“等时圆”模型的基本规律及应用

“等时圆”模型的基本规律及应用

（此文章已发表于《考试》杂志）

前段时间在网上发了一个帖子“等时圆规律有哪些应用”，居然有同志认为是“等势圆”吧。而在物理教学中，借助各种模型，把抽象问题具体化，把复杂问题简单化，能使得物理问题便于理解和接受。基于此我对“等时圆”规律和应用阐述如下：

一、何谓“等时圆”

如图1所示，ad 、bd 、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a 、b 、c 、d 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a 、b 、c 处释放（初速为0），用t 1、t 2、t 3依次表示各滑环到达d 所用的时间，则（ ）

A.t 1

B.t 1>t 2>t 3

C.t 3>t 1>t 2

D.t 1=t 2=t 3

解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图所示，

设圆半径为R ，由牛顿第二定律得，

ma mg =θcos ①

再由几何关系，细杆长度θcos 2R L = ② 设下滑时间为t ，则22

1at L = ③ 由以上三式得，g

R t 2= 可见下滑时间与细杆倾角无关，所以D 正确。由此题我们可以得出一个结论。

结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达

圆周最低点的时间相等。

推论：若将图1倒置成图2的形式，同样可以证明物体从最高点由

静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。

象这样的竖直圆我们简称为“等时圆”。关于它在解题中的应用，我们看下面的例子：

二、“等时圆”的应用 1、 可直接观察出的“等时圆”

例1：如图3，通过空间任一点A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体

从点A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（ ） A.球面 B.抛物面 C.水平面 D.无法确定

解析：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以A 正确。 例2：如图4，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平面相切于M 点，与竖直墙相切于点A ，竖直墙上另一点B 与M 的连线和水平面的夹角为600，C 是圆环轨道的圆心，D 是圆环上与M 靠得很近的一点（DM 远小于CM ）。已知在同一时刻：a 、b 两球分别由

A 、

B 两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M 点；c 球由

C 点自由下落到M 点；d 球从

D 点静止出发沿圆环运动到M 点。则：（ ）

A 、a 球最先到达M 点

B 、b 球最先到达M 点

图 2

x 图3

A

C 、c 球最先到达M 点

D 、d 球最先到达M 点

解析：设圆轨道半径为R ，据“等时圆”理论，t a =g R 4=2g

R ， t b > t a ；c 做自由落体运动t c =g

R 2 ；而d 球滚下是一个单摆模型，摆长为R ，t d =4T =2πg R ，所以C 正确。 2、运用等效、类比自建“等时圆”

例3：如图5所示，在同一竖直线上有A 、B 两点，相距为h ，B 点离地高度为H ，现在要在地面上寻找一点P ，使得从A 、B 两点分别向点P 安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A 和B 沿木板下滑到P 点的时间相等，求O 、P 两点之间的距离OP 。

解析：由“等时圆”特征可知，当A 、B 处于等时圆周上，且P 点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求。

如图6所示，此时等时圆的半径为：

12h R O P H ==+ 所以

OP ==

例4：如图7， AB 是一倾角为θ的输送带，P 处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P 与AB 输送带间建立一管道（假使光滑），使原料从P 处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为多大？

解析：借助“等时圆”，可以过P 点的竖直线为半径作圆，要求该圆与输送带AB 相切，如图所示，C 为切点，O 为圆心。显然，沿着PC 弦建立管道，原料从P 处到达C 点处的时间与沿其他弦到达“等时圆”的圆周上所用时间相等。因而，要使原料从P 处到达输送带上所用时间最短，需沿着PC 建立管道。由几何关系可得：PC 与竖直方向间的夹角等于θ/ 2。

三、“形似质异”问题的区分

1、还是如图1的圆周，如果各条轨道不光滑，它们的摩擦因数均为μ，小滑环分别从

图7

图

8

图4

图

6

a 、

b 、

c 处释放（初速为0）到达圆环底部的时间还等不等？

解析：bd 的长为2Rcos θ，bd 面上物体下滑的加速度为a=gcos θ-μgsin θ，t bd =θ

μθθsin cos cos 4g g R -=2θμtan g g R -。可见t 与θ有关。 2、如图9，圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板aO 、bO 、cO ，其下端都固定于底部圆心O ，而上端则搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面的夹角依次为300、450、600。若有三个小孩同时从a 、b 、c 处开始下滑（忽略阻力），则 （ ）

A 、a 处小孩最先到O 点

B 、b 处小孩最先到O 点

C 、c 处小孩最先到O 点

D 、a 、c 处小孩同时到O 点

解析：三块滑块虽然都从同一圆柱面上下滑，但a 、b 、c 三点不

可能在同一竖直圆周上，所以下滑时间不一定相等。设圆柱底面半径

为R ，则θcos R =21

gsin θt 2，t 2=θ2sin 4g R

，当θ=450时，t 最小，当

θ=300和600时，sin2θ的值相等。

中考数学几何模型之阿氏圆最值模型(解析版)

中考数学几何模型：阿氏圆最值模型 名师点睛 拨开云雾 开门见山 在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 【模型来源】 “阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”. A B P O 【模型建立】 如图 1 所示，⊙O 的半径为R ，点 A 、B 都在⊙O 外 ，P 为⊙O 上一动点，已知R=2 5 OB ， 连接 PA 、PB ，则当“PA+ 2 5 PB ”的值最小时，P 点的位置如何确定？ 解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC 使 OC=25R ，则可说明△BPO 与△PCO 相似，则有2 5 PB=PC 。故本题求“PA+ 2 5 PB ”的最小值可以转化为“PA+PC ”的最小值，其中与A 与C 为定点，P 为动点，故当 A 、P 、C 三点共线时，“PA+PC ”值最小。

