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§3.1.5 空间向量运算的坐标表示

编号NO.6 武安市第十中学高二数学（人教版）选修修2—1 第三章3.1.5节班级：姓名：

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制作人：王伟审核人：王伟

1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；

2. 会用这些公式解决有关问题. 9597

复习1：设在平面直角坐标系中，A (1,3)，B (1,2)-，则线段︱AB ︱＝ .

复习2：已知()()3,2,5,1,5,1a b =-=-

，求：

⑴a ＋B. ⑵3a －b ； ⑶6A. ； ⑷a ·b .

二、新课导学 ※ 学习探究

探究任务一：空间向量坐标表示夹角和距离公式

问题：在空间直角坐标系中，如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角？新知：

1. 向量的模：设a ＝123(,,)a a a ，则｜a ｜＝

2. 两个向量的夹角公式：

设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，

由向量数量积定义： a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞，

又由向量数量积坐标运算公式：a ·b ＝，由此可以得出：cos ＜a ,b ＞＝

试试：

① 当cos ＜a 、b ＞＝1时，a 与b 所成角是； ② 当cos ＜a 、b ＞＝－1时，a 与b 所成角是； ③ 当cos ＜a 、b ＞＝0时，a 与b 所成角是，即a 与b 的位置关系是，用符合表示为 .

反思：

设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则

⑴ a //B. ? a 与b 所成角是 ? a 与b 的坐标关系为

； ⑵ a ⊥b ?a 与b 的坐标关系为；

在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则线段AB 的长度为：

AB .

4. 线段中点的坐标公式：

在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则线段AB 的中点坐标为: .

※ 典型例题

例1. 如图,在正方体1111ABCD A B C D -中，点11,E F 分别是1111,A B C D 的一个四等分点，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值．

变式：如上图,在正方体1111ABCD A B C D -中，1111113

A B

B E D F ==，求1BE 与1DF 所成角的余弦值．

例2. 如图，正方体1111

ABCD A B C D -中，点E,F 分别是111,BB D B 的中点，求证：1EF DA ⊥.

1111ABCD A B C D -中，点M 是AB 的中点，求变式：如图，正方体

DB与CM所成角的余弦值.

小结：求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在合适的直角坐标系中找出两个向量的坐标，然后再用公式计算.

※动手试试

练1. 已知A(3,3,1)、B(1，0，5)，求：

⑴线段AB的中点坐标和长度；

⑵到A、B两点距离相等的点(,,)

P x y z的坐标x、y、z满足的条件．

练2. 如图，正方体的棱长为2，试建立适当的空间直角坐标系，写出正方体各顶点的坐标，并和你的同学交流.

三、总结提升

※学习小结

1. 空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；

2. 解决立体几何中有关向量问题的关键是如何建立合适的空间直角坐标系，写出向量的坐标，然

后再代入公式进行计算.

※知识拓展

在平面内取正交基底建立坐标系后，坐标平面内的任意一个向量，都可以用二元有序实数对表示，平面向量又称二维向量.空间向量可用三元有序实数组表示，空间向量又称三维向量.二维向量和三维向量统称为几何向量.

※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：

1. 若a＝

123

(,,)

a a a，b＝

123

(,,)

b b b，则3

123

a a

b b b

==是//

a b

的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不不要条件

2. 已知()()

2,1,3,4,2,

a b x

=-=-

，且a b

⊥

，

则x＝.

3. 已知()()

1,0,0,0,1,1

A B-,OA OB

与OB

的夹角为120°，则λ的值为（）

4. 若()()2

,2,0,3,2,

a x

b x x

==-

，且,a b

的夹角为钝角，则x的取值范围是（）

A. 4

x<- B. 40

-<<

C. 04

<< D. 4

5. 已知()()

1,2,,,1,2

a y

b x

=-=

，且

(2)//(2)

a b a b

，则（）

x y

== B.

x y

==-

x y

==- D. 1,1

x y

==-

1.如图，正方体''''

ABCD A B C D

-棱长为a，

⑴求''

A B B C的夹角；⑵求证：''

A B AC

⊥.

2. 如图，正方体

1111

ABCD A B C D

-中，点M,N分别为棱

A A

B B的中点，求CM和

D N所成角的余弦值.

