(完整版)高中数学完整讲义——排列与组合7排列组合问题的常用方法总结1,推荐文档
m m m n ! n m
知识内容
1. 基本计数原理
⑴加法原理
分类计数原理：做一件事，完成它有 n 类办法，在第一类办法中有 m 1 种不同的方法，在第二类办法中
有 m 2 种方法，……，在第 n 类办法中有 m n 种不同的方法．那么完成这件事共有 种不同的方法．又称加法原理．
⑵乘法原理
分步计数原理：做一件事，完成它需要分成 n 个子步骤，做第一个步骤有 m 1 种不同的方法，做第二个
步骤有 m 2 种不同方法，……，做第 n 个步骤有 m n 种不同的方法．那么完成这件事共有 种不同的方法．又称乘法原理．
⑶加法原理与乘法原理的综合运用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．
分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2. ⑴排列：一般地，从 n 个不同的元素中任取 m (m ≤ n ) 顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 个元素的一个排列．（其中被取的象叫做元素）
排列数：从 n 个不同的元素中取出个元素的排列数，用符号 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 排列数公式： ， m ， n ∈ N +
，并且 m ≤ n ．
全排列：一般地， n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1 到 n 的连乘积，叫作 n 的阶乘，用 ⑵组合：一般地，从 n 个不同元素中，任意取出个元素的一个组合．
表示．规定： 0! = 1 ．
个元素并成一组，叫做从 n 个元素中任取个
组合数：从 n 个不同元素中，任意取出任意取出 m 个元素的组合数，用符号 表示．
元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中， 组合数公式： ， m , n ∈ N + ，并且 m ≤ n ．
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排列组合问题的常用方法总
结 1
m (m ≤ n ) m !
C m n = n (n - 1)(n - 2) (n - m + 1) =
n C m
n ! m !(n - m )! (m ≤n ) m (m ≤
n ) N = m 1 ? m 2 ? ? m n N = m 1 + m 2 + + m n A m n 表示． A m
= n (n - 1)(n - 2) (n - m + 1) n
m (m ≤
n ) n -1
组合数的两个性质：性质 1： C m = C n -m ；性质 2： C m = C m + C m -1 ．（规定 C 0 = 1 ）
n
n
⑶排列组合综合问题
n +1
n
n
n
解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：
1. 特殊元素、特殊位置优先法
元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；
2. 分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，
层次清楚，不重不漏．
3. 排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．
4. 捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列， 然后再给那“一捆元素”内部排列．
5. 插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．
6. 插板法： n 个相同元素，分成 组，每组至少一个的分组问题——把 n 个元素排成一排， 从 n - 1 个空中选 m - 1 个空，各插一个隔板，有 C m -1 ．
7. 分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成
n 堆（组），必须除以 n ！，如果有 m 堆（组）元素个数相等，必须除以 m ！
8. 错位法：编号为 1 至 n 的 n 个小球放入编号为 1 到 n 的 n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当 n = 2 ，3，4，5 时的错位数各为1，2，9，44．关于 5、6、7 个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为 2 个、3 个、4 个元素的错位排列
的问题．
1. 排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：
①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合
数． 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理
还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．
2. 具体的解题策略有：
①对特殊元素进行优先安排；
②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；
④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．
⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．
典例分析
直接法
（优先考虑特殊元素特殊位置，特殊元素法，特殊位置法，直接分类讨论）
【例 1】 从
5 名外语系大学生中选派 4 名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻译有 2 人参加，交通和礼仪各有1 人参加，则不同的选派方法共有 ．
【例 2】 北京《财富》全球论坛期间，某高校有14 名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，
