高考理科数学试题及答案1589

高考理科数学试题及答案

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目

要

求

的

。

1.

31i

i

+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -

2. 设集合{}1,2,4A =，{}

2

40x x x m B =-+=．若{}1A

B =，则B =（）

A ．{}1,3-

B ．{}1,0

C ．{}1,3

D ．{}1,5

3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百

八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏

4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某

几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π

5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤??

-+≥??+≥?

，则2z x y =+的最小值是（）

A ．15-

B ．9-

C ．1

D ．9

6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共

有（）

A ．12种

B ．18种

C ．24种

D ．36种

7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，

2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家

说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的

S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

9. 若双曲线C:22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的一条渐

近线被圆()2

224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）

A ．2

B ．3

C ．2

D ．

23

10. 若2x =-是函数2

1`

()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）

A.1-

B.32e --

C.35e -

D.1

11. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB

与1C B 所成角的余弦值为（）

A ．32

B ．155

C ．105

D ．33

12. 已知ABC ?是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ?+的最小值是（）

A.2-

B.32-

C. 4

3

- D.1-

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽

到的二等品件数，则D X =． 14. 函数()23sin 3cos 4

f x x x =+-

（0,2x π??

∈????

）的最大值是． 15. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则

11

n

k k

S ==∑． 16. 已知F 是抛物线C:2

8y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为

F N 的中点，则F N =．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17.（12分）

ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2

sin()8sin 2

B

A C +=． (1)求cos B

(2)若6a c += , ABC ?面积为2,求.b

18.（12分）

淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下：

1.

设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A 的概率；

2.

填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法

3.根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

P （

）

0.050 0.010 0.001 k

3.841 6.635

10.828

2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=

++++

19.（12分）

如图，四棱锥PABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，

o 1

,90,2

AB BC AD BAD ABC ==

∠=∠= E 是PD 的中点.

（1）证明：直线//CE 平面PAB

（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所

成锐角为o 45 ，求二面角MABD 的余弦值

20. （12分）

设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2

212

x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =

.

（1） 求点P 的轨迹方程；

（2）设点Q 在直线x=3上，且1OP PQ ?=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 21.（12分）

已知函数3

()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. （1）求a ；

（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且2

30()2e

f x --<<.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计

22.[选修44：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．

（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ?=,求点P 的轨迹2

C 的直角坐标方程；

（2）设点A 的极坐标为(2,

)3

π

，点B 在曲线2C 上，求OAB ?面积的最大值．

23.[选修45：不等式选讲]（10分）

已知3

3

0,0,2a b a b >>+=，证明： （1）3

3()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤．

参考答案

1．D

【解析】1是方程240x x m -+=的解，1x =代入方程得3m =

∴2430x x -+=的解为1x =或3x =，∴{}13B =，

3．B

【解析】设顶层灯数为1a ，2=q ，()7171238112

-==-a S ，解得13a =．

4．B

【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半．

2211

π310π3663π

22=-=??-???=V V V 总上

5．A

【解析】目标区域如图所示，当直线-2y =x+z 取到点()63--，时，所求z 最小值为15-．

6．D

【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．

由此把4份工作分成3份再全排得23

43C A 36?=

7．D

【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．

甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．

【解析】0S =，1k =，1a =-代入循环得，7k =时停止循环，3S =． 9．A

【解析】取渐近线b

y x a =

，化成一般式0bx ay -=，圆心()20，

= 得224c a =，24e =，2e =．

10．C

【解析】M ，N ，P 分别为AB ，1BB ，11B C 中点，则1AB ，1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角

（异面线所成角为π02?

? ??

?，）

可知112MN AB =

，1122

NP BC ==， 作BC 中点Q ，则可知PQM △为直角三角形． 1=PQ ，1

2

MQ AC =

ABC △中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-??∠

14122172??

=+-???-= ???

，=AC

则MQ =

MQP △

中，MP = 则PMN △中，222

cos 2MN NP PM PNM MH NP

+-∠=??

222

+-=

= 又异面线所成角为π02?

? ???

，

．

11．A 【解析】()()21

21x f x x a x a e -'??=+++-???，

则()()3

2422101f a a e a -'-=-++-?=?=-????，

则()()211x f x x x e -=--?，()()212x f x x x e -'=+-?， 令()0f x '=，得2x =-或1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>， 当21x -<<时，()0f x '<， 则()f x 极小值为()11f =-．

12．B

【解析】几何法：

如图，2PB PC PD +=（D 为BC 中点）， 则()

2PA PB PC PD PA ?+=?，

要使PA PD ?最小，则PA ，PD 方向相反，即P 点在线段AD 上， 则min 22PD PA PA PD ?=-?， 即求PD PA ?最大值， 又3

23PA PD AD +==?

