函数(学生版)
函 数 及 其 表 示
函数的概念（共两课时）
一、引入：回忆初中函数的定义，感受变量依赖关系——函数在实际生活中的应用：
1、初中函数定义：设在某变化过程中有两个变量x 和y ，如果给定了任意一个x 的值，相应地
y 值，那么就称y 是x 的函数，其中x 是 ，y 是 。 2、一枚炮弹发射后，经过26秒落到地面击中目标.在炮弹飞行过程中，炮弹距离地面的高度h （单位为m ），随时间t （单位为s ）的变化规律符合：2
1305h t t =-
（1）求出自变量t 的范围构成的集合A ； （2）求出因变量h 的范围构成的集合B ；
二、阅读教材16——17页整理知识：
（一）函数概念的集合语言表述：
（二）函数的三要素（缺一不可）、及理解：
1、定义域： ； 特别注意，只有解析式，没有实际背景，不加说明的函数定义域： ；
2、值域： ；
3、对应法则： . 思考：函数关系()f x 和给定一自变量a 的函数值的关系理解：
4、函数相等必须满足： . （三）区间的概念，在定义区间是要求：a b <
（1）{|}x a x b ≤≤= ；叫做 ； （2）{|}x a x b <<＝ ；叫做 ； （3）{|}x a x b <≤= ；叫做 ； （4）{|}x a x b ≤<= ；叫做 ； 其中,a b 叫做端点值，b a -叫做区间长度；
（5）与无穷有关的区间表示，“∞”、“-∞”、“+∞”分别读作： ； {|}x x R ∈= ，{|}x x a >＝ ，{|}x x b ≤＝ .
三、概念理解
例题1．已知函数1
()2
f x x =-， （1）求函数的定义域； （2）求2(3),()3
f f 的值；
（3）当3a >时，求(),(1)f a f a +的值。
练习1、求下列函数的定义域，并将定义域用区间表示。
（1）1()(12)(1)f x x x =
-+；(2)()f x =(3)()2
f x x =+
例题2．(1)下列函数中，与函数y x =是同一函数的是（ ）
A 、2
y = B 、2
x y x
= C 、y = D 、y =（2）下列两个函数为同一函数的序号对有
①2y x =+ 和2)2(+=
x y ②()f x =()g x =③221y x x =--和221y t t =-- ④()3f x x =+和(1)(3)
1
x x y x -+=
-
四、探究提高(实验班、普通班可根据情况选择)：
例题3、（1）探讨函数()f x =
（2）若函数()f x =(,1]-∞上有意义，求实数a 的取值范围;
（3）若函数()f x =(,1]-∞，求实数a 的值.
练习2、（1）函数()(0)k
f x k x =
≠的定义域为 ，值域为 ； （2）函数1
21
y x =
++的定义域为 ，值域为 ； 五、小结与作业：
（1）总结本课的知识和方法； （2）做19P 练习1，2，3； （3）预习函数的表示方法.
函数的表示方法——解析法（第一、二课时）
一、复习回顾函数的概念、理解函数法则的作用：
1．回忆函数的定义（集合观念）、函数的三要素、简单函数定义域的基本求法；
2．设函数2 2 (2)()2 (2)
x x f x x x ?+≤=?>?，则(4)f -= ，若0()8f x =，则0x = 。
3、函数的表示方法——解析法理解：
解析法：将两个变量的函数关系，用一个等式表示，也可看成是,x y 建立的方程；
二、解析式的建立与求法典型例题：
例题1、如图，已知矩形的面积为10.如果矩形的长为x ，宽为y ，对角线长为d ，周长为l ，
（1）用这些量建立所有的等量关系式；
（2）试建立起这些量之间的所有函数关系式.
例题2、（1）已知函数2211
()x f x x x
+=+，则(21)f x -＝ ； （2）已知函数2211
(1)x f x x x ++=+，则()f x ＝ ； （3）已知函数22111
()x x f x x x
++=+，则()f x ＝ ； （4）若二次函数()f x 满足：(0)2f =，(1)()1f x f x x +-=-，则()f x ＝ ；
例题3、某地为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法计算用户的电费：每月用电不超过100度时，按每
度0.57元计算；每月超过100度时，其中100度仍按原标准收费，超过部分按每度0.50元计算。 （1）设用户月用电为x 度，应交电费为y 元，写出y 关于x 的函数解析式，并作出函数的图象；
（2）小赵家第一季度缴纳的电费情况如下：
例题4、（1）已知函数()f x
的定义域为(2,4]-，则函数(21)f x +的定义域为 ； （2）已知函数(21)f x +的定义域为(2,4]-，则函数()f x 的定义域为 ；
则函数2(3)f x -的定义域为 ；
例题5、（1）4)
()(1) (4)
x f x f x x ≥=+
（2）设函数()f x =2(1),1,
5,1,
x x x x ?+
（3）已知2
21 , ()2()1,()1+2, ()2x x f x x g x x x ?≥??=-=?
?-
①则[(1)]g f ＝ ；
（实验班）②则
[()]f g x 和[()]g f x 的值域分别为 ； ．
三、解析式的建立与求法练习题：
练习1、（1）已知1, 0
()0, 01, 0
x x f x x x x ->??
==??+
，则1[()]2f f ＝ ；
（2）已知函数()21f x x =+，2()22g x x x =-+-，则[(2)]g f ＝ ，
[()]f g x ＝ ；
（3）在函数2
2(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-??=-<
中，若()3f x =，则x 的值为 。
练习2、若2
211()1f x x x x -=+
+，则(21)f x -＝ ；
练习3、若1
(1)f x
+的定义域为(1,9)，则(31)f x -的定义域为 ；
练习4、（1）已知函数1()1f x x =+，则函数1
(
)1
f x +的定义域为 ； （2）已知函数251(14)y x x x =-+--≤≤，该函数的值域为 ；
练习5、（1）一圆柱形容器的底部直径为8cm ，高是10cm .现以速度为23
/cm s 的速度向容器内注入
某种溶液.求容器内溶液的高度y ，与注入溶液的时间x 秒之间的函数关系式，并写出函数的定义域和值域.
（2）国内投寄信函（外埠），假设每封信函不超过20g 时付邮资80分；超过20g 不超过40g 时付邮
资160；
四、总结：
1、解析式的基本方法：
2、抽象（隐）函数定义域的求解理论基础：
3、体会函数法则的正确应用，尤其是分段函数的法则应用.
