一元二次方程根与系数关系附答案
一元二次方程根与系数的关系(附答案) 评卷人得分 一.选择题(共6小题) 1.已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0,下列说确的是() A.方程有两个相等的实数根B.方程有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 2.关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根,则m的取值围是()A.m≥﹣1 B.m>﹣1 C.m≤﹣1 D.m<﹣1 3.关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.不能确定 4.设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根,则x12+x22的值是()A.2 B.4 C.5 D.6 5.若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根,则α+β的值为()A.﹣5 B.5 C.﹣2 D. 6.已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根,则常数c的值为() A.﹣1 B.0 C.1 D.3 评卷人得分
二.填空题(共1小题) 7.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0(a≠0)的两个不等实数根分别为p,q,且p2﹣pq+q2=18,则的值为. 评卷人得分 三.解答题(共8小题) 8.已知关于x的方程x2﹣(2k+1)x+k2+1=0. (1)若方程有两个不相等的实数根,求k的取值围; (2)若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长,且k=2,求该矩形的对角线L 的长. 9.已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0. (1)若该方程的一个根为1,求a的值; (2)求证:不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根. 10.已知关于x的一元二次方程(x﹣m)2﹣2(x﹣m)=0(m为常数).(1)求证:不论m为何值,该方程总有两个不相等的实数根; (2)若该方程一个根为3,求m的值. 11.已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0. (1)当a=﹣11时,解这个方程; (2)若这个方程有两个实数根x1,x2,求a的取值围; (3)若方程两个实数根x1,x2满足[2+x1(1﹣x1)][2+x2(1﹣x2)]=9,求a的值. 12.已知x1,x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根.
一元二次方程根的两个特性及简单运用
一元二次方程根的两个特性及简单运用 我们知道方程的解是由方程的系数(包括常数项)决定的。因此,一元二次方程的根与其系数有着密切的联系。教材中我们探索了一元二次方程的二次项系数为1的情况下的两根之和、两根之积与系数的关系。现在我们接着来探索一般形式下的一元二次方程20(0) ax bx c a ++=≠的两根之和、两根之积与系数的关系。 例1、先阅读,再填空解题: (1)方程:x2-4x-12=0 的根是:x 1=6, x 2 =-2,则x 1 +x 2 =4,x 1 ·x 2 =-12; (2)方程2x2-7x+3=0的根是:x 1= 1 2 , x 2 =3,则x 1 +x 2 = 7 2 ,x 1 ·x 2 = 3 2 ; (3)方程3x2+6x-2=0的根是:x 1= , x 2 = .则x 1 +x 2 = , x 1·x 2 = ; 根据以上(1)(2)(3)你能否猜出:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0且a、b、c为常数)的两根为x 1、x 2 ,那么x 1 +x 2 、x 1 x 2 与系数a、b、c有 什么关系?请写出来你的猜想并说明理由。 解析:方程3x2+5x-2=0的根是:x 1= 1 3 x 2 =-2。则x 1 +x 2 = 5 3 -,x1·x2= 2 3 -。 能猜出:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0且a、b、c为常数) 的两根为x 1、x 2 ,那么x 1 +x 2 a b - =、x1x2 a c =。理由如下: 根据求根公式可知,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0且a、b、c 为常数)的两根为: a ac b b x 2 4 2 1 - + - =, a ac b b x 2 4 2 2 - - - = 所以x 1+x 2 = a ac b b 2 4 2- + - + a ac b b 2 4 2- - - a b - = x 1x 2 = a ac b b 2 4 2- + - · a ac b b 2 4 2- - - a c = 也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,这个方程的两个根与系数的关系是:两根之和,等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积,等于常数项除以二次项系数所得的商.
用一元二次方程解决传播问题含答案
用一元二次方程解决传播问题 基础题 知识点1传播问题 1.某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后会有81台电脑被感染,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑,则x满足的方程是(B) A.1+x2=81 B.(1+x)2=81 C.1+x+x2=81 D.1+x+(1+x)2=81 2.(大同一中期末)有一人患了流感,经过两轮传染后共有100人患了流感,每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方程为(A) A.1+x+x(1+x)=100 B.x(1+x)=100 C.1+x+x2=100 D.x2=100 3.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干、小分支的总数是111.求每个支干长出多少个小分支? 解:设每个支干长出x个小分支,根据题意,得 1+x+x2=111. 解得x1=10,x2=-11(舍去). 答:每个支干长出10个小分支.