【技巧总结】 计算PA k PB +g 的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形 问题：在圆上找一点P 使得PA k PB +g 的值最小，解决步骤具体如下： 1. 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB 2. 计算出这两条线段的长度比 OP k OB = 3. 在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM ∽△BOP ，则PC k PB =，PC k PB =g 4. 则=PA k PB PA PC AC ++≥g ，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值

圆的计算有关公式

圆的计算有关公式1、同一个圆中半径与直径的关系。（1）半径是直径的一半。 1d 用字母表示：r= 2 （2）直径是半径的2倍。 用字母表示：d=2r 2、圆的周长的计算有关公式。 （1）圆的周长=圆周率×直径。 用字母表示：c=兀d （2）圆的周长=圆周率×半径×2。 用字母表示：c=2兀r （3）圆的半径=圆的周长÷圆周率÷2。 用字母表示：r=c÷兀÷2 （4）圆的直径=圆的周长÷圆周率。 用字母表示：d=c÷兀 3、半圆的周长的计算有关公式。 （1）半圆的周长=圆周率×直径÷2+直径。 用字母表示：c=兀×d÷2+d （2）半圆的周长=圆周率×半径+半径×2。 用字母表示：c=兀×r+2r （3）圆的半径=半圆的周长÷(圆周率+2)。 用字母表示：c=c÷(兀+2)

（4）圆的直径=半圆的周长÷(圆周率+2)×2。 用字母表示：c=c÷(兀+2) ×2。 n+半径×2。 4、扇形的周长=圆的周长× 360 n+2r 用字母表示：c=2兀r× 360 (n表示圆心角的度数) 5、环形的周长=大圆的周长+小圆的周长。 用字母表示：c=2兀R+2兀r=2兀×(R+r) 6、圆的面积=圆周率×半径的平方。 用字母表示：S=兀r2 7、半圆的面积=圆周率×半径的平方÷2。 用字母表示：S=兀r2÷2 n。 8、扇形的面积=圆周率×半径的平方× 360 n 用字母表示： S=兀r2× 360 (n表示圆心角的度数) 9、环形的面积=大圆的面积-小圆的面积。 用字母表示：S =2兀R2-2兀r2=2兀×(R2-r2) 10、时钟先问题。 (1)一昼夜=一天=24小时 (2) 时针一昼夜转2圈 (3)分针一昼夜转24圈 (4)秒针一昼夜转1440圈

圆的周长公式

各位老师好,我今天说课的内容是苏教版小学数学五年级下册第12章第三课时圆的周长。 一、教材分析 在此之前，学生已经有长方形、正方形周长认识为基础，是前面学习圆的圆的认识的深化，同时也是后面学习“圆的面积”的等相关知识的基础，这段知识起着一个承前启后的作用，是小学几何学习的重要内容。 根据上述教材分析，考虑到五年级学生已有的知识结构及心理特征，我制定了如下教学目标： 1.知道圆周长含义，理解圆周率的意义，掌握圆周率的近似值 2.经历圆周长计算公式的推导过程，掌握计算公式，并能利用公 式解决实际问题 3.通过介绍我国古代数学家祖冲之在圆周率方面的伟大成就，激 发学生的民族自豪感；通过探索公式的过程，感受成功的喜悦根据本班学生的实际情况，我确立本节课的教学重点是：经历圆周长公式的推导过程；教学难点是：对圆周率的认识。 根据教学内容特点和学生的认知规律，我将采取采取“猜想——验证”和有意义地接受相结合的学习方式，借助多媒体以及相关教学道具，激发学生的求知欲望。利用实验法和多媒体辅助教学法引导学生认识圆周率，推导圆周长的计算公式。同时在学习过程中，注意独

立思考、小组合作、动手操作的方法相结合,使学生既能学习知识又能培养动手能力. 在教学前需要准备的是：三张大小不同的圆形硬纸片，细线，多媒体课件，直尺 二、教学过程 我把教学过程分为复习引入、探究周长、巩固练习、回顾总结四个流程。 （一）复习引入 我采用以旧知引新知的建构方法，首先让学生回忆圆的相关知识，接着提问你还想知道圆的哪些知识？这样设计，既能回顾旧知，还有新问题的提炼，有效地唤醒学生对未知的探索欲望，激发学生对课题的思考。 （二）探究周长 我把探究周长又细分为4个部分 1.理解圆的周长 有以前所学的长方形正方形的周长为基础，出示一张圆形纸片，对圆的周长做比划触摸而后进行理解和表达。有效的触摸体验，充分的理性概括，使圆周长概念的建构过程充分而有效。

苏教版五下数学《圆之圆的周长计算的实际运用》教案

苏教版五下数学《圆之圆的周长计算的实际 运用》教案 第四课时： 圆的周长计算的实际运用 教学目标： 1．让学生经历已知一个圆的周长求这个圆的直径或半径的过程，体会解题策略的多样性。 2.进一步理解周长、直径、半径之间的关系，能熟练运用圆周长的公式解决一些实际问题。 3．感受平面图形的学习价值，提高数学学习的兴趣和学好数学的信心。 教学重点： 已知一个圆的周长求这个圆的直径或半径。 教学难点： 理解周长、直径、半径之间的关系，能熟练运用圆的周长公式解决一些实际问题。 教学准备： 圆形图片。 教学过程： 一、复习旧知，引入新知 提问 1．什么是圆的周长？圆的周长计算公式是什么？

2．把圆规两脚尖分开4厘米画一个圆，这个圆的半径是多少？直径呢？周长呢？ 指名回答，明确计算方法。 3．口答，求下列各圆的面积。 （l）r=2cm r=3cm r=5cm （2）d=2cm d=3cm d=5cm 4．引入：知道圆的直径和半径，我们能很快算出圆的周长。如果只知道圆的周长，我们能算出它的直径和半径吗？今天这节课我们来继续研究圆周长的知识。（板书：圆的周长计算的实际运用） 二、合作交流，探究新知 1．教学例6。 （1）出示例6的情境图，指名读题，并且找出条件和问题。（2）讨论：如何准确地测算出这个花坛的直径？ （3）交流后，明确：先测量出这个花坛的周长，再利用圆的周长计算公式计算 花坛的直径。 （4）出示测量结果：花坛的周长是251.2米。 （5）学生独立完成。 （6）集体订正，教师板书 方法一：列方程解答。 解：设花坛的直径是x米。