每班 4 人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为
C
【例 3】 在平面直角坐标系中， x 轴正半轴上有 5 个点，
y 轴正半轴有 3 个点，将 x 轴上这 5 个点和 轴上这 3 个点连成15 条线段，这15 条线段在第一象限内的交点最多有（ ）
B ． 35 个
C ． 20 个
【例 4】 一个口袋内有 4 个不同的红球， 6 个不同的白球，
⑴从中任取 4 个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
⑵若取一个红球记 2 分，取一个白球记1 分，从中任取 5 个球，使总分不少于 7 分的取法有多少种？
【例 5】 一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和1 个黑球．
⑴从口袋内取出 3 个球，共有多少种取法？
⑵从口袋内取出 3 个球，使其中含有1 个黑球，有多少种取法？
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A ． C 12C 4 C 4 14 12 8
B ．
C 12A 4 A 4 14 12 8
D ．C 12C 4 C 4A 3 14 12 8 3
y A ． 30 个
D ．
15 个
A ．
15 B ．
16 C ．
28 D ．
25 ⑶从口袋内取出3 个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
【例 6】 有12 名划船运动员，其中 3 人只会划左舷， 4 人只会划右舷，其余 5 人既会划左舷也会划右
舷．从这12 名运动员中选出 6 人平均分在左、右舷划船参加比赛，有多少种不同的选法？
【例 7】
若 x ∈ A A 是伙伴关系集合，集合 ）
【例 8】 从
6 名女生， 4 名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取 5 名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为 ．
D ． A 3 ? A 2 6 4
C ． C 5 10
B ．
C 2 ? C 3 6 4
A ．C 3 ? C 2 6 4
5 128 1
6 128 15 128 20
【例 9】 某城市街道呈棋盘形，南北向大街 3 条，东西向大街 4 条，一人欲从西南角走到东北角，路
程最短的走法有多少种．
【例 10】
某幢楼从二楼到三楼的楼梯共11 级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定
从二楼到三楼用
7 步走完，则上楼梯的方法有 种．
【例 11】
亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有 名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1
号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方 2 号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？
【例 12】 设含有10 个元素的集合的全部子集数为
S ，其中由 3 个元素组成的子集数为T ，则
的值为（ ）
A. B ． C ． D ．
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128
21 S
T
A ． 60
B ． 80
C ．
120 D ．
160 OB
【例 13】
设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿
x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳动一个单位，经过
5 次跳动质点落在点(1，0) （允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法种数为 ．
【例 14】
从10 名男同学，
6 名女同学中选 3 名参加体能测试，则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有
种（用数字作答）
【例 15】
在 AOB 的边 OA 上有 A 1 ，A ，2 ，A 3 A 4 四点， 边上有 B 1 ，B ，2 ，B 3，
B 4 B 5 共 9 个点， 连结线段 A i B j (1≤ i ，4≤1≤ j
5) ，如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，
和睦线的对数共有：（ ）
【例16】从7 名男生5 名女生中，选出5 人，分别求符合下列条件的选法种数有多少种？
⑴ A 、B 必须当选；
⑵ A 、B 都不当选；
⑶ A 、B 不全当选；
⑷ 至少有2 名女生当选；
⑸选出5 名同学，让他们分别担任体育委员、文娱委员等5 种不同工作，但体育委员由男
生担任，文娱委员由女生担任．
【例17】甲组有5 名男同学，3 名女同学；乙组有6 名男同学、2 名女同学．若从甲、乙两组中各选出2 名同学，则选出的4 人中恰有1 名女同学的不同选法共有（）
【例18】从10 名大学毕业生中选3 人担任村长助理，则甲、乙至少有1 人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）
【例19】某班级要从4 名男生、2 名女生中选派4 人参加某次社区服务，如果要求至少有1 名女生，那么不同的选派方案种数为（）
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D．48 C．28
B．24 A．14
D．28 C．49
B．56 A．85
D．345 种C．300 种
B．180 种A．150 种
50 30 20 30 20
C 5 - C 1 C 4 - C 4 C 1 30 20 46
C 2 C 2 C 1
【例 20】
要从10 个人中选出
4 个人去参加某项活动，其中甲乙必须同时参加或者同时不参加，问共有多少种不同的选法？
【例 21】
有四个停车位，停放四辆不同的车，有几种不同的停法？若其中的一辆车必须停放在两