知识点2 握手问题 4.新年里,一个小组有若干人,若每人给小组的其他成员赠送一张贺年卡,则全组送贺卡共72张,此小组人数为(C) A .7 B .8 C .9 D .10 5.某市体育局要组织一次篮球赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排28场比赛,应邀请多少支球队参加比赛?学习以下解答过程,并完成填空. 解:设应邀请x 支球队参赛,则每队共打(x -1)场比赛,比赛总场数用代数式表示为12x(x -1). 根据题意,可列出方程12x(x -1)=28. 整理,得x 2-x -56=0. 解得x 1=8,x 2=-7. 合乎实际意义的解为x =8. 答:应邀请8支球队参赛. 6.一条直线上有n 个点,共形成了45条线段,求n 的值. 解:由题意,得12n(n -1)=45. 解得n 1=10,n 2=-9(舍去). 答:n 等于10.
一元二次方程的实根分布问题
一元二次方程的实根分布问题 问题1. 试讨论方程02 =++c bx x 的根的情况。 (1) 根的个数:b 、c 满足什么条件时,方程有两个不等的实根?相等实根?无实根? (2) 根的大小:b 、c 满足什么条件时,方程有两个正根?两个负根?一正根、一负根? 一根为0? (3) 根的范围:b 、c 满足什么条件时,方程两根都大于1?都小于1?一根小于1,一根 大于1? 说明 对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的研究,主要分为四个方面(A )有没有实数根;(B )有实数根时,两根相等还是不等;(C )根的正负;(D )根的分布范围。 利用根的判别式,可以解决(A ),(B ),结合运用韦达定理,可以解决(C )。而要解决(D ),需综合运用判别式、韦达定理及不等式的知识。 思路1 (方程思想)设c bx x x f ++=2)( (1) 方程0)(=x f 有两个大于1的实根的充要条件是: ?? ???->+-<≥-??????>-->+≥?12040)1)(1(2 022121c b b c b x x x x (2) 方程0)(=x f 有两个小于1的实根的充要条件是: ?? ???->+->≥-??????>--<+≥?12040)1)(1(2 022121c b b c b x x x x (3) 方程0)(=x f 有一根大于1,一根小于1的充要条件是.1,0)(-<++≥--???? ?????>++=≥-=?>-.104201)1(0 41222c b c b b c b f c b b (2) 方程0)(=x f 有两根都小于1的条件是:
作业用一元二次方程解决传播问题
作业用一元二次方程解 决传播问题 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
实际问题与一元二次方程 用一元二次方程解决传播问题 基础题 知识点1 传播问题 1.有一人患了流感,经过两轮传染后共有100人患了流感,那么每轮传染中平均一个人传染的人数为( ) A.8人 B.9人 C.10人 D.11人 2.鸡瘟是一种传播速度很快的传染病,一轮传染为一天时间,红发养鸡场于某日发现一例,两天后发现共有169只鸡患有这种病.若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同,则每只病鸡传染健康鸡的只数为( ) A.10只 B.11只 C.12只 D.13只 3.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干、小分支的总数是111.求每个支干长出多少个小分支. 知识点2 握手问题 4.“山野风”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书,每个同学都把自己
的图书向本组其他成员赠送一本,某组共互赠了210本图书,如果设该组共有x名同学,那么依题意,可列出的方程是( ) A.x(x+1)=210 B.x(x-1)=210 C.2x(x-1)=210 D.1 2 x(x-1)=210 5.在某次聚会上,每两人都握了一次手,所有人共握手10次,设有x人参加这次聚会,则列出方程正确的是( ) A.x(x-1)=10 B.x(x-1) 2 =10 C.x(x+1)=10 D.x(x+1) 2 =10 6.参加一次足球联赛的每两个队之间都进行两场比赛,若共要比赛110场,则共有________个队参加比赛( ) A.8 B.9 C.10 D.11 7.一条直线上有n个点,共形成了45条线段,求n的值. 知识点3 数字问题 8.两个连续偶数的和为6,积为8,则这两个连续偶数是________.
一元二次方程的根
初中数学竞赛专题选讲(初三.1) 一元二次方程的根 一 、内容提要 1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根,是由它的系数a, b, c 的值确定的. 根公式是:x=a ac b b 242-±-. (b 2-4ac ≥0) 2. 根的判别式 ① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是: b 2-4a c ≥0. ② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是: b 2-4a c 是完全平方式?方程有有理数根. ③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根?p 2-4q 是整数的平方数. 3. 设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根,那么 ① ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0,b 2-4ac ≥0), ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0, b 2-4ac ≥0); ② x 1=a ac b b 242-+-, x 2=a ac b b 242--- (a ≠0, b 2-4ac ≥0); ③ 韦达定理:x 1+x 2= a b -, x 1x 2=a c (a ≠0, b 2-4ac ≥0). 4. 方程整数根的其他条件 整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是:x 1是c 的因数. 特殊的例子有: C=0?x 1=0 , a+b+c=0?x 1=1 , a -b+c=0?x 1=-1. 二、例题 例1. 已知:a, b, c 是实数,且a=b+c+1. 求证:两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中,至少有一个方程有两个不相等的实数根. (1990年泉州市初二数学双基赛题) 证明 (用反证法) 设 两个方程都没有两个不相等的实数根, 那么△1≤0和△2≤0. 即?? ???++=≤-≤ ③ ② ①-1040412c b a c a b 由①得b ≥ 41,b+1 ≥4 5代入③,得 a -c=b+1≥45, 4c ≤4a -5 ④ ②+④:a 2-4a+5≤0, 即(a -2)2+1≤0,这是不能成立的. 既然△1≤0和△2≤0不能成立的,那么必有一个是大于0.