函数的表示方法——图象、表格法（一课时）
一、引入：函数法则不一定都可以（或方便）用解析式体现，一些函数用图象或表格来体现更加的直观、
方便：例题1、
若将月考次数设为自变量x ，为的三人的成绩依次设为123,,y y y ，班级平均成绩设为y ，则x 与1y 的函数解析式不太方便表示出，
我们可借助电脑用图形直观分析、比较出各人成绩.（见课件） 二、简单函数图象的作法：
课堂练习、作出下列函数的图象：
（1）43y x =-； （2）2()231(33)f x x x x =-+-≤<； （3）2
(44,0)y x x x
=-≤≤≠
例题2．在同一坐标系中作出下列函数各组函数的图象，并总结规律
（1）y x =和1y x =- （2）1y x =和11y x =+和1
11
y x =
-+
例题3．作出下列各函数的图象：
（1）1
(01)
()(1)
x f x x x x ?<
（探究）2()|34|f x x x =--和2
()||3||4f x x x =--的图象；
练习1、在同一坐标系中，作出下列各组函数的图象： （1）2||1y x =-和|21|y x =-； （2）123y x =+-和11y x
=-
练习2、设函数|1|,1
()3,1
x x f x x x +
-+≥?.
（1）作出函数的图象； （2）若()1f a ≥，求a 的取值范围.
思考探究：（1）如图所示，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿着折线BCDA 由点B （起点）
运动.设P 运动的路程为x ，ABP ?的面积为y （1）建立函数,x y 的关系式； （2）画出()y f x =的图象.
（2）已知函数|21|||y x x =++ ①将该函数写成分段函数的形式
②作出该函数的图象.
三、小结提高：
1、二次函数图象的画法步骤：
2、函数简单平移规律：
3、分段函数的处理策略：
4、含绝对值函数的图象画法：
函数的表示方法——映射、函数值域探究（一课时）
一、复习引入：
1、函数的概念，体会函数是两数集之间的一种特殊对应；
2、观察下列对应，看看哪些可以建立函数对应：
二、阅读教材第22—23页，梳理知识点：
1、映射的定义：非空集合A 到集合B 的映射是指：
记成： . 2、原象与原象集合： 3、象与象集合：
4、思考原象集合与集合A 的关系；象集合与集合B 的关系：
5、函数与映射的关系为： ； 三、概念巩固性例题：
例题1、判断在规定的法则f ，下面的对应是否为集合A 到集合B 的映射,并说明理由
（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}.:21f x x →+;
（2）集合{|A x x =是咸水沽一中的各个班级}，{|B y y =是咸一中的学生}，对应法则：每个班
级对应班级学生；
（3）设A={1，2，3，4，0}，B={1，
31,21，4
1}，:f x →1x ；
（4）{|A x x =是三角形}，{|B y y =是圆}，对应法则f ：每个三角形对应它的外接圆； 例题2、下列图形能作为函数图形的是（ ）
练习1、给出下列四个A B →的对应，是映射的是（ ）
A 、（3）（4）
B 、（1）（2）
C 、（2）（3）
D 、（1）（4）
练习2、设集合{|02}A x x =≤≤，{|12}B y y =≤≤，在下列各图中能表示从集合A 到集合B 的映射
的是（ ）
四、探究与思考：
探究1、（1）已知函数2()2f x ax ax b =-+在区间[2,3]的最大值为5，最小值为3，求,a b 的值； （实验班）若函数22()4422f x x ax a a =-+-+在[]0,2上最小值是3，求a 的值.
探究2、（1）求函数2y x =
（2）1
()1
x f x x -=
+，求函数()f x 的值域。 变式：①求函数221
()1
x f x x -=+的值域； ②求函数31()21x f x x -=+的值域.
五、：小结提高
函数的基本性质
————单调性
一、引入：
快速作出下列函数的图象，说出它们的变化趋势：随着x 的增大，y 的值有什么变化？ （1）2y x =+； （2）2y x =； （3）1y x
=
； 思考：能否用代数的办法理解函数图象的上升（下降）？
二、单调性的概念 （一）函数单调性定义
1设函数()f x 的定义域为I ，如果对于属于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量12,x x ，当12x x <
时都有12()()f x f x <，则称()f x 在这个区间D 上为增函数； 思考：仿照增函数的定义给出减函数的定义
加深对于定义的理解：
（二）定义的巩固理解
例题1、判断题：（巩固概念）
①若函数()f x 满足(2)(3)f f <，则函数()f x 在区间[]2,3上为增函数。
②若函数()f x 在区间(]12，和（2，3）上均为增函数，则函数()f x 在区间(1,3)上为增函数 ③若函数1
()f x x
=
在区间(,0)-∞∞和（0，＋）上都是减函数，所以 ()()1
()0f x x
=
∞?∞在－，0，＋上是减函数 判断结果分析：
思考：如何判断函数在某个区间上不是单调函数； 例题2、已知函数2
23y x x =-++的图象如右图所示：
（1）写出函数的各个单调区间；（2）证明函数在()1,+∞上为减函数
练习巩固：利用计算机可作出函数1
()f x x x
=+
的图象 （1）求这个函数的定义域；
（2）它在定义域上的单调性怎样？证明你的结论.
三、应用提高（普通班可根据实际情况进行选择）：
例题1、已知函数2()23f x x x =-++在区间(,)m -∞上单调，则实数m 的取值范围 ； 例题2、已知函数()f x 是定义在(0,)+∞的增函数，若22(21)(341)f a a f a a ++<-+成立，则实数a
的取值范围为 ；
例题3、设()f x 、()g x 都是定义在区间I 上的单调递增函数，且()0f x >，试判断并证明在区间I 上
下列函数的单调性：（1）1()y f x =-； （2）1
()
y f x =
； （3）()()f x g x +.
四、作业与小结：
1、预习函数最值的求法；
2、试画出函数1
()1f x x
=-的图象，观察该函数的单调性并证明你的猜想； 3、证二次函数2
()f x x bx c =-++在区间(,]2
b -∞上是单调增函数；
4、课本32P 练习2，3；
5、（实验班）已知函数()f x 在R 上是增函数，证明：对于任意的实数,a b ，若0a b +>，则
()()()()f a f b f a f b +>-+-.
6、总结本课的知识方法.
单调性与最值
一、复习回顾：
1．函数单调性的概念、函数单调性的判定.