3. 14x=251.2 x=251. 23. 14 x=80 答：花坛的直径是80米。 方法二：算术方法解答。 251. 23. 14 =80（米） 答：花坛的直径是80米。 （7）师：两种方法有什么相同点和不同点？你喜欢什么方法？ 2．小结。 （l）提问：已知圆的周长，如何求圆的半径或直径？（2）学生回答，教师板书 ①列方程解答。 ②d=C r=C 2 三、巩固练习，加深理解 1．完成练一练。 （1）学生独立完成。 （2）集体交流。 2．完成练习十四第8题。 （1）借助圆柱形教具演示，帮助学生理解什么是树干横截面，，。 （2）学生独立思考并计算。

初中数学阿氏圆最值模型归纳

几何模型:阿氏圆最值模型 【模型来源】 “阿氏圆"又称为“阿波罗尼斯圆”,如下图,已知A、B两点,点P满足PA:PＢ=k(k≠1),则满足条件得所有得点Ｐ得轨迹构成得图形为圆。这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称“阿氏圆"。 A B P O 【模型建立】 如图1 所示,⊙O 得半径为Ｒ,点A、B 都在⊙O外,P为⊙O上一动点,已知R=OB, 连接PA、PＢ,则当“ＰA+PB”得值最小时,P 点得位置如何确定？ 解决办法:如图2,在线段 OB 上截取ＯC使ＯＣ=Ｒ,则可说明△ＢPＯ与△ＰCＯ相似,则有ＰB=PC。故本题求“PA＋ＰB”得最小值可以转化为“ＰA+ＰC”得最小值,其中与A与C为定点,P为动点,故当A、P、C 三点共线时,“PＡ＋ＰＣ”值最小。 【技巧总结】 计算得最小值时,利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形 问题:在圆上找一点P使得得值最小,解决步骤具体如下: 1.如图,将系数不为1得线段两端点与圆心相连即OP,OB 2.计算出这两条线段得长度比 3.在ＯB上取一点C,使得,即构造△POM∽△BOP,则, 4.则,当A、P、C三点共线时可得最小值

典题探究 启迪思维探究重点 例题1、如图,在Rｔ△ABC中,∠Ｃ=90°,AＣ=4,BC=3,以点C为圆心,２为半径作圆Ｃ,分别交AC、BＣ于D、Ｅ两点,点P就是圆C上一个动点,则得最小值为________＿＿。 E A B C D P M P D C B A 【分析】这个问题最大得难点在于转化,此处P点轨迹就是圆,注意到圆Ｃ半径为2,ＣA=4, 连接CP,构造包含线段AＰ得△CPA,在ＣＡ边上取点M使得CＭ＝2, 连接ＰM,可得△CPＡ∽△CMP,故PA:ＰＭ＝2:1,即PM=. 问题转化为PM+ＰＢ≥ＢＭ最小值,故当B,Ｐ,M三点共线时得最小值,直接连BM即可得. 变式练习〉＞> 1.如图1,在RＴ△AＢＣ中,∠ＡCＢ=９0°,CＢ＝４,CA=6,圆C得半径为2,点Ｐ为圆上一动点,连接AP,BP, 求①,②,③,④得最小值。 [答案]:①＝,②=２,③=,④=.

根据圆的周长公式解决实际问题

根据圆的周长公式解决实际问题 教学目标： １、使学生进一步巩固圆的周长的计算方法，提高计算圆的周长的熟练程度。 ２、使学生能根据圆的周长的直径或半径，进一步理解圆的半径、直径和周长的关系，提高学生应用知识解决简单实际问题的能力。 ３、进一步培养学生分析、判断和推理等思维能力。 教学重难点：熟练计算圆的周长 教学过程： 一、复习 1、口述：圆的周长计算公式 2、算圆的周长 d=3l厘米 d=8dm r=2m r=2.5m 问；你能根据怎样的方法算出这些圆的周长吗？ 3、引入新课 二、教学新课 1、一个圆形花坛的周长是25.12分米 ,这个花坛的直径是多少？ 已知什么？要求什么？ 对照公式看一看，已知哪个数要求什么数？ 根据已知条件和要求的问题，你认为用什么方法解答比较好？为什么？ 根据什么来列方程？ 练习，说说方程是怎样列出来的？ 2、用算术方法解答 怎样直接求出花坛的直径呢 25.12÷3.14 为什么可以这样列式？ 三、巩固练习 1、练一练 （1）用一根31.4分米的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少?如果围成一个圆,圆的直径是多少? 分组练习，说说是怎样想的？ 如果已知圆的周长要求半径，应该应用哪个计算公式来解答？