《空间向量运算的坐标表示》说课稿

《空间向量运算的坐标表示》——说课稿各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，我将从教材分析、教学目标、学生情况、教法学法分析、教学过程、教学效果及反思六个方面来介绍：一、教材分析（一）地位和作用本节课内容选自人教数学选修2-1第三章，这节课是在学生学习了空间向量几何形式及其运算、空间向量基本定理的基础上进一步学习的知识内容，是在学生已经学过的二维的平面直角坐标系的基础上的推广，是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，是以后学习“立体几何中的向量方法”等内容的基础。它将数与形紧密地结合起来。这节课学完后，如把几何体放入空间直角坐标系中来研究，几何体上的点就有了坐标表示，一些题目如两点间距离、异面直线成的角等就可借助于空间向量来解答，所以，这节课对于沟通高中各部分知识，完善学生的认知结构，起到了很重要的作用。（二）目标的确定及分析根据新课标和我对教材的理解，结合学生实际水平，从知识与技能；过程和方法；情感态度价值观三个层面出发，我将本课的目标定位以下三个：（1）知识与技能：通过与平面向量类比学习并掌握空间向量加法、减法、数乘、数量积运算的坐标表示以及向量的长度、夹角公式的坐标表示，并能初步应用这些知识解决简单的立体几何问题。（2）过程与方法：①通过将空间向量运算与熟悉的平面向量的运算进行类比，使学生掌握空间向量运算的坐标表示，渗透类比的数学方法；②会用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题，体会向量方法在研究空间图形中的作用，培养学生的空间想象能力和几何直观能力。（3）情感态度价值观：通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动，培养学生主人翁意识、集体主义精神。（三）重难点的确定及分析本节课的重点是：空间向量运算的坐标表示，应用向量法求两条异面直线所

空间向量的坐标运算练习

空间向量的坐标运算练习 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

空间向量的坐标运算——1 1、已知向量b ,a 分别平行于x 、y 轴，则它们的坐标各有什么特点答：a 的__________________________； b 的________________________________ 2、如果的横坐标为0，其它坐标都不为0，则与哪个坐标平面平行答：_________ 4、点P(2,-3,4)在xoy 面上的射影坐标是___________;在xoz 面上的射影坐标是 ___________; 在yoz 面上的射影坐标是___________ 5、点Q （－3，2，5）关于原点对称的点的坐标是___________；关于xoz 面对称的点的坐标是__________________ 6、已知A （3，4，5），B （0，2，1），若 AB 5 2OC =，则C 点的坐标是______________ 7、写出与原点距离等于3的点所满足的条件________________________________ 8、已知A(2，0，0)，B(6，2，2)，C(4，0， 2) A ：2 D 3C 4B 6ππππ ：：： 9、如图，ABC-A 1B 1C 1是正三棱柱（即底面是正三角形，沿着垂直于底面的向量平移所得到的轨迹），若AB ＝2，AA 1＝4，R 是BB 1的中点，取AB 的中点为原点建立坐标系如图，写出下列向量的坐标： ______________= ______________=______________=A A'

空间向量的坐标运算(人教A版)(含答案)

空间向量的坐标运算（人教A版）一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知点的坐标分别为与，则向量的相反向量的坐标是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示 2.已知空间直角坐标系中且，则点的坐标为( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示 3.若向量，，则向量的坐标是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示 4.已知向量，，则=( ) A. B. C. D. 答案：C

解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示 5.已知向量是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下的坐标为，那么向量在基底下的坐标为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量的基本定理及其意义 6.已知为空间的一组单位正交基底，而是空间的另一组

基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量的基本定理及其意义 7.已知三点不共线，点为平面外的一点，则下列条件中，能使得平面成立的是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：共线向量与共面向量 8.已知，，，若，，三向量共面，则实数=( ) A. B.