2、观察函数在区间[5,5]-上的图象，说出函数的单调性、找到函数的最高和最低点；
二、讲授新课：
1、函数最大值与最小值的含义
最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1） （2）
那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值记成：max max ()y f x =. 思考：你能仿照函数最大值的定义，给出函数()y f x =的最小值定义吗？
三、利用基础函数求函数的最大最小值：
例题1、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时暴裂.如果烟花距离地
面的高度 h cm ，与时间 t s 之间的关系式为2()51518h t t t =-++，那么烟花冲出后什么时候是它的爆裂的最佳时刻？这时距离地面的高度是多少？ 例题2．已知函数4
()1
f x x =
-. （1）证明函数在区间(1,)+∞上减函数； （2）在区间[2，6]上的最大值和最小值；
（练习）作出函数()f x 的图象，通过做这题你能总结出什么规律.
练习1、已知函数2()23f x x x =++.
（1）求[0,8]x ∈时函数()f x 的最值；
（2）求[6,4]x ∈-时函数()f x 的最值.
练习2、探究函数3(1)12x
y x x
-=
≥+的最值；
四、应用提高探究性问题：
探究1、已知函数(),[0,5]2
m
f x x x =
∈+，最大值为7，最小值为 ；
探究2、求函数()f x x =的最小值；
五、作业与小结：
（1）总结本课的知识和方法；
（2）已知函数2()2f x x x =-
① 求函数的单调区间；②若x R ∈，求函数的最值；③若[2,4]x ∈，求函数的最值.
（3）课本39P
B 组第二题；
（4）函数2()823f x x x =
--的值域为 ；
（实验班）函数|3||1|y x x =--+有（ ）
A 、最大值为4，最小为0
B 、最大值为0，最小为－4
C 、最大值为4，最小值－4
D 、最大与最小值都不存在.
奇偶性（第一课时）
一、引入：
1、回忆初中几何中轴对称，中心对称是如何定义的？
2、观察函数2()2f x x =与函数3()g x x =的图象，发现其图象 有何对称性？
二、阅读教材，把握好奇偶性定义给出的过程：通过图形整体感性认识——图形的对称转化
到点的对称——点的坐标关系——奇、偶函数的数学关系表示；（实现数形的真正结合） 1.偶函数定义：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数()
f x 就叫做偶函数，偶函数的图象本身关于 对称. 偶函数图象对称性的理解：
2.奇函数定义：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数
()f x 就叫做奇函数。
奇函数图象对称性的理解：
3.奇偶性：如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数()f x 具有奇偶性；若函数()f x 既不是
奇函数又不是偶函数，则称()f x 为非奇非偶函数.
4、判断函数奇偶性的方法：（1） （2） 思考：（1）奇、偶函数的定义域是否具有某种对称性？ （2）奇函数在0x =处函数值有何特点？
三、奇偶性判断：
例题1.判断下列函数的奇偶性。
（1）3
()2f x x x =+； (2)4
2
()23f x x x =+； (3)2
()25f x x x =++；
（4）()|23||23|f x x x =+--； （5）???<-≥-=)
0(,1)0(,1)(22x x x x x f ； （6）32
53()53x x f x x -=-.
练习1、判断下列函数的奇偶性：
（1）()f x =
（2）2
3()3
x
f x x =
+； （3）2()(1)f x x =-；
（4）()f x = （5）()(f x x =-
四、探究提高：
探究1、（1）若函数23y ax bx a b =+++是区间[1,2]a a -上的偶函数，则a = ；b = ；
（2）判断函数()f x =
探究2、（1）已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上的单调性，
并证明你的结论。
（2）已知函数()f x 在R 上是奇函数，而且在()∞+，0是增函数。判断()f x 在(,0)-∞上的单
调性，并证明你的结论。
探究3、是否又函数既是奇函数，有是偶函数，若有请构造一个；若没有说明理由？
五、反思小结与作业：
1、总结本节课的主要知识和思想方法; （1）奇偶性定义、图象特征； （2）函数奇偶性判断方法；
（3）函数奇偶性与单调性的关系； 2、作业（要求写到作业本上）： （1）课本第36页练习2； （2）判断下列函数的奇偶性：
① 1()23f x x x =+； ②22
, 0
(), 0
x x x f x x x x ?+??； ③()|2||3|f x x x =-++； （实验班）若函数1
()n n f x a x a x
a x a -=++
++，是奇（偶）函数，则哪些系数可以确定？
函数概念、性质的综合
（一）利用函数性质求解析式或函数值 例题1、定义在（-1，1）上的奇函数2()1
x m
f x x nx +=++，试确定常数,m n 的值。
例题2、若(),()h x g x 均为奇函数，()()()2f x ah x bg x =++在(0,)+∞上有最大值5，则在(,0)-∞上()f x
的最小值为
例题3、（1）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若0x <时，2()2f x x x =+，则函数()f x 的解析
式为 .
例题4、)(x f 是偶函数,)(x g 为奇函数,它们的定义域都是}1,|{±≠∈x R x x 且满足)(x f +)(x g =
1
1-x ,则(4)f = , ()g x = .
练习1、函数22()(1)(1)2f x m x m x n =-+-++为奇函数则m = ；n = ． 练习2、已知53()8f x x ax bx =++-，(2)10f -=，则(2)f =_______________
练习3、已知函数()f x 为偶函数，当(,0]x ∈-∞时，()(1)f x x x =-，则当(0.)x ∈+∞时，()f x = 练习4、()f x 、()g x 都在定义在R 上的奇函数，且()3()5()2F x f x g x =++，若()F a b =，则()F a -等于_______________。
（二）利用函数性质解函数不等式或比较函数值大小：
例题1、已知函数()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，它们的定义域都是[,]ππ-，
且它们在[0,]π上的图如下则
()
0()
f x
g x <的解集为 。 例题2、已知定义在R 上的函数(2)f x +为偶函数，对于任意的x 都有(2)(2)f x f x +=-，且在区间
(2,)+∞上函数单调递增，比较(1),(2),()f f f π-的大小为 .
例题3、如果奇函数)0)((≠=x x f y ，当),0(+∞∈x 时，1)(-=x x f ，那么使0)1(<-x f 的x 取值范围
是____________________
例题4、定义在(1,1)-上的奇函数()f x 为减函数，且2
(1)(1)0f a f a -+-<求实数a 的取值范围.
