。

2. 分式运算法则 乘除法法则：（1）分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，用

式子表示为

a b 2d c =ad

bc

；（2）分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘，用式子表示为b a ÷d c =b a 2c d =bc

ad

。

乘方法则：分式的乘方是把分子、分母各自乘方。用式子表示为：(b a )n =n n

b

a （其中n

为正整数）。

加减法法则：同分母分式的加减法与同分母分数的加减法的法则类似，即分母不变，

分子相加减，用式子表示是：

c a ±c b =c

b a ±。异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。用式子表示为：b a ±d

c =b

d bc

ad ±。

应会

1. 分式化简(求最简分式)。

【注意】

①约分是利用分式的基本性质，把分式的分子、分母同除以同一个整式，使分式的值不变。所以要找准分子和分母的公因式，约分的结果是最简分式。

②通分要先确定各分式的公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积作为最简公分母。

2. 分式运算。

【注意】

①加减乘除类似分数。

②整数指数幂有以下运算性质：

（1）a m a n =a m+n （m ，n 是整数)； （2）(am)n =a mn

（m ，n 是整数）

（3）(ab)n =a n b n （n 是整数）； （4）a m ÷a n =a m-n

（m ，n 是整数）

（5）(a b )n =n n a b

（n 是整数）； （6）a -n =1n a （a ≠0）；特别地，当a ≠0时，a 0=1.

有了负整数指数幂后，小于1的正整数也可以用科学记数法表示．

③在分式的加减法运算中，注意把分子看成一个整体用括号括起来，再相加减，异分母分式的加减，要注意确定最简公分母． ④在分式的加减法运算中：

（1）计算前，注意幂的底数、指数、特别是各项系数． （2）要根据性质正确计算，防止（-2）-2

=4，-2-2

=

211

(2)4

=-等类错误． （3）注意运算顺序，结果中不同时含分式和负整数指数幂．

3. 解分式方程。

【注意】

①解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解，所乘的整式通常取方程中出现的各分母的最简公分母。 ②可能有增根。

（1）增根产生原因：分式方程变形所得的整式方程的某个根使变形时所乘的整式的值为零，它就不适合原方程，即是原方程的增根．因为这个根会使分式方程的某个分母为零，不符合分式方程的定义。

（2）增根的检验：将方程的根代入最简公分母，看它的值是否为零，如果为零，即为增根。

③解分式方程应用题必须双检验：a.检验方程的解是否是原方程的解；b.检验方程的解是否符合题意。

例题

1. 当x 取何值时，分式 无意义？

2. 当x 为何值时，分式 的值为0？

3. 填空：

2

312

-+x x x

x x --21

（1）x x x 22-=2-x =+2

2633x

xy x y

x + （2）

=+ab b a b a 2 =-2

2a

b

a b a 2（b ≠0） 4. 通分 （1）

y x y x 22+-与2)(y x xy + （2）9422

-m mn 与3

232+-m m （3）

y x 3与2

23y x （4）b a c 26与23ab c

（5）

x x x --21和x

x x +-21

5. 先化简，再求值：,2122222

2???? ?

?++÷--ab b a ab b a b a 其中a=5,b=-3 6. 先化简，再求值：32,32,24422

22

2-=+=-++-÷+-y x y

xy x y x y x y x 其中 7. 若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，则2a b

m dc a b c

++-=++ ．

8. 方程

25

1

5--=-x x m 有增根，求m 的值。 9. 计算：

（1）)

4(3)98(23232b x

b a xy y x ab -÷-? （2）x x x x x x x --+?+÷+--3)2)(3()3(444622

10. 计算： （1）

96261312--+-+-x x x x （2）2

2

643461461x

y x

y x y x --+-- 11. 甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程，已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的3

2

，求甲、乙两队单独完成各需多少天？

12.某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来由于把速度加快

5

1

，结果于下午4时到达，求原计划行军的速度。 13. 甲容器中有15%的盐水30升，乙容器中有18%的盐水20升，如果向两个容器各加入等量水，使它们的浓度相等，那么加入的水是多少升？

14. 一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在

规定日期内完成,问规定日期是多少天?

参考答案 1.

3

2 2. -1 3. (1)1 x 2 (2)ab a 2+ 2

b ab 2- 4. (1) ()()

2

222y x 2xy

2y x 2y x ++-与 (2) ()9m 432m 9m 4mn 222

2---与 (3) 2

2y

6x

9y 6xy 2与 (4)2222b a 3ac b a 3bc 18与 (5) ()()()

1

x x 1x 1x x 1

x 22

22----与

5. 原式=

()()()()13

52b a 2b a ab 2b a ab b a b a 2=-=+=+?--+

6. 原式=

()()()()()()()

4363

23232232y x y 2x y x y x y 2x y 2x y x 2

-=-

++-++=++=-++?+-

7. 原式=1m 2

-=4－1=3 填空 3

8. 解方程：-m=1-2x+10， m=2x-11

∵有增根 ∴x-5=0，x=5 m=-1

9. (1)原式=x b

b a xy y x ab 34)98(23232-?-? (先把除法统一成乘法运算)

=x

b

b a xy y x ab 349823232?? （判断运算的符号） =32916ax

b （约分到最简分式） (2)原式=x x x x x x x --+?+?+--3)

2)(3(3

1444622

(先把除法统一成乘法运算) =x x x x x x --+?+?--3)2)(3(3

1)2()3(22

(分子、分母中的多项式分解因式) =

)3()

2)(3(3

1)2()3(22

---+?+?--x x x x x x =2

2

--

x (约分到最简分式） 10. (1)原式=)

3)(3(6)3(2131-+-+-+-x x x x x (先把分母分解因式) =

)

3)(3(212

)3)(1()3(2-+---++x x x x x (确定最简公分母,进行通分)

=)3)(3(2)96(2-++--x x x x =)

3)(3(2)3(2-+--x x x =6

23

+--

x x (约分到最简分式）

(2)原式=

y)

2x 3y)(2x 3(x

3y)2x 3(21y)2x 3(21-++

+-- =

y)2x 3y)(2x 3(22(3x)

2y)-(3x -y)2x 3(-+++

=

y

2x 31

-

11. 解：设乙队单独完成工程需x 天，则甲队单独完成工程需x 3

2

天 由题意：

1x

3

22

x 2x 1=++ 解得：x=6 4x 32=

检验：∵ 2x ≠0， ∴x=6满足原方程，并与实际题意相符。 答：甲队单独完成工程需4天，乙队单独完成工程需6天。

12. 解：设原计划行军速度为x 千米/小时 由题意：

1x

60

x 2.160=- 解得：x=10 检验：∵ 1.2x ≠0， ∴x=10满足原方程，并与实际题意相符。 答：原计划行军速度为10千米/小时

13. 解：设加入x 升水，由题意：

x

20%

1820x 30%1530+?=+? 解得：x=20

检验：∵ 30+x ≠0 20+x ≠0 ∴ x=30满足原方程，并与实际题意相符。

答：应加入20升水。

14. 解：设规定日期为x 天，由题意：4

x 3x 4x 3x 3

1+-=

???

