高考理科数学复习专题---概率统计专题练习题()

高中数学组卷专题-概率统计练习含答案

一．选择题（共5小题）

1．（2017?秦安县一模）已知集合表示的平面区域为Ω，若在

区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A．B．C．D．

2．（2017?南岗区校级三模）王明早晨在6：30～7：00之间离开家去上学，送奶员在早上6：45～7：15之把牛奶送到王明家，则王明离开家之前能取到牛奶的概率为（）

A．B．C．D．

3．（2017?铜仁市模拟）在区域内任取一点P，则点P落在单位圆x2+y2=1

内的概率为（）

A．B．C．D．

4．（2017?宜昌二模）设点（a，b）是区域内的随机点，函数f（x）=ax2﹣4bx+1

在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）

A．B．C．D．

5．（2017?南平二模）某小学数学组组织了“自主招生选拔赛”从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩分为六组[40，50）[50，60），…[90，100]，其部分频率分布直方图如图所示，观察图形，从成绩在[40，50）和[90，100]的学生中随即选两个人，则他们在同一分数段的概率是（）

A．B．C．D．

二．填空题（共1小题）

6．（2017?市中区校级四模）若在区域内任取一点P，则点P落在单位圆

x2+y2=1内的概率为．

三．解答题（共24小题）

7．（2017春?三明校级期中）某商场欲研究每天平均气温与商场空调日销量的关系，抽取了

再对被选取的2组数据进行检验．

（1）求选取的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；

（2）若选取的是10月1日至2日的两组数据，请根据10月3日至10月5日的数据，求出y关于x的线性回归方程；

（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2件，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得到的线性回归方程是否可靠？

8．（2017秋?赫山区校级月考）某个体服装店经营某种服装，在某周内获纯利y（元）与该

参考数据：x i2=280，y i2=45309，x i y i=3487．

（1）求纯利y与每天销售件数x之间的回归直线方程（结果精确到0.01）；

（2）若该周内某天销售服装20件，估计可获纯利多少元．

9．（2017春?重庆校级期末）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费x i和年销售量y i（i=1，2，3，..8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些

（x i﹣）2（w i﹣）2（x i﹣）（y i﹣）（w i﹣）（y i﹣）

表中：=w i

（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；

（Ⅱ）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y﹣x，根据（II）的结果回答下列问题：

（i）当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？

（ii）当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？并求出最大值

10．（2017?顺义区一模）已知关于x的一次函数y=ax+b．

（Ⅰ）设集合A={﹣2，﹣1，1，2}和B={﹣2，2}，分别从集合A和B中随机取一个数作为a，b，求函数y=ax+b是增函数的概率；

（Ⅱ）若实数a，b满足条件，求函数y=ax+b的图象不经过第四象限的概率．

11．（2017?河南模拟）如果实数x，y满足，表示的平面区域D，且圆C的

方程为x2+y2=25，

（1）在圆C内部或边界上任取一点，求该点落在区域D内的概率．

（2）在圆C内部或边界上任取一整点（纵横坐标都是整数的点），求该整点落在区域D内的概率．

12．（2017?遵义校级一模）已知二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1（a≠0）．

（1）若a=1，b∈[﹣1，1]，求函数y=f（x）在[1，+∞）上是增函数的概率；

（2）设（a，b）是区域，内的随机点，求函数y=f（x）在[1，+∞）上的增函数的概率．

13．（2017?朝阳区模拟）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

（Ⅱ）在（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．

14．（2017?北京）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．

（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；

（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；

（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列．

15．（2017?东城区一模）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．

（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；

（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；

（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．

16．（2017?重庆）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．

（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；

（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．

17．（2017?福建）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确

密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．

（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；

（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．

18．（2017?河池一模）某茶楼有四类茶饮，假设为顾客准备泡茶工具所需的时间互相独立，

（1）求服务员恰好在第6分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具的概率；

（2）用X表示至第4分钟末已准备好了工具的顾客人数，求X的分布列及数学期望．

19．（2017?梅州一模）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制）（均为整数）分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题．

（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；

（Ⅱ）从频率分布直方图中，估计本次考试的平均分；

（Ⅲ）若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40，70）记0分，在[70，100]记1分，用X表示抽取结束后的总记分，求X的分布列和数学期望．