练习1、定义在),0()0,(+∞-∞ 上的奇函数),0(),(+∞在x f 上为增函数，当x >0
时，
)(x f 的图象如图所示. 则不等式()0xf x <的解集是
练习2、已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是减函数，若()(3)f m f ≤，则实数m 的取值范围是_________________________
练习3、定义在[2,2]-上的偶函数()g x ，当0x ≥时，()g x 为减函数，若(1)()g m g m -<成立，求m 的
取值范围.
（三）抽象函数性质的探索
例题1、已知)()()(y f x f y x f +=+，对任意实数y x 、都成立，)(x f 不恒为零，且当0>x 时，
0)( 2 )1(-=f ①求证：)(x f 在R 上是奇函数； ②判定)(x f 在R 上的单调性； ③求函数在［－6，6］上的最大值和最小值． 例题2、定义在实数集上的函数(),f x 对于任意的,x y R ∈，有()()2()()f x y f x y f x f y ++-=?，且 (0)0f ≠；（1）求(0)f ； （2）证明函数为偶函数； 练习：1、已知函数()f x 的定义域为{|x x R ∈且0}x ≠，对于定义域内的任意12,x x 都有 121 2()()()f x x f x f x ?=+且当1x >时，()0f x >，(2)1f =求证： （1）()f x 为是偶函数； （2）()f x ∞在（0，＋）上是增函数 第一讲 函数的概念及三要素 1．函数与映射 函数 映射 两个集合A ，B 设A ，B 是两个非空数集 设A ，B 是两个非空集合 对应法则f ：A →B 如果按某种对应法则f ，使对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应 如果按某种对应法则f ，使对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素 y 与之对应 名称 称y ＝f (x )，x ∈A 为从集合A 到集合B 的一个函数 称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射 记法 函数y ＝f (x )，x ∈A 映射：f ：A →B 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数y ＝f (x )的定义域；对于 A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应．我们将所有输出值y 组成的集合称为函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域． (3)函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 考向一 函数、映射的判断 【例1】（1）若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( ) 【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始 【套路秘籍】---千里之行始于足下 第七节函数的图象 A组基础题组 1.为了得到函数y=lg 的图象,只需把函数y=lg x的图象上所有的点( ) A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 答案 C 由y=lg得y=lg(x+3)-1,把函数y=lg x的图象向左平移3个单位长度,得函数y=lg(x+3)的图象,再向下平移1个单位长度,得函数y=lg(x+3)-1的图象.故选C. 2.(2017北京西城一模)函数f(x)=-log2x的零点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B f(x)=-log 2x的零点个数就是函数y=与y=log2x的图象的交点个数. 如图: 由图知函数f(x)的零点个数为1.故选B. 3.函数y=的图象可能是( ) 答案 B 易知函数y=为奇函数,故排除A、C,当x>0时,y=ln x,只有B项符合,故选B. 4.下列y=f(x)的函数图象中,满足f>f(3)>f(2)的只可能是( ) 答案 D 因为f>f(3)>f(2),所以函数f(x)有增有减,排除A,B.在C中, f [课时作业·巩固练习] 实战演练 夯基提能 [A 组 基础保分练] 1．设x ∈R ，定义符号函数sgn(x )＝???? ? 1，x ＞0，0，x ＝0， －1，x ＜0，则函数f (x )＝|x |sgn(x )的图象大致是 ( ) 解析：由符号函数解析式和绝对值运算，可得f (x )＝x ，选C. 答案：C 2．(2020·东北三校一模)函数f (x )＝|x |＋a x (其中a ∈R )的图象不可能是( ) 解析：当a ＝0时，f (x )＝|x |，则其图象为A ；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x ＋a x ，f ′(x )＝1 －a x 2＝x 2 －a x 2，若a ＞0，函数f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，选项B 满足；若a ＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，选项D 满足，而选项C 中的图象都不满足，故选C. 答案：C 3．已知二次函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝f (x )·e x 的图象为( ) 解析：由图象知，当x ＜－1或x ＞1时，g (x )＞0；当－1＜x ＜1时，g (x )＜0，由选项可知选A. 答案：A 4．(2020·辽宁大连测试)下列函数f (x )的图象中，满足f ???? 14＞f (3)＞f (2)的只可能是( ) 解析：因为f ????14＞f (3)＞f (2)，所以函数f (x )有增有减，排除A ，B.在C 中，f ????14＜f (0)＝1，f (3)＞f (0)，即f ????14＜f (3)，排除C ，故选D. 答案：D 5．已知函数y ＝f (1－x )的图象如图所示，则y ＝f (1＋x )的图象为( ) 解析：因为y ＝f (1－x )的图象过点(1，a )，故f (0)＝a .所以y ＝f (1＋x )的图象过点(－1，a )，选B. 答案：B 6．函数f (x )＝5 x －x 的图象大致为( ) 函数 1、回顾初中有关函数的概念：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定了一个x 值，相应地就确定唯一的一个y 值，那么我们称y 是x 的 函数. （1）变量：因变量，自变量 在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。 （2）一次函数：①若两个变量y ,x 间的关系式可以表示成y kx b =+（b 为常数，k 不等于0）的形式，则称y 是x 的一次函数。②当b =0时，称y 是x 的正比例函数。 （3）一次函数的图象及性质 ①把一个函数的自变量x 与对应的因变量y 的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 ②正比例函数y =k x 的图象是经过原点的一条直线。 ③在一次函数中，当k <0， b 函数的三要素 【知识点】 一、函数的定义域 （1）研究一个函数一定在其定义域内研究，所以求定义域是研究任何函数的前提，要树立定义域优先的原则． （2）函数的定义域常由其实际背景决定，若只给解析式时,定义域就是使此式子有意义的实数x 的集合（区间表示）． 常见定义域的求法： 常见定义域求法：对于()x f y =而言： ①整式：实数集R ； ②分式：使分母不等于0的实数的集合； [1 (0)x x ≠] ③0指数幂：底数不等于零； [0 (0)x x ≠] ④偶次根式：使根号内的式子大于或等于0的实数的集合； [2(0)n x x ≥] ⑤对数：真数大于零； [log (0)a x x >] ⑥由几个部分的式子构成：使各部分式子都有意义的实数的集合(即各集合的交集)； 实际问题：使实际问题有意义的实数的集合． 二、函数的值域 对于)(x f y =，x A ∈，与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数)(x f y =的值域． 三、解析式 （1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解； （2）当已知表达式为()[]x g f 时，可考虑配凑法或换元法．