2015年湖北省高考数学试卷(文科)
一、选择题:本大题10 小题,每小题3分,共30 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.( 3分)( 2015?湖北) i 为虚数单位, i607=()
A.﹣ i B.i C.1 D.﹣1
2.(3 分)(2015?湖北)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,
有人送来米 1534 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约为()
A.134 石 B.169 石 C.338 石 D . 1365 石
3.(3 分)( 2015 ?湖北)命题“? x0∈(0,+∞),lnx0=x0﹣1”的否定是(
)
A.? x0∈( 0,+∞),lnx0≠x0﹣1 B. ? x0?(0,+∞),lnx0=x0﹣1
C.? x∈(0,+∞),lnx≠x﹣1 D.? x?(0,+∞),lnx=x﹣1
4.( 3分)( 2015 ?湖北)已知变量 x 和 y 满足关系 y= ﹣ 0.1x+1,变量 y与z 正相关,下列结论中正确的是()
A.x 与 y 负相关, x 与 z负相关 B.x 与 y 正相关, x 与 z正相关
C.x 与 y 正相关, x 与 z 负相关D. x 与 y 负相关, x 与 z正相关
5.( 3分)( 2015?湖北) l1,l2表示空间中的两条直线,若 p:l1,l2 是异面直线, q:l1,l2 不相交,则()
A.p 是 q的充分条件,但不是 q 的必要条件
B. p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件
C.p 是 q 的充分必要条件
D. p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件
6.(3 分)(2015?湖北)函数 f(x)= 的定义域为()A.(2,3) B.(2,4] C.( 2, 3)∪( 3,4] D.(﹣ 1,3)∪( 3,6] 7.(3 分)(2015?湖北)设 x∈R,定义符号函数 sgnx= ,则()
A.| x| =x| sgnx| B.| x|=xsgn| x| C.| x|=| x| sgnx D.| x| =xsgnx
8.( 3分)( 2015?湖北)在区间 [ 0,1]上随机取两个数 x,y,记 p1为事件“x+y≤ ”的概率,
P2 为事件“xy≤ ”的概率,则()
A.p1 9.(3 分)(2015?湖北)将离心率为 e1的双曲线 C1的实半轴长 a和虚半轴长 b (a≠b)同时增加 m( m> 0)个单位长度,得到离心率为e2 的双曲线 C2,则() A.对任意的 a,b, e1> e2 C.对任意的 a,b,e1< e2 22 10.(3 分)(2015?湖北)已知集合 A={(x ,y )|x 2+y 2≤1,x ,y ∈Z },B={(x ,y )|| x| ≤2,| y| ≤2, x , y ∈ Z } ,定义集合 A ⊕B={(x 1+x 2,y 1+y 2)| (x 1,y 1)∈A ,(x 2,y 2) ∈B },则 A ⊕B 中元素的个数为( ) A .77 B .49 C .45 D . 30 、填空题 12.(3 分)(2015?湖北)设变量 x , y 满足约束条件 ,则 3x+y 的最大值 为. 13.( 3 分)( 2015?湖北)函数 的零点个数为 14.(3分)(2015?湖北)某电子商务公司对 10000 名网络购物者 2014年度的消费情况进行 统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间 [ 0.3,0.9] 内,其频率分布直方图如图所示. (1)直方图中的 a= . (2)在这些购物者中,消费金额在区间 [ 0.5, 0.9] 内的购物者的人数为 . 15.(3分)(2015?湖北)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得 公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上,行驶 600m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75 的方向上,仰角为 30°,则此山的高度 CD= m . 16.(3分)(2015?湖北)如图,已知圆 C 与 x 轴相切于点 T (1,0),与 y 轴正半轴交于两 点 A ,B (B 在 A 的上方),且| AB | =2. (1)圆 C 的标准方程为 . (2)圆 C 在点 B 处切线在 x 轴上的截距为 . 11.(3 分)( 2015?湖北) 已知向量 ⊥ , | | =3,则 ? = 2 17.(3 分)(2015?湖北) a 为实数,函数 f(x)=| x2﹣ax| 在区间 [0,1]上的最大值记为 g (a).