20．（2017?西安模拟）某电视台举行电视奥运知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答

错3题者则被淘汰．已知选手甲答题的正确率为．

（Ⅰ）求选手甲可进入决赛的概率；

（Ⅱ）设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

21．（2017?和平区四模）在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、

四轮问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．

（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；

（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；

（Ⅲ）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X，求随机变量X的分布列和期望．

22．（2017?宝鸡一模）为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排

（Ⅱ）中国女排奋力拼搏，战胜韩国队获得冠军．若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列，并求ξ的均值（数学期望）．

23．（2017?陕西二模）某中学为丰富教工生活，国庆节举办教工趣味投篮比赛，有A、B两个定点投篮位置，在A点投中一球得2分，在B点投中一球得3分．其规则是：按先A后

B再A的顺序投篮．教师甲在A和B点投中的概率分别是和，且在A、B两点投中与否

相互独立．

（Ⅰ）若教师甲投篮三次，试求他投篮得分X的分布列和数学期望；

（Ⅱ）若教师乙与甲在A、B点投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙的概率．

24．（2017?安徽模拟）前不久，省社科院发布了2017年度“安徽城市居民幸福排行榜”，芜湖市成为本年度安徽最“幸福城”．随后，师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：

（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；

（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；

（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．

25．（2017秋?徐州期末）某热水瓶胆生产的6件产品中，有4件正品，2件次品，正品和次品在外观上没有区别，从这6件产品中任意抽检2件，计算

（1）2件都是正品的概率

（2）至少有一件次品的概率．

26．（2017?山东一模）2017年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：

（Ⅰ）求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；

（Ⅱ）若完整地选取奥运会吉祥物记10分；若选出的5只中仅差一种记8分；差两种记6分；以此类推．设ξ表示所得的分数，求ξ的分布列及数学期望．

27．（2017?贵州二模）为了促进学生的全面发展，贵州某中学重视学生社团文化建设，2017年该校某新生确定争取进入曾获团中央表彰的“海济社”和“话剧社”．已知该同学通过考核选拨进入两个社团成功与否相互独立，根据报名情况和他本人的才艺能力，两个社团都能进入

的概率为，至少进入一个社团的概率为，并且进入“海济社”的概率小于进入“话剧社”的

概率．

（1）求该同学分别通过选拨进入“海济社”的概率p1和进入“话剧社”的概率p2；

（2）学校根据这两个社团的活动安排情况，对进入“海济社”的同学增加1个校本选修课学分，对进入“话剧社”的同学增加0.5个校本选修课学分．求该同学在社团方面获得校本选修加分分数的分布列和数学期望．

28．（2017?茂名二模）从某企业的某种产品中随机抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

（1）求这500件产品中质量指标值落在区间[185，205）内的产品件数；

（2）以这500件产品的样本数据来估计总体数据，若从该企业的所有该产品中任取2件，记产品质量指标值落在区间[215，235]内的件数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列．

29．（2017?保定一模）小明参加某项资格测试，现有10道题，其中6道客观题，4道主观题，小明需从10道题中任取3道题作答

（1）求小明至少取到1道主观题的概率

（2）若取的3道题中有2道客观题，1道主观题，设小明答对每道客观题的概率都是，答对每道主观题的概率都是，且各题答对与否相互独立，设X表示小明答对题的个数，求x 的分布列和数学期望．

30．（2017?东城区一模）某地区有800名学员参加交通法规考试，考试成绩的频率分布直方图如图所示．其中成绩分组区间是：[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]．规定90分及其以上为合格．

（Ⅰ）求图中a的值

（Ⅱ）根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率；

（Ⅲ）若三个人参加交通法规考试，用X表示这三人中考试合格的人数，求X的分布列与数学期望．

2017年12月15日江门市天骄教育咨询有限公司的高中

数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共5小题）

1．（2017?秦安县一模）已知集合表示的平面区域为Ω，若在

区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A．B．C．D．

【考点】几何概型；简单线性规划．

【专题】概率与统计．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，

则对应的区域为△AOB，

由，解得，即B（4，﹣4），

由，解得，即A（，），

直线2x+y﹣4=0与x轴的交点坐标为（2，0），

则△OAB的面积S==，

点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S=，

则由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为=，

故选：D

【点评】本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据几何概型的概率公式进行求解．

2．（2017?南岗区校级三模）王明早晨在6：30～7：00之间离开家去上学，送奶员在早上6：45～7：15之把牛奶送到王明家，则王明离开家之前能取到牛奶的概率为（）