若易将含x 的式子配成()x g ，用配凑法；若易换元后求出x ，用换元法； （3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法； （4）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求． 课程类型： 1对1课程 ? Mini 课程 ? MVP 课程 【课堂演练】 题型一 函数定义域 例1 求下列函数的定义域： （1）1()2 f x x =- （2）0()32(2)f x x x = +- （3）1 ()1 2f x x x =+- 练1 求下列函数的定义域： （1）83y x x =+- （2）22 111 x x y x --= - （3）()3||f x x =- 练2 函数0()(12)13 g x x x x = --的定义域为 ． 例2 函数3()1log (63)f x x x = +-的定义域为（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．[1,2)- D ．[1,2]- 练3 函数()3lg(1)f x x x =-+的定义域为（ ） A ．[1,3)- B ．(1,3)- C ．(1,3]- D ．[1,3] - 练4 函数1 ()ln(31) = +f x x 的定义域是（ ） A ．1 (,)3- +∞ B ．1 (,0)(0,)3- +∞U C ．1 [,)3- +∞ D ．[0,) +∞ 题型二 函数值域 ? 一次分式值域 例3 求432+-=x y 在?? ? ???-∈1,32x 上的值域． （一）教学目标 1．知识与技能 （1）了解函数三要素的含义，掌握根据函数的三要素判定两个函数是否为同一个函数的方法. （2）会求简单函数的定义域和函数值. 2．过程与方法 通过示例分析，让学生掌握求函数定义域的基本题型及方法，进一步加深对函数概念的理解.通过求出函数的函数值，加深对应法则的认识. 3．情感、态度与价值观 通过动手实践研究数学问题，提高分析问题，解决问题能力；体会成功地解答数学问题的学习乐趣，培养钻研精神. （二）教学重点与难点 重点：掌握函数定义域的题型及求法. 难点：理解函数由定义域与对应法则确定函数这一基本原则. 二、授课内容： 【知识要点】 ⑴定义域———自变量x 的取值范围 函数三要素 ⑵值 域———函数值的集合 ⑶对应法则——自变量x 到对应函数值y 的对应规则 注意：①核心是对应法则；②值域是由定义域与对应法则所确定了的，故确定一个函数只需确定其定义域、对应法则则即可；③如何判断“两个”函数为同一函数；④函数()12-= x x f 的对应法则f ：x （平方再 减1整体再开平方）y 。而在此基础上的函数()1+=x f y ，其自变量为式中的x 而不是1+x ，其对应法则x （加1再取f 运算）y ，即x （加1整体平方再整体减1再整体开方）y ，故此时()1)1(12-+=+x x f 。 【典型例题】 1．函数定义域求法 ⑴已知函数的解析式求定义域时需要注意： ①()x f 是整式，则定义域为R ； ②()x f 是分式，则令分母不为0的值为定义域； ③()x f 是偶次根式，则函数定义域为使被开方式为非负数的自变量集合； ④若()x f 由几个部分式子构成，则定义域是使几个部分式子都有意义的值的集合； ⑤函数[]2 )(x f y =的定义域()x f 0≠； ⑥对数函数()x f y a log =（0>a ，且1≠a ）的定义域要求()x f >0； ⑵求函数()[]x g f 的定义域，()x g 相当于()x f 中的x 。 ⑶当函数由实际问题给出时，还应考虑实际意义。 例1：求下列函数的定义域 ①()0 2 )1(4--= x x x f ； ②()1 21 12 2+-+ ++=x x x x x f ； ③()x x f 11111++ = 042 ≥-x 22≤≤-x 解析：①由 ? ∴函数定义域为[)(]2,11,2?- 01≠-x 1≠x 012 ≥++x x （Ⅰ） ② 12 ++x x 的判别式0 一、函数与映射的基本概念判断 1. 设:f M N →是集合M 到N 的映射，下列说法正确的是 A 、M 中每一个元素在N 中必有象 B 、N 中每一个元素在M 中必有原象 C 、N 中每一个元素在M 中的原象是唯一的 D 、N 是M 中所在元素的象的集合 2. 设集合{1,0,1},{1,2,3,4,5}M N =-=，映射:f M N →满足条件“对任意的x M ∈， ()x f x +是奇数” ，这样的映射f 有____个 3. 设2:x x f →是集合A 到集合B 的映射，若B={1,2}，则B A 一定是_____ 4. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“值同函数”，那么解析式为2y x =，值域为{4，1}的“值同函数”共有______个 5. 以下各组函数表示同一函数是________________ （1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ； （2）f （x ）=x x ||，g （x ）=? ??<-≥;01,01x x （3）f （x ）=x 1+x ，g （x ）=x x +2； （4）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1。 二、函数的定义域 1.求下列函数的定义域 （1）2161x x y -+= ；（2 ）34x y x +=- 2.（1） 已知)(x f 的定义域为]30(，，求)2(2x x f +定义域。 （2）若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-，求函数()x f 的定义域 （3）已知)1(+x f 的定义域为)32[，-，求 2f x y -的定义域。 3. 求函数()f x = 4. 若函数()f x = 3 442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ） 函数的三要素练习题 （一）定义域 1 、函数()f x = ） A 、[2,2]- B 、(2,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞ D 、{2,2}- 2 _ _ _； 定义域为________； [1,1]-； [4,9] 3、若函数(1)f x + (21)f x -的定义域是 ；函数 1(2)f x +的定义域为 。1][,)2 +∞ 4、知函数()f x 的定义域为[]1,1-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。11m -≤≤ 5、求下列函数的定义域 （1）2|1|)43(43 2-+--=x x x y 解：（1）???-≠≠?≠-+≥-≤?≥--3 102|1|410432x x x x x x x 且或 ∴x ≥4或x ≤－1且x ≠－3，即函数的定义域为 （－∞，－3 ）∪（－3，－1）∪[4，+∞] （2）y = {|0}x x ≥ （3）0 1(21)1 11y x x = +-++（二）解析式 1． 设X=｛x|0≤x ≤2｝，Y=｛y|0≤y ≤1｝，则从X 到Y 可建立映射的对应法则是( ) （A ）x y 32= （B ）2)2(-=x y （C ）24 1x y = （D ）1-=x y 2． 设),(y x 在映射f 下的象是)2 ,2(y x y x -+，则)14,6(--在f 下的原象是( ) （A ）)4,10(- （B ）)7,3(-- （C ）)4,6(-- （D ）)2 7,23(-- 3． 下列各组函数中表示同一函数的是 （A ）x x f =)(与2)()(x x g = （B ）||)(x x x f =与?????-=22)(x x x g )0()0(<>x x （C ）||)(x x f =与33 )(x x g = （D ）1 1)(2--=x x x f 与)1(1)(≠+=t t x g 4． 已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是（ ） 第七节 函数的图像 授课提示：对应学生用书第29页 [基础梳理] 1．利用描点法作函数图像的基本步骤及流程 (1)基本步骤：列表、描点、连线． (2)流程： ①确定函数的定义域； ②化简函数解析式； ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)； ④列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线． 2．平移变换 y ＝f (x )――――――――――――→a ＞0，右移a 个单位 a ＜0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )； y ＝f (x )―――――――――――――→b ＞0，上移b 个单位 b ＜0，下移|b |个单位 y ＝f (x )＋b . 3．