当 a= 时, g( a)的值最小. 三、解答题 18.(12 分)( 2015?湖北)某同学将“五点法”画函数 f(x)=Asin(wx+φ)(w>0,| φ|< ) 在某一个时期内的图象时,列表并填入部分数据,如下表: wx+φ0 π 2π x Asin( wx+φ)0 5 ﹣5 0 1)请将上述数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数f( x)的解析式; 2)将 y=f (x)图象上所有点向左平移个单位长度,得到 y=g(x)图象,求 y=g(x)的图象离原点 O 最近的对称中心. 19.(12 分)( 2015 ?湖北)设等差数列 { a n}的公差为 d,前 n项和为 S n,等比数列 {b n}的公比为q,已知b1=a1,b2=2, q=d,S10=100. (1)求数列 {a n} , { b n}的通项公式 (2)当 d>1 时,记 c n= ,求数列 {c n} 的前 n 项和 T n. 20.(13 分)( 2015?湖北)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P﹣ABCD 中,侧棱 PD⊥底面 ABCD ,且 PD=CD ,点 E 是 PC 的中点,连接 DE、BD、 BE. (Ⅰ)证DE ⊥平面 PBC.试判断四面体 EBCD 是否为鳖臑.若是,写出其每个角(只需写出结论);若不是,请说明理由; Ⅱ)记阳马P﹣ABCD 的体积为 V1,四面体 EBCD 的体积为 V2,求的值. x)是偶函数, f( x )+g( x ) =e x,其中 e 为自然对数的底数. 1)求 f( x ), g( x )的解析式,并证明:当 x>0时, f(x)>0,g (x)>1; 2)设 a≤ 0, b≥ 1,证明:当 x>0 时, ag( x ) +( 1﹣ a)< 22.(14 分)(2015?湖北)一种画椭圆的工具如图 1所示. O是滑槽 AB 的中点,短杆 ON 可绕 O 转动,长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接, MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动,且 DN=ON=1 ,MN=3 ,当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时,带动 N 绕 O 转动, M 处的笔尖画出的椭圆记为 C,以 O为原点,AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2所示的平面直角坐标系.(1)求椭圆 C 的方程; (2)设动直线 l 与两定直线 l1:x﹣2y=0 和 l2:x+2y=0 分别交于 P,Q两点.若直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点,试探究:△ OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由. R,且 f( x)是奇函数, f(x),g(x)的定义域均为 2015 年湖北省高考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一项是符合题目要求的。 607 1.(3 分)(2015?湖北) i 为虚数单位, i =( ) A .﹣ i B .i C .1 D .﹣1 直接利用虚数单位 i 的运算性质得答案. 解:i 607=i 606?i=(i 2)303?i=(﹣1) 303?i= 故选: A . 点评】 本题考查了虚数单位 i 的运 算性质,是基础的计算题. 2.(3 分)(2015?湖北)我国古代数学名著《九章算术》有 “米谷粒分 ”题:粮仓开仓收粮, 有人送来米 1534 石,验得米内夹谷, 抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内 夹谷约为( ) A .134 石 B .169 石 C .338 石 D . 1365 石 【分析】 根据 254 粒内夹谷 28 粒,可得比例,即可得出结论. 【解答】 解:由题意,这批米内夹谷约为 1534× ≈169 石, 故选: B . 【点评】 本题考查利用数学知识解决实际问题,考查学生的计算能力,比较基础. 3.(3 分)( 2015 ?湖北)命题 “? x 0∈(0,+∞),lnx 0=x 0﹣1”的否定是( ) A .? x 0∈( 0,+∞),lnx 0≠x 0﹣1 B . ? x 0?(0,+∞),lnx 0=x 0﹣1 C .? x ∈(0,+∞),lnx ≠x ﹣1 D .? x?(0,+∞),lnx=x ﹣1 【分析】 根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论. 【解答】 解:命题的否定是: ? x ∈( 0,+∞),lnx ≠x ﹣ 1, 故选: C 【点评】 本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础. 4.