=， 则2

233

24PA PD PA PD ??+?? ??== ? ? ??

???≤， 则min 332242

PD PA ?=-?=-． 解析法：

建立如图坐标系，以BC 中点为坐标原点，

P

D C

B

A

∴()

03A ，，()10B -，，()10C ，． 设()P x y ，， ()

3PA x y

=--，，

()

1PB x y =---，，

()1PC x y =--，，

∴()

222222PA PB PC x y y ?+=-+

2

2

3324x y ??????=+-- ? ???????

则其最小值为33242??

?-=- ???

，此时0x =，3y =．

13．1.96

【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中0.02=p ，100n =

则()11000.020.98 1.96x D np p =-=??= 14．1

【解析】()23πsin 3cos 042f x x x x ???

?=+-∈ ????

???，

()231cos 3cos 4

f x x x =-+-

令cos x t =且[]01t ∈， 21

34y t t =-++

2

31t ??

=--+ ? ???

则当3

t =时，()f x 取最大值1． 15．

2+1

n n 【解析】设{}n a 首项为1a ，公差为d ．

则3123a a d =+= 414610S a d =+=

求得11a =，1d =，则n a n =，()12

n n n S +=

()()

1

1

2222

1223

11n

k k

S

n n n n ==

+++

+??-+∑

111

111121223

11n n n n ??=-+-++-+- ?-+??

122111n n n ?

?=-=

?++??

16．6

【解析】28y x =则4p =，焦点为()20F ，

，准线:2l x =-， 如图，M 为F 、N 中点，

故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线， ∵2CN =，4AF =， ∴3ME =

又由定义ME MF =， 且MN NF =， ∴6

NF NM MF =+=

17.

【解析】（1）依题得：2

1cos sin 8sin

84(1cos )22

B B B B -==?=-． ∵22sin cos 1B B +=， ∴2216(1cos )cos 1B B -+=， ∴(17cos 15)(cos 1)0B B --=， ∴15

cos 17

B =

， （2）由⑴可知8sin 17

B =． ∵2AB

C S =△， ∴1

sin 22

ac B ?=， ∴18

2217

ac ?=， ∴17

2ac =

， ∵15cos 17

B =

， l F

N M C B A

O

y

x

∴22215217

a c

b a

c +-=，

∴22215a c b +-=， ∴22()215a c ac b +--=， ∴2361715b --=， ∴2b =．

18．

【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B

“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C

而()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =?+?+?+?+?

0.62=

()0.06850.04650.01050.0085P C =?+?+?+?

0.66=

()()()0.4092P A P B P C ==

（2）

由计算可得2K 的观测值为

()2

22006266383415.705

10010096104

k ??-?=

=???

∵15.705 6.635> ∴()2 6.6350.001P K ≈≥

∴有99%以上的把握产量的养殖方法有关．

（3）150.2÷=，()0.20.0040.0200.0440.032-++=

80.0320.06817÷=

，8

5 2.3517

?≈ 50 2.3552.35+=，∴中位数为52.35．

19．【解析】

z

y

x

M 'M

O

F

P

A

B

C

D

E

（1）令PA 中点为F ，连结EF ，BF ，CE ．

∵E ，F 为PD ，PA 中点，∴EF 为PAD △的中位线，∴1

2

EF AD ∥．

又∵90BAD ABC ∠=∠=?，∴BC AD ∥． 又∵12AB BC AD ==

，∴1

2

BC AD ∥，∴EF BC ∥． ∴四边形BCEF 为平行四边形，∴CE BF ∥． 又∵BF PAB ?面，∴CE PAB 面∥

（2）以AD 中点O 为原点，如图建立空间直角坐标系．

设1AB BC ==，则(000)O ，，，(010)A -，，，(110)B -，，，(100)C ，

，，(010)D ，，， (00P ，．

M 在底面ABCD 上的投影为M '，∴MM BM ''⊥．∵45MBM '∠=?，

∴MBM '△

为等腰直角三角形． ∵POC △为直角三角形，OC =，∴60PCO ∠=?．

设MM a '=，

CM '=

，

1OM '=．∴100M ??' ? ???

，

，．

BM a a '==?

=

．∴11OM

'==． ∴100M ??'

? ??

?，，10M ? ??

