3韩国平考研串讲之级数
CH10级数（8~10） 一、重要概念、公式 （一）数项级数
1、绝对收敛，条件收敛 注：○1 n
u
∑收敛，则称n u ∑绝对收敛；
○
2 n
u ∑收敛，n u ∑发散，则称n u ∑条件收敛
2、性质：
（1）若n u ∑收敛，其和为,s k 为常数，则
1
n
n ku
∞
=∑也收敛，且其和为 ks
（2）若级数n n u V ∑∑、分别收敛于 S 和 T ，则()n n u v ±∑也收敛，且收敛于S T ± 注：○
1 如一发散，一收敛，则其代数和发散；○
2 如两发散，则结论不一定 （3）在级数前面增加、减少或改变有限项，并不影响其敛散性，但级数收敛时，仅可能改变其和
（4）收敛级数的各项按原次序分组加括号所得新级数仍收敛，且其和不变 注：○
1 一个级数加括号所得新级数收敛，并不能说明原级数是否收敛； ○
2 但加括号发散，原级数一定发散 （5）若级数∑∞
=1n n u 收敛，则0lim =n u
注：若lim 0n u ≠，则n u ∑发散 3、定理及审敛法
（1）正项级数n u ∑收敛 ? 部分和数列 n S 有界； （2）比较审敛法：
○1 设∑∑n n v u 、都是正项级数：
A 、若从某项起，有 ()0,>≥≤k N n KV u n n 且
n
V
∑收敛，则n u ∑也收敛；
B 、若从某项起，有n n u KV ≤且n u ∑发散，则∑n V 也发散
○2 设∑∑n n V u 、是两个正项级数，且+∞<<=∞→l l V u n
n
n 0,lim
，则∑∑n n V u 、同敛散 注：对于正项级数可利用等价无穷小代换，只能用在(正项或负项)级数 （3）比值审敛法：设有正项级数1n n u ∞
=∑，若1
lim
n n n
u p u +→∞=，则：
○
1 当01p ≤<时，级数n u ∑收敛； ○
2 1p >时，级数n u ∑发散 注：含!n 或n 的乘积形式
（4）根值审敛法：设有正项级数1
n n u ∞
=∑
，若n p =，则：
○
1 10<≤p 时，级数∑n u 收敛； ○21>p 时，级数∑n u 发散 注：含以n 为指数的因子
（5）交错级数审敛法：若交错级数11
(1)n n n u ∞
-=-∑满足：○11+≥n n u u ； ○20lim =∞
→n n u ，
则该交错级数收敛，且其和1u s ≤，其余项的绝对值1+≤n n u r （6）绝对收敛定理：若n u ∑收敛，则n u ∑也收敛
注：○1 改变绝对收敛级数项的次序所得的新级数仍绝对收敛，且与原级数有相同的和；
○2 设级数∑∑n n v u 、都绝对收敛，它们的和分别为 S 和 T ，则它们逐项相乘后，依任意方式排列所得级数仍绝对收敛，且其积为 ST
4、公式：
（1）11
p
n n
∞
=∑
：1p >时收敛，1p ≤时发散； （2）1n n a ∞
=∑：1a <时收敛，1a ≥时发散；
（3）11
ln p
n n n
∞
=∑
：1p >时收敛，1p ≤时发散； （二）函数项级数 1、基本概念： （1）定义：()x u n ∑
（2）和函数：()()x u x u S n n ++= 1
（3）幂级数：()收n
n n x x a 00-∑∞
=敛半径，收敛区间
（4）泰勒级数：如果()f x 存在各阶导数，则(
)
()
()
000
!
n n
n f x x x n ∞
=-∑
称为泰勒级数
2、定理公式：
（1）阿贝尔引理：若幂级数n n a x ∑：当0x x =时收敛，则对0x x <的x ，
n n
a x ∑绝对收敛；当0
x x =发散，则对0
x x
>的x ，n n a x ∑发散
注：收敛点是连成一片的
（2）设R 是幂级数n n a x ∑的收敛半径，且1
lim
n n n
a p a +→∞
=： ○
1 当0p ≠时，1R p
=；○2 0p =时，R =∞； ○3 p =+∞时，0R = （3）幂级数的分析运算性质：设幂级数()0n n n a x S x ∞
==∑，其收敛半径为0R >，则：
○
1 和函数()S x 在(),R R -内连续； ○
2和函数()S x 在(),R R -内可导，且()()0n
n n S x a x ∞
='
'=∑；
○
3和函数()S x 在(),R R -内任何区间上可积，且()dt t a dx x S n n x n x
∑??∞
==0
注：逐项求导，逐项积分并不改变收敛半径，但可改变端点的敛散性 （4）几个重要的麦克劳林展开式：
+++++=!