A．B．C．D．

【考点】几何概型．

【专题】概率与统计．

【分析】根据题意，设送报人到达的时间为x，小明爸爸离家去工作的时间为y；则（x，y）可以看成平面中的点，分析可得由试验的全部结果所构成的区域并求出其面积，同理可得事件A所构成的区域及其面积，由几何概型公式，计算可得答案．

【解答】解：设送奶员到达的时间为Y，王明离开家去上学的时间为X，记王明离开家之前能取到牛奶为事件A；

以横坐标表示牛奶送到时间，以纵坐标表示王明离家时间，建立平面直角坐标系，

王明离开家之前不能取到牛奶的事件构成区域如图示：

由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．

根据题意，只要点不落到阴影部分，就表示王明离开家之前能取到牛奶，即事件A发生，所以P（A）=，

故选：A．

【点评】本题考查几何概型的计算，解题的关键在于设出X、Y，将（X，Y）以及事件A 在平面直角坐标系中表示出来．

3．（2017?铜仁市模拟）在区域内任取一点P，则点P落在单位圆x2+y2=1

内的概率为（）

A．B．C．D．

【考点】几何概型；二元一次不等式（组）与平面区域．

【专题】概率与统计．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式即可得到结论．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：

则B（﹣，0），C（，0），A（0，），

则△ABC的面积S=，

点P落在单位圆x2+y2=1内的面积S=，

则由几何概型的概率公式得则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为=，

故选：C．

【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，利用数形结合求出对应的区域面积是解决本题的关键．

4．（2017?宜昌二模）设点（a，b）是区域内的随机点，函数f（x）=ax2﹣4bx+1

在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）

A．B．C．D．

【考点】几何概型；简单线性规划．

【专题】概率与统计．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据概率的几何概型的概率公式进行计算即可得到结论．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的图形为△OAB，其

中对应面积为S=，

若f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数，

则满足a＞0且对称轴x=，

即，对应的平面区域为△OBC，

由，

解得，

∴对应的面积为S，

∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为，

故选：C

【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，作出不等式组对应的平面区域是解决本题的关键．

5．（2017?南平二模）某小学数学组组织了“自主招生选拔赛”从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩分为六组[40，50）[50，60），…[90，100]，其部分频率分布直方图如图所示，观察图形，从成绩在[40，50）和[90，100]的学生中随即选两个人，则他们在同一分数段的概率是（）

A．B．C．D．

【考点】古典概型及其概率计算公式．

【专题】概率与统计．

【分析】先求出成绩在[40，50）和[90，100]的学生人数，再得到从成绩在[40，50）和[90，100]的学生中随即选两个人的事件总数，以及他们在同一分数段包含的事件个数，即可求得他们在同一分数段的概率．

【解答】解：由频率分布直方图知，成绩在[40，50）的学生人数为60×0.01×10=60×0.1=6．成绩落在区间[90，100]上的人数为60×0.005×10=3，

从成绩在[40，50）和[90，100]的学生中随即选两个人，

则共有=36种情况，

从中选出的两人在同一分数段，共有种情况，

则他们在同一分数段的概率是P=，

故选：A．

【点评】本题主要考查频率分布直方图、用样本估计总体、等可能事件的概率，属于基础题．二．填空题（共1小题）

6．（2017?市中区校级四模）若在区域内任取一点P，则点P落在单位圆

x2+y2=1内的概率为．

【考点】几何概型．

【专题】计算题．

【分析】由我们易画出图象求出其对应的面积，即所有基本事件总数对应的几何量，再求出区域内也单位圆重合部分的面积，代入几何概型计算公式，即可得到答案．

【解答】解：满足约束条件区域为△ABC内部（含边界），

与单位圆x2+y2=1的公共部分如图中阴影部分所示，

则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率概率为

P=．

故答案为：．

【点评】本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根

据P=求解．

三．解答题（共24小题）

7．（2017春?三明校级期中）某商场欲研究每天平均气温与商场空调日销量的关系，抽取了

再对被选取的2组数据进行检验．

（1）求选取的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；

（2）若选取的是10月1日至2日的两组数据，请根据10月3日至10月5日的数据，求出y关于x的线性回归方程；

（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2件，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得到的线性回归方程是否可靠？