2611AM ??=- ? ???

，，，(100)AB =，，．设平面ABM 的法向量11(0)m y z =，，． 116

0y z +

=，∴(062)m =-，， (020)AD =，，，(100)AB =，，．设平面ABD 的法向量为2(00)n z =，，，

(001)n =，，．

∴10

cos ,m n m n m n

?<>=

=

?． ∴二面角M AB D --的余弦值为10

． 20．

【解析】 ⑴设()P x y ，，易知(0)N x ，

(0)NP y =，又1022NM NP ?== ??

?，

∴1

2M x y ?

?

???

，，又M 在椭圆上． ∴2

2122x += ???

，即222x y +=． ⑵设点(3)Q Q y -，，()P P P x y ，，(0)Q y ≠，

由已知：()(3)1P P P Q P OP PQ x y y y y ?=?---=，，， ()

2

1OP OQ OP OP OQ OP ?-=?-=，

∴2

13OP OQ OP ?=+=， ∴33P Q P Q P P Q x x y y x y y ?+=-+=．

设直线OQ ：3Q y y x =

?-，

因为直线l 与OQ l 垂直． ∴3

l Q

k y =

故直线l 方程为3

()P P Q

y x x y y =

-+， 令0y =，得3()P Q P y y x x -=-，

1

3

P Q P y y x x -?=-， ∴1

3

P Q P x y y x =-?+，

∵33P Q P y y x =+， ∴1

(33)13

P P x x x =-++=-，

若0Q y =，则33P x -=，1P x =-，1P y =±， 直线OQ 方程为0y =，直线l 方程为1x =-， 直线l 过点(10)-，，为椭圆C 的左焦点．

21．

【解析】 ⑴ 因为()()ln 0f x x ax a x =--≥，0x >，所以ln 0ax a x --≥．

令()ln g x ax a x =--，则()10g =，()11

ax g x a x x

-'=-

=

， 当0a ≤时，()0g x '<，()g x 单调递减，但()10g =，1x >时，()0g x <； 当0a >时，令()0g x '=，得1

x a

=． 当10x a <<

时，()0g x '<，()g x 单调减；当1

x a

>时，()0g x '>，()g x 单调增． 若01a <<，则()g x 在11a ?? ???，上单调减，()110g g a ??

<= ???；

若1a >，则()g x 在11a ?? ???，上单调增，()110g g a ??

<= ???；

若1a =，则()()min 110g x g g a ??

=== ???

，()0g x ≥．

综上，1a =．

⑵()2ln f x x x x x =--，()22ln f x x x '=--，0x >．

令()22ln h x x x =--，则()121

2x h x x x

-'=-=

，0x >． 令()0h x '=得1

2

x =， 当102x <<

时，()0h x '<，()h x 单调递减；当1

2

x >时，()0h x '>，()h x 单调递增． 所以，()min 112ln 202h x h ??

==-+< ???

．

因为()22e 2e 0h --=>，()22ln 20h =->，21e 02-??∈ ???，，122??

∈+∞ ???

，，

所以在102?? ???，和12??

+∞ ???

，上，()h x 即()f x '各有一个零点．

设()f x '在102?? ???，和12??+∞ ???，上的零点分别为02x x ，

，因为()f x '在102??

???

，上单调减，

所以当00x x <<时，()0f x '>，()f x 单调增；当01

2

x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减．因此，0x 是()f x 的极大值点．

因为，()f x '在12??

+∞ ???

，上单调增，所以当212x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减，

2x x >时，()f x 单调增，因此2x 是()f x 的极小值点．

所以，()f x 有唯一的极大值点0x ．

由前面的证明可知，201e 2x -?

?∈ ??

?，，则()()

24220e e e e f x f ---->=+>．

因为()00022ln 0f x x x '=--=，所以00ln 22x x =-，则 又()()22000000022f x x x x x x x =---=-，因为0102x <<，所以()01

4

f x <． 因此，()201

e 4

f x -<<

． 22．

【解析】⑴设()()00M P ρθρθ，

，， 则0||OM OP ρρ==，． 000016

cos 4ρρρθθθ

=??

=??=?

解得4cos ρθ=，化为直角坐标系方程为

()

2

224x y -+=．()0x ≠

⑵连接AC ，易知AOC △为正三角形．

||OA 为定值．

∴当高最大时，AOB S △面积最大，

如图，过圆心C 作AO 垂线，交AO 于H 点 交圆C 于B 点， 此时AOB S △最大

max 1

||||2

S AO HB =? ()1

||||||2

AO HC BC =

+

2=

23．

【解析】⑴由柯西不等式得：()()

()

2

2

5533

4a b a b a b ++=+=≥

1a b ==时取等号． ⑵∵332a b +=

∴()()

222a b a ab b +-+=

∴()()2

32a b b ab α??++-=??