一元二次方程求根公式讲解学习
一元二次方程求根公 式
一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)进行配方,当b2-4ac≥0时的根为 . 该式称为一元二次方程的求根公式,用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法,简称公式法. 说明:(1)一元二次方程的公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0); (2)由求根公式可知,一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的; (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程,但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 (1)当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根; (2)当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根; (3)当b2-4ac<0时,方程没有实数根. 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点,难点是对各种方法的选择,突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上,熟悉各种方法的优缺点。
(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目,如果用“公式法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法,一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法,一般不使用,但若能恰当地使用,往往 能起到简化作用,思考于“因式分解法”之后,“公式法”之前。如方程 ;用因式分解,则6391这个数太大,不易分解;用公式法,也太繁;若 配方,则方程化为,就易解,若一次项系数中有偶因数,一般也应考虑 运用。 (4)“公式法”是一般方法,只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项,若方 程有实根,就一定可以用求根公式求出根,但因为要代入(≥0)求值,所以对某些特殊方程,解法又显得复杂了。 2、在运用b2-4ac的符号判断方程的根的情况时,应注意以下三点: (1)b2-4ac是一元二次方程的判别式,即只有确认方程为一元二次方程时,才 能确定a、b、c,求出b2-4ac; (2)在运用上述结论时,必须先将方程化为一般形式,以便确认a、b、c; (3)根的判别式是指b2-4ac,而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程: (1); (2); (3).
一元二次方程根的分布情况归纳总结
1 一元二次方程ax 2 ? bx ? c 二0 根的分布情况 2 2 设方程ax ? bx ? c = 0 a = 0的不等两根为X |,x 2且为:::x 2,相应的二次函数为 f x 二ax bx 0, 方程的根 即为二次函数图象与 x 轴的交点的横坐标(也即是函数的零点),它们的分布情况见下面各表 表一:两根与0的大小比较即根的正负情况(a>0) 表二:(两根与k 的大小比较)(a>0) 表三:(根在区间上的分布)(a>0) 两根有且仅有一根在 m, n 内 (图象有两种情况,只画了一种) 一根在 m,n 内,另一根在 p,q 内,m :: n :: p :: q . "■: 0 f m .0 f n 广0 b m … n 2a 大 致 图 象 分 布情 况 两个负根即两根都小于 0 X :: 0, x 2 :: 0 两个正根即两根都大于 0 x 1 0, x 2 0 一正根一负根即一个根小于 0, 一个大于 0 % ::: 0 ::: 大 致图 象 f 0 ::: 0 分 布情 况 两根都小于k 即 x 1 :: k, x 2 :: k 两根都大于k 即 x 1 k, x 2 k 一个根小于k ,一个大于k 即 捲::k . x 2 大 致 图 象 f k :: 0 分 布 情况 两根都在m, n 内 f m f n :: 0 f n :::0 0 . "■: 0 f k .0
函数与方程思想: (1)方程f(x°)=O有根二y=f(x)与x轴有交点x°=函数y=f(x)有零点X。 (2)若y=f(x)与y = g( x)有交点(x o , y°)= f(x)=g(x)有解x。 根的分布练习题 例1、已知二次方程2m 1 x2-2mxrm-1 = 0有一正根和一负根,求实数m的取值范围。 2 例2、已知二次函数y = m ? 2 x 7:2m - 4 x:「]3m - 3与x轴有两个交点,一个大于1,一个小于1,求实数m的取值范围。 2 例3.已知关于x的二次方程x +2m)+2n+仁0. (1) 若方程有两根,其中一根在区间(一1, 0)内,另一根在区间(1 , 2)内,求m的范围. (2) 若方程两根均在区间(0 , 1)内,求m的范围 练习: 1.关于x的一元二次方程x2 -2ax ? a ? 2 = 0,当a为何实数时: (1)有一个根大于2,另一个根小于2 (2 )在1,3内有且只有一解
一元二次方程及根的定义
一元二次方程及根的定义 1.已知关于的方程的一个根为2,求另一个根及的值. 思路点拨:从一元二次方程的解的概念入手,将根代入原方程解的值,再代回原方 程,解方程求出另一个根即可. 解:将代入原方程,得 即 解方程,得 当时,原方程都可化为 解方程,得. 所以方程的另一个根为4,或-1. 总结升华:以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题,解这类问题关键是要抓住“根”的概念,并以此为突破口. 举一反三: 【变式1】已知一元二次方程的一个根是,求代数式 的值. 思路点拨:抓住为方程的一个根这一关键,运用根的概念解题. 解:因为是方程的一个根, 所以, 故, , 所以.