??++- 解得：x=12 检验：∵ x ≠0 x+4≠0 ∴x=12满足原方程，并与实际题意相符。 答：原规定日期为12天。

第十八章 函数及其图象

知识结构：

实际问题

变量与函数

函数的图象

直角坐标系一次函数（图象、性质）

其它函数

反比例函数（图象、性质）

实数与数轴

运动变化相依关系

应知

一、基本概念

函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x?的每个确定的值，y?都有唯一确定的值与其对应，?那么我们就说x?是自变量，y 是x 的函数．如果当x=a 时，y=b ，那么b?叫做当自变量的值为a 时的函数值．

一次函数：一般地，形如y=kx+b （k 、b 是常数，k ≠0?）的函数，?叫做一次函数．当b=0时，y=kx+b 即y=kx ，也叫正比例函数．所以说正比例函数是一种特殊的一次函数． 【注意】(1)自变量系数（常数）k ≠0；

(2)自变量x 的次数为1； 反比例函数：如果两个变量x,y 之间的关系可以表示成)0(≠=

k k x

k

y 为常数，的形式，那么y 是x 的反比例函数，反比例函数的自变量x 不能为零。

【注意】(1)反比例函数的另一种表达式是1

-=kx y （k ≠0）， 这种写法中x 的次数是－1。

反比例函数还可表达为xy=k （k ≠0）。

(2)因为自变量x 不能为零，k ≠0，所以函数y 也不可能为零。

二、基本法则

1.函数的表示方法：列表法、解析式法和图象法．列表法比较直观、准确地表示出函数中两个变量的关系．解析式法则比较准确、全面地表

示出了函数中两个变量的关系．至于图象法它则形象、直观地表示出函数中两个变量的关系．

2. 一次函数的性质：

一次函数y=kx+b(k ≠0)是一条直线(正比例函数y=kx(k ≠0)是经过原点(0，0)的一条直线)。①当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，这里函数的图象从左到右上升；②当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，这里函数的图象从左到右下降。

一次函数y=kx+b(k ≠0)可由正比例函数y=kx(k ≠0)上下移动而成。当b ＞0时，直线上移b 个单位，当b ＜0时，直线下移b 个单位。

3.反比例函数的性质：

反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的

双曲线（hyperbola ）, 反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X 轴Y 轴但不会与坐标轴相交（K ≠0）。

当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y 随x 的增大而增大。

● 应会

1. 用三种方法表示函数。

2. 用描点法画一次函数、正比例函数、反比例函数的图象。

3. 用待定系数法求一次函数、正比例函数和反比例函数的解析式。

4. 用一次函数图象解实际问题。

一般步骤：审题，设出函数关系式，列出函数关系式，解关系式，用关系式解决实际问题。

● 例题

1. 若球体体积为Ｖ，半径为Ｒ，则Ｖ＝

3

3

4R ．其中变量是_______、?_______，常量是________．自变量是 ， 是 的函数，R 的取值范围是 。

2. 一辆汽车油箱现有汽油50L ，如果不再加油，那么油箱中的油量y （L ）随行驶里程x （km ）的增加而减少，平均耗油量为0．1L/km ．

①写出表示y 与x 的函数关系式． ②指出自变量x 的取值范围．

③汽车行驶200km 时，油桶中还有多少汽油？

例2：我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A

正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B 追赶，如图中s 1与s 2分别表示两船只相对于海岸的距离s （海里）与追赶时间t(分）之间的关系。

21

43658710

92460810

s 1

s 2

t /分s /海里

3. △ABC 中，AB=AC ，设∠B=x °，?∠A=?y?°，?试写出y?与x?的函数关系式_____________．

4. 函数123y x =

-的自变量x 的取值范围是 . 函数1

-=x x

y 的自变量x 的以值范围是________。

5. 小明去商店为美术小组买宣纸和毛笔，宣纸每张３元，毛笔每支５元，商店正搞优惠活动，买一支毛笔赠一张宣纸．小明买了10支毛笔和x 张宣纸，?则小明用钱总数y （元）与宣纸数x 之间的函数关系是什么？

6. 为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元；超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费，该市某户居民5月份用水x 吨（x >10），应交水费y 元，请用方程的知识来求有关x 和y 的关系式，并判断其中一个变量是否为另一个变量的函数？

7. 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象，当k ＞0，b ＞0时，经过 象限；当k ＜0，b ＞0时，经过 象限；当k ＞0，b ＜0时，经过 象限；当k ＜0，

b ＜0时，经过 象限．

8. 我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A 正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B 追赶，正如图中s 1与s 2分别表示两船只相对于海岸的距离s(海里)与追赶时间t(小时)之间的关系。

(1)哪条线表示B 到海岸的距离与追赶时间 之间的关系?

(2)A,B 哪个速度快? (3)15分内B 能否追上A?

(4)如果一直追下去,那么B 能否追上A?

(5)当A 逃到离海岸的距离12海里的公海时,B 将无法对其进行检查.照此速度,B 能否在A 逃入公海前将其拦截?

9. 某气象研究中心观察一场沙尘暴从发生到结束的全过程，开始时风速平均每小时增加2km/h ，经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4km/h ，

一段时间风速保持不变。当沙尘暴遇到绿色植被区时，其风

速平均每小时减小1km/h ，最终停止。结合风速与时间的图象，回答下 列问题：

①在y 轴的( )处填入相应的数值；

1.某气象研究中心观察一场沙尘暴从发生到结束的全过程，开

始时风速平均每小时增加2km/h,经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4km/h,一段时间，风速保持不变。当沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速平均每小时减少1km/h ，最终停止。结合风速与时间地图象，回答下列问题：

（1），在y 轴（）处填入相应的数值；（2）求出当x ≥25

时，风速y(km/h)与时间x(h)之间的函数关系式。

（3）沙尘暴从发生到结束，共经过多少小时？

x(h)

y （km)

04

10

25

（

）

（

）

A

B C

D

11cm

14cm 7.如下图，两摞相同规格的碗整齐地放在桌面上，请根据图

中的数据信息，解答下列问题：（1）求整齐摆放在桌面上的碗的高度y(cm)与碗的个数x(个)之间的函数关系式；（2）把这两摞碗整齐地摆成一摞时，碗的高度是多少？②求出当x ≥25时，风速y(km/h)与时 间t(h)之间的函数关系式。

③沙尘暴从发生到结束共经过多少小时？

10. 如下图，两摞相同规格的碗整齐地放在桌面上，请根据图中的数据信息，回答下列

问题： ①求整齐摆放在桌面上的碗的高度(cm) 与碗的个数x(个)的函数关系式； ②把这两摞碗整齐地摆成一摞时，碗的 高度是多少？

11. 若函数2

8)3(m x

m y -+=是反比例函数，则m 的取值是 。

12. 已知函数y ＝y 1＋y 2，y 1与x ＋1成正比例，y 2与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝0；当x ＝4时，y ＝9，求当x ＝－1时y 的值。

参考答案

1. R 、V ，π3

4。R ，V R ，R ＞0 2. ①y=50-0.1x

②0≤x ≤500

③y=50-0.13200=30(L) 3. y=180-2x(°) 4. 2

3

x ＞

1x ＞ 5. ()20x 310x 3510y -=-+?=

6. 由题意：()()() 10x 6x 8.110x 8.12.110y 10x x

2.1y ?

?

?-=-+?=≤=＞

答：y 是x 的函数。

7. 1、2、3 1、2、4 1、3、4 2、3、4

8. (1) S 1 (2) B 快 (3) 追不上 (4) 能(20分钟) (5) 能(在离岸10海里处) 9. (1) 8，36 (2) y=-x+36 (3) 61 10. (1) y=1.5(x-1)+8=1.5x+6.5 (2) 18.5cm 11. 解：由题意：1m 82

-=-, 解得：m=±3

但3+m 不能为0，∴m=-3不符合题意。

【观察与分析】此题要考虑反比例函数的定义，即1

-=kx y （k ≠0）自变量x 的指数

是－1。

答案： 3 12.

解：设y 1＝k 1(x+1)（k 1≠0），x

k y 2

2=

（k 2≠0），则121k ++=x k x k y 将x 、y 值代入，得：??

?

??=+=+94k k 50k k 22

121 解得：?????-==4k 2k 21 当x=-1时，y=23(-1)+1

4

--+2=4

【观察与分析】此题要用到正比例函数的定义：y=kx (k ≠0)，反比例函数的定义：1-=kx y （k ≠0）

。

第十九章 全等三角形

知识结构：

命题、公理与定理

到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上

到一条线段的两端的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上

作线段

作

角

作角平分线作

垂

线

作垂直平分线

全等三角形

直角三角形全等的判定

全等三角形的判定

(A.A.S.)