C. D. 答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：共线向量与共面向量 9.已知空间三点的坐标为，，，若三点共线，则=( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：

空间向量的坐标运算

空间向量的坐标运算第一课时空间直角坐标系教学目标：㈠知识目标： ⒈空间直角坐标系； ⒉空间向量的坐标表示； ⒊空间向量的坐标运算； ⒋平行向量、垂直向量坐标之间的关系； 5.中点公式。㈡能力目标： ⒈掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标； ⒉掌握空间向量坐标运算的规律； 3.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直； 4.会用中点坐标公式解决有关问题。教学重点：空间右手直角坐标系，向量的坐标运算教学难点：向量坐标的确定教学方法：讨论法．教具准备：多媒体投影．教学过程：复习回顾空间向量基本定理探索研究 1、空间右手直角坐标系的概念 ⑴单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k}表示。 ⑵空间直角坐标系O－xyz 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，以点O 为原点，分别以i、j、k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个直角坐标系O－xyz，点O叫做原点，向量i,j,k叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz平面，zOx平面。 ⑶空间直角坐标系的画法作空间直角坐标系O－xyz 时，一般使∠xOy＝135°(或45°),∠yOz＝90°。注：在空间直角坐标系O－xyz中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指能指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。 ⑷空间向量的坐标表示给定一空间直角坐标系和向

向量的直角坐标运算设a=(a 1,a 2,a 3),b=(b 1,b 2,b 3)，则a+b=(a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3) a －b=(a 1－ b 1,a 2－b 2,a 3－b 3)λa=(λa 1,λa 2,λa 3) a ?b=a 1 b 1+a 2b 2+a 2b 2 a//b a 1=λb 1,a 2=λb 2,a 3=λb 3(λ∈R)a ⊥b a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0设A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2)，则 AB ＝OB －OA ＝(x 2－x 1,y 2－y 1,z 2－z 1)　量a ，且设i,j,k 为坐标向量（如图），由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a 1,a 2,a 3）叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标，可简记作a ＝（a 1,a 2,a 3）。在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任一点A ，对应一个向量OA ，若 ,k z j y i x OA ++=则有序数组(x,y,z)叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记为A(x,y,z)，其中x 叫做A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。 ⑸空间任一点P 的坐标的确定过P 分别作三个与坐标平面平行的平面（或垂面），分别交坐标轴于A 、B 、C 三点，|x|=|OA|,|y|=|OB|,|z|=|OC|,当OA 与i 方向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理可确定y 、z （如图）例1已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E 、F 分别是BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标。分析：要求点E 的坐标，过点E 与x 轴、y 轴垂直的平面已存在，只要过E 作平面垂直于z 轴交E ‘ 点，此时|x|＝|,|DA |y|＝|,|DC |z|＝||'DE ，当DA 的方向与x 轴正向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理确定y 、z 的符号，这样可求得点E 的坐标。解：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)， A 1(2,0,2)， B 1(2,2,2)， C 1(0,2,2)，, D 1(0,0,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0) 2、向量的直角坐标运算注：3 32 21 1i 321321b a b a b a b //a 1,2,3),0(i b ),b ,b ,(b b ),a ,a ,(a a = = ? =≠==则若

空间向量的基本运算

第六节空间向量 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有和的量叫做向量。 2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3. 共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线或，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a ＝。 4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是的。（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y ，使。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使。若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使zk yi xi OA ++=，有序实数组 (,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作

空间向量运算的坐标公式

空间向量运算的坐标公式如果三个向量不共面那么对空间任一向量存在一个唯一的有序实数组x、y、z使得cbapczbyaxpcba叫做空间的一个 ______基底空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底一、空间直角坐标系单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直且长都为1则这个基底叫做单位正交基底常用i j k 来表示.点O叫做原点向量i、j、k都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。分别称为xOy平面yOz平面xOz平面.空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底i、j、k 。以点O为原点分别以i、j、k的正方向建立三条数轴x轴、y轴、z轴它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O--xyzOxyzijk二、向量的直角坐标aaaa 1 2 3给定一个空间坐标系和向量且设i、j、k为坐标向量由空间向量基本定理存在唯一的有序实数组1 2 3使1i 2j 3k 有序数组1 2 3叫做在空间直角坐标系 O--xyz中的坐标记作.aaaaaaaaaaaaxyzOAa1a2a3ijka在空间直角坐标系O--xyz中对空间任一点A对应一个向量OA于是存在唯一的有序实数组xyz使OAxiyjzk在单位正交基底i j k 中与向量OA对应的有序实数组xyz叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标记作Axyz其中x叫做点A的横坐标y叫做点A的纵坐标z叫做点A的竖坐标.xyzOAxyzijka三、向量的直角坐标运算.111222axyzbxyz设则 121212abxxyyzz111axyzR121212abxxyyzz121212abxxyyzz例

