小学奥数 计算导引

第1讲 分数计算与比较大小

内容概述

理解分数的概念，熟练掌握分数四则运算中的通分、约分等技巧，了解分数运算中的一些速算方法；学会比较分数大小的各种方法，包括通分母、通分子、交叉相乘、倒数比较法、间接比较法等等。 兴趣篇 1. 计算：?---++200

1201211)2(;372003720372)1(

2. 计算：?-+-4

3)1152413(11813

3. 计算：?÷+?÷-12

1

11135)45141( 4. 计算：.35

1762753165474?+?+?-?

5. 计算：?+++9999

88889999999888999998899989

6. 计算：???156113

155)2(;124

123403)1(

7. 计算：?????????-????9

87655

432198765

8. 将下列分数由小到大排列起来：

?23

13,1915,2314,2413,1914

9. 比较下列分数的大小：?79

2032079)2(;409133)1(与与

10. 比较下列分数的大小：?88887

44443

2222111110)2(;199519949998)1(与与 拓展篇

1. 计算： ).20

72()31843132641

3(-?+++

2. 计算： ?-÷?+3

11523)5311522(

3. 要使算式7

1265) □7.0(412=?--成立，方框内应填入的数是多少？

4. 计算：??+?25

24

18257124

5. 计算：

).1336

11

11()1136119()936117()736115()536113()336111(?-+?-+?-+?-+?-+?-

6. 计算：).761

231(53)761531(23)531231(

76-?-+?+-? 7. 比较2004

2003

2005200520042006?

?与的大小，并计算它们的差。

8. 计算：).9

5

75()927729)(2(;239238238238)1(+÷+÷

9. 比较下列分数的大小：?28

9227)4(;17163533)3(;4112278)2(;19873

)1(与与与与

10. 比较大小： （1）把3个数59

31

,3518,2413由小到大排列起来；

（2）把5个数101

60

,

3320,2315,1912,1710由小到大排列起来；

11. 比较下列分数的大小：?20062

20052

2006200620052005)2(;56790123465678912345)1(与与

12. 比较下列分数的大小：

99999

2222

99999922222)3(;99992222299999222222)2(;9992229999922222)

1(与

与与

超越篇 1. 计算：??+?19

1131321919213128

2. 计算：

??636363

636636

363363363636

3. 计算：)].20

115110151()1611218141[()]121916131()81614121[(+++-+++÷+++-+++

4. 计算：?+++++++++++++++10

9)10898()1035343()1024232()1013121(

5. 已知?+=+=2006

2005

20052006,2008200720072008B A 试比较A 、B 的大小。 6. ,1005)2011

120091(,1003)2007120051(,1001)2003120011(

?+=?+=?+=C B A 请将A 、B 、C 按从大到小的顺序排列起来。

7. 计算：÷++-++++++-+++++-++)10

13

121191211104765365425431432(

).10

1914131211(-++-+-

8. 计算：

??+?++?+???+?+?+???+?)21202019()4

31

321()4332()321211()3221(

).21

20120191(?+?

第5讲 分数与循环小数

内容概述

掌握分数与小数互相转化酌方法，并在分数与循环小数混合运算中进行合理应用；学会通过分数酌形式判断相应酌小数类型；注意利用圄期性分析循环小数的小数部分．

典型问题

兴趣篇

1．把下列分数化为小数：

;334,113,92)2(;2513,813,43)1(?37

4,133,72)4(;907,225,65)3(

2．把下列循环小数转化为分数：

.83.0,80.0)3(;53.0,10.0)2(;4.0,1

.0)1(

3．把下列循环小数转化为分数：321.0,321.0,21.0,7

.0

4．计算：;7.05.03.0)3(;4.03.02.0)2(;3.02.01

.0)1( ++++++ .32.021.0)5(;312.021.01

.0)4( +++

5．.41235.035124.024513.013452.052341

.0 ++++

6．计算下列各式，并用小数表示计算结果：.815.083.0)2(;153.068

.1)1( ÷?