(S.A.S.)

(A.S.A.)(S.S.S.)

(H.L.)尺规作图

直角坐标系

应知

一、基本概念

命题：可以判断出它是正确的还是错误的句子叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。

在数学中，许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的。题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项，这样的命题常可写成"如果.......，那么......."的形式。用"如果"开始的部分就是题设，而用"那么"开始的部分就是结论。 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题。 如果两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件和结论的否定，则这两个命

题称互为否命题。 二、基本法则

1. 四种命题的关系(见下图)。

2. 假命题的证明：

要判断一个命题是真命题，可以用逻辑推理的方法加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题题设而不符合该命题结论的例子就可以了，在数学中，这种方法称为"举反例"。

⑵公理：数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。

⑶定理：有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。

⑷逆定理：如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。 3. 全等三角形的判定：

⑴如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“边角边”或简记为（S.A.S.）

⑵如果两个三角形有两角及其夹边对应相等，那么这两个三角形全等。简写成“角边角”或简记为（A.S.A.）

⑶如果两个三角形有两角和其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等。简写成“角角边”或简记为（A.A.S.）。

⑷如果两个三角形三边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“边边边”或简记为（S.S..S ） 归纳如下表：

逆命题(b …→a)

(a …→b)

原命题

(非a …→非b)

否命题逆否命题(非b …→非a)

互逆否，等价

互逆否，等价

互否

，

真假性

无关互否

，真

假性无

关

互逆，真假性无关

互逆，真假性无关

对应相等的元素

两边一角

两角一边三角

三边

两边及 其夹角两边及其中一边的对角

两角及 其夹边两角及其中

一角的对边

4. 全等直角三角形的判定：

如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等．简写成“斜边直角边”或简记为（H.L.）

5. 等腰三角形的判定：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。(简写成“等角对等边”)。

6. 关于角平分线定理：

⑴角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

⑵到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

7. 关于线段垂直平分线的定理：

⑴线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。

⑵到一条线段的两个端点的，在距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

●应会

1.判断命题的真假。

2.证明三角形的全等，并利用全等三角形解其它证明题。

3.利用角平分线和线段垂直平分线解证明题。

4.用尺规作线段、作角、作角平分线、作垂线、作线段垂直平分线。

●例题

1．如图，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，

根据“SAS”需要添加条件；

根据“ASA”需要添加条件；

根据“AAS”需要添加条件 .

2. 如图，AE=CF，∠AFD=∠CEB，DF=BE，△AFD与△ CEB全等吗？为什么？

3. “三月三，放风筝”如图是小东同学自己做的风筝，他根据AB=AD，BC=DC，

不用度量，就知道∠ABC=∠ADC．请用所学的知识给予证明．

4. 如图，AC＝BD，BC＝AD，试证明：∠CAB＝∠DBA

5. 如图，AC=BD，∠C=∠D，试证明：BC=AD

o

6. 如图，已知AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2，说明：BC=DE

C

7. 如图，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存

在全等三角形，并给予证明.

所添条件为 ，

你得到的一对全等三角形是△ ≌△ .

8．等腰直角△ABC ，其中AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，过B 、C 作经过 A 点直线l 的垂线，垂足分别为M 、N

（1）你能找到一对三角形的全等吗？并说明． （2）BM ，CN ，MN 之间有何关系？

若将直线l 旋转到如下图的位置，其他条件不变，那么上题的结论是否依旧成立？

9. 如图，AB=AD ，BC=DC ，AC 与BD 交于点E ，由这些条件你能推出哪些结论？（不再添加辅助线，不再标注其它字母，不写推理过程，只要求写出四个你认为正确的结论即可）

10. 如图，矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE ＝AD ，DF ⊥AE 于F ，连结DE

，求证：DF ＝DC ．

参考答案

1. AB=AC ∠BDA=∠CDA ∠B=∠C

2. 全等。证明如下：

∵AE =CF ， ∴AF=AE －EF=CF －EF=CE

在△AFD 与△ CEB 中：∠AFD =∠CEB ，DF =BE ，AF=CE ∴△AFD ≌△ CEB (S.A.S)

3. 连接AC ，在△ABC 与△ ADC 中： ∵AB =AD ，BC =DC ，AC=AC

∴△ABC ≌△ ADC (S.S.S) ∠ABC =∠ADC 4. 证明：在△ABC 与△ ABD 中

∵AC ＝BD ，BC ＝AD ，AB=AB

∴△ABC ≌△ ABD (S.S.S) ∠CAB ＝∠DBA 5. 证明：在△AOC 与△ BOD 中

∵AC =BD ，∠C =∠D ，∠AOC =∠BO D ∴△AOC ≌△ BOD OA=OB OC=OD ∴AD=OA+OD=OB+OC=BC

6. 证明：∵∠1=∠2 ∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC ，即

在△ABC 和△AED 中：AB=AD ，∠B=∠D ，∠BAC=∠EAD ∴△ABC ≌△AED ，BC=DE 7. AE 平分∠CAD △AEC ≌△AED

A B

C

D

F

E D

B

A C

A B

C

D E

8. (1) △AMB≌△ANC，证明如下：

∵BM⊥MN，CN⊥MN

∴∠AMB=∠ANC=90°

∵∠BAC＝90°∴∠1+∠3=90°

又∵∠1+∠2=90°∠4+∠3=90°

∴∠2=∠3，∠1=∠4

在△AMB和△ANC中：AB=AC，∠2=∠3，∠1=∠4

∴△AMB≌△ANC

(2) ∵△AMB≌△ANC ∴BM=AN，CN=AM，BM+CN=MN

若将直线l旋转到如下图的位置，其他条件不变， l

仍有：△AMB≌△ANC，证明与(1)(2)相似(略)。

但BM、CN、MN的关系变为：BM+MN=CN。

9. △ACB≌△ACD ∠BAC=∠DAC

△ABE≌△ADE BE=DE

10. 证明：

∵AE＝AD ∴∠ADE=∠AED

∵DF⊥AE

∴∠1=90°－∠AED=90°－∠ADE=∠2

在△DCE和△DFE中：

∠DCE=∠DFE=90°∠1=∠2 DE=DE

∴△DCE≌△DFE DF=DC

A

B

C

N

M

A

B

C M

N

1

2

3

4

A

B C

D

E

F

12

第二十章 平行四边形的判定

知识结构：

两组对边分别平行两组对边分别相等

两组对角分别相等

两条对角线相互平分一组对边平行且相等

四边形

三个角是直角

四条边都相等

只有一组对边平行

平行四边形

一组邻边相等且有一个角是直角矩形

菱形

一组邻边相等

一个角是直角

正

方形

梯形

同一底上的两个角相等两条对角线相等

等腰梯形

一个角是直角

对角线相等

一组邻边相等

对角线相互垂直

应知

基本法则

1. 平行四边形的判定。

⑴两组对边分别平行的四边形。 ⑵两组对边分别相等的四边形。 ⑶一组对边平行且相等的四边形。 ⑷两条对角线相互平分的四边形。 ⑸两组对角分别相等的四边形。 2. 矩形的判定。