空间向量及其运算的坐标表示

1.3 空间向量及其运算的坐标表示【学习目标】 1.空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立，O叫做，i，j，k都叫做。对于空间任意一个向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝x e1＋y e2＋z e3，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作。 2.空间向量的坐标运算空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 3. 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

夹角 cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b | cos 〈a ，b 〉＝ a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 a 21＋a 22＋a 2 3 b 21＋b 22＋b 2 3 1．已知i ，j ，k 分别是空间直角坐标系Oxyz 中x 轴，y 轴，z 轴的正方向上的单位向量，且AB → ＝－i ＋j －k ，则点B 的坐标是( ) A ．(－1,1，－1) B ．(－i ，j ，－k ) C ．(1，－1，－1) D ．不确定 2、判断对错。 (1)空间直角坐标系中，向量AB → 的坐标与终点B 的坐标相同．( ) (2)设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)且b ≠0，则a ∥b ∥x 1x 2 ＝y 1y 2 ＝z 1 z 2 .( ) (3)四边形ABCD 是平行四边形，则向量AB →与DC → 的坐标相同．( ) (4)设A (0,1，－1)，O 为坐标原点，则OA → ＝(0,1，－1)．( ) 【经典例题】题型一空间直角坐标系注意：建系时要充分利用图形的线面垂直关系，选择合适的基底，在写向量的坐标时，考虑图形的性质，充分利用向量的线性运算，将向量用基底表示．例1已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1，建立适当坐标系，求向量MN → 的坐标．

空间向量及其坐标运算练习题

空间向量及其坐标运算一．选择题 1.若a =（2x ，1，3），b =（1，－2y ，9），如果a 与b 为共线向量，则 A.x =1，y =1 B.x = 21，y =－21 C.x =61，y =－23 D.x =－61，y =2 3 2.在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列叙述中正确的个数是 ①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面对称点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3（x ，－y ，z ） ④点P 关于原点对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，－z ） A.0 B.1 C.2 D.3 3.已知向量a =（1，1，0），b =（－1，0，2），且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 值是 A.1 B.51 C.53 D.5 7 4.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG = x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为 A.（ 41，41，41） B.（43，43，43） C.（31，31，31） D.（32，32，32 ） 5.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成的角为的余弦值 A D B C B C D 1 1 1 1 M N A. 2 3 B. 10 10 C. 5 3 D. 5 2 二．填空题 6.已知空间三点A （1，1，1）、B （－1，0，4）、C （2，－2，3），则AB 与CA 的夹角 θ的大小是_________. 7.已知点A （1，2，1）、B （－1，3，4）、D （1，1，1），若AP =2PB ，则|PD |的值是__________. 8.命题：①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；②向量a 、b 、c 共面，则它们所在的直线也共面；③若a 与b 共线，则存在唯一的实数λ，使b =λa ；④若A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM = 31OA + 31OB + 3 1 OC ，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 内部. 上述命题中的真命题是_____________.

空间直角坐标系及空间向量的坐标表示

选修2—1 第三章空间向量与立体几何 §3.1.4 空间向量的坐标表示总第(4)教案（理科使用） ● 教学目的： 1、掌握空间直角坐标系的概念，会确定简单几何体的顶点坐标； 2、掌握空间向量坐标运算规律； 3、会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直； 4、会用中点坐标公式解决有关问题● 教学重点：空间直角坐标系，向量坐标运算● 教学难点：空间向量的坐标的确定及运算教学过程：一、复习引入：空间直角坐标系：（1）若空间一个基底的三个基向量互相垂直，长为1，这个基底叫单位正交基底，用{} k j i ,,表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{} k j i ,,，以点O 为原点，分别以k j i ,,的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、 y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系 O xyz -，点O 叫原点，向量 i ,都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面， yOz 平面，zOx 平面；（这里建立的坐标系都是右手直角坐标系） 2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使z y x ++= ，有序实数组 (,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作 (,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标． 3．空间向量的直角坐标运算：(类比平面向量的坐标运算) （1）若),,(321a a a a =，),,(321b b b b =，则 ),,(332211b a b a b a +++=+ ),,(332211b a b a b a ---=-， ))((321R a a a ∈=λλλλλ，，， 332211b a b a b a ++=?， ‖? 332211,,b a b a b a λλλ===（R ∈λ） 0332211=++?⊥b a b a b a 模长||3 22212a a a ++= （2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则 ),,(122212z z y y x x AB ---=．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 |AB|=2 12212212)()()(z z y y x x -+-+-