∴()()3

32a b ab a b +-+=

∴()()

3

23a b ab

a b +-=+

由均值不等式可得：()()3

2

232a b a b ab a b +-+??= ?+??

≤ ∴()()3

2232a b a b a b +-+?? ?+??

≤ ∴()()3

3

324

a b a b ++-≤

∴

()3

124

a b +≤ ∴2a b +≤ 当且仅当1a b ==时等号成立．

高考模拟复习试卷试题模拟卷

一．基础题组

1.（北京市顺义区高三第一次统一练习（一模）理10）设向量

(3,1),(2,2)a b ==-，若

()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ= .

【答案】2±

考点：向量的数量积的坐标运算.

2.（北京市西城区高三一模考试理9）已知平面向量,a b 满足(1,1)=-a ，()()+⊥-a b a b ，那么|b |= ____. 【答案】2 【解析】

试题分析：22()()()()0|| 2.+⊥-?+?-=?=?=a b a b a b a b a b b |a |= 考点：向量运算 二．能力题组

1.（北京市朝阳区高三第二次综合练习理4）已知平面上三点A ，B ，C ，满足

，则

=（ ）

A ．48

B ．48

C ．100

D ．100 【答案】D 【解析】

试题分析：如下图所示，由题意可知，90B ∠=?，所以3cos 5A =

，4

cosC 5

=，所以

()()()cos 180cos 180cos 180AB BC BC CA CA AB AB BC B BC CA C CA AB A ?+?+?=??-+??-+??-

()()610cos90108cos 18086cos 180100C A =???+???-+???-=-，故选D.

C

B

A

考点：1.向量数量积的几何运算；2.直角三角形中三角函数定义. 2.（北京市丰台区高三5月统一练习（二）理6）平面向量a 与b 的夹角是

3

π

，且1a =，2b =，如果AB a b =+，3AC a b =-，D 是BC 的中点，那么AD =（ ）

(A) 3 (B) 23(C) 3(D) 6 【答案】A

考点：平面向量数量积运算

3.（北京市海淀区高三下学期期中练习（一模）理3）已知向量a 与向量b 的夹角为60?，1||||==a b ，则

-=a b （ ）

A.3

B.3

C.23-

D.1 【答案】D 【解析】

试题分析：160cos 2112)(||02

22=?-+=?-+=-=-b a b a b a b a ，当然也可数形结合

考点：向量的模

4.（北京市延庆县高三3月模拟理5）在边长为2的正方形ABCD中，,E F分别为BC和DC的中点，则DE BF

?=（）

A.

5

2

B．

3

2

C．4D．2

【答案】C

考点：平面向量的坐标运算

5.（北京市昌平区高三二模理12）如图,在菱形ABCD中,1

AB=,60

DAB

∠=,E为CD的中点,则AB AE

?的值是.

B

C

D E

A

【答案】1

【解析】

试题分析：连结B、E，由题设可得2

,||1

BE AB AE AB AB

⊥∴==.

考点：平面向量的数量积.

6.（北京市海淀区101中学高三上学期期中模拟考试理11）已知向量a和b的夹角是60°，

=

-

⊥

=

=m

b

a

m

b

b

a则实数

且),

(

,2

,1。

【答案】4

A

D

F

考点：平面向量的数量积.

7.（北京市石景山区高三3月统一测试（一模）理12）如图，在66?的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量,,a b c 满足,(,)c xa yb x y R =+∈，

则

=x

y

．

【答案】

112

【解析】

试题分析：设方格边长为单位长1.在直角坐标系内，(1,2),(2,1),(3,4)a b c ==-=

，由,(,)c xa yb x y R =+∈得，

(3,4)(1,2)(2,1),(3,4)(2,2),x y x y x y =+-=+-所以2324x y x y +=??

-=?，解得115

25x y ?=????=??

，所以，=x y 112. 考点：1.平面向量的坐标运算；2.平面向量基本定理. 三．拔高题组

1.（北京市房山区高三第一次模拟考试理7）向量(2,0)a =，(,)b x y =，若b 与b a -的夹角等于

6

π

，则b 的最大值为（ ）

A ．4

B ．3．2 D ．3

3

【答案】A