【苏教版(理)】【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义【配套Word版文档】9.8
§9.8 抛物线
2014高考会这样考 1.考查抛物线的定义、标准方程；2.考查抛物线的几何性质、焦点弦问题；3.考查直线与抛物线的位置关系．
复习备考要这样做 1.熟练掌握抛物线的定义和四种形式的标准方程；2.能根据抛物线的方程研究抛物线的几何性质；3.掌握直线与抛物线位置关系问题的一般解法．
1．抛物线的概念
平面内到一个定点F 和一条定直线l (F 不在l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程
y 2＝2px (p >0)
y 2＝－2px (p >0)
x 2＝2py (p >0)
x 2＝－2py (p >0)
p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离
图形
顶点 O (0,0)
对称轴 y ＝0
x ＝0
焦点 F ????p 2，0
F ???
?－p
2，0 F ???
?0，p 2 F ?
???0，－p
2 离心率 e ＝1
准线方程 x ＝－p
2
x ＝p 2 y ＝－p
2
y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R
x ≤0，y ∈R
y ≥0，x ∈R
y ≤0，x ∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
[难点正本 疑点清源] 1．抛物线的定义
抛物线的定义实质上给出了一个重要的内容：可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．
2．抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，p
2等于焦点到抛物
线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．
3．求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程．
1．动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________． 答案 y 2＝4x
解析 设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .
2．若抛物线y 2
＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．
答案 4
解析 因为椭圆x 26＋y 2
2＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y 2＝2px 的焦点为(2,0)，则
p ＝4.
3．(2012·重庆)过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若AB ＝25
12，AF 则AF ＝_____________. 答案 56 解析 由于y 2＝2x 的焦点坐标为????12，0，设AB 所在直线的方程为y ＝k ????x －12，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1 22＝2x ， ∴k 2x 2 －(k 2 ＋2)x ＋k 24＝0.∴x 1x 2＝1 4 . 而x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋1＝25 12 ， ∴x 1＋x 2＝1312.∴x 1＝13，x 2＝3 4. ∴|AF |＝x 1＋p 2＝13＋12＝5 6 . 4．(2012·四川改编)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM ＝________. 答案 2 3 解析 由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则M 到焦点的距离为x M ＋p 2＝2＋p 2＝3，∴p ＝2，∴y 2＝4x . ∴y 2 0＝4×2＝8，∴OM ＝4＋y 20＝4＋8＝2 3. 5．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是______________． 答案 [－1,1] 解析 Q (－2,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0， 由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0， 解得－1≤k ≤1. 题型一 抛物线的定义及应用 例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求P A ＋PF 的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标． 思维启迪：由定义知，抛物线上点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线l 的距离d ，求P A ＋PF 的问题可转化为求P A ＋d 的问题． 解 将x ＝3代入抛物线方程 y 2＝2x ，得y ＝±6. ∵6>2，∴A 在抛物线内部，如图． 设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－1 2 的距离为d ，由定义知P A ＋ PF ＝P A ＋d ，当P A ⊥l 时，P A ＋d 最小，最小值为7 2 ，即P A ＋PF 的最小值为7 2，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2,2)． 探究提高 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径． (2011·辽宁改编)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点， AF ＋BF ＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为__________． 答案 54 解析 ∵AF ＋BF ＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝5 2 . ∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝5 4. 题型二 抛物线的标准方程和几何性质 例2 抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2＋y 2＝9相交，公共弦MN 的长为25， 求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程． 思维启迪：首先确定方程的形式，根据条件列方程确定方程中的系数． 解 由题意，抛物线方程为x 2＝2ay (a ≠0)． 设公共弦MN 交y 轴于A ，N 在y 轴右侧， 则MA ＝AN ，而AN ＝ 5. ∵ON ＝3，∴OA ＝32－(5)2＝2，∴N (5，±2)． ∵N 点在抛物线上，∴5＝2a ·(±2)，即2a ＝±5 2 ， 故抛物线的方程为x 2＝52y 或x 2＝－5 2 y . 抛物线x 2＝52y 的焦点坐标为????0，58，准线方程为y ＝－58 . 抛物线x 2＝－52y 的焦点坐标为????0，－58，准线方程为y ＝58 . 探究提高 (1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p 的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程． (2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程． 如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点， 两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程． 解 设直线OA 的方程为y ＝kx ，k ≠0，则直线OB 的方程为 y ＝－1k x ， 由? ???? y ＝kx ，y 2＝2px ，得x ＝0或x ＝2p k 2. ∴A 点坐标为????2p k 2，2p k ，B 点坐标为(2pk 2 ，－2pk )， 由OA ＝1，OB ＝8，可得????? 4p 2k 2 ＋1k 4＝1， ① 4p 2k 2(k 2＋1)＝64， ② ②÷①解方程组得k 6＝64，即k 2＝4. 