⑴三个角是直角的四边形。 ⑵一个角是直角的平行四边形。 ⑶对角线相等的平行四边形。

3. 菱形的判定。

⑴四条边都相等的四边形。 ⑵一组邻边相等的平行四边形。 ⑶对角线相互垂直的平行四边形。

4. 正方形的判定。

⑴一组邻边相等的矩形。

⑵一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。 ⑶一个角是直角的菱形。

5. 等腰梯形的判定。 ⑴同一底上的两个角相等的梯形。 ⑵两条对角线相等的梯形。

● 应会

判定平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形。

● 例题

1. 四边形的ABCD 是平行四边形，BE=FD 求证：四边形 AECF 是平行四边形。

2. 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 。垂足为点

D ， AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，C

E ⊥AN ，垂足为点E 。 （1） 求证：四边形ADCE 是矩形。

（2） 当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明。 3. 判断下列命题是否正确，并说明理由．

（1）对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形．

（2）两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形． （3）邻角相等的四边形是菱形．

（4）有一组邻边相等的四边形是菱形．

（5）两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形． （6）对角线互相垂直的四边形是菱形． （7）对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 4. 请在括号中填写每一步推理根据．

已知菱形ABCD 的边长为10，AC=12，求菱形ABCD 的面积． 解：∵菱形ABCD （①）， ∴AO=CO ，BO=DO （②）， ∠AOB=90°（③）． ∵AC=12（④）， ∴AO=6． ∵AB=10（⑤），

A

B C

D

E F

∴BO=8（⑥）． ∴BD=2BO=16． ∴S 菱形ABCD =

1

2

316312=96（⑦）． 5. 如图，ΔABC 中，BD 平分∠ABC ，ED//BC ，EF//AC ，求证：BE ＝CF 。

6. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，使点B 与点E 重合，AD 与EC 相交于点F 。

（1）求证：EF ＝DF ； （2）求EF 的长。

7. 菱形O A B C 在平面直角坐标系中的位置如图所示，

45AOC ∠=°，2OC =，则点B 的坐标为（ ）

A ．(21)，

B ．(12)，

C ．(211)+，

D ．(121)+，

8. 如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，△ADE 和△BCE 都是等边三角形，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，试判断四边形PQMN 为怎样的四边形，并证明你的结论．

9. 如图，ABCD 是正方形，点G 是BC 上的任意一点，DE AG ⊥于E ，

BF DE ∥，交AG 于F ．

求证：AF BF EF =+．

10. 如图：已知在ABC △中，A B A C =，D 为BC 边的中点，过点D 作

DE AB DF AC ⊥，⊥，垂足分别为E F ，.

（1） 求证：BED CFD △≌△；

（2）若90A ∠=°，求证：四边形DFAE 是正方形.

y

x

O A

B

C

A

B

C

D

E F A

B F C

E D

1

2 3 E

A F D

B C

A D Q B

E

P N M C A

B

C

D

E F G

11. 如图15，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是 ．

12. 如图18，在梯形ABCD 中， AD ∥BC ，AB ∥DE ，

AF ∥DC ，E F 、两点在边BC 上，且四边形AEFD 是平行四边形． （1）AD 与BC 有何等量关系？请说明理由； （2）当AB DC 时，求证：

ABCD 是矩形．

13. 如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的角平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ．

（1）探究：线段OE 与OF 的数量关系并加以证明； （2）当点O 在边AC 上运动时，四边形BCFE 会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；

（3）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论．

（4）当点O 运动到何处，且ABC △满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？

参考答案

1. 证明：∵ABCD 是平行四边形

∴∠ADB=∠DBC BC=AD 又∵BE=DF ∴△ABE ≌△CDF AF=CE 同理可证 AE=CF

∴DFBE 是平行四边形 (两组对边分别相等的四边形是平行四边形) 2. 证明：

（1）∵AB=AC ∴∠B=∠ACB

∵∠CAM=∠B+∠ACB, AN 是∠CAM 的平分线 ∴∠MAN=∠B ∴AN ‖BC

∵AD ⊥BC, CE ⊥AN

∴∠ADC=∠DAE=∠AEC=90° ∴四边形ADCE 是矩形。

（2）当△ABC 满足∠BAC=90°时四边形ADCE 是一个正方形

A

D

C

D ′

B ′

B C ′

A

B

C

D

E F

A

B

C

M N

E F O

华东师大版八年级数学上册全册教案

第十一章 数的开方 11.1平方根与立方根（1） 【教学目标】：以实际问题的需要出发，引出平方根的概念，理解平方根的意义，会求某些数的平方根。 【教学重、难点】：重点：了解平方根的概念，求某些非负数的平方根。 难点：平方根的意义 【教具应用】：老师：三角板、小黑板 学生： 【教学过程】： 一、 提出问题，创设情境。 问题1、要剪出一块面积为25cm 2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？ 问题2、已知圆的面积是16πcm 2，求圆的半径长。 要想解决这些问题，就来学习本节内容 二、 自学提纲： 1、 你能解决上面两个问题吗？这两个问题的实质是什么？ 2、 看第2页，知道什么是一个数的平方根吗？ 3、 25的平方根只有5吗？为什么？ 4、 会求110的平方根吗？试一试 5、 －4有平方根吗？为什么？ 6、 想一想，你是用什么运算来检验或寻找一个数的平方根？ 7、 根据平方根的定义你能指出正数、0、负数的平方根的特征吗？ 8、 什么叫开平方？ 三、 能力、知识、提高 同学们展示自学结果，老师点拔 ① 情境中的两个问题的实质是已知某数的平方，要求这个数。 ② 概括：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。 如52＝25，（－5）2＝25 ∴25的平方根有两个：5和－5 ③ 根据平方根的意义，可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根。 ④ 任何数的平方都不等于－4，所以－4没有平方根。 ⑤ 0的平方等于0。所以0只有一个平方根为0。 ⑥ 概括：一个正数有两个平方根，它们互为相反数;0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。 ⑦ 求一个数a （a ≥0）的平方根的运算，叫做开平方。 四、 知识应用 1、 求下列各数的平方根 ① 49 ②1.69 ③81 16 ④（－0.2）2 2、 将下列各数开平方 ①1 ②0.09 ③（－ 5 3）2 五、 测评 1、 说出下列各数的平方根 ①81 ②0.25 ③125 4 2、 求未知数x 的值 ①（3x ）2＝16 ②（2x -1）2=9 六、 小结：

华东师大版八年级数学(上册)知识点

八年级上册知识点 第11章 数的平方 11.1平方根与立方根 一、平方根的概念 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。 二、平方根的性质 1. 一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 2. 0有一个平方根，就是它本身。 3. 负数没有平方根。 三、算术平方根 正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根，记作，读作“根号a ”；另一个平方根是它的相反数，即-。因此，正数a 的平方根可以记作±，其中a 称为被开方数。 0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。 四、平方根与算术平方根的区别与联系 1. 概念不同； 2. 表示方法不同； 3. 个数及取值不同。 五、开平方 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。 六、立方根 1. 概念：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根。 2. 性质：任何数（正数、负数和0）的立方根只有一个。 3. 表示：数a 的立方根，记作，读作“三次根号a ”。其中a 称为被开方数，3是根指 数。 4. 一个正数只有一个正的立方根，一个负数只有一个负的立方根，0的立方根是0。 七、开立方 求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 11.2实数 一、无理数 1. 无线不循环小数叫做无理数。 2. 无理数与有理数的区别 （1）有理数是有限小数或无限循环小数，而无理数是无限不循环小数。 （2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），而无理数不能写成分数的形式。 二、实数及其分类 1. 实数的概念 有理数和无理数统称为实数，即实数包括有理数和无理数。 a a a 3a

2. 实数的分类 （1）按概念分类 正整数 整数 0 有理数 负整数 正分数 分数 实数 负分数 正有理数 无理数 负有理数 （2）按正负分类 正整数 正有理数 正实数 正分数 正无理数 实数 0 负整数 负有理数 负实数 负分数 负无理数 三、实数与数轴上点的关系 实数与数轴上的点意义对应。 四、实数的有关概念 1.一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 ?? ???<-=>=0,0,00,a a a a a a 2.一个数的绝对值是非负数，即a≥0，因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零．两个相反数的绝对值相等． 第12章 整式的乘除 12.1幂的运算 12.1.1同底数幂的乘法