(3 分)( 2015 ?湖北)已知变量 x 和 y 满足关系 y= ﹣ 0.1x+1,变量 y 与 z 正相关,下列结 论中正确的是( ) A .x 与 y 负相关, x 与 z 负相关 B .x 与 y 正相关, x 与 z 正相关 C .x 与 y 正相关, x 与 z 负相关 D . x 与 y 负相关, x 与 z 正相关 【分析】 由题意,根据一次项系数的符号判断相关性,由 y 与 z 正相关,设 y=kz , k> 0, 得到 x 与 z 的相关性. 【解答】 解:因为变量 x 和 y 满足关系 y=﹣0.1x+1,一次项系数为﹣ 0.1< 0,所以 x 与 y 负 相关; 变量 y 与 z 正相关,设, y=kz ,(k> 0),所以 kz= ﹣0.1x +1,得到 z= ,一次项 系数小于 0,所以 z 与 x 负相关; 故选: A . 、选择题:本大题 10 小题,每小题 3分,共 30 分,在每小题给出的四个选项中,只有 分析】 i . 【点评】 本题考查由线性回归方程, 正确理解一次项系数的符号与正相关还是负相关的对应 是解题的关键. 5.( 3分)( 2015?湖北) l 1,l 2表示空间中的两条直线,若 p :l 1,l 2 是异面直线, q :l 1,l 2 不相交,则( ) A .p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 B . p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 C .p 是 q 的充分必要条件 D . p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 【分析】 根据充分条件和必要条件的定义结婚空间直线的位置关系,进行判断即可. 【解答】 解:若 l 1,l 2是异面直线,则 l 1,l 2 不相交,即充分性成立, 若 l 1,l 2 不相交,则 l 1,l 2 可能是平行或异面直线,即必要性不成立, 故 p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件, 故选: A . 【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 根据空间直线的位置关系是解决本题的 关键. A .(2,3) B .(2,4] C .( 2, 3)∪( 3,4] D .(﹣ 1,3)∪( 3,6] 【分析】 根据函数成立的条件进行求解即可. 解答】 解:要使函数有意义,则 即, >0 等价为 ① 即 2 ∵﹣ 4≤ x ≤4, ∴解得 3 故选: C 【点评】 本题主要考查函数的定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件. 6.(3 分)(2015?湖北)函数 f (x )= 的定义域为( ②, ,此时 2< x< 3, 即 x> 3, 7.(3 分)(2015?湖北)设 x ∈R ,定义符号函数 sgnx= A .| x|=x| sgnx| B .| x|=xsgn|x| C .|x|=|x| sgnx D . | x| =xsgnx 【分析】 去掉绝对值符号,逐个比较即可. ,则( 解答】 解: 对于选项 A ,右边 =x| sgnx| = ,而左边 =| x| = ,显 然不正确; 对于选项 B , 右边 =xsgn| x| = ,而左边 =| x| = 显然不正确; 对于选项 C , 右边 =| x| sgnx= ,而左边 =| x| = 显然不正确; 对于选项 D , 右边 =xsgnx= ,而左边 =| x| = 显然正确; 故选: D . 【点评】 本题考查函数表达式的 比较, 的积累,属于中档题. 正确去绝对值符号是解决本题的关键, 注意解题方法 8.( 3分)( 2015?湖北)在区间 [0, 1] 上随机取两个数 x ,y ,记 p 1 为事件 x+y ≤ ”的概率, P 2 为事件 “xy ≤ ”的概率,则( A . p 1 B . C . 【分析】 分别求出事件 “x+y ≤ ”和事件 p 2< D . xy ≤ ”对应的区域, 然后求出面积, 利用几何概型 公式求出概率,比较大小. 解答】 解:由题意,事件 “x+y ≤ ”表示的区域如图阴影三角形, 所以 ; 故选: B . 【点评】 本题考查了几何概型的公式运用; 关键是分别求出阴影部分的面积, 公式解答. 9.(3 分)( 2015 ?湖北)将离心率为 e 1的双曲线 C 1的实半轴长 a 和虚半轴长 时增加 m ( m> 0)个单位长度,得到离心率为 e 2 的双曲线 C 2,则( ) A .对任意的 a ,b , e 1> e 2 B .当 a>b 时, e 1> e 2;当 a C .对任意的 a ,b ,e 1< e 2 D .当 a>b 时, e 1 【分析】 分别求出双曲线的离心率,再平方作差,即可得出结论. 