边的停车位上，共有多少种不同的停法？
【例 22】 某班 5 位同学参加周一到周五的值日，每天安排一名学生，其中学生甲只能安排到周一
或周二，学生乙不能安排在周五，则他们不同的值日安排有（ ）
A ．288 种
B ．72 种
C ．42 种
D ．36 种
【例 23】
某班有
30 名男生， 30 名女生，现要从中选出 5 人组成一个宣传小组，其中男、女学生 均不少于
2 人的选法为（ ） A ． B ． C ． D ．
【例 24】
用 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数
各有多少个
⑴数字 1 不排在个位和千位
⑵数字 1 不在个位，数字 6 不在千位．
30 20
30 20 C 3 C 2 + C 2 C 3 50 30 20 C 5 - C 5 - C 5
）
B ． 48 种 【例 25】 甲、乙、丙、丁、戊
5 名学生进行讲笑话比赛，决出了第一到第五的名次，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”．从这个回答分析， 5 人的名次排列共有 （用数字作答）种不同情
况．
【例 26】
某高校外语系有8 名奥运会志愿者，其中有
5 名男生， 3 名女生，现从中选 3 人参加某项“好运北京”测试赛的翻译工作，若要求这 3 人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有
【例 27】
用 5，6，7，8，9 组成没有重复数字的五位数，其中恰好有一个奇数夹在两个偶数之间
的五位数的个数为（ ）
【例 28】 某电视台连续播放
5 个不同的广告，其中有 3 个不同的商业广告和 2 个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且两个奥运宣传广告不能连续播放，则
不同的播放方式有（
【例 29】 从 6 人中选 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，
要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这 6 人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有
种（用数字作答）．
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D ． 18 种 C ． 36 种 A ． 120 种 D ．
36 C ．
48 B ．
72 A ．
120 （ ）
A ．
45 种 B ． 56 种
C ． 90 种
A ．108 种
B ． 186 种
C ． 216 种
D ． 270 种
A ． 48 个
B ． 36 个
C ． 24 个
D ．
18 个 【例 30】 从
4 名男生和 3 名女生中选出 3 人，分别从事三项不同的工作，若这 3 人中至少有 1 名女生，则选派方案共有（
）
【例 31】 甲组有
5 名男同学， 3 名女同学；乙组有
6 名男同学、 2 名女同学．若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有1 名女同学的不同选法共有（ ）
【例 32】 将
4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案 有
种（用数字作答）．
【例 33】
用数字1,2, 3, 4, 5 可以组成没有重复数字，并且比
20000 大的五位偶数共有（ ）
【例 34】 一生产过程有
道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等
名工人中安
排 4 人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1 人，第四道工序只能从
甲、丙两工人中安排1 人，则不同的安排方案共有（ ）
【例 35】 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排．若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位
女生相邻，则不同排法的种数为 （ ）
A ．36
B ．42
C ． 48
D ．60
D ． 72 种 C ． 48 种 B ． 36 种 A ． 24 种 D ． 345 种 C ． 300 种 B ． 180 种 A ． 150 种 4 6
【例 36】 从
6 名女生， 4 名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取 5 名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为 ．
【例 37】 7 名志愿者中安排
6 人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排 3 人，则不同 的安排方案共有 种（用数字作答）．
【例 38】
给定集合 ，映射 f : A n → A n 满足： ① 当 i , j ∈ A n , i ≠ j 时 ， f (i ) ≠ f ( j ) ；
② m ∈{ f (1),
f (2), , f (m )} ． 射”．
“优映射”．例如：用表 1 表示的映射表 1
： A 3 → A 3 是一个“优映
表 2
已知表件的映射）；
⑵若映射 ： A 10 → A 10 是“优映射”，且方程 f (i ) = i 的解恰有 6 个，则这样的“优映射”的个
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D ． A 3 ? A 2 6 4
C ． C 5 10
B ．
C 2 ? C 3 6 4
A ．C 3 ? C 2 6 4
f f A n = {1, 2 , 3, , n }
4 数是 ．
【例 39】
将
7 个不同的小球全部放入编号为 2 和 3 的两个小盒子里，使得每个盒子里的球的个数不小于盒子的编号，则不同的放球方法共有
种．
【例 40】 将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里，使得放入每个盒子里的
球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）