2、练一练（2）一根铁丝正好折成一个正三角形，它的边长为31.4厘米，如果同样长的铁丝围成一个圆，这个圆的半径是多少厘米？ 四、小结 学习了什么内容？圆的直径、半径和周长之间有什么关系？应用圆的周长计算公式能解决哪些问题？ 教学内容：本内容是六年级上册第11—15页圆的周长。 一、教材分析 1、教学主要内容：探索并掌握圆的周长的计算方法，阅读圆周率发展的历史。 2、本节课内容的地位：圆的周长是在学生认识圆、掌握长方形和正方形周长的基础上，对圆的周长作进一步研究。学生掌握了圆周长的计算方法，就为学习圆的面积公式的推导、圆柱和圆锥的学习打下了基础。 3、教材编写特点： （1）开展测量活动，探索圆周率的意义及圆周长的计算方法。 教材引导学生开展测量实验活动，通过实际测量与计算，研究发现圆的周长与直径的关系，从而引出圆周率并得出圆的周长计算公式。 （2）经历探索圆周长计算公式的过程，初步渗透“以直代曲”的极限思想。 在数学阅读“圆周率的历史”中，教材介绍了运用正多边形逼近圆、计算圆周率的方法，使学生体会“以直代曲”的极限思想。 4、教学内容的核心思想：转化、归纳、函数和极限的思想。 二、学生分析 1、学生已有知识经验：在本课教学之前，学生已经认识了圆，会求正方形和长方形等直线段图形的周长，对图形周长已经很清楚了。 2、学生已有生活经验：由于圆的普遍存在和广泛应用，以及部分学生经过自己的课外学习，已经知道了圆周长的计算公式，但对于这个公式的形成过程缺乏了解，只是处于知其然而不知其所以然的状态，主要原因是对圆周率的意义并不理解。因此本节课针对这一点来确定教学目标和教学重难点，通过引导经历探索圆周长计算公式的过程，深入理解圆周率的意义。 3、学生学习该内容可能的困难：对圆周率的意义和“以直代曲”的极限思想的理解。

圆中有关最值问题一.doc

圆中有关最值问题（1）教学设计 一、设计思路： 圆中有关最值问题是中考数学中的重要内容，是综合性较强的问题，它贯穿初中数学的 始终，是中考的热点问题。其运用性质有：圆中直径是最长的弦、垂线段最短、三边关系定 理、对称法等。本节课以例题入手来研究圆中的有关最值问题。 二、学情分析 学生知识技能基础：学生在前面几节课已经认识了圆，学习了圆的有关知识，以及数学 的基本结论：圆中直径是最长的弦、垂线段最短、三角形三边关系等基本知识，这些为本节 课的学习奠定了良好的知识技能基础。 学生活动经验基础：通过以往的数学学习，学生已经具有了一些数学活动经验的基础； 另一方面，在以往的数学活动中，学生已经经历了很多合作交流的学习过程，具有了一定的 合作学习的经验，具备了一定的合作交流的能力。 三、教学目标 知识与技能： 1、会利用直径是圆中最长的弦这一基本结论解决有关最值问题； 2、会利用圆外一点与圆上各点的连线中最短与最近距离这一基本事实，解决圆中有关最值问题。 方法与途径： 通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展空间观念，培养学生动手动脑、发现 问题及解决问题的能力，以及推理能力和有条理的表达能力。 情感与评价： 通过实际操作、画图等活动，培养学生的动手能力，提高学生的识图技能，使学生的思 维变得更加灵活。 现代教学手段： 多媒体和几何画板的合理应用，增加了课时内容，激发了学生学习的积极性，突破了教 学重点、难点的同时，更重要的是使复杂问题更加简单化，通过清楚的动画演示，使学生进 一步感受何时取得最大值问题。 四、教学重点与难点 教学重点：将试题转化为最值中的有关模型 教学难点：将试题转化为最值中的有关模型的方法

圆的周长公式推导

课题：圆的周长公式推导 教学内容：圆的周长公式推导。 教学重点：周长公式的推导过程。 教学难点：灵活地运用圆的周长公式。 学情分析：学生在学习本课之前，已经学习了长方形和正方形周长和面积的计算，经历了用不同方式测量物体长度等学习活动，已经具备了探索 周长公式的知识基础，但学生对一些组合图形的周长概念比较模糊。 学习目标：1、通过动手操作，引导学生发现圆的周长与直径之间的关系，推导出圆周长的计算公式，并能运用公式解决一些简单的实际问题。 2、理解圆周率的意义，掌握圆周率的近似值，并介绍我国数学家对 圆周率的研究史实，向学生进行民族自豪感的教育。 3、理解、掌握圆周长的计算公式，能正确地计算圆的周长。 4、鼓励学生积极参与探索、交流等活动，在解决问题的过程中进行 简单的有条理的思考，获得成功的体验。 设计理念：1、提倡自主、合作、探究的学习方式。 2、课堂是民主的、活动的、自由的，教师是学习活动的参与者、组 织者和引导者。 教学准备：圆形铁丝、直尺、测绳、圆的模型、圆规、课件 教学流程：导入——探究新知——巩固练习——总结 教学过程： 一．引入 1.实践引题。 画圆，理解周长的含义，指出圆的周长。如果第二个圆一周长度（周长）要求比刚才这个圆的周长大，画的时候该怎么办？（半径变大，直径变大。）圆周长的长短与什么有关呢？ 2.揭示课题，板书课题。 二．教学展开 1、按课本问题中的插图和讨论题，分4人小组进行讨论，师巡回指导。 2、出示用铁丝围成的圆，求它的周长，有些什么办法？（绳子绕一周，量绳子；铁丝剪断，化曲为直。） 出示一个圆形，求它一周的长度，还有什么办法？（引出在尺上滚动周长的方法。）在滚时要注意什么？（滚动时很容易原地打转，测量时容易有误差，所以要多次测量求平均值） 3、分组操作：用滚动（将圆片拿起，放在尺上滚）或用绳子绕一周，测绳子长度的方法，分别测出直径是2㎝，3㎝，4㎝，5㎝的圆的周长，填表计算，观察直径与圆周长的关系。（然后分小组汇报，由多组汇报都得到周长是直径的3倍多一点，让学生深刻体验到周长与直径的关系从而引出圆周率）

第11讲阿氏圆最值模型(解析版)

中考数学几何模型11：阿氏圆最值模型 名师点睛拨开云雾开门见山在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 【模型来源】 “阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”. B P O