伸缩变换 y ＝f (x )―――――――――――――――――――――→纵坐标不变 各点横坐标变为原来的1 a （a >0）倍 y ＝f (ax )． y ＝f (x )――――――――――――――――――→横坐标不变 各点纵坐标变为原来的A （A >0）倍y ＝Af (x )． 4．对称变换 y ＝f (x )―――――――――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )； y ＝f (x )―――――――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )； y ＝f (x )―――――――――→关于原点对称 y ＝－f (－x )． 5．翻折变换 y ＝f (x )―――――――――――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图 将y 轴右边的图像翻折到左边去y ＝f (|x |)； y ＝f (x )―――――――――――→留下x 轴上方图 将x 轴下方图翻折上去 y ＝|f (x )|． 1．一个原则 在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x ，y 变换”的原则． 2．函数对称的重要结论 (1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图像关于直线x ＝a 对称． (2)若函数y ＝f (x )对定义域内任意自变量x 满足：f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a 对称． (3)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图像关于点(a ，b )中心对称． (4)在函数y ＝f (x )中，将x 换为－x ，解析式不变，则此函数图像关于y 轴对称． 函数概念及三要素 1．函数的概念： 设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的 任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ）． 记作： y=f(x)，x ∈A ． 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ）；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域（range ）． 2．分段函数：在定义域内不同的区间上有不同的 。注：分段函数是 个函数，而不是多个函数。 3．复合函数：若(),(),(,)y f u u g x x m n ==∈，那么[]()y f g x =称为复合函数，u 称为中间变量，它的取值范围是()g x 的值域。 方法一：函数定义域的求法 关注：分母、根号、指对数底数对数真数、tan 、零次方的底数 例题：)35lg(lg x x y -+= 的定义域为_______ 方法二：求函数解析式的常用方法 1、配凑法 2、待定系数法 3、换元法 4、解方程组法 例1、已知2(1)23f x x x -=--，则()f x = 。 例2、已知2 (31)965f x x x +=-+，则()f x = 。 例3、已知()f x 是一次函数，且(1)(1)23f x f x x +--=+，则()f x = 。 例4、已知()2()32f x f x x +-=-，则()f x = 。 例5、已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，并且()()1f x g x x +=+，则()g x = 。 方法三：分段函数 分段函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同，而分别用几个不同的式子来表示，这种函数就称之为分段函数.分段函数虽然有几个部分组成，但它表示的是一个函数.近几年高考考察的频率较高. 1．函数 22, 0,()log , 0.x x f x x x ?=?>?≤则1()4f =____；方程1()2f x -=的解是____． 2. 已知函数11,02()ln ,2 x f x x x x ?+<≤?=??>?，如果关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，那么实数k 的取 值范围是（ ） （A ） (1,)+∞ （B ）3[,)2+∞ （C ）32[,)e +∞ （D ）[ln 2,)+∞ 函数概念及其相关概念（2课时） 考点一：由函数的概念判断是否构成函数 函数概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f （x ）和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。 例1. 下列从集合A 到集合B 的对应关系中，能确定y 是x 的函数的是（ ） ① A={x x ∈Z}，B={y y ∈Z}，对应法则f ：x →y= 3 x ; ② A={x x>0,x ∈R}, B={y y ∈R}，对应法则f ：x →2 y =3x; ③ A=R,B=R, 对应法则f ：x →y=2 x ; 变式1. 下列图像中，是函数图像的是（ ） ① ② ③ ④ 变式2. 下列式子能确定y 是x 的函数的有（ ） ①2 2 x y +=2 ②111x y -+ -= ③y=21x x -+- A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 变式3. 已知函数y=f （x ），则对于直线x=a （a 为常数），以下说法正确的是（ ） A. y=f （x ）图像与直线x=a 必有一个交点 B. y=f （x ）图像与直线x=a 没有交点 C. y=f （x ）图像与直线x=a 最少有一个交点 D. y=f （x ）图像与直线x=a 最多有一个交点 考点二：同一函数的判定 函数的三要素：定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。 例2. 下列哪个函数与y=x 相同（ ） A. y=x B. 2 y x = C. () 2 y x = D.y=t 变式1.下列函数中哪个与函数3 2y x =-相同（ ） A. 2y x x =- B. 2y x x =-- C. 3 2y x x =-- D. 2 2y x x -= 变式2. 下列各组函数表示相等函数的是（ ） O O O O X X X X y y y y 第七节函数的图象 会运用函数图象理解和研究函数的性质. 1.描点法作图 方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的性质(奇偶性、周期性、单调性、最值,甚至变化趋势);(4)描点连线,画出函数的图象. 2.图象变换 (1)平移变换: (2)伸缩变换: y=f(x)y=⑤f(ωx); y=f(x)y=⑥Af(x). (3)对称变换: y=f(x)y=⑦-f(x); y=f(x)y=⑧f(-x); y=f(x)y=⑨-f(-x). (4)翻折变换: y=f(x)y =⑩f(|x|); y=f(x)y=|f(x)|. 函数图象对称变换的相关结论 (1)y=f(x)的图象关于直线y=x对称的图象是函数y=f-1(x)的图象. (2)y=f(x)的图象关于直线x=m对称的图象是函数y=f(2m-x)的图象. (3)y=f(x)的图象关于直线y=n对称的图象是函数y=2n-f(x)的图象. (4)y=f(x)的图象关于点(a,b)对称的图象是函数y=2b-f(2a-x)的图象. 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“?”). (1)将函数y=f(-x)的图象向右平移1个单位长度得到函数y=f(-x-1)的图象.() (2)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称.() (3)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.() (4)函数y=f(|x|)的图象关于y轴对称.() (5)函数y=af(x)与y=f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.() 答案(1)?(2)√(3)√(4)√(5)? 2.函数y=x|x|的图象大致是() 答案A 3.