则p 2＝16k 2(k 2＋1)＝4 5 . 又p >0，则p ＝255，故所求抛物线方程为y 2＝45 5x . 题型三 直线与抛物线的位置关系 例3 (2011·江西)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1， y 1)，B (x 2，y 2)(x 1 (2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB → ，求λ的值． 思维启迪：(1)联立方程，利用焦点弦公式求解；(2)先求出A 、B 坐标，利用关系式表示出点C 坐标，再利用点C 在抛物线上求解． 解 (1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p 2 )，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所 以x 1＋x 2＝5p 4 . 由抛物线定义得AB ＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x . (2)由p ＝4知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0， 从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)． 设OC → ＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1，42λ－22)， 又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2 ＝8(4λ＋1)， 即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2. 探究提高 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB ＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点． (1)设l 的斜率为1，求AB 的大小； (2)求证：OA →·OB → 是一个定值． (1)解 ∵F (1,0)，∴直线l 的方程为y ＝x －1， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由? ???? y ＝x －1， y 2＝4x 得x 2－6x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1. ∴AB ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·36－4＝8. (2)证明 设直线l 的方程为x ＝ky ＋1， 由? ???? x ＝ky ＋1，y 2＝4x 得y 2－4ky －4＝0. ∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4， OA →＝(x 1，y 1)，OB → ＝(x 2，y 2)． ∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(ky 1＋1)(ky 2＋1)＋y 1y 2 ＝k 2y 1y 2＋k (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2 ＝－4k 2＋4k 2＋1－4＝－3. ∴OA →·OB →是一个定值． 直线与抛物线的位置关系问题 典例：(14分)(2011·湖南)已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1. (1)求动点P 的轨迹C 的方程； (2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与 轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB → 的最小值． 审题视角 (1)依题设可知，利用直接法求轨迹方程；(2)先设直线l 1的斜率为k ，依题设 条件可求出AD →·EB → 关于k 的解析式，利用均值不等式求最值． 规范解答 解 (1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有(x －1)2＋y 2－|x |＝1. 化简得y 2＝2x ＋2|x |. 当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0. 所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0 (x <0)．[4分] (2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)． 由? ???? y ＝k (x －1)，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.[6分] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根， 于是x 1＋x 2＝2＋4 k 2，x 1x 2＝1. 因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1 k . 设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)， 则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1.[9分] 故AD →·EB →＝(AF →＋FD →)·(EF →＋FB →) ＝AF →·EF →＋AF →·FB →＋FD →·EF →＋FD →·FB → ＝|AF →|·|FB →|＋|FD →|·|EF →| ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1) ＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1 ＝1＋??? ?2＋4 k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1 ＝8＋4????k 2＋1k 2≥8＋4×2k 2·1 k 2＝16.[13分] 当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝±1时，AD →·EB → 取最小值16.[14分] 第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二 次方程； 第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0 时参数范围(或指出直线过曲线内一点) 第三步：建立关于所求问题的目标函数； 第四步：最值问题常结合函数单调性或基本 不等式求出； 定值问题只证明函数为常数函数，与变量 无关； 第五步：反思回顾，有无忽略特殊情况． 温馨提醒 解决直线与圆锥曲线位置关系问题，要注意以下几点： (1)理解数形结合思想，掌握解决此类问题的一般方法； (2)不要忽略对Δ>0的限制或验证； (3)涉及平面向量运算时，要注意垂直、中点等几何性质的应用； (4)最值范围问题，要确定目标函数；探索性问题要先假设存在，然后推理求解. 方法与技巧 1．认真区分四种形式的标准方程 (1)区分y ＝ax 2与y 2＝2px (p >0)，前者不是抛物线的标准方程． (2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)． 2．抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)y 1y 2＝－p 2 ，x 1x 2＝p 2 4 ； (2)若直线AB 的倾斜角为θ，则AB ＝2p sin 2θ ； (3)若F 为抛物线焦点，则有1AF ＋1BF ＝2 p . 失误与防范 1．求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p 值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程． 2．注意应用抛物线的定义解决问题． A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：62分) 一、填空题(每小题5分，共35分) 1．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线y 25－x 2 4＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准 方程是__________． 