利用几何概型 b (a ≠b )同 满足事件 “xy ≤ ”的区域如图 阴影部分 【解答】解:由题意,双曲线 C1: c2=a2+b2, e1= ; 双曲线 C2: c′2=( a+m)2+( b+m)2, e2= , ∴ = ﹣ = , ∴当 a> b 时, e1< e2;当 a< b 时, e1>e2,故选: D . 【点评】本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,比较基础. 22 10.(3 分)(2015?湖北)已知集合 A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)|| x| ≤2,| y| ≤2, x, y∈ Z },定义集合 A⊕B={(x1+x2, y1+y2)| (x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则 A⊕B 中元素的个数为() A.77 B.49 C.45 D. 30 【分析】由题意可得, A={(0,0),(0,1),(0,﹣ 1),(1,0),(﹣1,0),B={(0,0),(0,1),(0,2),(0,﹣ 1),(0,﹣2),(1,0),(1,1),(1,2)(1,﹣ 1),( 1,﹣ 2)(2,0),( 2, 1),( 2,2)( 2,﹣ 1),( 2,﹣ 2),(﹣ 1,﹣ 2),(﹣ 1,﹣ 1),(﹣1,0),(﹣ 1, 1),(﹣ 1, 2),(﹣ 2,﹣ 2),(﹣ 2,﹣ 1),(﹣2, 0),(﹣ 2,1),(﹣2,2)},根据定义可求 【解答】解:解法一: 22 ∵A= {(x,y)| x2+y2≤1,x,y∈Z}={(0,0),(0,1),(0,﹣1),(1,0),(﹣1,0), B={(x,y)|| x| ≤2,|y| ≤2,x,y∈Z}={(0,0),(0,1),(0,2),(0,﹣1),(0,﹣ 2),(1,0),(1,1),(1,2)(1,﹣ 1),(1,﹣ 2)(2,0),(2,1),(2,2)(2,﹣1),(2,﹣2),(﹣ 1,﹣2),(﹣1,﹣1),(﹣ 1, 0),(﹣ 1,1),(﹣ 1,2),(﹣ 2,﹣ 2),(﹣ 2,﹣ 1),(﹣2,0),(﹣ 2,1),(﹣ 2,2)} ∵A⊕B={(x1+x2,y1+y2)| (x1,y1)∈A,(x2,y2)∈ B},∴A⊕B={(0,0),(0,1),(0,2),(0,﹣1),(0,﹣ 2),(1,0),(1,1),(1,2)(1,﹣1),(1,﹣2)(2,0),(2,1),(2,2),(2,﹣1),(2,﹣2),(﹣1,﹣2),(﹣ 1,﹣1),(﹣ 1,0),(﹣ 1,1),(﹣ 1,2),(﹣ 2,﹣ 2),(﹣ 2,﹣ 1),(﹣ 2,0),(﹣ 2, 1),(﹣ 2, 2),(﹣ 2,3),(﹣ 2,﹣ 3),(0,﹣ 3),( 2,﹣3),(﹣1,3),(﹣1,﹣3),(1,3),(2,3),(0,3),(3,﹣1),(3,0)(3,1),(3,2),(3,﹣ 2)(﹣ 3,2)(﹣ 3,1),(1,﹣3),(﹣ 3,﹣ 1),(﹣3, 0),(﹣ 3,﹣ 2)}共 45 个元素; 解法二: 因为集合 A= {(x,y)| x2+y2≤1,x,y∈Z},所以集合 A 中有 5 个元素,即图中圆中的整点,B={(x,y)|| x| ≤2,|y| ≤ 2,x ,y∈ Z},中有 5×5=25 个元素,即图中正方形 ABCD 中的整点, A⊕B={(x1+x2,y1+y2)| ( x 1, y1)∈ A ,( x2, y2)∈ B}的元素可看作正方形 A1B1C1D1中的整点(除去四个顶点),即 7×7﹣4=45 个. 点评】 本题以新定义为载体, 主要考查了集合的基本定义 及运算, 、填空题 11.(3 分)( 2015?湖北)已知向量 ⊥ , | | =3,则 ? = 9 【分析】 由已知结合平面向量是数量积运算求得答案. 【解答】 解:由 ⊥ ,得 ? =0,即 ?( ) =0, ∵| | =3, ∴. 故答案为: 9. 【点评】 本题考查了平面向量的数量积运算,考查了向量模的求法,是基础的计算题. 12.(3 分)(2015?湖北)设变量 x ,y 满足约束条件 ,则 3x+y 的最大值为 10 【分析】 作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求 z 的最大值. 【解答】 解:作出不等式对应的平面区域如图, 由 z=3x +y ,得 y=﹣ 3x+z , 平移直线 y=﹣ 3x+z ,由图象可知当直线 y=﹣3x+z ,经过点 C 时,直线 y=﹣3x+z 的截距最 大, 此时 z 最大. .即 C ( 3, 1), 此时 z 的最大值为 z=3× 3+1=10, 故答案为: 10. 解题中需要取得重复的 点评】 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法. 13.(3 分)(2015?