(教材习题改编)已知图①中的图象是函数y=f(x)的图象,则图②中的图象对应的函数可能是() A.y=f(|x|) B.y=|f(x)| C.y=f(-|x|) D.y=-f(-|x|) 函数的定义及三要素 考点一、函数概念的理解 [例1] 下列对应是否为A 到B 的函数： (1)A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |； (2)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x 2； (3)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x ； (4)A ＝[－1,1]，B ＝{0}，f ：x →y ＝0. [例2】下列各图中，可表示函数)(x f y 的图象的只可能是（ ） 变式1：在下列从集合A 到集合B 的对应关系中不可以确定y 是x 的函数的是( ①A ＝{x |x ∈Z }，B ＝{y |y ∈Z }，对应法则f ：x →y ＝x 3； ②A ＝{x |x >0，x ∈R }，B ＝{y |y ∈R }，对应法则f ：x →y 2＝3x ； ③A ＝{x |x ∈R }，B ＝{y |y ∈R }，对应法则f ：x →y ：x 2＋y 2＝25； ④A ＝R ，B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝x 2； ⑤A ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，B ＝R ，对应法则f ：(x ，y )→S ＝x ＋y ； ⑥A ＝{x |－1≤x ≤1，x ∈R }，B ＝{0}，对应法则f ：x →y ＝0. A ．①⑤⑥ B ．②④⑤⑥ C ．②③④ D ．①②③⑤ 变式2、如图中，哪些是以x 为自变量的函数的图象，为什么？ 考点二、相等函数的判断 [例2] 下列各对函数中，是相等函数的序号是________． ①f(x)＝x＋1与g(x)＝x＋x0 ②f(x)＝x＋2与g(x)＝|2x＋1| ③f(n)＝2n＋1(n∈Z)与g(n)＝2n－1(n∈Z) ④f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t ＋2 变式：下列各组式子是否表示相等函数？为什么？ (1)f(x)＝|x|，φ(t)＝t2； (2)y＝x2，y＝(x)2； (3)y＝x＋1·x－1，y＝x2－1； (4)y＝1＋x·1－x，y＝1－x2. 考点三、求函数的定义域 [例3] 求下列函数的定义域： (1)y＝2x＋3； (2)f(x)＝ 1 x＋1； (3) y＝x－1＋1－x； (4)y＝ x＋1 x2－1. 第一章函数 第一讲函数的概念 【知识归纳】 (1) 映射 映射的定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中 的任意一个元素x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，那么这样的对应(包括集合A，B 以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.其中与A中的元素a对应的B 中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象. 一对一，多对一是映射但一对多显然不是映射 辨析： ①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等； ②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射； ③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象； ④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的； ⑤封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中的每一个元素都 有原象，即A中元素的象集是B的子集. 映射三要素：集合A、B以及对应法则f，缺一不可； (2) 映射观点下的函数概念 如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C（C B）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x). （3）函数概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f (x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记作：y = f (x)，x∈A. 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f (x) | x∈A}叫做函数的值域. 显然，值域是集合B的子集. （4）函数的表示方法 1．解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来，得到的式子叫做解析式. 2．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 3．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 函数的概念、表示法与定义域 一、映射与函数： （1）映射的概念： （2）一一映射： （3）函数的概念： 二、函数的三要素：定义域，值域，对应法则。 相同函数的判断方法：①定义域相同；②对应法则一样 (两点必须同时具备) （1）函数解析式的求法： ①定义法（拼凑）： ②换元法： ③待定系数法： ④赋值法： （2）函数定义域的求法： ①) () (x g x f y = ，则g （x ）0≠； ②)()(*2N n x f y n ∈=则f （x ）0≥； ③0 )]([x f y =，则f （x ）0≠； ④如：)(log )(x g y x f =，则 { ()0 0()1()1g x f x f x ><<>或； ⑤含参问题的定义域要分类讨论； ⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。 （3）函数的表示法：解析法、列表法与图象法。 （4）分段函数：一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同。 三.练习题: 1. 已知集合M ＝｛1,2,3,m ｝，4 2 {4,7,,3}N n n n =+，* ,m n N ∈，映射:31f y x →+是从M 到N 的一个函数，则m n -的值为(B) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 2．下列对应关系是集合P 上的函数是有 2 ． （1）* ,P Z Q N ==，对应关系:f “对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应”； （2）{1,1,2,2},{1,4}P Q =--=，对应关系：:f x →2 ,,y x x P y Q =∈∈； （3）{P =三角形},{|0}Q x x =>，对应关系:f “对P 中三角形求面积与集合Q 中元素对 函数定义域的求法及常见题型 一、函数定义域求法 （一）常规函数 函数解析式确定且已知，求函数定义域。其解法是根据解析式有意义所需条件，列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组），即得函数定义域。 例1.求函数y = 的定义域。 （二）抽象函数 1.有关概念 定义域：函数y=f(x)的自变量x 的取值范围，可以理解为函数y=f(x)图象向x 轴投影的区间；凡是函数的定义域，永远是指自变量x 的取值范围； 2.四种类型 题型一：已知抽象函数y=f(x)的定义域为[m,n]，如何求复合抽象函数y=f(g(x))的定义域？ 例题2.已知函数y=f(x)的定义域[0,3]，求函数y=f(3+2x)的定义域 强化训练： 1.已知函数y=f(x)的定义域[-1,5]，求函数y=f(3x-5)的定义域； 2.已知函数y=f(x)的定义域[1/2,2]，求函数y=f(log 2x)的定义域； 3.已知(x)f 的定义域为［－2，2］，求2(x 1)f -的定义域。 题型二：已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，如何求抽象函数y=f(x)的的定义域？ 例题4.已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，求函数y=f(x)的定义域. 强化训练： 1.已知函数y=f(x 2-2x+2)的定义域[0,3]，求函数y=f(x)的定义域. 2.已知函数y=f[lg(x+1)]的定义域[0,9]，求函数y=f(x)的定义域. 题型三：已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，如何求复合抽象函数y=f(h(x))定义域的定义域？ 例题5.已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，求函数y=f(3+x)的定义域. 强化训练： 1.