最新华师大版八年级下册数学知识点总结

八年级华师大版数学（下） 第16章分式 §16.1分式及基本性质 一、分式的概念 A 1、分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 B 叫做分式。 3、分式有意义、无意义的条件 （1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0； （2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。 4、分式的值为0的条件： A=0的条当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。即，使 B 件是：A=0，B≠0。 二、分式的基本性质 通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。 通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。 约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。 在约分时要注意：（1）如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，即约去分子、分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幂；（2）如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式，然后找出它们的公因式再

约分；（3）约分一定要把公因式约完。 三、分式的符号法则： （1）－a b = a -b =－a b ；（2）-a -b =a b ；（3）－ -a -b =a b §16.2分式的运算 一、分式的乘除法 应用法则时要注意：（1）分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正”；（2）当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；（3）分式乘除法的结果要化简到最简的形式。 二、分式的加减法 （一）同分母分式的加减法 1、 用式子表示： 2、注意事项：（1）“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略；（2）分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。 （二）异分母分式的加减法 1、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，再加减。用式子表示： bd bc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=±。 2、注意事项：（1）在异分母分式加减法中，要先通分，这是关键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。（2）若分式加减运算中含有整式，应视其分母为1，然后进行通分。（3）当分子的次数高于或等于分母的次数时，应将其分离为整式与真分式之和的形式参与运算，可使运算简便。 四、分式的混合运算 注意事项：（1）有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用，要灵活运用交换律、结合律和分配律；（2）分式运算结果必须化到最简，能约分的要约b c a b c b a ±=±

(完整版)华东师大版八年级数学下全册教案

第17章 分式 §17.1.1 分式的概念 教学目标： 1、经历实际问题的解决过程，从中认识分式，并能概括分式 2、使学生能正确地判断一个代数式是否是分式 3、能通过回忆分数的意义，类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件，渗透数学中的类比，分类等数学思想。 教学重点： 探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 教学难点： 能通过回忆分数的意义，探索分式的意义。 教学过程： 一、做一做 （1）面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为_____米； （2）面积为S 平方米的长方形一边长a 米，则它的另一边长为________米； （3）一箱苹果售价p 元，总重m 千克，箱重n 千克，则每千克苹果的售价是___元； 二、概括： 形如 B A (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 整式和分式统称有理式, 即有理式 整式，分式. 三、例题： 例1 下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1） x 1； （2）2 x ； （3）y x xy +2； （4）33y x -. 解：属于整式的有：（2）、（4）；属于分式的有：（1）、（3）. 注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.例如，在分式a S 中，a ≠0；在分式n m -9中，m ≠n. 例2 当x 取什么值时，下列分式有意义？ （1） 11－x ； （2）3 22 +-x x . 分析 要使分式有意义，必须且只须分母不等于零. 解 （1）分母1－x ≠0，即x ≠1. 所以，当x ≠1时，分式 1 1 －x 有意义. （2）分母23+x ≠0，即x ≠-2 3 . 所以，当x ≠-23时，分式3 22 +-x x 有意义. 四、练习： P5习题17.1第3题（1）（3） 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 2 38y y -，91-x 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 4522--x x x x 235-+2 3+x

八年级数学华东师大版上学期期末试卷及复习资料

初二(上)数学期末测试题（华东师大版） (满分100分 考试时间100分钟) 一、细心选一选（本题有10个小题，每小题3分, 满分30分，下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。） 1. 以下四家银行行标中，不是旋转对称图形的有 （ ） 2. 如图1所给的4个正方形网格图形中，黑色部分只用．．平移可以得到的有（ ）. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 64的平方根是（ ） A. 4 B. 4± C. 8 D. 8± 4. 8a 可以写成（ ） A. 44a a + B. a 4·a 2 C. 62 ()a - D. (-a)7·(-a) 5. 下列计算正确的是（ ）. A. ()()2555a a a +-=- B. () 2222x x x x +÷=+ C. ()2 222a b a ab b +=-+ D. ()()2 2 a b b a b a ---=- 6. 若2 6(3)(2)x kx x x +-=+-，则k 的值为（ ） A. 2 B. –2 C. 1 D. –1 7. 下列四边形中，两条对角线不一定相等的是（ ） A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 等腰梯形 8. 已知ΔABC 的三边分别是3,4,5cm cm cm ,则ΔABC 的面积是( )2 cm A. 6 B. 7.5 C. 10 D. 12 9. 如图2，在菱形ABCD 中，6cm,8cm AC BD ==，则菱形AB 边上的高CE 的长是（ ） A. 24 5 cm B. 48 5 cm C. 5cm D. 10cm

华东师大新版八年级数学上册经典试题(超值)

八年级数学上册复习试题 一、选择题 1．计算（﹣a ）3?（a 2）3?（﹣a ）2的结果正确的是（ ）A ．a 11 B ．﹣a 11 C ．﹣a 10 D ．a 13 2．下列计算正确的是（ ）A ．x 2（m+1）÷x m+1=x 2 B ．（xy ）8÷（xy ）4=（xy ）2 C ．x 10÷（x 7÷x 2）=x 5 D ．x 4n ÷x 2n ?x 2n =1 3．已知（x+a ）（x+b ）=x 2﹣13x+36，则ab 的值是（ ）A ．36 B ．13 C ．﹣13 D ．﹣36 4．若（ax+2y ）（x ﹣y ）展开式中，不含xy 项，则a 的值为（ ）A ．﹣2 B ．0 C ．1 D ．2 5．已知x+y=1，xy=﹣2，则（2﹣x ）（2﹣y ）的值为（ ）A ．﹣2 B ．0 C ．2 D ．4 6．若（x+a ）（x+b ）=x 2+px+q ，且p ＞0，q ＜0，那么a 、b 必须满足的条件是（ ） A ．a 、b 都是正数 B ．a 、b 异号，且正数的绝对值较大 C ．a 、b 都是负数 D ．a 、b 异号，且负数的绝对值较大 7．一个长方体的长、宽、高分别是3x ﹣4、2x ﹣1和x ，则它的体积是（ ） A ．6x 3﹣5x 2+4x B ．6x 3﹣11x 2+4x C ．6x 3﹣4x 2 D ．6x 3﹣4x 2+x+4 8．观察下列多项式的乘法计算： （1）（x+3）（x+4）=x 2+7x+12；（2）（x+3）（x ﹣4）=x 2﹣x ﹣12； （3）（x ﹣3）（x+4）=x 2+x ﹣12；（4）（x ﹣3）（x ﹣4）=x 2﹣7x+12 根据你发现的规律，若（x+p ）（x+q ）=x 2﹣8x+15，则p+q 的值为（ ）A ．﹣8 B ．﹣2 C ．2 D ．8 9．如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式： ①（2a+b ）（m+n ）； ②2a（m+n ）+b （m+n ）；③m（2a+b ）+n （2a+b ）； ④2a m+2an+bm+bn ， 你认为其中正确的有（ ）A ．①② B ．③④ C ．①②③ D ．①②③④ 10、4的平方根是（ ）A 、2 B 、-2 C 、±2， D 、±4 11、27的立方根是（ ）A 、3 B 、-3 C 、±3 D 、27± 12、下列实数中，是无理数的是（ ） A 、9± B 、38- C 、 3 π D 、0.101001 13、32a a ?的结果是（ ）A 、a 6 B 、5a C 、6a D 、26a 14、32)2(x -的结果是（ ）A 、58x B 、58x - C 、68x D 、68x - 15、99100)2()2(-+-的结果是（ ） A 、2- B 、2 C 、992- D 、992 16、36)()(a b b a -÷-的结果是（ ） A 、22b a - B 、22a b - C 、3)(b a - D 、3)(b a -- 17、2-x 有意义的条件是（ ） A 、2≠x B 、2≥x C 、2>x D 、2