7．将算式6.03.06.03.06.03

.0 ÷+?-+的计算结果用循环小数表示是多少？

8．将算式12

1

11110191+++的计算结果用循环小数表示是多少？

9．冬冬将3

2.1 乘以一个数口时，把32.1 误看成1. 23，使乘积比正确结果减少0. 3．则正确结果应该是多少？

10．真分数7

a

化成小数后，如果从小数点后第一位起连续若干个数字之和是2000．a 应该是多少？

拓展篇

1．将下列分数化为小数：?13

10

,72,944,65,83

2．把下列循环小数转化为分数：.13846536.6,3071.3,3351.0,84

.0 3．(1)把下面这些分数化为小数后，哪些是有限小数，哪些是纯循环小数，哪些是混循环小

数：

;1111

11,625135,30884,19218,15017,7715,172,5031,43 (2)把下列分数化成循环小数：?143

12

,3714,353

4．计算：;4312.021.01.0)2(;54.013.020

.0)1( ++++ .011021.0212.076.0)4(;96.035.021

.0.)3( ++++

5

．

计

算

：

;98.087.043.032.021.010

.0)1( ++++++.98.087.043.032.021.01

0.0)2( +++++

6．计算：;50.2)84.02

.4)(1( ÷-).513.0531.0(231.0)2( +?

7．计算：.1980.2)81.09162

.1( ÷+（将结果表示为分数和小数两种形式）

8．计算：?+++++11

1

917151311（结果用循环小数表示）

9．将最简真分数7

a

化成小数后，从小数点后第一位开始的连续n 位数之和为9006，a 与n 分别为多少？

10．冬冬写了一个错误的不等式：.2008.02008.02008.02008.0>>>请给式子中每个小数都添加循环点，使不等号成立．请问：添加循环点后这四个数中最大数与最小数的和等于多少？

11．(1)10188

10113和

化成小数后，两个循环小数的小数点后第2008位数字的和是多少？ (2)把2008

68320081325和

化成小数后，两个循环小数的小数点后第2008位数字的和是多少？

12．冬冬将12

3.0 乘以一个数a 时，看丢了一个循环点，使得乘积比正确结果减少了30.0 正确结果应该是多少？

超越篇

1．将循环小数720

.0 与279671.0 相乘，取近似值，要求保留一百位小数．该近似值的最后一位小数是多少？

2．有一个算式

37.111

□5 □2 □≈++，算式左边的方格中都是整数，右边的结果为四舍五入

到百分位后的近似值，那么方格中填人的三个数分别是多少？

3．划去0.5738367981的小数点后的六个数字，再添上表示循环节的两个圆点，可以得到一个循环小数．这样的小数中最大的数为多少？最小的数为多少？

4．给小数0.2138045976添加表示循环节的两个圆点，得到一个循环小数，要使得这个循环小数的小数点后第100位数字是7，应该怎么添加？

5．有两个循环小数a 和b ，a 的循环节有3位，b 的循环节有6位．这两个数之和的循环节最多有多少位？最少有多少位？

6．只用数字1、2、3各一次可以组成很多不含重复数字的循环小数（循环点和小数点可以

任意添加，例如23.1 ，3.12 ，21.3 ）．这些小数的总和是多少？

7．写出一个最简真分数，它的分子是2，并且化成小数后是一个混循环小数，不循环部分

为2位，循环带为3位，那么这个分数最大是多少？

8．我们把由数字0和7组成的小数叫做“特殊数”，例如70

.7 、77.007都是“特殊数”，如果我们将l 写成若干个“特殊数”的和，最少要写成多少个？

第9讲 比较与估算

内容概述

与小数和分数相关的比较问题，涉及多个数之间的比较，以及算式之闻酌比较．需兽进行估算酌计算问题，例如求近似值或求整数部分等，估算酌关键是进行恰当的放缩．

典型问题

兴趣篇

1．分别比较下面每组中两个数的大小： 23

31734.1)3(;73324.0)2(;197375.0)1(与与与

2．有8个数，25

1347241

5.0953215.0、、、、、 是其中的6个，如果按从小到大的顺序排列，第4个数是1

5.0 ，那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数？

3．在不等式4

3

□532<<的方框中填入一个自然数，使得不等式成立．

4．在大于

7

1

且小于113的最简真分数中，分子不超过3的共有多少个？

5．,33

1

71,31191,261141,271131,291111+=+=+=+=+=

E D C B A 请将A 、B 、C 、D 、E 按从小到大的顺序排列起来．

6．下面的4个算式中，哪个算式的结果最大？

;30)291241(;20)191171(?+?+②①.50)47

1

411(;40)371311(?+?+④③

7．计算,1.0125.0742851.06

1.0 +++结果保留三位小数．

8．某次考试中，13名同学的平均分四舍五入到十分位后等于85.4，且每名同学的得分都是整数，请问：这13名同学的总分是多少？计算平均分时四舍五入到百分位等于多少？