【模型建立】 如图1 所示，⊙O 的半径为R，点A、B 都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知R=2 5 OB， 连接PA、PB，则当“PA+2 5 PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？ 解决办法：如图2，在线段OB 上截取OC使OC=2 5 R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有 2 5 PB=PC。 故本题求“PA+2 5 PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、 P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。 【技巧总结】 计算PA k PB +g的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形 问题：在圆上找一点P使得PA k PB +g的值最小，解决步骤具体如下： 1.如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB

2. 计算出这两条线段的长度比 OP k OB = 3. 在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM ∽△BOP ，则PC k PB =，PC k PB =g 4. 则=PA k PB PA PC AC ++≥g ，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值 典题探究 启迪思维 探究重点 例题1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则1 2 PA PB +的最小值为__________． E A B C D P 【分析】这个问题最大的难点在于转化1 2 PA ，此处P 点轨迹是圆，注意到圆C 半径为2，CA=4，

《圆周长公式的应用》教学设计11

《圆周长公式的应用》教学设计 教学内容：课本P140－141 教学目标：1、使学生能够正确并灵活运用圆的周长公式进行计算。 2、培养学生的观察、比较、分析、综合能力。 3、领会事物之间是联系和发展的辩证唯物主义观念以及透过现象看本质的辨证思维方法。 教学重点：1、使学生能够正确并灵活运用圆的周长公式进行计算。 2、培养学生的观察、比较、分析、综合能力。 教学难点：运用周长公式解决实际问题的策略 教学过程： （一）复习导入 1、上节课我们研究了圆的周长，你有什么收获？ 板书：C==πd C=2πr 2、求下面各个圆的周长。（单位：厘米） d=10 r=2.5 （二）探究新知 1、设问：如果已知周长，你能求出直径或半径吗？ 2、教学例2一个圆形花坛，周长是23.55米，它的直径是多少米？ （1）你能用不同的方法解答吗？ （2）学生尝试计算 （3）讨论汇报： 解法一C==πd………d=c÷π 23.55÷3.14=7.5(米) 解法二 解：设花坛的直径是x米。 3．14×x=23.55 x=23.55÷3.14 x=7.5 3、试一试：在一个公园内修一个圆形水池，池的周长是50.24米，它的半径是多少米？ 学生练习，部分学生板演，完成后集体校正。 （三）练习 1、练一练第1、2题，完成后集体校对 2、街心公园的圆形花坛的周长是47.1米，它的半径是多少？ 3、饭店的大厅内有一个大钟，它的分针长40厘米。经过1小时，这根分针的尖端转动所走的路程是多少厘米？ 4、杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮的外直径为40厘米，要骑过31.4米长的钢丝，车轮要转动多少周？ 5、书上第3\4\5\6题 (四)课堂小结 这节课你有什么收获?

利用阿氏圆求几何最值应用举例一

阿氏圆及其应用举例（1） 一、什么是阿氏圆？ 已知平面上两点A 、B ，则所有符合 ＝k （k ＞0且k ≠1）的点P 会组成一个圆．这个结论最先由 古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆． 二、阿氏圆基本解法：构造三角形相似． 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、 BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则1 2 PA PB 的最小值为__________． E A B C D P M P D C B A 分析：在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM 、PC ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=1 2PA ．问 题转化为PM+PB 最小值，连BM 即可． 三、阿氏圆应用举例 例1、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝7，AC ＝9，以C 为圆心、3为半径作⊙C ，P 为⊙C 上一动点，连接AP 、BP ，则AP +BP 的最小值为（ ） A ．7 B ．5 C ． D ． B P O

解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM． ∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM?CA，∴＝， ∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴＝＝，∴PM＝PA， ∴AP+BP＝PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，∴BM＝＝5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值为5．故选：B． 例2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，则AP+BP的最小值为（） A．B．6C．2 D．4 解：如图1，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有＝＝， 又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD． 要使AP+BP最小，只要AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小， 即：AP+BP最小值为AD，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，∴AD＝＝，AP+BP 的最小值为，故选：A． 例3、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是． 解：∵2AD+3BD= 2 3 3 AD BD ?? + ? ?? ，∵求 2 3 AD BD +最小值即可, 在CA上截取CM，使得CM＝4，连接DM，BM．

圆中的最值问题

圆中的最值问题 【考题展示】 题1 (2012年武汉中考)在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________． 题2 (2013年武汉元调)如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆弧AB上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b，+的最大值.（有修改） 求a b 题3 (2013年武汉四调)如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为_________． 题4 (2013年武汉五模)在△ABC中，120 A BC=．若△ABC的内切圆半径为r，则r的最大值为 ∠=?，6 _________．（有修改） 题5 (2013年武汉中考)如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是_________． 题1图题2 图题3 图

题4图题5图 【典题讲练】 类型1（相关题：题5） 1.1 如图，边长为a的等边△ABC的顶点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动，则动点C到原点O的距离的最大值是_________． 1.2在直角坐标系中，△ABC满足，∠C=90°，AC=8，BC=6，点A，B分别在x轴、y轴上，当A点从原点开始在正x轴上运动时，点B随着在正y轴上运动（下图），求原点O到点C的距离OC的最大值，并确定此时图形应满足什么条件． 1.3 如图，在平面直角坐标系中，已知等腰直角三角形ABC，∠C=90°，AC=BC=2，点A、C分别在x轴、y 轴上，当点A从原点开始在x轴的正半轴上运动时，点C在y轴正半轴上运动． （1）当A在原点时，求点B的坐标； （2）当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB； （3）在运动的过程中，求原点O到点B的距离OB的最大值，并说明理由．