新版华师大版八年级下数学教案全册

第十六章分式 16．1分式 16.1.1从分数到分式 一、教学目标 1．了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：，，，. 2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为小时，逆流航行60千米所用时间 小时，所以=. 3. 以上的式子，，，，有什么共同点？它们与分数有什么相同点 和不同点？ 五、例题讲解 P5例1. 当x为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x的取值范围. [提问]如果题目为：当x为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m为何值时，分式的值为0？ （1）（2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1

六、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, , , , ， 2. 当x取何值时，下列分式有意义？ （1）（2）（3） 3. 当x为何值时，分式的值为0？ （1）（2） (3) 七、课后练习 1.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？ (1）甲每小时做x个零件，则他8小时做零件个，做80个零件需小时. （2）轮船在静水中每小时走a千米，水流的速度是b千米/时，轮船的顺流速度是千米/时，轮船的逆流速度是千米/时. (3)x与y的差于4的商是 . 2．当x取何值时，分式无意义？ 3. 当x为何值时，分式的值为0？ 八、答案： 六、1.整式：9x+4, , 分式： , ， 2．(1）x≠-2 （2）x≠ （3）x≠±2 3．（1）x=-7 （2）x=0 (3)x=-1 七、1．18x, ,a+b, ,; 整式：8x, a+b, ; 分式：, 2． X = 3. x=-1 课后反思：

华东师大版八年级数学上册全册教案

华东师大版八年级数学 上册全册教案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

第十一章 数的开方 平方根与立方根（1） 【教学目标】：以实际问题的需要出发，引出平方根的概念，理解平方根的意义，会求某些数的平方根。 【教学重、难点】：重点：了解平方根的概念，求某些非负数的平方根。 难点：平方根的意义 【教具应用】：老师：三角板、小黑板 学生： 【教学过程】： 一、 提出问题，创设情境。 问题1、要剪出一块面积为25cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？ 问题2、已知圆的面积是16πcm2，求圆的半径长。 要想解决这些问题，就来学习本节内容 二、 自学提纲： 1、 你能解决上面两个问题吗这两个问题的实质是什么 2、 3、 看第2页，知道什么是一个数的平方根吗？ 4、 5、 25的平方根只有5吗为什么 6、 7、 会求110的平方根吗？试一试 8、 9、 －4有平方根吗为什么 10、 11、想一想，你是用什么运算来检验或寻找一个数的平方根？ 12、根据平方根的定义你能指出正数、0、负数的平方根的特征吗？ 13、 14、什么叫开平方？ 三、 能力、知识、提高 同学们展示自学结果，老师点拔 ① 情境中的两个问题的实质是已知某数的平方，要求这个数。 ② 概括：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。 如52＝25，（－5）2＝25 ∴25的平方根有两个：5和－5 ③ 根据平方根的意义，可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根。 ④ 任何数的平方都不等于－4，所以－4没有平方根。 ⑤ 0的平方等于0。所以0只有一个平方根为0。 ⑥ 概括：一个正数有两个平方根，它们互为相反数;0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。 ⑦ 求一个数a （a ≥0）的平方根的运算，叫做开平方。 四、 知识应用 1、 求下列各数的平方根 ① 49 ② ③81 16 ④（－）2 2、 将下列各数开平方 ①1 ② ③（－ 5 3）2

最新华师大版八年级数学上册知识点总结

八年级数学上册复习提纲 第11章数的开方 §11.1平方根与立方根 一、平方根 1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。（也叫做二次方根） 即：若x2=a，则x叫做a的平方根。 2、平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根。它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根。 二、算术平方根 1、算术平方根的定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。 2、算术平方根的性质：（1）一个正数的算术平方根只有一个且为正；（2）零的算术平方根是零；（3）负数没有算术平方根；（4）算术平方根的非负性：a ≥0。 三、平方根和算术平方根是记号：平方根±a（读作：正负根号a）；算术平方根a（读作根号a） 即：“±a”表示a的平方根，或者表示求a的平方根；“a”表示a的算术平方根，或者表示求a的算术平方根。 其中a叫做被开方数。∵负数没有平方根，∴被开方数a必须为非负数，即：a≥0。 四、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。其实质就是：已知指数和二次幂求底数的运算。 五、立方根 1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。（也叫做三次方根） 即：若x3=a，则x叫做a的立方根。 2、立方根的性质：（1）一个正数的立方根为正；（2）一个负数的立方根为负；（3）零的立方根是零。 3、立方根的记号：3a（读作：三次根号a），a称为被开方数，“3”称为根指数。 3a中的被开方数a的取值范围是：a为全体实数。 六、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。其实质就是：已知指数和三次幂求底数的运算。 七、注意事项： 1、“±a”、“a”、“3a”的实质意义：“±a”→问：哪个数的平方是a；“a”→问：哪个非负数的平方是a；“3a”→问：哪个数的立方是a。 2、注意a和3a中的a的取值范围的应用。 如：若3 x有意义，则x取值范围是。（∵x-3≥0，∴x≥3）

华东师大八年级上册数学教学计划

八年级数学上册教学计划 一、学生情况分析： 本班学生：63人，其中男生39人，女生：24人。上期末数学考试最高分120分，最低分15分，平均分103，110分以上30人.总体上看，学生的数学成绩较差，及格的同学仅93.5%；在学生的数学知识上看，基本概念，基本计算，以及基本的空间与图形知识都极其欠缺；数学的思维混乱；不能独立思考，大部分学生对数学兴趣低落，多数学生对数学严重丧失信心，谈数学而色变。 二、教材分析： 1、体系结构： （1）数学内容的引入，采取从实际问题情景境入手的方式，贴近学生的生活实际，选择具有现实背景的素材，建立数学模型，使学生通过问题解决的过程，获得数学概念，掌握解决数学问题的技能和方法。 （2）教材内容的呈现，努力创设学生自主探究的学习情况和机会，适当编排应用性、探索性和开放性的，发挥学生的主动性、留给学生充分的时间与空间，自主探索、促进学生数学思维能力、创造能力的培养与提高，为学生的终身可持续发展奠定良好的基础。 （3）教材内容的编写，把握课程标准，同时又具有弹性，编入一些选学内容，以适应较高程度学生学习的需要，使不同水平的学生都得到发展。 （4）教材内容的叙述、行当介绍数学内容的背景知识与数学史料等，将背景材料与数学内容融为一体，激发学生学习数学的兴趣，引导学生体会数学的文化价值。 （5）现代信息技术的应用在教材中占有适当地位，有利于学生理解概念、自主探索、实践体验。 2、教材体例。 （1）教材的正文中，根据教材内容的实际需要，适当设置了一些相应的栏目。如“观察”、“思考”、“实验”、“想一想”、“试一试”、“做一做”等，给学生适当的思考空间，让学生通过自主探索，获得体验和感受，掌握必要的知识。 （2）结合教材各块内容，安排一些有关的阅读材料，涉及数学史料、数学家故事、实际生活中的问题、数学趣题、知识背景等，扩大学生的知识面，增强学生的应用意识和对数学的兴趣，对学生进行爱国主义和人文主义精神教育。 （3）控制习题总量，降低难度，增加探索、开放、实践类型的习题，按照不同的要求，