A ．10 种
B ．20 种
C ．36 种
D ．52 种
【例 41】
一个口袋内有
4 个不同的红球， 6 个不同的白球， ⑴从中任取 个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
⑵若取一个红球记 2 分，取一个白球记1 分，从中任取 5 个球，使总分不少于 7 分的取法有多少种？
【例 42】
正整数
a 1a 2 a n a 2n -2a 2n -1(n ∈ N ，n > 1) 称为凹数，如果 a 1 > a 2 > > a n ，且 ，其中 a i ∈{0 ，
1，2， ，，9}，(i = 1 2 共有
个（用数字作答）．
) ，请回答三位凹数
【例 43】 2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四
人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项
工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）
a 1a 2 a 3 (a 1 ≠ a 3 ) a 2n -1 > a 2n -2 > > a n
【例 44】 某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段，传递活动分别由 6 名火炬手完成．如果第一
棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有
种．（用数字作答）
【例 45】 某人手中有 5 张扑克牌，其中 2 张为不同花色的 2，3 张为不同花色的 A ，有 5 次出牌机
会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？
【例 46】 从 7 人中选派 5 人到 10 个不同交通岗的 5 个中参加交通协管工作，则不同的选派方
法 有 （ ）
【例 47】
12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口 4 人，则不同的分
配方案共有（ ）
C 4 C 4C 4
A ． C 4 C 4C 4 种
B ．3
C 4 C 4C 4 种 C ． C 4 C 4A 3 种
D ． 12 8 4
A 种 12 8 4 12 8 4 12 8 3 3
3
【例 48】
袋中装有分别编号为1, 2, 3, 4 的
4 个白球和 4 个黑球，从中取出 3 个球，则取出球的编 号互不相同的取法有（ ）
D ．
36 种．
【例 49】
现有男、女学生共8 人，从男生中选
2 人，从女生中选1 人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有 90 种不同方案，那么男、女生人数分别是（ ） A. 男生
2 人，女生 6 人 B ．男生
3 人，女生 5 人 C ．男生
5 人，女生 3 人 D ．男生
6 人，女生 2 人．
【例 50】
将
4 个小球任意放入 3 个不同的盒子中，
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D ． C 5 A 5 7 10
C ．C 5 C 5 种 10 7
B ． A 5
C 5 P 5 种
7 10 5 A ．
C 5 A 5 A 5 种 7 10 5
D ． 48 种 C ． 18 种 B ． 12 种 A ． 36 种 A ． 24 种 B ．
28 种 C ．
32 种
4
⑴若个小球各不相同，共有多少种放法？
⑵若要求每个盒子都不空，且4 个小球完全相同，共有多少种不同的放法？
⑶若要求每个盒子都不空，且4 个小球互不相同，共有多少种不同的放法？
【例51】将7 个小球任意放入4 个不同的盒子中，每个盒子都不空，
⑴若7 个小球完全相同，共有多少种不同的放法？
⑵若7 个小球互不相同，共有多少种不同的放法？
【例52】四个不同的小球，每球放入编号为1 、2 、3 、4 的四个盒子中．
⑴随便放（可以有空盒，但球必须都放入盒中）有多少种放法？
⑵四个盒都不空的放法有多少种？
⑶恰有一个空盒的放法有多少种？
⑷恰有两个空盒的放法有多少种？
⑸甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的放法有多少种？
【例53】设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳1 个单位，若经过5 次跳动质点落在点(3，0)处（允许重复过此点），则质点不同的运动方法共
种；若经过m 次跳动质点落在点(n，0)处（允许重复过此点），其中m≥n，且m -n 为偶数，则质点不同的运动方法共有种．
【例54】设集合I = {1，2，3，，4 5} ，选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中
x f (a ) + f (b ) + f (c ) + f (d ) = 8 N = {1，2，3} A ． 216 B ． 108 C ．
48 D ． 24 最大的数，则不同的选择方法共有（ ）
A ．50 种
B ．49 种
C ．48 种
D ．47 种
【例 55】 是集合 M = {1，2，3， 4} 到集合 的映射， g 是集合 N 到集合 M 的映射，
则不同的映射 的个数是多少？ 有多少？满足 的映射 f 有多 少？满足 f [g (x )] = x 的映射对( f ，g ) 有多少？
【例 56】
排球单循坏赛，胜者得1 分，负者
0 分，南方球队比北方球队多 9 支，南方球队总得分是北方球队的
9 倍， 设北方的球队数为 ．
⑴试求北方球队的总得分以及北方球队之间比赛的总得分； ⑵证明： 或 x = 8 ；
⑶证明：冠军是一支南方球队．
【例 57】
已知集合
A = {1,2 , 3, 4}，函数 f (x ) 的定义域、值域都是 A ，且对于任意
i ∈ A , f (i ) ≠ i ．设 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 是1, 2 , 3, 4 的任意的一个排列，定义数表 ? a 1 a 2 a 3 a ?4 ，? ? f (a 1) f (a )2 f (a )3f (a ) 4 ?