9．求下述算式计算结果的整数部分：.385)13

1

11171513121(?+++++

10．算式110

10

11

102103101102100101++++ 的计算结果的整数部分是多少？

拓展篇

1．分别比较下面每组中两个数的大小：?2008

194997.0)3(;3715904.0)2(;193531

.0)1(与与

2．现有7个数，其中5个是,273

373,51

.3,37116,713,41

.3 如果将这7个数按照从小到大排列，第三个数是

37

116

．请问：位于中间的数是多少？

3．在下面9个分数算式中：

;20773;20663;20553+++③②① ;2010103;20993;20883+++⑥⑤④ ?+++20

13

133;2012123;2011113⑨⑧⑦第几个算式的结果最小？这个结果等于多少？

4．从所有分母小于10的真分数中，找出一个最接近0.618的分数．

5．在不等式17

4 □23225<<的方框中填入一个自然数，使得不等号成立，一共有多少种不同的填法？

6．,30

29

65.1,,30365.1,30265.1,30165.1,65.1++++ 这30个数的整数部分之和是多少？

7．算式20

1

191131121111+

++++ 计算结果的整数部分是多少？

8．算式16

1

151514131211+++++++

计算结果的整数部分是多少？

9．(1)算式33.333×33.333计算结果的整数部分是多少？ (2)算式333.33×333.33计算结果的整数部分是多少？

10．将两个小数四舍五入到个位后，所得到的数值分别是7和9．这两个小数乘积的整数部分共有多少种可能的取值？ 11．有一道题目要求17个自然数的平均数，结果保留两位小数．冬冬的计算结果是11. 28，老师说这个数百分位上的数字错了，其他数位上的数都正确，请问：正确答案是多少？ 12．有一 个算式

658.0

□1 □1 □1≈++算式左边的方框各代表一个一位数，右边的结果为四舍五入到千分位后的近似值．方框中填入的三个数字分别为几？

超越篇 1．算式

29

12811111011

++++ 计算结果的整数部分是多少？

2．算式5. 285714×4.9×3. 857142计算结果的整数部分是多少？ 3．在算式

1

□4

□1<+中，方框里填的都是整数，且不等式成立．这个式子左边最大是多少？并说明理由．

4．两个小数相乘，乘积四舍五人以后是22.5这两个数都只有一位小数，且整数部分都是4．请问：这两个数的乘积四舍五人前是多少？

5．老师在黑板上从1开始写了若干个连续自然数：l ，2，3，…，后来擦掉其中的一个数，计算剩下数的平均数保留两位小数后是12.52老师擦掉的数是多少？

6．某天中午，3个老师买盒饭吃．如果买4盒分着吃可以让大家都吃饱，而且还有剩余．此时又来了一位老师，结果发现再多买一盒还不够大家吃．后来又来了若干位老师，结果再多买几盒盒饭后，不多不少刚好够大家吃．如果每个老师的饭量都一样，那么后来至少再来了多少位老师？

7．请比较1983

1984

45342312200820074332211+

+++++++++

与的大小

8．小姚计算27个正整数的平均数，保留六位小数后为8. 329610，老师说结果中某些数字肯定是错的，那么小姚至少算错了几个数字？此时正确的平均数是多少？

第17讲 计算综合一

内容概述

了解等比数列的基本概念，学会利用错位相减的方法进行求和；灵活使用各种方法简化较复杂的分散算式；具有一定综合性的“定义新运算”问题；较复杂的数列与数表问题．

典型问题

兴趣篇

1．计算;