【考点】线性回归方程．

【专题】应用题；概率与统计．

【分析】（1）利用列举法求出对应的基本事件数，计算对应的概率即可；

（2）利用公式计算与，求出回归直线方程的系数，即得所求线性回归方程；

（3）验证x=29与x=26时，观测值与估计值，是否满足条件即可．

【解答】解：（1）设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件A，

∵所有基本事件（m，n）（其中m，n为1月份的日期数）有：

（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），

（3，4），（3，5），（4，5）共有10种；

事件A包括的基本事件有（1，2），（2，3），（3，4），（4，5）共4种；

∴抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率为

P（A）==；

（2）∵==22，==5，

∴由公式，得

b==1，

a=﹣b=5﹣22=﹣17，

∴所求的线性回归方程为：=x﹣17；

（3）∵当x=29时，=29﹣17=12，满足|12﹣11|＜2，

当x=26时，=26﹣17=9，也满足|9﹣8|＜2，

∴认为得到的线性回归方程是可靠的．

【点评】本题考查了用列举法求古典概型的概率问题，也考查了求线性回归方程的应用问题，是中档题目．

8．（2017秋?赫山区校级月考）某个体服装店经营某种服装，在某周内获纯利y（元）与该

参考数据：x i2=280，y i2=45309，x i y i=3487．

（1）求纯利y与每天销售件数x之间的回归直线方程（结果精确到0.01）；

（2）若该周内某天销售服装20件，估计可获纯利多少元．

【考点】线性回归方程．

【专题】概率与统计．

【分析】（1）首先，求解=6，≈79.86，然后，得到回归直线方程；

（2）根据（1），得=4.75x+51.36，将x=20代入，得=4.75×20+51.36≈146元，从而得到答案．

【解答】解：（1）根据题意，得到==6，

==≈79.86．

设回归直线方程为=bx+a．

∴===4.75，

=﹣6×4.75≈51.36，

∴回归直线方程为=4.75x+51.36，

（2）根据（1），得=4.75x+51.36

将x=20代入，得=4.75×20+51.36≈146元，

∴本周内某天的销售为20件时，估计这天的纯收入大约为146元．

【点评】本题重点考查了平均值、线性回归直线方程及其求解过程，属于中档题，解题关键是记住回归系数的求解公式．

9．（2017春?重庆校级期末）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费x i和年销售量y i（i=1，2，3，..8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些

（x i﹣）2（w i﹣）2（x i﹣）（y i﹣）（w i﹣）（y i﹣）

表中：=w i

（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；

（Ⅱ）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y﹣x，根据（II）的结果回答下列问题：

（i）当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？

（ii）当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？并求出最大值

【考点】线性回归方程．

【专题】概率与统计．

【分析】（Ⅰ）根据散点图，即可判断出，

（Ⅱ）先建立中间量w=，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决；

（Ⅲ）（i）年宣传费x=49时，代入到回归方程，计算即可，

（ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．

【解答】解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；

（Ⅱ）令w=，先建立y关于w的线性回归方程，由于==68，

=﹣=563﹣68×6.8=100.6，

所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w，

因此y关于x的回归方程为=100.6+68，

（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值=100.6+68=576.6，

年利润z的预报值=576.6×0.2﹣49=66.32，

（ii）根据（Ⅱ）的结果可知，年利润z的预报值=0.2（100.6+68）﹣x=﹣x+13.6+20.12，当==6.8时，年利润的预报值最大．

【点评】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题

10．（2017?顺义区一模）已知关于x的一次函数y=ax+b．

（Ⅰ）设集合A={﹣2，﹣1，1，2}和B={﹣2，2}，分别从集合A和B中随机取一个数作为a，b，求函数y=ax+b是增函数的概率；

（Ⅱ）若实数a，b满足条件，求函数y=ax+b的图象不经过第四象限的概率．

【考点】几何概型；古典概型及其概率计算公式．

【专题】概率与统计．

【分析】（Ⅰ）根据古典概型的概率公式即可得到结论；

（Ⅱ）作出不等式组对应的平面区域，利用几何概型的概率公式即可得到结论．

【解答】解：（Ⅰ）抽取全部结果所构成的基本事件空间为（﹣2，﹣2），（﹣2，2），（﹣1，﹣2），（﹣1，2），（1，﹣2），（1，2），（2，﹣2），（2，2），共8个．