若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同 的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为（ ）
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f f x = 6 g
A ． 36
B ． 48
C ． 52
D ．
54 A ． 78 a 1 < a 2 < a 3
S = {1, 2 , 3 , , 9}，集
间接法（直接求解类别比较大时） 【例 58】 有五张卡片，它的正反面分别写 0 与 1，2 与 3，4 与 5，6 与 7，8 与 9，将它们任意
三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
【例 59】
从
0 , 2 , 4 中取一个数字，从1 , 3 , 5 中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是（ ）
【例 60】
以三棱柱的顶点为顶点共可组成 个不同的三棱锥．
【例 61】 设集合
合 A = {a 1 , a 2 , a 3} 是 S 的子集，且 a 1 , a 2 , a 3 满足 ，
a 3 - a 2 ≤ 6 ，那么满足条件的子集 A 的个数为（ ） B. 76 C ． 84 D ．
83
p < q 时有 i p < i q
【例 62】
将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、
乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（
）
【例 63】
某高校外语系有8 名奥运会志愿者，其中有
5 名男生， 3 名女生，现从中选 3 人参 加某项“好运北京”测试赛的翻译工作，若要求这
3 人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有（ ）
【例 64】 对于各数互不相等的正数数组(i 1 , i 2 , ? ? ? , i n )（ n 是不小于 2 的正整数），如果在
，则称“ i p 与 i q ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”．例如，数组 (2 , 4 , 3 , 1)中有顺序“ 2 , 4 ”，“2 , 3 ”，其“顺序数”等于 2 ．若各数互不相等的正数数组(a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 )的“顺序数”是 4 ，则
(a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a 1 )的“顺序数”是
．
【例 65】 已知集合
A = {5} ，
B = {1，2} ，
C = {1，3，4} ，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（ ）
【例 66】
甲、乙、丙
3 人站到共有 7 级的台阶上，若每级台阶最多站 2 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）．
17 / 20
D ． 120 种 C ． 90 种 B ． 56 种 A ． 45 种 D ．
36 C ．
30 B ．
24 A ．
18 A ． 33 B ． 34 C ． 35 D ．
36
?
A ． 36
B ． 16
C ． 24
D ．
32
【例 67】
设有编号为1 ，
2 ，
3 ，
4 ，
5 的五个球和编号为1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的五个盒子，现将这五个球放入
5 个盒子内， ⑴只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？
⑵没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ ⑶每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？
【例 68】
在排成
4 ? 4 的方阵的16 个点中，中心 4 个点在某一个圆内，其余12 个点在圆外，在16 个点中任选 3 个点构成三角形，其中至少有一顶点在圆内的三角形共有（ ）
【例 69】
从甲、乙等10 名同学中挑选
4 名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1 人参加，则不同的挑选方法共有（ ）
?ax + by = 1
【例 70】 若关于 x ，y 的方程组 ?x 2 + y 2
= 17 有解，且所有解都是整数，则有序数对(a ，b )的数目 为（ ）
【例 71】
从
5 名男医生、 4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都 D ． 168 种 C ． 140 种 B ． 112 种 A ． 70 种 D ． 264 个 C ． 340 个 B ． 328 个 A ． 312 个
A ． 70 种
B ． 80 种
C ．
100 种 D ．140 种
A ．
20 B ．
16 C ．
10 D ．
6 有，则不同的组队方案共有（ ）
【例 72】 甲、乙两人从
4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中至少有1 门不相同的选法共有（ ）
【例 73】
A = {1，2， ， 9}，则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的 A 的子集个数为
．
【例 74】
在由数字 0，1，2，3，4 所组成的没有重复数字的四位数中，不能被 5 整除的数共
有
个．
【例 75】
在∠AOB 的 OA 边上取 4 个点，在 OB 边上取 5 个点（均除 O 点外），连同
O 点共10 个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作出三角形的个数为多少？
【例 76】 a ，b ，c ，，d e 共 5 个人，从中选1 名组长1 名副组长，但 a 不能当副组长，不同的选法总
数是（ ）
【例 77】 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、
乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（
）
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D ．
36 C ．
30 B ．
24 A ．
18 D ． 36 种 C ． 30 种 B ． 12 种 A ． 6 种
【例 78】
三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成 _个三角形．
【例 79】 从
5 名奥运志愿者中选出 3 名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ）
【例 80】
某校从8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教（每地1 人），其中甲和乙
不同去，则不同的选派方案共有种（
）
【例 81】
从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少要甲型与乙型电视机各
一台，则不同的选法有
种（用数字作答）
D ．
670 C ．
1530 B ． 288 A ．
1320 D ． 60 种 C ． 48 种 B ． 36 种 A ． 24 种