2561286432168421)1(++++++++?++++++++256

112816413211618141211)2(

2．计算.3333336

5

4

3

2

+++++

3．计算?++++09

200920092020092009200995

1995199519199519951995

4．计算??+?+?6

5

5363542152433141

5．计算?++-++-++-+2

1100419318217416315214

413312211

6．规定新运算“*”为：a*b=3 × a – 2 × b. （1）计算：

);56*45(*34（2）已知5

6

)45*(*34=x ，求x

7．图17-1中除了每行两端的数之外，其余每个数都是与它相连的上一行的两个数的平均数，例如：2.75是2.5和3的平均数，请问：第100行中的各数之和是多少？

8．有这样一列数，前两个数分别是0和1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和： 0，l ，l ，2，3，5，8，13，21，34，…，请问：这个数列的第1000个数除以8所得的余数是多少？

9．观察下面的数阵：

根据前五行数所表达的规律，求：

(1)嚣这个数在由上至下的第几行？在这一行中，它是由左向右的第几个？ (2)第28行第19个数是什么？

10．观察数列，?,4

1,42,43,44,43,42,41,31,32,33,32,31,21,22,21,11求

(1)数列中第150项；(2)数列中前300项的和．

拓展篇

1．如图17-2，有一个边长为81厘米的等边三角形，将它每条边都三等分，以中间那一份为边向外作等边三角形，得到图17-3.由图17-3通过同样方法又得到图17-4.如果再由图17-4通过同样方法得到一个新的图形，试问：这个新的图形的周长是多少？

2．计算：;22222221)1(7

6

5

4

3

2

+++++++?+++++++

7

65432313131313131311)2(

3．某工厂生产一种新型的乒乓球，第一天生产出了若干个，接下来每天的产量恰好是前一天的1.5倍，且每天都生产整数个乒乓球，请问：第一周的总产量至少是多少？

4．计算：???++??+????++??+??400

30020086|4432300

200100642321

5．计算：).19981998199919991

199********(8792

22+?-+-+

÷

6．对于任意的两个自然数a 和b ，规定新运算“Θ”为：

?+?+?=Θ)2()1(a a a b a ,156003)3().1(=ΘΘ-+?x b a 如果 求x 的值。

7．定义新运算a Ωb 为a 与b 之间(包含a 、b)所有与a 奇偶性相同的自然数的平均数，例如：7Ω14=(7+9+11 +13) ÷4=10，18Ω10=(18+16+14+12+10) ÷ 5=14. (1)计算：10Ω19；

(2)在算式口Ω(19Ω99)= 80的方框中填入恰当的自然数后可使等式成立，请问：所填的数是什么？

8．1至2008这2008个自然数的所有数字之和是多少？

9．有一串数如下：1，2，4，7，11，16，…．它的规律是：由1开始，依次加1，加2，加3，…，逐个产生这串数，直到第50个数为止，求第50个数除以3的余数．

10．70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于与它相邻的两个数之和．这一行最左边的几个数是这样的：0，l ，3，8，21，…．请问：这列数中除以6余l 的数有多少个？

11．观察数列2008

2007

,

20082005,,101;

87,85,83,81,65,63,61,43,41,21 的规律，问： (1)数列中第2008项是什么？ (2)数列中前2008项的和是多少？

12．将从1开始的自然数按照如图17-5所示的规律排成数阵，数1000所在的行与列中分别

有一个最小的数，求这两个数的和．

超越篇

1．求所有分母为360的最简真分数的和．

2．有一种运算“*”，满足以下条件：

①2 * 3 = 5；②a * b = b * a ；③a *（b + c ）=a * b * c ．（这里的“+”是通常的加号）请计算：8*9．

3．下面的数列是按某种规律排列的：1，3，4，7，11，18，29，47，… 试问： (1)其中第300个数被6除余几？

(2)如果数列按第n 组含有n 个数的规律分组，成为： (1)， (3，4)，(7，11，18)，…，那么第300组内各数之和除以6的余数是多少？

4．如图17-6所示的三角形数阵中，从第2行起，每行都是把上一行抄一遍，然后在相邻两数之间填入它们的和，请问：第999行各数之和被7除所得的余数是多少？

5．有一个圆，第一次用一条直径将圆周分成两个半圆周，在每个分点上标上1；第二次，

再将两个半圆周分别分成两个

4

1圆周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的21；第三次，

再将四个4

1

圆周分别分成两个81圆周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的31；第四次，

再将八个81圆周分别分成两个161圆周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的4

1

……如此

进行了100次．请问：最后圆周上的所有数之和是多少？

6．将非零自然数按照图17-7中的规律不断写出，发现有些数被写出多次，还有些数永远不会出现，请问：99在数表中共出现过几次？最后一次位于哪里？最小的永不出现的数是多少？

7．请写出5个不同的最简分数，分子都是2，而且这5个分数组成一个等差数列．

8．规定运算“Ω”对任意的x 、y 、z 都满足y Ω x = 5，x Ω (y Ωz)=(x Ωy) + z – 5，试求2009Ω1949.