空间向量的坐标表示及其运算

空间向量的坐标表示及其运算 1. 已知()2,1,3=，()3,2,1-B ，则A 的坐标是 . 2. 已知()()m b a ,4,2,2,2,1-=-= ，若b a //，则实数=m . 3. 在空间直角坐标系中，已知点A （1，0，2），B(1，－3，1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是______ . 4. 若()1,1,1A ，()4,0,1-B ，()3,2,2-C ，则以AC AB ,为邻边的平行四边形的面积为 . 5. 若A(3cos α，3sin α，1)，B(2cos α，2sin α，1)，则|AB → |的取值范围是 . 6. 若()()222111,,,,,z y x A z y x A ，且P 为AB 中点，则P 的坐标为 . 7. 在长方体1111D C B A ABCD -中，3,4,51===AA BC AB ，如图，建立空间直角坐标系，写出11,,CB B A AC 及D B 1. 8. 已知()()1,2,3,3,6,4--B A ，且3 2 -=，求点P 的坐标。 9. 已知()()5,3,2,1,5,1-==b a ，（1）当()() b a b a 3//-+λ，求实数λ的值；（2）当()() b a b a 3/-⊥+λ，求实数λ的值 y

10. 已知空间三点()2,0,2-A ，()()4,0,3,2,1,1--C B ，求：（1）BAC ∠；（2）若向量k k +与向量k 2-垂直，求实数k 值。 11. 已知()3,2,1=，()2,1,2=，()2,1,1=，点S 在直线OP 上，求?的最小值，并指出此时S 的坐标。 12. 在棱长为a 的正四面体ABCD 中，建立恰当的坐标系，（1）求D C B A ,,,的坐标；（2）求AB BC ? +AC BD ? 的值。 C P A

《空间向量运算的坐标表示》示范教案

3．1.5空间向量运算的坐标表示整体设计教材分析空间向量的坐标运算是在学生学习了空间向量的几何形式及其运算、空间向量基本定理的基础上进一步学习的知识，是平面向量坐标运算及其研究方法在空间的推广和拓展，沟通了代数与几何的关系，丰富了学生的认知结构，为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点和新的方法，给学生的思维开发提供了更加广阔的空间．为运用向量坐标运算解决立体几何问题奠定了知识和方法基础．学生已掌握了平面向量坐标运算及其规律，并学会了空间向量的几何形式及其运算；数学基础较为扎实，学习上具备了一定的观察、分析、解决问题的能力，但在探究问题的内部联系和内在发展上还有所欠缺．所以通过教师的引导，学生的自主探索，不断地完善自我的认知结构．课时分配 1课时教学目标知识与技能 1．掌握空间向量的坐标运算规律； 2．掌握空间向量平行与垂直的坐标表示； 3．掌握空间向量的夹角与向量长度的坐标计算公式．过程与方法 1．经历向量运算的坐标表示由平面到空间的类比过程，进一步熟悉类比、由一般到特殊的思维方法； 2．通过空间向量坐标运算规律的探索，发展学生的空间想象能力、探究能力，进一步熟悉由直觉猜想到推理论证的思维方法，提高学生的科学思维素养．情感、态度和价值观通过教师的引导、学生的探究，激发学生的求知欲望和学习兴趣，使学生经历数学思维全过程，品尝到成功的喜悦．重点难点教学重点： 1．空间向量的坐标运算； 2．空间向量的夹角公式、距离公式的坐标表示； 3．空间向量平行和垂直的条件的坐标表示．教学难点： 1．向量坐标的确定； 2．空间向量的夹角公式、距离公式和平行、垂直条件的应用．教学过程引入新课提出问题：在正方体的两个面内任取两点，如何求出这两点间的距离？请同学们积极思考并说出求解方案．