答案 x 2＝－12y 或x 2＝12y 解析 由题意得c ＝5＋4＝3，∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)，∴该抛物线的标准方程为x 2＝12y 或x 2＝－12y . 2．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，AB ＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为________． 答案 36 解析 不妨设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，由于l 垂直于对称轴且过焦点，故直线 l 的方程为x ＝p 2 .代入y 2＝2px 得y ＝±p ，即AB ＝2p ，又AB ＝12，故p ＝6，所以抛物线 的准线方程为x ＝－3，故S △ABP ＝1 2×6×12＝36. 3．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么PF ＝________. 答案 8 解析 设P ????y 2 8，y ，则A (－2，y )， 由k AF ＝－3，即y －0 －2－2＝－3， 得y ＝43， PF ＝P A ＝y 2 8 ＋2＝8. 4．从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且PM ＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为________． 答案 10 解析 由抛物线方程y 2＝4x 易得抛物线的准线l 的方程为x ＝－1，又由PM ＝5可得点P 的横坐标为4，代入y 2＝4x ，可求得其纵坐标为±4，故S △MPF ＝1 2×5×4＝10. 5． 若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是__________． 答案 x 2＝12y 解析 由题意可知点P 到直线y ＝－3的距离等于它到点(0，3)的距离，故点P 的轨迹是 以点(0,3)为焦点，以y ＝－3为准线的抛物线，且p ＝6，所以其标准方程为x 2＝12y . 6．已知抛物线y 2＝4x 上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离MF ＝4，则点M 的横坐标x ＝________. 答案 3 解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1.根据抛物线的定义，点M 到准线的距离为4，则M 的横坐标为3. 7．设P 是曲线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点B (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为___________． 答案 5 解析 ∵抛物线的顶点为O (0,0)， p ＝2，∴准线方程为x ＝－1，焦点F 坐标为(1,0)，∴点P 到点B (－1,1)的距离与点P 到准线x ＝－1的距离之和等于PB ＋PF . 如图，PB ＋PF ≥BF ，当B 、P 、F 三点共线时取得最小值， 此时BF ＝(－1－1)2＋(1－0)2＝ 5. 二、解答题(共27分) 8．(13分)抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程． 解 如图，依题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 则直线方程为y ＝－x ＋1 2 p . 设直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则由抛物线定义得AB ＝ AF ＋FB ＝AC ＋BD ＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2 ， 即x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝8. ① 又A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点， 由????? y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ， 消去y 得x 2 －3px ＋p 24＝0. ∴x 1＋x 2＝3p . 将其代入①得p ＝2，∴所求抛物线方程为y 2＝4x . 当抛物线方程设为y 2＝－2px 时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x . 综上，抛物线的方程为y 2＝±4x . 9． (14分)已知定点A (1,0)和直线x ＝－1上的两个动点E ，F ，且AE →⊥AF →，动点P 满足EP →∥OA → ， FO →∥OP → (其中O 为坐标原点)． (1)求动点P 的轨迹C 的方程； (2)过点B (0,2)的直线l 与(1)中的轨迹C 相交于两个不同的点M ，N ，若AM →·AN → <0，求直 线l 的斜率的取值范围． 解 (1)设P (x ，y )，E (－1，y E )，F (－1，y F )． ∵AE →·AF →＝(－2，y E )·(－2，y F )＝y E ·y F ＋4＝0， ∴y E ·y F ＝－4， ① 又EP →＝(x ＋1，y －y E )，FO →＝(1，－y F )，且EP →∥OA →，FO →∥OP → ，∴y －y E ＝0且x (－y F )－y ＝0， ∴y E ＝y ，y F ＝－y x ，代入①得y 2＝4x (x ≠0)， ∴动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≠0)． (2)设l ：y －2＝kx (易知k 存在)，联立y 2＝4x 消去x ， 得ky 2－4y ＋8＝0，令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4k ，y 1·y 2＝8 k ， AM →·AN →＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2) ＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2 ＝y 21·y 2 216－y 21＋y 224 ＋1＋y 1y 2 ＝????y 1y 242－(y 1＋y 2)24＋32 y 1y 2＋1 ＝12 k ＋1<0，∴－12 B 组 专项能力提升 (时间：35分钟，满分：58分) 一、填空题(每小题5分，共30分) 1．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，则弦AB 的中点坐标为__________． 答案 (3,2) 解析 依题意得，抛物线C 的方程是y 2 ＝4x ，直线l 的方程是y ＝x －1.由? ???? y 2 ＝4x y ＝x －1消去 y 得x 2－6x ＋1＝0，因此线段AB 的中点的横坐标是6 2＝3，纵坐标是y ＝3－1＝2，所以 线段AB 的中点坐标是(3,2)． 2．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A → | ＋|FB →|＋|FC → |＝________. 答案 6 解析 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，又F (1,0)． 由F A →＋FB →＋FC → ＝0知(x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0， 即x 1＋x 2＋x 3＝3， |F A →|＋|FB →|＋|FC → |＝x 1＋x 2＋x 3＋32 p ＝6. 3．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A 的坐标为__________． 答案 (2，±22) 解析 如图所示，由题意，可得OF ＝1，由抛物线的定义，得AF ＝AM ， ∵△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1， ∴S △AMF S △AOF ＝1 2×AF ×AM ×sin ∠MAF 1 2×OF ×AF ×sin (π－∠MAF ) ＝3， ∴AF ＝3OF ＝3，∴AM ＝AF ＝3，设A ????y 204，y 0， ∴y 20 4＋1＝3，解得y 0＝±2 2. ∴y 20 4 ＝2，∴点A 的坐标是(2，±22)． 