第1讲 分数数列计算

内容概述

建立抵消的思想，特别是灵话运用裂项的方法求解一些分数数列的计算问题．

典型问题

兴趣篇

1．计算：

??+?+?+?+?+?+?+?+?1091981871761651541431321211 2．计算：

??++?+?+?99

972752532312

3．计算：??++?+?+?100981861641421 4．计算：.901

72156142130120112161+++++++

5．计算：?+++++97001

130170128141

6．计算：??++?+-?++?+-?+10

910

99898878776766565

7．计算：?+-+-+-+-9019

72175615421330112091276523

8．计算：???++??+??+??10099982

543243223212

9．计算：?++++++240

239

210209************

10．计算：?+?-??+?-?+?-)9

1

1()911()311()311()211()211(

拓展篇 1．计算：

??++?+?+?+?+?200820071651541431321211 2．计算：??++?+?+?+?101983

141131183853523

3．计算：??-?+?-?+?-?13

1124

1192097167512538314

4．计算：;90

1

17721155611342111301920171215613211)1(++++++++

?-?-?+?++?+?-?-?+?+?-?-?+?4

408241398040387839377611920108189716861475126410538426314)2( 5．计算：

)

10921()921(10

)4321()321(4)321()21(3)21(121++++?++++

++++?+++++?+++?+

6．计算：?++++++420839

3807592039122361123 7.计算：

???++???+??+??100

9799

981079874654132 8.计算： ?+++++++++++++++20

642186421642142121 9.计算：???++??+??+??50

49481

543143213211

10.计算：???++??+??+??10

9811

543643253214

11.计算：?-???-?-)99

1

1()311()211(222

12.计算：??+???+??+??+)2009

200711()5311()4211()3111(

超越篇

1.计算：??++?+++?++?+20

19201919181918323221212

2222222

2.计算：.1

201

20118118141412122222222

2?-++-+++-++-+

3.已知算式)19

18

9()17168()542()321(+?+??+?+ 的结果是一个整数，那么它的末两位数字是多少？

4.计算：???++??+??+??20191837

543743253213

5.计算：!10099

!43!32!21+

+++ （最后结果可以用阶乘表示）

6.已知222264

1

1019181,81++++== B A ，请比较A 和B 的大小。 7.计算：1000

323100

!10233!532!431!3?++?+?+? （结果可以用阶乘和乘方表示） 8.计算：???????????++????+??+1

2959697459899100959697989910096979910097100

第9讲计算综合二

内容概述

综合性较强的计算问题。

典型问题

兴趣篇

1．计算：).09.053

2

1323.1()1857.66.35333.4(31

--÷-÷+-??

2．要使等式5

3

332154]1011) □625.1(3

2

2[6.15=÷--+?÷成立，方格内应该填入多少？

3．计算：?÷?+?-

21280

1535201534187

4．计算：

??

-+

+

5

.353

2121950

12002200211950

5．计算下列繁分数：

;3

1211)1(++

;4

131211)2(++

+

?-+

-

1987

111111)3(

6．算式10

1

91817161514131211+++++++++的计算结果，小数点后第2008位是数字几？

7．定义运算符号“△”满足：??+=?b

a b

a b a 计算下列各式： (1) 100△102; (2) (3△4) △5

?????)

32(13

)21()

3(

8．已知8

765458

57565554:

37 □:112111333

++++++++=，那么方框所代表的数是什么？

9．如图9-1，每一条线段的长度规定为它的端点上两数之和，图中6条线段的长度总和是多少？

10．我们规定：△n=n ×n ＋l ），比如：△l=l ×2，△2=2×3，△3=3×4.请问：