圆的周长计算公式

《圆的周长计算公式》 万建里 教学《圆的周长计算公式》时，教师可让学生利用圆片、铁丝圈、直尺、彩带等材料，测量圆周长。当学生探讨出不同的测量方法后，教师演示（拿着一个一端系有小球的绳子，手执另一端并不停地甩动形式成圆的轨迹），设疑；你们还能用刚才的方法测量出这个圆的周长吗？然后让学生猜一猜，圆的周长可能与它的什么有关？接着让学生把圆的周长与直径比一比，看看它们有什么关系？并让学生小组合作量出圆的周长和直径，算出圆的周长与直径的比值。通过实践探索，学生不难发现圆的周长与直径之间的倍数关系。这样学生就很自然地推导出圆的周长公式。由此可见，学生借助学具自主操作亲自去经历、去实践，获得的圆的周长公式，比教师直接灌输的知识理解得更深刻、记忆更牢固。 首先教师为学生提供了几个大小不一的圆，材质也不一样，有的是用纸板做的，有的是用软布做的，有的是用铁丝围成，有的画在纸上，要求学生分组活动测量出这些圆的周长，每一小组桌上都有教师预先放在桌上的材料工具，包括绳子、纸条、彩笔、尺子、剪刀等。小组活动时，学生纷纷把材料一一选出，逐样试验。一会用绳子绕，一会用纸条围，一会在桌上滚圆一会用剪刀比划着……在学生作讨论、动手活动中产生了许多简易又灵活的方法：生1：圆周是曲线不能直接用尺量，先用纸条围纸板圆一周，再把纸条展开后用尺量。生2：也能用绳子绕。生3：先在纸板圆周上用彩笔做一点标记，把标记放在尺的0刻度上，向前滚动一周，读出刻度。生4：把铁丝圈剪开，再拉直了测量。生5：沿桌边滚一周后直接测量桌边也行。生6：我把布圆对折再对折下去，这条曲线就能用尺小心的量了。这所有的方法归结起来就是绕圈法、滚动法、化曲为直法，而且这些方法得到了很多小组的赞同与证实。 丰富的实践源自巧妙的设计这个活动只是《圆的周长》一课中的一部分，教学目标是为了使学生掌握一些生活中的简易又灵活的测量圆周长的方法，是下面测量圆周长和直径、探求他们比值关系的基础。教师设计安排的这个小组活动充分体现了数学新课程表准中强调的“向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能……”这一理念。现代教育主张“要让学生动手做科学，而不是只用耳朵听科学”。因此，在教学中要加强学生动手操作能力的培养，把操作同观察、思维、语言表达有机结合，使学生逐步从具体的操作有效的转化为内部智力活动。特别是教师提供的不同材质的圆，深化了知识难度。每一个圆都是一个新问题，它们向学生设置了一个个具体的问题情境，激起学生寻找适当方法解决不同问题的愿

冀教版-数学-六年级上册-《圆的面积公式应用——已知周长求面积》备课教案

圆的面积公式应用——已知周长求面积 教学目标： 1.在解决问题的过程中，进一步巩固圆的面积公式。 2.结合具体事例，能灵活运用所学公式解决生活中的问题。 3．感受数学与生活的密切联系，培养学生综合运用知识的能力。。 教学重点： 正确并灵活的运用公式进行计算。 教学难点： 正确并灵活的运用公式解决生活中的问题 教学过程： 一、复习旧知，导入新课 前面我们学习了圆、圆的周长、圆的面积，如果圆的半径用r表示，周长怎样表示？（2πr）面积怎样表示？（πr2），这节课我们继续学习圆的面积，研究如何用圆的公式解决实际问题。 二、引导探究，解决问题 1．探究教材第52页“蒙古包占地”问题。 （1）多媒体出示问题。 一个底面是圆形的蒙古包，沿地面量得周长是25.12米。它的占地面积是多少平方米？ （2）探究。 学生根据以前的经验可知：要先利用圆的周长公式求出蒙古包的半径或直径，才能计算占地面积。 师：我们在算蒙古包半径时用算术法和方程法都可以，哪种更简单？ 生：列方程解，思路统一，便于理解。

师：请同学们在练习本上把过程写完整! 指名学生板演。 2．探究教材第52页“选台布”问题。 圆桌面的直径是120厘米。 （1）多媒体出示三块不同规格的台布： 110cm×110cm；120cm×120cm；140cm×140cm （2）合作探究。(教师需引导学生知道"110cm×110cm"等表示的意义) 生1：因为桌面面积：3.14×(2120 )2＝11304(平方厘米) 边长是110厘米的台布面积：110×110＝12100(平方厘米) 12100＞11304 所以边长是110厘米的台布能用，因为它的面积比圆桌面的面积大。 生2：边长是110厘米的台布不能用，边长是110厘米的台布最大只能遮盖直径是110厘米的圆桌面。 (教师引导学生知道，只比较面积的大小不行，还要看台布能不能盖全圆桌) 通过学生比较第2种和第3种台布，使学生知道边长是140厘米的台布不但比圆桌面的面积大，而且铺在上面周围都能垂下一部分，这样比较美观，台布不容易被掀起，所以选择边长是140厘米的台布更合适些。 三、联系实际，巩固提高 练一练第53页第1、2、3题。 四、全课总结，畅谈收获 通过今天的学习，谈谈大家的收获。

圆的面积公式应用——已知周长求面积

圆的面积公式应用——已知周长求面积教学目标： 1.在解决问题的过程中，进一步巩固圆的面积公式。 2.结合具体事例，能灵活运用所学公式解决生活中的问题。 3．感受数学与生活的密切联系，培养学生综合运用知识的能力。。 教学重点： 正确并灵活的运用公式进行计算。 教学难点： 正确并灵活的运用公式解决生活中的问题 教学过程： 一、复习旧知，导入新课 前面我们学习了圆、圆的周长、圆的面积，如果圆的半径用r表示，周长怎样表示？（2πr）面积怎样表示？（πr2），这节课我们继续学习圆的面积，研究如何用圆的公式解决实际问题。 二、引导探究，解决问题 1．探究教材第52页“蒙古包占地”问题。 （1）多媒体出示问题。 一个底面是圆形的蒙古包，沿地面量得周长是25.12米。它的占