设函数是增函数为事件A，∴a＞0，有4个，

∴

（Ⅱ）实数a，b满足条件要函数y=ax+b的图象不经过第四象限

则需使a，b满足，即，对应的图形为正方形，面积为1，

作出不等式组对应的平面区域如图：

则根据几何概型的概率公式可得函数y=ax+b的图象不经过第四象限的概率为．

【点评】本题主要考查古典概型和几何概型的概率的计算，要求熟练掌握相应的概率公式．11．（2017?河南模拟）如果实数x，y满足，表示的平面区域D，且圆C的

方程为x2+y2=25，

（1）在圆C内部或边界上任取一点，求该点落在区域D内的概率．

（2）在圆C内部或边界上任取一整点（纵横坐标都是整数的点），求该整点落在区域D内的概率．

【考点】几何概型；简单线性规划；古典概型及其概率计算公式．

【专题】概率与统计．

【分析】（1）作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式即可求该点落在区域D内的概率．

（2）利用列举法求出对应的整点格式，利用古典概型的概率公式进行求解即可．

【解答】解：（Ⅰ）由题意知，区域D在圆内，如图所示．设“在圆C内部或边界上任取一点，求点落在区域D内”为事件A，由于圆C的面积为25π，而区域D的面积为，由几何概型概率计算公式可得，在圆C内部或边界上任取一点，落在区域D内的概率P（A）=，

（Ⅱ）设“在圆C内部或边界上任取一整点，整点落在区域D内”为事件

B，由圆C的对称性，第一象限内及x轴正半轴上的整点有

（4，1），（4，2），（4，3），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），

（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（5，0），（4，0），（3，0），（2，0），（1，0），

共计20个，所以圆C内部或边界上整点共计20×4+1=81个，其中落在区域D内的整点在x 轴上方的有

（﹣3，1），（﹣2，1），（﹣1，1），（﹣1，2），（0，1），（0，2），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），

（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），共计16个，

根据区域D关于x轴对称，故落在区域D内的整点有16×2+9=41个，

所以圆C内部或边界上任取一整点，整点落在区域D内的概率P（B）=．

【点评】本题主要考查概率的计算，要求熟练掌握几何概型和古典概型的概率的计算．

12．（2017?遵义校级一模）已知二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1（a≠0）．

（1）若a=1，b∈[﹣1，1]，求函数y=f（x）在[1，+∞）上是增函数的概率；

（2）设（a，b）是区域，内的随机点，求函数y=f（x）在[1，+∞）上的增函

数的概率．

【考点】几何概型．

【专题】概率与统计．

【分析】（1）求出函数y=f（x）在[1，+∞）上是增函数的b 的范围，利用区域长度比求概率；

（2）画出区域，求出满足条件的区域面积，利用面积比求概率．

【解答】解：函数y=f（x）在[1，+∞）上是增函数，则a＞0且，即a＞0且a≥2b；

（1）因为a=1，则时，函数f（x）为增函数

所以函数y=f（x）在[1，+∞）上是增函数的概率；

（2）由（1）知当且仅当a≥2b，且a＞0时，函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，

依条件可知实验的全部结果所构成的区域为不等式组所表示的平面区域．

构成所求事件的区域为图中的阴影部分．

由，得交点的坐标为，故所求事件的概率为．

【点评】本题考查了几何概型公式的运用；关键是明确满足条件的a，b的范围，找出集合测度（区域长度，面积或者体积），利用概率公式解答．

13．（2017?朝阳区模拟）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

（Ⅱ）在（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．

【考点】等可能事件的概率；频率分布直方图．

【专题】概率与统计．

【分析】（Ⅰ）先分别求出这3组的人数，再利用分层抽样的方法即可得出答案；

（Ⅱ）从5名志愿者中抽取2名志愿者有10种情况，其中第4组的2名志愿者B1，B2至少有一名志愿者被抽中有7种情况，再利用古典概型的概率计算公式即可得出．