4．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是 M ，点A ???? 72，4，则P A ＋PM 的最小值是________． 答案 92 解析 设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F ????12，0，又点A ??? ?7 2，4在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x ＝－12，则PM ＝d －1 2，又P A ＋d ＝P A ＋PF ≥AF ＝5， 所以P A ＋PM ≥9 2. 5．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，点A (0,2)，连结F A 交抛物线于点B ，过B 作l 的垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p 的值为________． 答案 2 解析 由抛物线定义可知BM ＝BF ，又由平面几何知识得BM ＝BA ，所以点B 为AF 的 中点，又B ????p 4，1在抛物线上，所以12＝2p ×p 4 ，即p 2＝2，又p >0，故p ＝ 2. 6．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，F A → 与x 轴正 向的夹角为60°，则|OA → |＝________. 答案 21 2p 解析 过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，令FD ＝ m ， 则F A ＝2m ，p ＋m ＝2m ，m ＝p . ∴|OA →|＝ ????p 2＋p 2＋(3p )2＝212p . 二、解答题(共28分) 7．(14分)设M 、N 为抛物线C ：y ＝x 2上的两个动点，过M 、N 分别作抛物线C 的切线l 1、l 2，与x 轴分别交于A 、B 两点，且l 1与l 2相交于点P ，若AB ＝1. (1)求点P 的轨迹方程； (2)求证：△MNP 的面积为一个定值，并求出这个定值． (1)解 设M (m ，m 2)，N (n ，n 2)，则依题意知，切线l 1，l 2的方程分别为y ＝2mx －m 2，y ＝2nx －n 2， 则A ????m 2，0，B ????n 2，0，设P (x ，y )，由? ???? y ＝2mx －m 2，y ＝2nx －n 2， 得????? x ＝m ＋n 2y ＝mn ， ① 因为AB ＝1，所以|n －m |＝2， 即(m ＋n )2－4mn ＝4，将①代入上式得：y ＝x 2－1， ∴点P 的轨迹方程为y ＝x 2－1. (2)证明 设直线MN 的方程为y ＝kx ＋b (b >0)． 联立方程? ???? y ＝kx ＋b y ＝x 2 ，消去y 得x 2－kx －b ＝0， 所以m ＋n ＝k ，mn ＝－b ， ② 点P 到直线MN 的距离d ＝??? ?k ????m ＋n 2－mn ＋b 1＋k 2， MN ＝1＋k 2|m －n |， ∴S △MNP ＝1 2 d ·MN ＝12????k ????m ＋n 2－mn ＋b ·|m －n | ＝14·(m －n )2·|m －n |＝2. 即△MNP 的面积为定值2. 8．(14分)已知A (8,0)，B 、C 两点分别在y 轴上和x 轴上运动，并且满足AB →·BP →＝0，BC →＝CP → ， (1)求动点P 的轨迹方程； (2)是否存在过点A 的直线l 与动点P 的轨迹交于M 、N 两点，且满足QM →·QN → ＝97，其中Q (－1,0)，若存在，求出直线l 的方程；若不存在请说明理由． 解 (1)设B (0，b )，C (c,0)，P (x ，y )； 则AB →＝(－8，b )，BP → ＝(x ，y －b )， BC →＝(c ，－b )，CP → ＝(x －c ，y )． ∴AB →·BP →＝－8x ＋b (y －b )＝0.① 由BC →＝CP → ，得? ???? c ＝x －c ，－b ＝y ， ∴b ＝－y 代入①得y 2＝－4x . ∴动点P 的轨迹方程为y 2＝－4x . (2)当直线l 的斜率不存在时，x ＝8与抛物线没有交点，不合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ， 则l ：y ＝k (x －8)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则QM →＝(x 1＋1，y 1)，QN → ＝(x 2＋1，y 2)， 由QM →·QN →＝97，得(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝97. 即x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋k 2(x 1－8)(x 2－8)＝97， ∴(1＋k 2)x 1x 2＋(1－8k 2)(x 1＋x 2)＋1＋64k 2＝97.② 将y ＝k (x －8)代入y 2＝－4x ③ 得k 2x 2＋(4－16k 2)x ＋64k 2＝0. ∴x 1＋x 2＝16k 2－4 k 2，x 1x 2＝64. 代入②式得： 64(1＋k 2 )＋(1－8k 2 )16k 2－4 k 2 ＋1＋64k 2＝97. 整理得k 2＝14，∴k ＝±1 2 . 此时根据③式判别式可知方程无解，故不存在这样的直线l . 考点一对质点、参考系和位移的理解 1．质点 (1)用来代替物体有质量的点叫做质点． (2)研究一个物体的运动时，如果物体的形状和大小对问题的影响可以忽略，就可以看做质点． (3)质点是一种理想化模型，实际并不存在． 2．参考系 (1)参考系可以是运动的物体，也可以是静止的物体，但被选为参考系的物体，我们都假定它是静止的． (2)比较两物体的运动情况时，必须选同一参考系． (3)选取不同的物体作为参考系，对同一物体运动的描述可能不同．通常以地球为参考系．3．位移 (1)定义：表示质点的位置变动，它是质点由初位置指向末位置的有向线段． (2)与路程的区别：位移是矢量，路程是标量．只有在单向直线运动中，位移的大小才等于路程． [思维深化] 判断下列说法是否正确． (1)只有质量和体积都很小的物体才能看成质点．(×) (2)平动的物体都可以看做质点，而转动的物体不能看做质点．(×) (3)参考系可以任意选取，但一般遵循描述运动方便的原则．(√) (4)当一个物体做竖直上抛运动返回原抛出点时，位移的大小等于上升高度的两倍．(×) 1．[对质点的理解]以下情景中，人或物体可以看成质点的是() A．研究一列火车通过长江大桥所需的时间 B．乒乓球比赛中，运动员发出的旋转球 C．研究航天员翟志刚在太空出舱挥动国旗的动作 D．用GPS确定打击海盗的“武汉”舰在大海中的位置 答案 D 解析长江大桥虽长，但火车长度与之相比不能忽略，不符合“物体的大小或形状对研究的问题没有影响，或者对研究问题可以忽略时，物体就可以看做质点”的条件，选项A错误；既然是“旋转球”，就是要研究球的旋转的，如果把它看成质点，则掩盖了其旋转的特点，故不能把它看做质点，选项B错误；研究航天员翟志刚在太空出舱挥动国旗的动作时，突出的是看清“挥动国旗的动作”，不能把翟志刚看成质点，选项C错误；用GPS确定“武汉”舰在大海中的位置时，突出它的“位置”，可以把“武汉”舰看成质点(船的大小与大海相比，其大小可以忽略)，故选项D正确． 2．[对参考系的理解](多选)从水平匀速飞行的直升机上向外自由释放一个物体，不计空气阻力，在物体下落过程中，下列说法正确的是() A．从直升机上看，物体做自由落体运动 B．从直升机上看，物体始终在直升机的后方 C．从地面上看，物体做平抛运动 D．从地面上看，物体做自由落体运动 答案AC 3．[对质点、参考系和位移的理解]在“金星凌日”的精彩天象中，观察到太阳表面上有颗小黑点缓慢走过，持续时间达六个半小时，那便是金星，这种天文现象称为“金星凌日”，如图1所示．下面说法正确的是() 图1 A．地球在金星与太阳之间 B．观测“金星凌日”时可将太阳看成质点 C．以太阳为参考系，金星绕太阳一周位移不为零 D．以太阳为参考系，可以认为金星是运动的 答案 D 解析金星通过太阳和地球之间时，我们才看到金星没有被太阳照亮的一面呈黑色，选项A 选修4－5不等式选讲 1．两个实数大小关系的基本事实 a>b?________；a＝b?________；a 5．基本不等式 (1)定理：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2)定理(基本不等式)：如果a ，b >0，那么a ＋b 2________ab ，当且仅当________时，等号成 立．