地面积是多少平方米? （2）探究。 学生根据以前的经验可知：要先利用圆的周长公式求出蒙古包的半径或直径，才能计算占地面积。 师：我们在算蒙古包半径时用算术法和方程法都可以，哪种更简单? 生：列方程解，思路统一，便于理解。 师：请同学们在练习本上把过程写完整! 指名学生板演。 2．探究教材第52页“选台布”问题。 圆桌面的直径是120厘米。 （1）多媒体出示三块不同规格的台布： 110cm×110cm；120cm×120cm；140cm×140cm （2）合作探究。(教师需引导学生知道"110cm×110cm"等表示的意义) 120)2＝11304(平方厘米)生1：因为桌面面积：3.14×( 2 边长是110厘米的台布面积：110×110＝12100(平方厘米) 12100＞11304 所以边长是110厘米的台布能用，因为它的面积比圆桌面的面积大。 生2：边长是110厘米的台布不能用，边长是110厘米的台布最大只能遮盖直径是110厘米的圆桌面。

圆中最值问题的求解方法

圆中最值问题的求解方法 有关圆的最值问题，往往知识面广、综合性大、应用性强，而且情境新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，本文按知识点分类，以近几年中考题为例，归纳总结此类试题的解题方法． 一、直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短 例1 （2012宁波）如图1，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝ D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于点E，F，连结EF，则线段EF长度的最小值为_______． 分析由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短． 解如图2，连结OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H． ∵在Rt△ADB中， ∠ABC＝45°，AB＝ ∴AD＝BD＝2，即此时圆的直径为2． 由圆周角定理，可知 ∠EOH＝1 2 ∠EOF＝∠BAC＝60°， ∴在Rt△EOH中， EH＝OE·sin∠EOH ＝1． 由垂径定理，可知EF＝2EH 点评本题是一道融垂径定理、圆周角定理、解直角三角形于一体的综合应用题．关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆． 二、两点之间线段最短 例2 （2014三明）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是CD CD 上的一个动点，连结AP，则AP的最小值是_______．

分析如图4，取BC的中点E，连结AE，交半圆于点P2，在半圆上取点P1，连结AP1，EP1，可得，AP1＋EP1>AE，即AP2是AP的最小值．再根据勾股定理求出AE的长，然后减掉半径即可． 解如图4，取BC的中点E，连结AE，交半圆于点P2，在半圆上取点P1，连结AP1， EP1，可得，AP1＋EP1>AE， ∵AE P2E＝1． ∴AP21． 即AP2是AP的最小值． 点评本题考查了勾股定理、最短路径问题，利用两点之间线段最短是解题的关键． 三、利用轴对称，求直线上一点到直线同侧两点的线段之和最短 例3 （2014张家界）如图5，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA＋PC的最小值为_______． 分析A、B两点关于MN对称，因而PA＋PC＝PB＋PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA＋PC的最小，即BC的值就是PA＋PC的最小值． 解如图6，连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于点H． 根据垂径定理，得到 在Rt△BCH中，根据勾股定理得到 BC＝， 则PA＋PC的最小值为 点评正确理解BC的长是PA＋PC的最小值，是解决本题的关键． ==，例4（2014东营）如图7，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝8cm，AC CD BD

人教版-数学-六年级上册-《圆的周长》知识讲解 圆的周长计算公式的应用

小学-数学-打印版 小学-数学-打印版 1 圆的周长计算公式的应用 应用一已知圆的半径，求圆的周长。 例 一辆自行车轮子的半径大约是33 cm ，这辆自行车轮子转l 圈，大约可以走多远？（结果保留整米数。）小明家离学校1 km ，轮子大约转了多少圈？（教材64页例1） 分析 求自行车轮子转1圈，大约可以走多远。就是求自行车轮子的周长。因为自行车轮子是圆形的，又已知它的半径，所以直接利用公式C=2丌r 就可以求出它的周长。因为小明家离学校1 km ，所以求小明从家到学校自行车轮子转了多少圈，就是看1 km 里面右多少个自行车轮子的周长，用1 km 除以车轮的周长即可求出轮子转动的圈数。 解答2×3. 14×33 =207. 24(cm)≈2(m) 1 km =1000 m 1000÷2=500（圈） 答：这辆自行车轮子转1圈，大约可以走2m 。小明从家到学校，轮子大约转了500圈。 总结 自行车车轮的转数一自行车所行路程÷车轮子的周长 应用二已知圆的直径，求圆的周长。 例 一个圆形花坛的直径是20 m ．它的周长是多少米？ 分析 已知圆形花坛的直径，利用公式C= d 可以直接计算出它的周长。 解答 3. 14×20=62. 8(m) 答：它的周长是62.8 m 。 应用三已知圆的周长，求圆的直径和半径。 例 一个圆的周长是15.7 dm ，求它的直径和半径分别是多少。 分析由公式C=兀d 和C=2兀r 分别推出d=C ÷兀，r= C ÷兀÷2，根据公式可以直接求出圆的直径和半径。也可以设圆的直径为r dm ，根据公式列方程解答。 解答 答：它的直径是5 dm ，半径是2.5 dm 。 误区警示 【误区】判断：大圆的圆周率大，小圆的圆周率小。（√) 错解分析 此题错在没有理解圆周率的意义，圆周率是一个固定的数，不因圆的大小而改变。 错解改正 × 温馨提示 圆周率是任意一个圆的周长和它的直径的比值，这个比值是一个固定的数。