. 总结升华:“方程”即是一个“等式”,在“等式”中,根据题目的需要,合理地变形,是一种对代数运算综合要求较高的能力,在这一方面注意丰富自己的经验. 类型二、一元二次方程的解法 2.用直接开平方法解下列方程: (1)3-27x2=0;(2)4(1-x)2-9=0. 解:(1)27x2=3 . (2)4(1-x)2=9 3.用配方法解下列方程: (1);(2). 解:(1)由, 得, , ,
所以, 故. (2)由, 得, , , 所以 故 4.用公式法解下列方程: (1);(2);(3). 解:(1)这里 并且 所以, 所以,. (2)将原方程变形为, 则 , 所以, 所以. (3)将原方程展开并整理得,
这里, 并且, 所以. 所以. 总结升华:公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点,要求熟练掌握,它对我们的运算能力有较高要求,也是提高我们运算能力训练的好素材. 5.用因式分解法解下列方程: (1);(2); (3). 解:(1)将原方程变形为, 提取公因式,得, 因为,所以 所以或, 故 (2)直接提取公因式,得 所以或,(即 故. (3)直接用平方差公式因式分解得 即 所以或 故.
初中数学一元二次方程的实根分布
第六讲 一元二次方程的实根分布 22.注意:(1)利用相应二次函数图象与x 轴交点位置写出相应的等价条件,一般考虑一下三个方面:①判别式Δ=b 2-4ac 的符号;②对称轴x =- b 2a 的位置分布;③二次函数在实根分布界点处函数值的符号.(2)对于一元二次方程根和解是有区别的.
一、一点同侧两根 【例1】若关于x的方程x2-(k+2)x+4=0有两个不等的负根,求实数k的取值范围. 【练】若关于x的方程x2+(m+2)x+m+5=0有两个正数根,求实数m的取值范围.【例2】若关于x的方程kx2-2kx+(k-1)=0有两个正实数根,求实数k的取值范围.【练】若关于x的方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0有两个负实根,求实数k的取值范围.【例3】若关于x的方程x2-mx+(3+m)=0有两个大于1的根,求实数m的取值范围. 【练】若关于x的方程mx2+(2m-1)x-m+2=0有两个小于1的根,求实数m的取值范围. 二、一点异侧两根 【例4】若关于x的方程4x2+(m-2)x+m-5=0的一正根和一负根,求实数m的取值范围. 【练】若关于x的方程(2m+1)x2-2mx+m-1=0有一正根和一个负根,求实数m的取值范围. 【例5】若关于x的方程mx2+(m+2)x+9m=0有两个实数根x1和x2,且x1<1<x2,求m的取值范围.
【练】若关于x的二次方程2mx2-2x-3m-2=0的一个根大于1,另一个根小于1,求实数m的取值范围. 三、一点一侧有根 【例6】若关于x的方程x2-ax+4=0有正实根,则实数a的取值范围是 【练】若方程x2+x+a=0至少有一根为非负实数,求实数a的取值范围. 【例7】若关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根,求实数a的取值范围. 【练】若关于x的一元二次方程mx2+(m-3)x+1=0至少有一个正根,求m的取值范围. 四、两点中间两根 【例8】若关于x的方程x2-ax+2=0在区间(0,3)内有两个根,求实数a的取值范围. 【练】若关于x的方程x2-2ax+a2-1=0的两个不等根在区间(-2,4)上,求实数a 的取值范围.
一元二次方程根的分布情况归纳总结
一元二次方程 02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <,相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=, 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点的横坐标(也即是函数的零点),它们的分布情况见下面各表 表一:两根与0的大小比较即根的正负情况(a>0) 分布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0,一个大于0()120x x << 大致图象 结 论 ()0 0200 b a f ?>??? -?>?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00>21, 一个根小于k ,一个大于k 即 21x k x << 大致图象 结 论 ()020 b k a f k ?>???-?>?? ()0 20 b k a f k ?>???->??>?? ()0??>?? >???<-? ()()0? ? ?>? k k k