也可以表述为：两个________的算术平均________________它们的几何平均． (3)利用基本不等式求最值 对两个正实数x ，y ， ①如果它们的和S 是定值，则当且仅当________时，它们的积P 取得最________值； ②如果它们的积P 是定值，则当且仅当________时，它们的和S 取得最________值． 6．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)定理 如果a ，b ，c 均为正数，那么a ＋b ＋c 3________3 abc ，当且仅当________时，等号 成立． 即三个正数的算术平均____________它们的几何平均． (2)基本不等式的推广 对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均__________它们的几何平均，即 a 1＋a 2＋…＋a n n ________n a 1a 2…a n ， 当且仅当________________时，等号成立． 7．柯西不等式 (1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立． (2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2 n )≥(a 1b 1 ＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立． (3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立． 8．证明不等式的方法 (1)比较法 ①求差比较法 知道a >b ?a －b >0，a b ，只要证明________即可，这种方法称为求差比较法． ②求商比较法 由a >b >0?a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时要证明a >b ，只要证明________即可，这 种方法称为求商比较法． 第2章第8讲 考点一 钠的性质及应用 题组一 钠与水的反应及拓展应用 1．答案 D 解析 钠与盐酸反应时钠先与H＋反应，离子方程式表示为2Na＋2H ＋===2Na＋＋H ↑，A错误；B错误；X烧杯中生成的溶质为NaOH，Y烧 2 杯中生成的溶质为NaCl，Z烧杯中生成NaOH，由于原溶质为NaOH，故Z烧杯中物质的量浓度最大，C错误；因向三个烧杯中加入钠的物质的量相同且钠全部反应完，故生成H2的量相同，D正确。 2．答案 ①④⑤⑦ 解析 2Na＋2H2O===2NaOH＋H2↑，①中Mg2＋＋2OH －===Mg(OH) ↓；④中反应消耗水，溶液温度升高，Ca(OH)2的溶解度 2 降低，析出Ca(OH)2产生沉淀；⑤中Ca2＋＋HCO＋OH－===CaCO3↓＋H2O；⑥中生成的Cu(OH)2是蓝色沉淀，不符合题意；⑦中水减 少，c(Na＋)增大，使NaCl(s)Na＋(aq)＋Cl－(aq)平衡向左移动。3．答案 c>a>b 钠与上述三种物质反应的实质都是钠与H＋间的置换反应，H＋浓度的大小决定了反应速率的快慢，由三种物质电离H＋的能力可知H＋浓度的大小顺序为c>a>b，因而反应速率为c>a>b 题组二 钠与水反应实验拓展 4．答案 (1)abd (2)b 解析 (1)钠投入饱和NaOH溶液中，发生的反应为2Na＋ 2H2O===2NaOH＋H2↑，其现象与钠在水中的反应现象相同；又因为原溶液是饱和的，反应消耗水，析出NaOH固体，则NaOH溶液浓度不变，但溶液体积减小，故Na＋数目减少。(2)Na和H2O反应产生H2的同时产生NaOH，NaOH可以和Al发生反应2Al＋2NaOH＋ 选修4－4 坐标系与参数方程 1．极坐标系 (1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做________，从O 点引一条射线Ox ，叫做________，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系． 设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的________，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝______，y ＝________. 另一种关系为ρ2＝________，tan θ＝________. 2．简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程 θ＝α (ρ∈R )表示过极点且与极轴成α角的直线； ρcos θ＝a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线； ρsin θ＝b 表示过??? ?b ，π 2且平行于极轴的直线； ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程． (2)圆的极坐标方程 ρ＝2r cos θ表示圆心在(r,0)，半径为|r |的圆； ρ＝2r sin θ表示圆心在????r ，π 2，半径为|r |的圆； ρ＝r 表示圆心在极点，半径为|r |的圆． 3．曲线的参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数? ???? x ＝f (t )， y ＝g (t ). 并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的________________，其中变量t 称为________． 4．一些常见曲线的参数方程 (1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为________________(t 为参数)． (2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为________________________(θ为参数)． (3)椭圆方程x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的参数方程为________________(θ为参数)． (4)抛物线方程y 2＝2px (p >0)的参数方程为________________(t 为参数)． 1．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π 4 )＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________． 2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为____________________． 3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线? ???? x ＝4t 2 ， y ＝4t (t 为参数)上，则PF ＝________. 4．直线? ???? x ＝－1＋t sin 40° ，y ＝3＋t cos 40°(t 为参数)的倾斜角为________． 5．已知曲线C 的参数方程是? ???? x ＝3t ， y ＝2t 2 ＋1(t 为参数)．则点M 1(0,1)，M 2(5,4)在曲线C 上的是________． 题型一 极坐标与直角坐标的互化 例1 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π 3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标； 第1讲 地球仪与地图 考点一 地球仪与经纬网 1．地球的形状和大小 由上图知：地球赤道半径略大于极半径，故其形状特点是：两极稍扁、赤道略鼓的椭球体。 2．地球仪 (1)地轴：地球仪上，地球绕转的轴，其倾斜方向不变——北端始终指向北极星。 (2)两极：地轴穿过地心，与地球表面相交的两点。 (3)经线和纬线的特点 ①经线特点????? 所有经线长度都相等，长约2万千米所有经线都相交于南、北极点 两条相对应的经线构成一个经线圈，将地球 平分为两个半球 ②纬线特点???? ? 纬线是大小不等的圆圈赤道是最大的纬线圈，越往两极，纬线圈越小 每条纬线与每条经线垂直相交 (4)经度和纬度 经度纬度 图示 划分从本初子午线向东、向西各分180°从赤道向南、向北各分90° 分布规律东经度的度数愈向东愈大，西经度 的度数愈向西愈大 北纬的度数愈向北愈大，南纬 的度数愈向南愈大 划分半球20°W～0°～160°E为东半球， 160°E～180°～20°W为西半球 以赤道为界，以北为北半球， 以南为南半球 特殊经纬度①本初子午线为东西经分界线。 ②180°经线大致与日界线重合 ①30°纬线是中、低纬度界 线；60°纬线是中、高纬度界 线。 ②回归线是热带、温带界线， 极圈是温带、寒带界线 经度和纬度的判断方法 (1)东西经的判断：顺地球自转方向数值逐渐增大的为东经，数值逐渐减小的为西经。 (2)南北纬的判断：数值自南向北逐渐增加的为北纬；数值自北向南逐渐增加的为南纬。 经过地球球心的一条直线与地表相交的两点互为对跖点。已知甲地(30°S,45°E)和乙地互为对跖点。读图，回答1～2题。 1．与乙地经纬度相同的是( ) A．① B．② 第十二章 推理证明、算法初步、复数 第1讲 归纳与类比一、选择题 1．观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为 ( )． A ．76 B ．80 C ．86 D ．92解析 由|x |＋|y |＝1的不同整数解的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x |＋|y |＝n 的不同整数解的个数为4n ，故|x |＋|y |＝20的不同整数解的个数为80.故选B.答案 B 2．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( )．A ．289 B ．1 024C ．1 225 D ．1 378解析 观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3，…，a n ＝a n －1＋n .∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。 、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。 教材文言文考点化复习 必修1 ——《烛之武退秦师》《荆轲刺秦王》《鸿门宴》 一、了解并掌握常见的古代文化知识 1．《左传》：我国第一部叙事详细的编年史著作，相传为春秋末年鲁国史官左丘明所作，为后世叙事散文树立了典范。“传”意为注释，《左传》即是给儒家经典《春秋》所作的注释。《左传》也称《左氏春秋》《春秋左氏传》，与《公羊传》《谷梁传》合称“春秋三传”。 2．晋侯．、秦伯．围郑 侯、伯：春秋时期公、侯、伯、子、男五等爵位中的两种。爵位、爵号，是古代皇帝对贵戚功臣的封赐。后代爵称和爵位制度往往因时而异。 3．敢以烦执事 ．． 执事：在古代有多种意思，①从事工作，主管其事；②有职守之人，即官员；③指供役使者，仆从；④对对方的敬称；⑤侍从。本文指对办事的官吏的敬称。 4．《战国策》：中国古代的一部历史学名著。它是一部国别体史书，又称《国策》。由西汉刘向所整理编写，共33卷，分为12策。《国语》是第一部国别体史书。 5．至易水 ．．上，既祖． 易水：也称易河，河流名，位于河北省易县境内，分南易水、中易水、北易水。因燕太子丹送荆轲刺秦于此作别，高渐离击筑，荆轲合着音乐高歌“风萧萧兮易水寒，壮士一去兮不复还！”而名扬天下。后人常用“易水”指代“荆轲”或“易水歌”。 祖：临行祭路神，引申为饯行和送别。 6．为变徵 ．．之声复为慷慨羽．声 变徵、羽：古时音乐七音中的两种声调。古时音乐分宫、商、角、徵、羽、变宫、变徵七音。变徵是徵音的变调，声调悲凉。 7．厚遗秦王宠臣中庶子 ．．．蒙嘉 中庶子：管理国君的车马之类的官。 8．乃朝服，设九宾 ．． 九宾：九宾之礼，是我国古代外交上最为隆重的礼节，有九个迎宾赞礼的官员司仪施礼，并 §5.4复数 1．复数的有关概念 (1)定义：我们把集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)． (2)分类： (3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭?a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (5)模：向量OZ → 的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )． 2．复数的几何意义 复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ → ＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系． 3．复数的运算 (1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R . (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→ ，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→. 概念方法微思考 1．复数a＋b i的实部为a，虚部为b吗？ 提示不一定．只有当a，b∈R时，a才是实部，b才是虚部． 2．如何理解复数的加法、减法的几何意义？ 提示复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( × ) (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × ) (3)复平面中原点是实轴与虚轴的交点．( √ ) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ ) 题组二 教材改编 2．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1 答案 A 解析 ∵z 为纯虚数，∴????? x 2－1＝0， x －1≠0， ∴x ＝－1. 3．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA → 对应的复数是( ) A ．1－2i B ．－1＋2i C ．3＋4i D ．－3－4i 答案 D 解析 CA →＝CB →＋BA → ＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i. 4．若复数z 满足()3＋4i z ＝1－i(i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 等于( ) A ．－15－75 i B ．－15＋75 i 单元基础知识排查(七) 第一关：测基础判正误 1不同基因突变的概率是相同的(X ) 2. 基因突变的方向是由环境决定的(X ) 3. —个基因可以向多个方向突变(V ) 4. 细胞分裂中期不发生基因突变( X ) 5. 一般来说，只有发生在生殖细胞中的突变才能通过配子遗传给下一代( V ) 6. 基因突变不仅是可逆的，而且大多数突变都是有害的( V ) 7. 基因突变一般发生在细胞分裂间期的DNA 复制过程中( V ) 8. 由于基因突变是不定向的，所以控制直毛的基因可以突变为控制长毛的基因( X ) 9. 获得能产生人胰岛素的大肠杆菌的原理是基因突变( X ) 10. 非同源染色体片段之间局部交换可导致基因重组( X ) 11. 同源染色体上的基因也可能发生基因重组( V ) 12. 发生在水稻根尖内的基因重组比发生在花药中的更容易遗传给后代( X ) 13. 染色体结构变异是染色体的一个片段增加、缺失或替换等，而基因突变则是DNA 分子中碱基对的替换、增添或缺失( V ) 14. 原核生物和真核生物均可以发生基因突变，但只有真核生物能发生染色体变异( V ) 15. 基因突变一般是微小突变，其对生物体影响较小，而染色体结构变异是较大的变异，其对生物体影响较大( X ) 16. 多数染色体结构变异可通过显微镜观察进行鉴别，而基因突变则不能( V ) 17. 作物育种中最简捷的方法是杂交育种和单倍体育种( X ) 18. 采用克隆的方法培育作物品种能保持亲本的优良性状( V ) 19. 体细胞中染色体组数为奇数的作物品种都是经花药离体培养得来的( X ) 20. 未经受精的卵细胞发育成的植物，一定是单倍体( V ) 21. 含有两个染色体组的生物体，一定不是单倍体 ( X ) 22. 基因型为aaaBBBCcc 的植株一定不是单倍体( X ) 23. 基因型为Abcd 的生物体一般是单倍体( V ) 24. 四倍体水稻与二倍体水稻杂交，可得到三倍体水稻，稻穗、米粒变小( X ) 25. 单倍体育种是为了获得单倍体新品种( X ) 26. 观察细胞有丝分裂中期染色体形态可判断基因突变发生的位置( X ) 27. 基因突变会产生新的基因，新的基因是原有基因的等位基因；基因重组不产生新的基因，但会形成新的基因型(V ) 28. 基因重组是生物变异的主要来源；基因突变是生物变异的根本来源(V ) 29. 六倍体小麦通过花药离体培养培育成的个体是三倍体(X ) 30. 单倍体细胞中只含有一个染色体组，因此都是高度不育的；多倍体是否可育取决于细胞 中染色体组数是否成双，如果染色体组数是偶数可育，如果是奇数则不可育( X ) 31. 