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第11章数的开方 11.1平方根与立方根（1） 【教学目标】：以实际问题的需要出发，引出平方根的概念，理解平方根的意义，会求某些数的平方根。 【教学重、难点】：重点：了解平方根的概念，求某些非负数的平方根。 难点：平方根的意义 【教具应用】：老师：三角板、小黑板 学生： 【教学过程】： 一、提出问题，创设情境。 问题1、要剪出一块面积为25cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？ 问题2、已知圆的面积是16πcm2，求圆的半径长。 要想解决这些问题，就来学习本节内容 二、自学提纲： 1、你能解决上面两个问题吗？这两个问题的实质是什么？ 2、看第2页，知道什么是一个数的平方根吗？ 3、25的平方根只有5吗？为什么？ 4、会求110的平方根吗？试一试 5、－4有平方根吗？为什么？ 6、想一想，你是用什么运算来检验或寻找一个数的平方根？ 7、根据平方根的定义你能指出正数、0、负数的平方根的特征吗？ 8、什么叫开平方？ 三、能力、知识、提高

同学们展示自学结果，老师点拔 ① 情境中的两个问题的实质是已知某数的平方，要求这个数。 ② 概括：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。 如52＝25，（－5）2＝25 ∴25的平方根有两个：5和－5 ③ 根据平方根的意义，可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根。 ④ 任何数的平方都不等于－4，所以－4没有平方根。 ⑤ 0的平方等于0。所以0只有一个平方根为0。 ⑥ 概括：一个正数有两个平方根，它们互为相反数;0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。 ⑦ 求一个数a （a ≥0）的平方根的运算，叫做开平方。 四、 知识应用 1、求下列各数的平方根 ① 49 ②1.69 ③81 16 ④（－0.2）2 2、将下列各数开平方 ①1 ②0.09 ③（－5 3 ）2 五、 测评 1、说出下列各数的平方根 ①81 ②0.25 ③125 4 2、求未知数x 的值 ①（3x ）2＝16 ②（2x -1）2=9 六、 小结： 1、什么叫做平方根？ 2、一个正数的平方根有几个？零的平根有几个？负数的平方根呢？

华东师大版八年级数学上册知识点

八年级上册知识点 第11章数的平方 11.1平方根与立方根 一、平方根的概念 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。 二、平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 2.0有一个平方根，就是它本身。 3.负数没有平方根。 三、算术平方根 a，读作“根号a”；另一个平方根是它正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作 a。因此，正数a的平方根可以记作±a，其中a称为被开方数。 的相反数，即- 0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。 四、平方根与算术平方根的区别与联系 1.概念不同； 2.表示方法不同； 3.个数及取值不同。 五、开平方 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。 六、立方根 1.概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。 2.性质：任何数（正数、负数和0）的立方根只有一个。

3.表示：数a的立方根，记作3a，读作“三次根号a”。其中a称为被开方数，3是根指数。 4.一个正数只有一个正的立方根，一个负数只有一个负的立方根，0的立方根是0。 七、开立方 求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 11.2实数 一、无理数 1.无线不循环小数叫做无理数。 2.无理数与有理数的区别 （1）有理数是有限小数或无限循环小数，而无理数是无限不循环小数。 （2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），而无理数不能写成分数的形式。 二、实数及其分类 1.实数的概念 有理数和无理数统称为实数，即实数包括有理数和无理数。 2.实数的分类 （1）按概念分类 正整数 整数0 有理数负整数 正分数 分数 实数负分数 正有理数 无理数

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华东师大版八年级数学上册全册教案 11.1平方根与立方根（1） 【教学目标】：以实际问题的需要出发,引出平方根的概念,理解平方根的意义,会求某些数的平方根。 【教学重、难点】：重点：了解平方根的概念,求某些非负数的平方根。 难点：平方根的意义 【教具应用】：老师：三角板、小黑板 学生： 【教学过程】： 一、 提出问题,创设情境。 问题1、要剪出一块面积为25cm 2的正方形纸片,纸片的边长应是多少？ 问题2、已知圆的面积是16πcm 2,求圆的半径长。 要想解决这些问题,就来学习本节内容 二、 自学提纲： 1、 你能解决上面两个问题吗？这两个问题的实质是什么？ 2、 看第2页,知道什么是一个数的平方根吗？ 3、 25的平方根只有5吗？为什么？ 4、 会求110的平方根吗？试一试 5、 －4有平方根吗？为什么？ 6、 想一想,你是用什么运算来检验或寻找一个数的平方根？ 7、 根据平方根的定义你能指出正数、0、负数的平方根的特征吗？ 8、 什么叫开平方？ 三、 能力、知识、提高 同学们展示自学结果,老师点拔 ① 情境中的两个问题的实质是已知某数的平方,要求这个数。 ② 概括：如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的平方根。 如52＝25,（－5）2＝25 ∴25的平方根有两个：5和－5 ③ 根据平方根的意义,可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根。 ④ 任何数的平方都不等于－4,所以－4没有平方根。 ⑤ 0的平方等于0。所以0只有一个平方根为0。 ⑥ 概括：一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0有一个平方根,它是0本身；负数没有平方根。 ⑦ 求一个数a （a ≥0）的平方根的运算,叫做开平方。 四、 知识应用 1、 求下列各数的平方根 ① 49 ②1.69 ③81 16 ④（－0.2）2 2、 将下列各数开平方 ①1 ②0.09 ③（－ 5 3）2 五、 测评 1、 说出下列各数的平方根 ①81 ②0.25 ③ 125 4 2、 求未知数x 的值 ①（3x ）2＝16 ②（2x -1）2=9 六、 小结： 1、 什么叫做平方根？ 2、 一个正数的平方根有几个？零的平根有几个？负数的平方根呢？ 3、 平方和开平方运算有什么区别和联系？ 区别：①平方运算中,已知的是底数和指数,求的是幂。而在开平方运算中,已知的是指数和幂,求的是底。 ②平方运算中的底数可以是任意数,平方的结果是唯一的,在开平方运算中,开方的数的结果不一定是唯一的。 联系：二者互为逆运算。 七、 布置作业 1、 P 7第1题 2、 （选做）已知：x 是49的平方根,y 是1的平方根,求： ①2x+1 ②(x+y)2 11.1 平方根与立方根（2） 【教学目标】：1、引导学生建立清晰的概念系统,在学生正确理解平方根概念的意义和平方根的表示方法基础上,讨论算术平方根的概念及其表示方法。

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第17章 分式 §17.1.1 分式的概念 教学目标： 1、知识与技能：经历实际问题的解决过程，从中认识分式，并能概括分式 的意义。 2、过程与方法：使学生能正确地判断一个代数式是否是分式，能通过回忆 分数的意义，类比地探索分式的意义。 3、情感态度与价值观：渗透数学中的类比，分类等数学思想。 教学重点： 探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 教学难点： 能通过回忆分数的意义，探索分式的意义。 教学过程： 一、做一做 （1）面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为_____米； （2）面积为S 平方米的长方形一边长a 米，则它的另一边长为________米； （3）一箱苹果售价p 元，总重m 千克，箱重n 千克，则每千克苹果的售价是___元； 二、概括： 形如B A (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的 分子,B 叫做分式的分母. 整式和分式统称有理式, 即有理式 整式， 分式. 三、例题： 例1 下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1） x 1； （2）2 x ； （3）y x xy +2； （4）33y x -. 解：属于整式的有：（2）、（4）；属于分式的有：（1）、（3）. 注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.例如，在分式a S 中，a ≠0；在分式n m -9中，m ≠n. 例2 当x 取什么值时，下列分式有意义？ （1）11－x ； （2）3 22 +-x x . 分析 要使分式有意义，必须且只须分母不等于零. 解 （1）分母1－x ≠0，即x ≠1. 所以，当x ≠1时，分式1 1 －x 有意义. （2）分母23+x ≠0，即x ≠-2 3 . 所以，当x ≠-23时，分式3 22 +-x x 有意义. 四、练习：

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第16章 分式 安岳县自治九年义务教育学校----王耀尚 §16.1.1 分式的概念 教学目标： 1、知识与技能：经历实际问题的解决过程，从中认识分式，并能概括分式 的意义。 2、过程与方法：使学生能正确地判断一个代数式是否是分式，能通过回忆 分数的意义，类比地探索分式的意义。 3、情感态度与价值观：渗透数学中的类比，分类等数学思想。 教学重点： 探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 教学难点： 能通过回忆分数的意义，探索分式的意义。 教学过程： 一、做一做 （1）面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为_____米； （2）面积为S 平方米的长方形一边长a 米，则它的另一边长为________米； （3）一箱苹果售价p 元，总重m 千克，箱重n 千克，则每千克苹果的售价是___元； 二、概括： 形如 B A (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母.