人教版高中数学选修2-1教案学案：3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

3. 1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学目标 1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。 2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。重、难点 1．空间向量的坐标表示及坐标运算法则。 2．坐标判断两个空间向量平行。教学过程 1．情景创设：平面向量可用坐标表示，空间向量能用空间直角坐标表示吗？ 2．建构数学：如图：在空间直角坐标系O xyz -中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量,,i j k 作为基向量，对于空间任一向量a ，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使a xi y j zk =++；有序实数组（x ，y ，z ）叫做向量a 的空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作a ＝（x ，y ，z ）。在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任意一点A （x ，y ，z ），向量OA 是确定的，容易得到 OA =xi y j zk ++。因此，向量OA 的坐标为OA =（x ，y ，z ）。这就是说，当空间向量a 的起点移至坐标原点时，其终点的坐标就是向量a 的坐标。类似于平面向量的坐标运算，我们可以得到空间向量坐标运算的法则。设a ＝（123,,a a a ），b ＝（123,,b b b ），则 a + b ＝（112233,,a b a b a b +++）， a － b ＝（112233,,a b a b a b ---）， λa ＝（123,,a a a λλλ）λ∈R 。空间向量平行的坐标表示为 a ∥ b （a ≠0）112233,,()b a b a b a λλλλ?===∈R 。例题分析：例1：已知a ＝（1，－3，8），b ＝（3，10，－4），求a +b ，a －b ，3a 。例2：已知空间四点A （－2，3，1），B （2，－5，3），C （10，0，10）和D （8，4， 9），求证：四边形ABCD 是梯形。

3.1.4空间向量的坐标表示

3.1.4空间向量的坐标表示编写：审核：行政审查：【教学目标】 1、用坐标表示空间向量，掌握空间向量坐标运算；根据向量坐标判断两个空间向量平行． 2、让学生经历推广的过程，注意维数增加所带来的影响，掌握向量的坐标运算． 3、培养学生的空间想象能力．【教学重点】能正确判断两向量平行及解决有关综合问题．【教学难点】根据向量坐标判断两个空间向量平行．【教学过程】一、引入： 1．空间向量的坐标表示：空间直角坐标系O —xyz 中，i ，j ，k 分别为x ，y ，z 轴方向上的______________，对于空间任一个向量a ，若有a ＝x i ＋y j ＋z k ，则有序数组__________叫向量a 在空间直角坐标系中的坐标．特别地，若A (x ，y ，z )，则向量OA →的坐标为__________． 2．坐标运算：设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ＋b ＝________________________； a － b ＝________________________；λa ＝________________________； (λ∈R )． a ∥ b (a ≠0)?__________，__________，__________ (λ∈R )．二、新授内容：例1．已知)4,10,3(),8,3,1(-=-=b a ，求3,,-+．例2．已知空间四点A (－2，3，1)，B (2，－5，3)，C (10，0，10)和D (8，4，9)．求证：四边形ABCD 是梯形．

【变式拓展】1.设a ＝(2,3,0)，b ＝(－3，－2,1)，计算2a ＋3b,5a －6b ，并确定λ，μ的值，使λa ＋μb 与向量b 平行． 2.如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2P A 1，点S 在棱BB 1上，且SB 1＝2BS ，点Q 、R 分别是棱O 1B 1、AE 的中点．求证：PQ ∥RS . 例3．已知A (－2，0，6)、B (3，1，12)、C (0，－3，7)、D (5，－2，13)，求证：A 、B 、C 、D 四点共面．三、课堂反馈： 1．已知在△ABC 中，A(2，-5,3)，AB →＝(4，1，2)，BC →＝(3，－2，5)，则C 点坐标为__________． 2．已知向量a ，b 满足2a ＋b ＝(－1，－4，3)，a －2b ＝(2，4，－5)，则a ＝__________，b ＝__________． 3．已知点A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,2)，若DB ∥AC ，DC ∥AB ，求点D 的坐标． 4．已知四边形ABCD 的顶点坐标分别是A (3，－1,2)，B (1,2，－1)，C (－1,1，－3)，D (3，－5,3)，求证：四边形ABCD 是一个梯形．