在减数分裂过程中，无论是同源染色体还是非同源染色体间都可能发生部分的交叉互换，这种交换属于基因重组( X ) 32. 杂交育种与基因工程育种依据的遗传学原理是基因重组；诱变育种依据的原理是基因突变；单倍体育种与多倍体育种依据的原理是染色体变异( V ) 33. 用秋水仙素处理单倍体植株后得到的一定是二倍体( X ) 34. 由二倍体加倍后产生的四倍体，与原来的二倍体是同一个物种( X ) 35. 体细胞中含有两个染色体组的个体就是二倍体( X ) 36. 杂交育种一定需要较长时间( X ) 2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第3讲平面向量 的数量积 第3讲平面向量的数量积 一、选择题 1．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝() A.5 B.10 C．2 5 D．10 解析∵a⊥b，∴x－2＝0，∴x＝2.∴|a＋b|＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝4＋1＋1＋4＝10.故选B. 答案 B 2．设向量a＝(1，cos θ)与b＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于() A. 2 2 B. 1 2 C．0 D．－1 解析∵a⊥b，∴1×(－1)＋cos θ·2cos θ＝0，即2cos2θ－1＝0.又cos 2θ＝2cos2θ－1. 答案 C 3．若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝ ()．A．4 B．3 C．2 D．0 解析由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0. 答案 D 4．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0.向量a，b的夹角为60°，且|b|＝|a|，则向量a与c的夹角为() A．60°B．30° C．120°D．150°解析由a＋b＋c＝0得c＝－a－b， ∴|c|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos 60°＝3|a|2， ∴|c|＝3|a|， 又a ·c ＝a ·(－a －b )＝－|a |2－a ·b ＝－|a |2－|a ||b |cos 60°＝－32|a |2. 设a 与c 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·c |a ||c |＝ －32|a |2 |a |·3|a |＝－32， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝150°. 答案 D 5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点的坐标是 ( )． A ．(－3,0) B ．(2,0) C ．(3,0) D ．(4,0) 解析 设P 点坐标为(x,0)， 则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)． AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1) ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1. 当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1. ∴此时点P 坐标为(3,0)，故选C. 答案 C 6．对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβ＝α·ββ· β.若平面向量a ，b 满足 |a |≥|b |>0，a 与b 的夹角θ∈? ????0，π4，且a b 和b a 都在集合???? ??n 2| n ∈Z 中，则a b ＝ ( )． A.12 B ．1 C.3 2 D.52 解析 由定义αβ＝α·ββ2可得b a ＝a ·b a 2＝|a |·|b |cos θ|a |2＝|b |cos θ |a |，由|a |≥|b |>0，及 实验基础知识 一、螺旋测微器的使用 1．构造：如图1所示，B为固定刻度，E为可动刻度． 图1 2．原理：测微螺杆F与固定刻度B之间的精密螺纹的螺距为0.5mm，即旋钮D每旋转一周，F前进或后退0.5mm，而可动刻度E上的刻度为50等份，每转动一小格，F前进或后退0.01mm，即螺旋测微器的精确度为0.01mm.读数时估读到毫米的千分位上，因此，螺旋测微器又叫千分尺． 3．读数：测量值(mm)＝固定刻度数(mm)(注意半毫米刻度线是否露出)＋可动刻度数(估读一位)×0.01(mm)． 如图2所示，固定刻度示数为2.0mm，半毫米刻度线未露出，而从可动刻度上读的示数为15.0，最后的读数为：2.0mm＋15.0×0.01mm＝2.150mm. 图2 二、游标卡尺 1．构造：主尺、游标尺(主尺和游标尺上各有一个内、外测量爪)、游标卡尺上还有一个深度尺．(如图3所示) 图3 2．用途：测量厚度、长度、深度、内径、外径． 3．原理：利用主尺的最小分度与游标尺的最小分度的差值制成． 不管游标尺上有多少个小等分刻度，它的刻度部分的总长度比主尺上的同样多的小等分刻度少1mm.常见的游标卡尺的游标尺上小等分刻度有10个的、20个的、50个的，其规格见下表： 4.读数：若用x表示从主尺上读出的整毫米数，K表示从游标尺上读出与主尺上某一刻度线对齐的游标的格数，则记录结果表示为(x＋K×精确度)mm. 三、常用电表的读数 对于电压表和电流表的读数问题，首先要弄清电表量程，即指针指到最大刻度时电表允许通过的最大电压或电流，然后根据表盘总的刻度数确定精确度，按照指针的实际位置进行读数即可． (1)0～3V的电压表和0～3A的电流表的读数方法相同，此量程下的精确度分别是0.1V和0.1A，看清楚指针的实际位置，读到小数点后面两位． (2)对于0～15V量程的电压表，精确度是0.5V，在读数时只要求读到小数点后面一位，即读到0.1V. (3)对于0～0.6A量程的电流表，精确度是0.02A，在读数时只要求读到小数点后面两位，这时要求“半格估读”，即读到最小刻度的一半0.01A. 考点一荒漠化 1．荒漠化的含义及表现 (1)含义：发生在干旱、半干旱地区及一些半湿润地区的一种土地退化现象。 (2)主要表现：耕地退化、草地退化、林地退化而引起的土地沙漠化、石质荒漠化和次生盐渍化。 2．我国西北地区以干旱为主的自然特征 (1)西北地区的东西差异 (2)西北地区气候干旱的原因及体现 (3)西北地区生态环境的脆弱性 3．荒漠化的成因 (1)自然因素 ①干旱的气候(基本条件) ②疏松的沙质沉积物(物质基础) 由于气候干旱，植被稀少，土壤发育差，地表多疏松的沙质沉积物，为荒漠化的发生提供了物质来源。 ③大风日数多且集中(动力因素) 接近亚洲高压中心，大风日数多，且集中在冬春干旱的季节，从而为风沙活动创造了有利条件。 ④气候异常(重要影响因素)：持续干旱会加速荒漠化进程。 (2)人为因素 人为原因大大加剧了荒漠化的发展，是导致荒漠化的主要原因。①人口激增对生态环境的压力加大；②人类活动不当，对土地资源、水资源的过度使用和不合理利用。具体如下表所示： 不仅影响西北地区经济和社会的持续发展， 且严重威胁到当地甚至其他地区人们的生存环境。 5．荒漠化防治的内容 (1)预防潜在荒漠化的威胁。 (2)扭转正在发展中的荒漠化土地的退化。 (3)恢复荒漠化土地的生产力。 6．防治原则：坚持维护生态平衡与提高经济效益相结合，治山、治水、治碱(盐碱)、治沙相结合。 7．防治措施 (1)合理利用水资源 (2) (3)调节农、林、牧用地之间的关系 ①现有林地→作为防护林 ②绿洲边缘的荒地与绿洲之间的灌草地带→发展林业、牧业 ③已荒漠化的地方→退耕还林、退耕还牧 (4)采取综合措施，多途径解决农牧区的能源问题 (5)控制人口增长 我国不同地区的荒漠化治理 不同地区有不同的生产状况，形成不同的荒漠化问题，具体的分布特点、防治措施也不相同，针对我国西北地区的荒漠化，分析要点如下图所示： 1．向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧： 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点共线等问题 共线向量定理 a ∥ b ?a ＝λb ?x 1y 2－x 2y 1＝0， 其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，b ≠0 垂直问题 数量积的运算性质 a ⊥b ?a ·b ＝0?x 1x 2＋y 1y 2＝0， 其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ，b 为非零向 量 夹角问题 数量积的定义 cos θ＝a ·b |a ||b | (θ为向量a ，b 的夹角)，其中a ，b 为非零向量 长度问题 数量积的定义 |a |＝a 2＝x 2＋y 2， 其中a ＝(x ，y )，a 为非零向量 平面几何问题――→设向量 向量问题――→运算 解决向量问题――→还原 解决几何问题． 