已知函数y=f(x+1)的定义域[-2,3]，求函数y=f(2x-1)的定义域. 2.已知函数y=f(2x)的定义域[-1,1]，求函数y=f(log 2x)的定义域. 3. 已知f(x+1)的定义域为[-1/2，2]，求f(x 2)定义域。 题型四：已知f(x)的定义域，求与f(x)相关四则运算型函数的定义域。 例6.已知f(x)的定义域为[-3，5]，求φ（x ）=f(-x)+f(2x+5)定义域。 强化训练： 1.已知f(x)的定义域为（0，5]，求g(x)=f(x+a)f(x-a)定义域，其中-1﹤a ≦0。 二、与函数定义域相关的变形题型 （一）逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例7.已知函数的定义域为R ，求实数m 的取值范围。 例8.已知函数27 (x)43 kx f kx kx += ++的定义域是R ，求实数k 的取值范围。 （二）参数型 对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。 例9.已知(x)f 的定义域为［0，1］，求函数(x)(x )(x a)F f a f =++-的定义域。 一、选择题 1．已知函数()()0f x x a x a a =+--≠，()()() 2200x x x h x x x x ?-+>?=?+≤??， 则()(),f x h x 的奇偶性依次为（ ） A ．偶函数，奇函数 B ．奇函数，偶函数 C ．偶函数，偶函数 D ．奇函数，奇函数 2．若)(x f 是偶函数，其定义域为()+∞∞-,，且在[)+∞,0上是减函数， 则)2 52()23(2+ +-a a f f 与的大小关系是（ ） A ．)23(-f >)252(2++a a f B ．)23(-f <)2 52(2++a a f C ．)23(-f ≥)252(2++a a f D ．)23(-f ≤)2 52(2++a a f 3．已知5)2(22+-+=x a x y 在区间(4,)+∞上是增函数，则a 的范围是（ ） A .2a ≤- B .2a ≥- C .6-≥a D .6-≤a 4．设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=， 则()0x f x ?<的解集是（ ） A ．{}|303x x x -<<>或 B ．{}|303x x x <-<<或 C ．{}|33x x x <->或 D ．{}|3003x x x -<<<<或 5．已知3()4f x ax bx =+-其中,a b 为常数，若(2)2f -=，则(2)f 的值等于( ) A ．2- B ．4- C ．6- D ．10- 6．函数33()11f x x x =++-,则下列坐标表示的点一定在函数f (x )图象上的是（ ） A ．(,())a f a -- B ．(,())a f a - C ．(,())a f a - D ．(,())a f a --- 二、填空题 1．设()f x 是R 上的奇函数，且当[)0,x ∈+∞ 时，()(1f x x =， 则当(,0)x ∈-∞时()f x =_____________________。 2．若函数()2f x a x b =-+在[)0,x ∈+∞上为增函数,则实数,a b 的取值范围是 。 3．已知221)(x x x f +=，那么)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ++++++＝_____。 4．若1()2 ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，则a 的取值范围是 。 5．函数4()([3,6])2 f x x x =∈-的值域为____________。 课时作业 A 组——基础对点练 1．(2018·广州市模拟)已知函数f (x )＝????? x 2，x ≥01x ，x ＜0，g (x )＝－f (－x )，则函数g (x )的图像是( ) 解析：g (x )＝－f (－x )＝????? －x 2，x ≤01x ，x ＞0，∴g (x )的图像是选项D 中的图像． 答案：D 2.如图，在不规则图形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两 部分，设AE ＝x ，左侧部分面积为y ，则y 关于x 的大致图像为( ) 解析：直线l 在AD 圆弧段时，面积y 的变化率逐渐增大，l 在DC 段时，y 随x 的变化率不变；l 在CB 段时，y 随x 的变化率逐渐变小，故选D. 答案：D 3．(2018·惠州市调研)函数f (x )＝(x －1x )cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图像可能为( ) 解析：函数f (x )＝(x －1x )cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排除选项A ，B ；当 x ＝π时，f (x )＝(π－1π)cos π＝1π －π＜0，排除选项C ，故选D. 答案：D 4．(2018·长沙市一模)函数y ＝ln|x |－x 2的图像大致为( ) 解析：令f (x )＝ln|x |－x 2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝ln |x |－x 2＝f (x )，故函数y ＝ln |x |－x 2为偶函数，其图像关于y 轴对称，排除B ，D ；当x ＞0时，y ＝ln x －x 2，则y ′＝1x －2x ，当x ∈(0，22)时，y ′＝1x －2x ＞0，y ＝ln x －x 2单调递增，排除C.选A. 答案：A 5.(2018·武昌调研)已知函数f (x )的部分图像如图所示，则f (x )的解析式可以是( ) A ．f (x )＝2－x 2 2x B ．f (x )＝cos x x 2 C ．f (x )＝－cos 2x x D ．f (x )＝cos x x 解析：A 中，当x →＋∞时，f (x )→－∞，与题图不符，故不成立；B 为偶函数，与题图不符，故不成立；C 中，当x →0＋时，f (x )<0，与题图不符，故不成立．选D. 答案：D 6．函数f (x )的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( ) A ．e x ＋1 B ．e x － 1 C ．e －x ＋1 D ．e －x －1 解析：与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的图像对应的函数为y ＝e －x ，将函数y ＝e －x 的图像向左平移1个单位长度即得y ＝f (x )的图像，∴f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1，故选D. 答案：D 7．函数f (x )＝2ln x 的图像与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图像的交点个数为( ) A ．3 B ．2 第一讲函数的概念及三要素 1．函数与映射 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域；对于A 中的每一个x，都有一个输出值y与之对应．我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域． (3)函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 考向一函数、映射的判断 【例 1】（1）若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( ) （2）集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数的是( ) A．f：x→y＝ 1 2 x B．f：x→y＝ 1 3 x C．f：x→y＝ 2 3 x D．f：x→y＝x 【举一反三】 1．下列从集合M到集合N的对应关系中，其中y是x的函数的是 A．M={x|x∈Z},N={y|y∈Z}，对应关系f:x→y,其中y=x 2 B．M={x|x>0,x∈R},N={y|y∈R}，对应关系f:x→y,其中y=±2x C．M={x|x∈R},N={y|y∈R},对应关系f:x→y,其中y=x2 D．M={x|x∈R},N={y|y∈R}，对应关系f:x→y,其中y=2 x 2．下图中，能表示函数y=f(x)的图象的是( ) A．B．C．D． 考向二函数定义域求法 类型一：已知解析式求定义域 的定义域是。 【例2-1】（1）函数y=√3?x lgx (x?1)0的定义域是。 （2）函数y= √12+x?x22021新高考一轮复习专题2.1 函数概念及三要素(解析版)
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