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2012东北三省三校联理科数学答案

一.选择题

(1)A (2)D (3)C (4)A (5)D (6)B

(7)C (8)D (9)A (10)A (11)D (12)D 二.填空题

(13)

3

16 (14

)4+ (15

))+∞ (16)

2

23

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三.解答题 (17)解:

(Ⅰ)由变换得??

?

??

+

=62sin 2)(πx x f . ……3分 所以ππ==

2

2T ;

由Z k k x ∈+

=+

,2

6

2πππ,得对称轴为Z k k x ∈+

=

,6

2ππ. ……6分

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(Ⅱ)由2)(=C f 得1)6

2sin(=+

π

C ,又),0(π∈C ,可得6

π=

C . ……8分

在ABC ?中,根据余弦定理,有

6

cos 21222πab b a c -+==,即72

2=+b a , ……10分

联立32=ab ,及b a >,可得 3,2==b a . ……12分

(18)解:

(Ⅰ)依题意及频率分布直方图知,居民月收入在[1500,2000)的概率约为

0.00045000.2?=. ……2分

(Ⅱ)频率分布直方图知,中位数在[2000,2500),设中位数为x ,则

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0.00025000.00045000.0005(2000)0.5x ?+?+?-=,

解得2400x =. ……6分

(Ⅲ)居民月收入在[2500,3500)的概率为(0.00050.0003)5000.4+?=. 由题意知,X ~(3,0.4)B , ……8分

因此033(0)0.60.216P X C ==?=,12

3(1)0.60.40.432P X C ==??=,

223(2)0.60.40.288P X C ==??=,33

3(3)0.40.064P X C ==?=,

故随机变量X 的分布列为

X 的数学期望为()00.21610.43220.28830.064 1.2E X =?+?+?+?=.……12分

(19)解:

(Ⅰ),60AD AE D AE D AE =∠=∴ △为等边三角形,设1AD =,则

1,2,90D E C E C D D EC ==

=∴∠=

, 即C E D E ⊥. ……3分

D D '⊥底面A B C D , C

E ?平面A B C D , '

CE DD ∴⊥.

'

'

'

'

C E

D E

C E

D D

E C E D D C E D

F D F D D E D E D D D ⊥??⊥??⊥??⊥??????=?

平面平面 . ……6分 (Ⅱ)取A E 中点H

,则1

2

AD AE

AB

==,又60DAE

∠=

,所以△D AE 为等边三角形.

则D H AB ⊥,D H C D ⊥.

分别以'D H D C D D 、、所在直线为x y z 、、轴建立空间直角坐标系,设1AD =,

则1113(0,0,0),,0),(,,0),'(0,0,3),,),(0,2,0)2222442

D E A D F C -,

133

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(,),(0,1,0),,0)442

EF AE C E =-

-==-

.

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设平面AEF 的法向量为1(,,)n x y z =

, 则13

04420x y z y ?-

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-+=???=?

取10,1)n =

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. ……8分 平面C E F 的法向量为2(,,)n x y z =

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则1304423022

x y z x y ?--+=??-=?

取23,2)n =

. ……10分

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13

13040

1320,cos 21=

?

=

>=

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所以二面角A E F C --的余弦值为13

-. ……12分

(20)解:

(Ⅰ)依题意知4

521=

+

p ,解得2

1=

p .

所以曲线C 的方程为y x =2

. ……4分 (Ⅱ)由题意直线PQ 的方程为:1)1(+-=x k y ,则点M )0,11(k -

联立方程组???=+-=2

1

)1(x

y x k y ,消去y 得012=-+-k kx x 得))1(,1(2--k k Q . ……6分

所以得直线QN 的方程为)1(1)1(2+--=--k x k

k y .

代入曲线2x y =,得0)1(1112

2

=--+

-+

k k

x k x .

解得))11(,11(2

k

k k k

N ----

. ……8分

所以直线MN 的斜率k

k

k k

k k

k

k k MN 2

2

)

11()

11()11()

11(-

--=-

---

-

-=

. ……10分

过点N 的切线的斜率'

12(1)k k k =--

.

由题意有k k k 2

)

11(-

--

)11(2k

k -

-=.

解得2

5

-=

k .

故存在实数2

5

-=

k 使命题成立. ……12分

(21)解:

(Ⅰ)1=a ,x x

x x f ln 11)(-+=

,定义域为),1()1,0(+∞ .

2

2

2

)

1(1ln 2)1(1)

1(ln 2)(x x

x x x

x x x x x f --+=

-++

-=

'. ……2分

y

设x

x x x g 2

1ln 2)(-+

=,则2

2

)

1()(x

x x g --=

'.

因为0>x ,0)(≤'x g ,所以)(x g 在),0(+∞上是减函数,又0)1(=g ,于是

)1,0(∈x ,0)(>x g ,0)(>'x f ;),1(+∞∈x ,0)(

所以)(x f 的增区间为)1,0(,减区间为),1(+∞. ……6分 (Ⅱ)由已知0≠a ,因为)1,0(∈x ,所以

0ln 11<-+x x

x .

(1)当0x f .不合题意. ……8分 (2)当0>a 时,)1,0(∈x ,由2)(-

x

x a x .

设x

x a x x h +-+=1)1(2ln )(,则)1,0(∈x ,0)(

2

)

1(1

)42()(x x x a x x h ++-+=

'.

设1)42()(2+-+=x a x x m ,方程0)(=x m 的判别式)1(16-=?a a . 若]1,0(∈a ,0≤?,0)(≥x m ,0)(≥'x h ,)(x h 在)1,0(上是增函数,

又0)1(=h ,所以)1,0(∈x ,0)(?,01)0(>=m ,0)1(4)1(<-=a m ,所以存在)1,0(0∈x ,使得

0)(0=x m ,对任意)1,(0x x ∈,0)(

0)1(=h ,所以)1,(0x x ∈,0)(>x h .不合题意.

综上,实数a 的取值范围是]1,0(. ……12分

(22)解:

(Ⅰ)∵AB 是⊙O 的一条切线,

∴AE AD AB ?=2.又∵AB AC =,∴AE AD AC ?=2

…… 5分

(Ⅱ)∵AE AD AC

?=2

,∴

AC

AE AD

AC =

,又∵CAE DAC ∠=∠,

∴C A D ?∽E A C ? ∴AEC ACD ∠=∠.

又∵四边形DEGF 是⊙O 的内接四边形, ∴AEC CFG ∠=∠ ∴CFG ACD ∠=∠

∴AC FG //. …… 10分

(23)解:

(Ⅰ)圆的标准方程为2216x y +=.

直线l 的参数方程为2cos 3

2sin

3x t y t ππ?

=+????=+??

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,即12222x t y ?=+????=+??(t 为参数) …… 5分

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(Ⅱ)把直线的方程12222

x t y ?=+????=+??代入22

16x y +=,

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得2

21(2)(2)162

2

t +

++

=

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,2

1)80t t +-=,

所以128t t =-,即=8PA PB ?. …… 10分

(24)解:

(Ⅰ)14()

21()21332

(3)2

4(3x x f x x x x x x x ?

--<-???

=+--=--≤≤??

+>???

……3分

不等式()4f x ≥等价于:

1244x x ?<-??

?--≥?或1

32324

x x ?-≤≤???-≥?

或3

44x x >??+≥? 解得:8x ≤-或2x ≥

∴不等式的解集为{|8x x ≤-或}2x ≥. ……6分

(Ⅱ)根据函数的单调性可知函数()y f x =的最小值在12

x =-处取得,

此时m in 7()2

f x =-. …… 10分