2．平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决． (2)物理学中的功是一个标量，是力F 与位移s 的数量积，即W ＝F ·s ＝|F||s |cos θ (θ为F 与s 的夹角)． 3．平面向量与其他数学知识的交汇 平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合．当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题． 此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质． 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若AB →∥AC → ，则A ，B ，C 三点共线．( √ ) (2)向量b 在向量a 方向上的投影是向量．( × ) (3)若a ·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角，若a ·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角．( × ) (4)在△ABC 中，若AB →·BC →<0，则△ABC 为钝角三角形．( × ) (5)已知平面直角坐标系有三个定点A (－2，－1)，B (0，10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →＝ OA →＋t (AB →＋AC → )，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0.( √ ) 1．已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (3,4)，B (5，2)，C (－1，－4)，则这个三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 答案 B 解析 ∵AB →＝(2，－2)，CB → ＝(6,6)， ∴AB →·CB →＝12－12＝0， ∴AB →⊥CB → ，∴△ABC 为直角三角形． 2．已知在△ABC 中，|BC →|＝10，AB →·AC →＝－16，D 为边BC 的中点，则|AD → |等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 答案 D 解析 在△ABC 中，由余弦定理可得，AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝BC 2，又AB →·AC →＝|AB → 2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第三章 3.1 §3.1导数的概念及运算 1．函数y＝f(x)从x0到x1的平均变化率 Δy Δx＝f(x1)－f(x0) x1－x0 ＝ f(x0＋Δx)－f(x0) Δx. 2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义 当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导 数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝lim x1→x0f(x1)－f(x0) x1－x0 ＝lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx. (2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．函数f(x)的导函数 如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝ lim Δx→0f(x＋Δx)－f(x) Δx，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为 导数． 4．基本初等函数的导数公式 5． (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)?? ??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x ) [g (x )]2 (g (x )≠0)． 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同． ( × ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)． ( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点． ( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． ( × ) (5)若f (x )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(x )＝3a 2＋2x . ( × ) (6)函数f (x )＝x 2ln x 的导函数为f ′(x )＝2x ·1x ＝2. ( × ) 2． (2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 答案 2 解析 设e x ＝t ，则x ＝ln t (t >0)，∴f (t )＝ln t ＋t ∴f ′(t )＝1 t ＋1，∴f ′(1)＝2. 3． 已知曲线y ＝x 3在点(a ，b )处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则a 的值是 ( ) A ．－1 B ．±1 C ．1 D ．±3 答案 B 1 第1章第1讲 考点一 物质的量 摩尔质量 题组一 有关分子(或特定组合)中微粒数的计算 1．答案 ①>⑥>⑤>③>②>④ 2．(1)答案 1.2 < 解析 n (SO 2 － 4)＝3n [Al 2(SO 4)3]＝3×0.4 mol ＝1.2 mol ，0.4 mol Al 2(SO 4)3中含有0.8 mol Al 3＋ ，由于在 溶液中Al 3＋ 水解，故Al 3＋的物质的量小于0.8 mol 。 (2答案 小于 小于 题组二 通过n ＝m M ＝N N A ，突破质量与微粒数目之 间的换算 3．答案 C 解析 ③中摩尔质量的单位错误；由于该氯原子的质量是a g ，故a g 该氯原子所含的电子数为17，④错。 4．答案 0.33N A 0.26 解析 晶体的摩尔质量约为122 g·mol － 1，n ＝ 12.2 g 122 g·mol －1＝0.1 mol ，故氧原子数目＝0.1×(2＋ 1.3)N A ＝0.33N A ，n (H)＝0.1 mol ×1.3×2＝0.26 mol 。 考点二 气体摩尔体积 阿伏加德罗定律 深度思考 2．答案 ③ 解析 ①、②中，1摩尔水或水蒸气的质量都为m 水 N A ；③中，水蒸气分子间间距比分子直径大的多， 仅由题给条件不能确定1摩尔水蒸气的体积。 题组一 有关“n ＝V V m ＝m M ＝N N A ”的应用 1．答案 D 解析 解法一 公式法： a g 双原子分子的物质的量＝p N A mol ， 双原子分子的摩尔质量＝ a g p N A mol ＝ aN A p g·mol － 1， 所以b g 气体在标准状况下的体积为 b g aN A p g·mol － 1×22.4 L·mol － 1＝ 22.4pb aN A L 。 解法二 比例法： 同种气体其分子数与质量成正比，设b g 气体的分子数为N a g ～ p b g ～ N 则：N ＝ bp a ，双原子分子的物质的量为pb aN A ，所以b g 该气体在标准状况下的体积为22.4pb aN A L 。 2．答案 B 解析 X 除以N A 为该气体的物质的量；然后乘以M 表示其质量；最后除以V 为1 L 该气体的质量。 题组二 阿伏加德罗定律及推论的应用 3．答案 C 解析 等质量的气体，其摩尔质量与物质的量(或分子数)成反比，若M (甲)物理步步高大一轮复习讲义第一章 第1讲
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