人教版九年级数学精品专题14.圆中的最值问题

拔高专题圆中的最值问题 一、基本模型构建 常见模型 图(1) 图（2） 思考图（1）两点之间线段最短； 图（2）垂线段最短。 .在直线L上的同侧有两个点 A、B，在直线L上有到A、B 的距离之和最短的点存在，可 以通过轴对称来确定，即作出 其中一点关于直线L的对称 点，对称点与另一点的连线与 直线L的交点就是所要找的点．二、拔高精讲精练 探究点一：点与圆上的点的距离的最值问题 例1：如图，A点是⊙O上直径MN所分的半圆的一个三等分点，B点是弧AN的中点，P 点是MN上一动点，⊙O的半径为3，求AP+BP的最小值。 解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，AA′． ∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点， ∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵点B是弧AN的中点， ∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=3， ∴A′B=32．∵两点之间线段最短，∴PA+PB=PA′+PB=A′B=32． 【教师总结】解决此题的关键是确定点P的位置．根据轴对称和两点之间线段最短的知识，把两条线段的和转化为一条线段，即可计算。 探究点二：直线与圆上点的距离的最值问题

例2：如图，在Rt△AOB中，OA=OB=32，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），求切线PQ的最小值 解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA=OB=3 2， ∴AB=2OA=6，∴OP= ? OA OB AB =3，∴PQ=22 OP OQ =22． 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O是一动点且P在第一象限内，过P作⊙O切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．求线段AB的最小值． 解：（1）线段AB长度的最小值为4， 理由如下： 连接OP， ∵AB切⊙O于P， ∴OP⊥AB， 取AB的中点C， ∴AB=2OC； 当OC=OP时，OC最短， 即AB最短， 此时AB=4．

最新圆的周长应用题课堂练习

圆的周长应用题课堂练习 一、圆的周长 1、圆的周长的概念 2、圆周长的计算公式 r C d C ππ2==或 3、 圆的周长与该圆半径、直径的关系：（1)如果圆的直径、半径扩大若干倍，它的周长也扩大若干倍 （2）圆的半径、直径缩小到原来的几分之几，圆的周长也缩小到原来的几分之几 一个圆的半径扩大2倍,它的周长扩大( )倍，若一个圆的半径缩小 21，则它的 周长缩小（ ） 4、已知圆的周长，求它的半径或直径，利用公式π2C r =或πC d = 课堂练习 一、判断是否： 1、圆的周长是这个圆的直径的3.14倍。（ ） 2、小圆的圆周率比大圆的圆周率小。（ ） 3、把一张圆形纸片对折若干次，所有折痕相交于圆心。（ ） 4、圆的半径扩大3倍，它的直径就扩大6倍。（ ） 5、半圆的周长等于圆周长的一半。（ ） 6、如果两个圆的周长相等，那么这两个圆的半径和直径的长度也一定分别相等．（ ） 7、小圆半径是大圆半径的1/2 ，那么小圆周长也是大圆周长的1/2 。（ ） 二、细心填空 1、一个圆形花坛的半径2.25米，直径是（ ）米，周长（ ）米。 2、要在底面半径是14厘米的圆柱形水桶外面打上一个铁丝箍，接头部分是6厘米，需用铁丝（ ）厘米。 3、用圆规画一个圆，如果圆规两脚之间的距离是6厘米，画出的这个圆的周长是（ ）厘米。 4、已知圆的周长是106.76分米，圆的半径是（ ）。 5、一个圆的直径扩大4倍，半径扩大（ ）倍，周长扩大（ ）倍。 6、圆的半径和直径的比是（ ），圆的周长和直径的比是（ ）。 7、小圆的半径是6厘米，大圆的半径是9厘米。小圆直径和大圆直径的比是（ ），小圆周长和大圆周长的比是（ ） 8、大圆半径是小圆半径的4倍，大圆周长是小圆周长的（ ）倍 9、圆的半径增加，圆的周长增加（ ） 二、圆的周长应用

圆中的最值问题

拔咼专题圆中的最值问题 、基本模型构建 图 （1）图（2） 图（1）两点之间线段最短； 图（2）垂线段最短。 ?在直线L上的同侧有两个点 A、B,在直线L上有到A、B 的距离之和最 短的点存在，可以通过轴对称来确定， 即作出其中一点关于直线L的对称 点，对称点与另一点的连线与直线L 的交点就是所要找的点. 二、拔高精讲精练 探究点一：点与圆上的点的距离的最值问题 例1:如图，A点是O O上直径MN所分的半圆的一个三等分点，B点是弧AN的中点，P 点是MN上一动点，O O的半径为3，求AP+BP的最小值。 解：作点A关于MN的对称点A '，连接A ' B，交MN于点P,连接0A AA ???点A与A '关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点， :丄 A ' 0N= / AON=60 ° , PA=PA 点B 是弧AN 的中点， ???/ BON=30 ° ,?/ A ' 0B= / A ' 0N+ / BON=90。，又T OA=OA ' =3, ??? A' B=3?,2 ?两点之间线段最短，??? PA+PB=PA ' +PB=A ' B=3 S . 常见模型 思考

【教师总结】解决此题的关键是确定点P的位置.根据轴对称和两点之间线段最短的知识, 把两条线段的和转化为一条线段，即可计算。 探究点二：直线与圆上点的距离的最值问题

例2:如图，在Rt△ AOB中，0A=0B=3 . 2 , O O的半径为1点P是AB边上的动点, 过点P作O 0的一条切线PQ (点Q为切点)，求切线PQ的最小值 解：连接OP、OQ.T PQ是O 0的切线，??? 0Q丄PQ;根据勾股定理知PQ2=Op2-OQ2, Rt △ AOB 中，OA=OB=3 .2 , ? PQ= 'OP? OQ? =2、2 . 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点0为圆心，2为半径画O 0, P是O 0是一动点且P在第一象限内，过P作O 0切线与x轴相交于点A ,与y轴相交于点B.求 解：(1)线段AB长度的最小值为4, 理由如下： 连接0P, ?/ AB 切O 0 于P, ?0P丄AB , 取AB的中点C, ?AB=20C ; 当OC=OP时，0C最短， 即AB最短， 此时AB=4 .