湖北)函数 的零点个数为 2 【分析】 将函数进行化简,由 f (x ) =0,转化为两个函数的交点个数进行求解即可. 22 【解答】 解: f ( x ) =2sinxcosx ﹣ x 2=sin2x ﹣ x 2, 由 f (x )=0 得 sin2x=x 2, 2 作出函数 y=sin2x 和 y=x 2 的图象如图: 由图象可知,两个函数的图象有 2 个不同的交点, 即函数 f ( x )的零点个数为 2 个, 故答案为: 2 1)直方图中的 a= 3 . 2)在这些购物者中,消费金额在区间 [ 0.5, 0.9] 内的购物 者的人数为【点评】 本题主要考查函数零点个数 的判断, 象的交点问题是解决本题的关键. 利用函数和方程之间的关系转化为两个函数图 14.(3 分)(2015?湖北)某电子商 务公司对 统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间 10000 名网络购物者 2014 年度的消费情况进行 [ 0.3,0.9] 内,其频率分布直方图如图6000 【分析】( 1)频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率, 先算出频率, 在根据频率和为 1,算出 a 的值; (2)先求出消费金额在区间 [ 0.5,0.9] 内的购物者的频率,再求频数. 【解答】 解:( 1)由题意,根据直方图的性质得( 1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2)× 0.1=1,解得 a=3 (2)由直方图得( 3+2.0+0.8+0.2)× 0.1× 10000=6000 故答案为:( 1)3 (2)6000 【点评】 本题考查了频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率, 频数 = 频率×样本容量, 属于基础题. 15.(3 分)(2015?湖北)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得 公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上,行驶 600m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75 的方向上,仰角为 30°,则此山的高度 CD= 100 m . 用正弦定理求得 h . 【解答】 解:设此山高 h ( m ),则 BC= h , 在△ ABC 中,∠ BAC=30 °,∠ CBA=105 °,∠ BCA=45 °, AB=600 . 根据正弦定理得 = , 解得 h=100 ( m ) 故答案为: 100 . 【点评】 本题主要考查了解三角形的实际应用. 关键是构造三角形, 将各个已知条件向这个 主三角形集中, 再通过正弦、 余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系, 列方程或列式 求解. 16.(3分)(2015?湖北)如图,已知圆 C 与 x 轴相切于点 T (1,0),与 y 轴正 BC ,进而在△ ABC 中利 半轴交于两点 A,B(B 在 A 的上方),且 |AB|=2.(1)圆 C 的标准方程为(x﹣ 1)2+(y﹣)2=2 .(2)圆 C 在点 B 处切线在 x 轴上的截距为﹣1﹣. 【分析】(1)确定圆心与半径,即可求出圆 C 的标准方程; (2)求出圆 C 在点 B 处切线方程,令 y=0 可得圆 C 在点 B 处切线在 x 轴上的截距. 【解答】 解:( 1)由题意,圆的半径为 = ,圆心坐标为( 1, ), ∴圆 C 的标准方程为( x ﹣1)2+( y ﹣ )2=2; (2)由( 1)知, B (0, 1+ ), ∴圆 C 在点 B 处切线方程为( 0﹣1)( x ﹣1)+(1+ ﹣ )(y ﹣ )=2, 令 y=0 可得 x= ﹣ 1﹣ . 故答案为:( x ﹣ 1)2+( y ﹣ )2=2;﹣ 1﹣ . 【点评】 本题考查圆的标准方程,考查圆的切线方程,考查学生的计算能力,属于中档题. 2 17.(3分)(2015?湖北) a 为实数,函数 f (x )=|x 2﹣ax|在区间 [0,1]上的最大 值记为 g (a ).当 a= 2 ﹣2 时, g (a )的值最小. 【分析】 通过分 a ≤0、02 ﹣2 三种情况去函数 f (x )表达式中绝对值 符号,利用函数的单调性即得结论. 【解答】 解:对函数 f (x )=|x 2﹣ax|=|(x ﹣ )2﹣ | 分下面几种情况讨论: ① 当 a ≤0 时,f (x )=x 2﹣ax 在区间 [0,1]上单调递增, ∴f ( x ) max =g ( 1) =1 ﹣a ; ② 当 0 ∵ ﹣( 1﹣a ) = ﹣ 2<0, ∴f ( x ) max =g ( 1) =1 ﹣a ; ③ 当2 ﹣ 2 ∴g ( a )在(﹣ ∞, ] 上单调递减,在 [ , +∞)上单调递增, ∴g ( a ) min =g ( );