整式和分式统称有理式, 即有理式 整式，分式. 三、例题： 例1 下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1） x 1； （2）2 x ； （3）y x xy +2； （4）33y x -. 解：属于整式的有：（2）、（4）；属于分式的有：（1）、（3）. 注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.例如，在分式 a S 中，a ≠0；在分式n m -9中，m ≠n. 例2 当x 取什么值时，下列分式有意义？ （1） 11－x ； （2）3 22+-x x . 分析 要使分式有意义，必须且只须分母不等于零. 解 （1）分母1－x ≠0，即x ≠1. 所以，当x ≠1时，分式 1 1 －x 有意义. （2）分母23+x ≠0，即x ≠-23 . 所以，当x ≠-23 时，分式3 22+-x x 有意义. 四、练习： P5习题17.1第3题（1）（3） 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -，91-x 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 3. 当x 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) 五、小结： 什么是分式？什么是有理式？ 4 5 22--x x x x 235-+23+x x x 57+x x 3217-x x x --221

华师大版八年级数学上册试题

八年级数学试题 2015.10.22 一、选择题(每小题3分，共36分) 1. 下列交通标志图案是轴对称图形的是（） 2.下列说法中正确的是( ) A.面积相等的两个图形是全等形 B.周长相等的两个图形是全等形 C.所有正方形都是全等形 D.能够完全重合的两个图形是全等形 3.点（3,2）关于x轴的对称点为( ) A.(3，-2) B.(-3，2) C.(-3，-2) D.(2，-3) 4. 如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（） A. ∠BCA=∠F B. ∠B=∠E C. BC∥EF D. ∠A=∠EDF

5. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A/O/B/=∠A O B的依据是 ( ) A.ASA B.SAS C.SSS D.AAS 6. 下列四种图形都是轴对称图形，其中对称轴条数最多的图形是 （） A. 等边三角形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 7.如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若 CD=4，则点D到AB的距离是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 8. 一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个图案关于正方形的某条对角线对称，那么下列图案中不符合 要求的是( ) ．．．

9.如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=9cm，CF=4cm，则BD等于( ) A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm 10. 如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为( ) A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 11. 如图，正六边形ABCDEF关于直线l的轴对称图形是六边形A/B/C/D/E/F/.下列判断错误 ．．的是（）. A. AB=A/B/ B. BC//B/C/ C.直线l⊥BB/ D.∠A/=120°

华师大版八年级数学下册教案(全册)

2013年华师大版八年级数学下册教案(全册) 四川省射洪中学八年级数学下册教案华师大版第17章分式 §com 分式的概念 教学目标 1经历实际问题的解决过程从中认识分式并能概括分式 2使学生能正确地判断一个代数式是否是分式 3能通过回忆分数的意义类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件渗透数学中的类比分类等数学思想 教学重点 探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件 教学难点 能通过回忆分数的意义探索分式的意义 教学过程 一做一做 1面积为2平方米的长方形一边长3米则它的另一边长为_____米 2面积为S平方米的长方形一边长a米则它的另一边长为________米 3一箱苹果售价p元总重m千克箱重n千克则每千克苹果的售价是___元二概括 形如 AB是整式且B中含有字母B≠0 的式子叫做分式其中A叫做分式的分

子B叫做分式的分母 整式和分式统称有理式即有理式整式分式 三例题 下列各有理式中哪些是整式哪些是分式 1 2 3 4 解属于整式的有24属于分式的有13 注意在分式中分母的值不能是零如果分母的值是零则分式没有意义例如在分式中a≠0在分式中m≠n 当取什么值时下列分式有意义 1 2 分析要使分式有意义必须且只须分母不等于零 解 1分母≠0即≠1 所以当≠1时分式有意义 2分母2≠0即≠- 所以当≠-时分式有意义 四练习 P5习题171第3题13 1．判断下列各式哪些是整式哪些是分式 9x4 2 当x取何值时下列分式有意义 1 2 3 3 当x为何值时分式的值为0

1 2 3 五小结 什么是分式什么是有理式 六作业 P5习题171第12题第3题24 七教学反思 §com 分式的基本性质 教学目标 1掌握分式的基本性质掌握分式约分方法熟练进行约分并了解最简分式的意义 2使学生理解分式通分的意义掌握分式通分的方法及步骤 教学重点 让学生知道约分通分的依据和作用学会分式约分与通分的方法 教学难点 1分子分母是多项式的分式约分 2几个分式最简公分母的确定 教学过程httpx kb1com 1分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以或除以同一个不等于零的整式分式的值不变 用式子表示是 其中M是不等于零的整式 与分数类似根据分式的基本性质可以对分式进行约分和通分

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第12章数的开方 12.1平方根与立方根（1） 知识技能目标 1.从实际问题的需要出发，引进平方根概念，体现从实际到理论、具体到抽象这样一个一般的认识过程，培养学生辩证唯物主义观点； 2.从求二次幂的平方运算引出求平方根的运算，突出平方运算和开平方运算的互逆性； 3.扣住定义去思考问题，重视解题技巧； 4.以旧引新，以新带旧，从旧知识引进新知识，讲新知识时尽可能复习一些旧知识． 教学重点与难点 通过实际问题的研究，认识平方根；正确区分平方根与算术平方根的关系；会用计算器求任意正数的算术平方根. 教学过程 一、创设情境 问题1 要剪出一块面积为25 cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？ 问题2 已知圆的面积是16πcm2，求圆的半径长． (学生探索，回答问题) 二、探究归纳 问题1解设正方形纸片的边长为x cm，依题意有：x2＝25， 求出满足x2＝25的x值，就可得正方形纸片的边长． 因52＝25，(-5)2＝25，故满足x2＝25的x的值可以是5，也可以是－5，但正方形边长只能取正值．所以x＝5． 答正方形纸片的边长为5cm． 这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于25． 问题2解设圆的半径为R cm，依题意有： πR2=16π，即R2=16， 求出满足R2＝16的R的值即可求出圆的半径． 因42＝16，(－4)2＝16，故满足R2＝16的R的值为4或－4，但圆的半径只能取正值．所以数R＝4．答圆的半径为4cm． 这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于16． 刚才具体的二个例子，从数学意义上都是要解决这样一个共同的问题：已知某数的平方，要求这个数．用式子来表示就是如果x2＝a，求x的值． 概括如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根(square root)（也叫a的二次方根）．三、实践应用 例1求100的平方根．

新版华师大版八年级下数学教案全册

新版华师大版八年级下 数学教案全册 Revised as of 23 November 2020

第十六章 分式 16．1分式 一、 教学目标 1． 了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：7 10，a s ，33 200，s v . 2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为 v +20100小时，逆流航行60千米所用时间 v -2060小时，所以v +20100= v -2060. 3. 以上的式子v +20100， v -2060，a s ，s v ，有什么共同点它们与分数有什么相同点和不同点 五、例题讲解 P5例1. 当x 为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0 （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．． 满足两个条件：○ 1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 六、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式 9x+4, x 7 , 20 9y +, 54-m , 238y y -，9 1-x 2. 当x 取何值时，下列分式有意义 （1） （2 ） （3） 1-m m 32 +-m m 112 +-m m 4522--x x x x 235-+23 +x