!212n x x x e n
x
；
()()
3521sin 13!5!21!n n
x x x x x n +=-+-+-++ ；
()242cos 112!4!2!
n n x x x
x n =-+-+-+ ；
()() +-+
+-=+-n n x n
x x x x 1
3
21321ln ；
()()()()
++--+
+-+
+=+n x n n x x x !
11!
21112ααααααα
；
（5）泰勒定理：设()f x 在点0x 的某个邻域内具有任意阶导数，则()f x 在0
x 处的泰勒级数在该邻域内收敛于()f x 的充要条件是：当∞→n 时，()f x 在点0x 的泰勒级数余项()0→x R n
注：()f x 在点0x 的幂级数展开式(
)
()
()
000
()!
n n
n f x f x x x n ∞
==-∑
（三）付立叶级数 1、基本概念
（1）三角级数：形如 ()∑∞
=++1
0sin cos 2n n n nx b nx a a
（2）正交：对于()()x x Q ?、在[]b a ,上有定义，如果()()0=?dx x x Q b
a ?，则称
()()x x Q ?,正交 （3）付立叶系数： ○
1 ()f x 是周期为π2的周期函数：则()n x d x x f a n c o s 1
?-
=
π
ππ
，()nxdx x f b n sin 1
?-
=
π
ππ
○
2 ()f x 在[],l l -上以2l 为周期：()dx l x n x f l a l l n πcos 1?-=，()dx l x
n x f l b l l n πsin 1?-= ○
3()f x 在[],a b 上：()dx a b x n x f a b a b
a
n --=?π2cos 2，()dx a
b x
n x f a b b b a n --=?π2sin 2 （4）付立叶级数：以付立叶系数n n b a 、构成的三角级数
()01
cos sin 2n n n a a nx b nx ∞
=++∑ → 付立叶级数 （4）正弦级数、余弦级数（奇偶延拓）
只含正弦项的级数 → 正弦级数； 只含余弦项的级数 → 余弦级数 注：奇延拓→正弦 即：奇函数→正弦
偶延拓→余弦 偶函数→余弦 2、定理
如()f x 在[]ππ-，上满足：（1）连续或只有有限个第一类间断点；（2）至多有有限个极值点,则()x f 的付立叶级数()S x 在[],a b 上收敛， 且：○
1 x 为()f x 的连续点，()()x f x s → ○
2 x 为()f x 的间断点，()()()
2
+-+→x f x f x s
○3 x 为()f x 的端点，b x a x ==,,()()()2
-++→b f a f x s
二、重要考点
1、判定级数审敛法
⑴判定0lim →∞
→n n u 不等于0 发散。
⑵判断∑∞
=1
n n u 是否为正弦级数，是 按正项级数审敛法。
⑶收敛，绝对收敛∑n u
⑷交错级数审敛法及运用性质讨论 注：n u 不具体一般用定义性质讨论。
对于正项级数∑n u 的敛散性，常用台勒展开及等价无穷小代换讨论。 2 求极限：
3、求函数项级数()x u n n ∑∞
=1的收敛区间、收敛域、收敛半径，其一般步骤为：（注：
函数不具体一般考虑阿贝尔引理） （1） 由()()()1lim
1<=+∞→x p x u x u n
n n ，解出x 的取值范围（a ，b ）
。 （2） 讨论在端点的敛散性。
（3） 给出结论。
若∑∞
=0n n
n x a 的收敛域是(]8,8-,则 ()
∑∞
=-03133n n
n n n x a 的收敛半径是2.
4、求数项级数的和，其步骤为： （1） 构造幂级数，求出其收敛域
（2） 利用幂级数的分析运算性质，求出幂级数的和函数 （3） 代值计算 注：○
1()∑n f x n
整理逐项求导，()
1-n n x n ○
2()n x n f ∑整理逐项积分，∑-1n nx 5将函数()x f 展开成0x x -的幂级数的一般步骤： （1） 作代换()()()u g u x f x f u
x x =+=
=-00；
（2） 利用求导、积分、代换整理化简将()u g 展开为u 的幂级数； （3） 将0x x u -=代入即得。 6求()()i x f 0其步骤
（1） 求()0x x x f -关于的幂级数展开式 （2） 由()i
x x 0-的系数，()()()i x i x i f i f a 00!
得=
7函数的付立叶级数展开，其步骤： （1） 判定f(x)的周期性、奇偶性 （2） 计算付立叶系数n n b a a 、、0
（3） 写出付立叶级数，并由狄利克雷定理写出其和函数S(x) （4） 如要求某个数项级数的和，则在s(x)中令x 取某个特殊值。
微分方程（8~12） 一、重要概念、公式
1、如果1y 、2y 是二阶线性齐次方程：0)(')(''=++y x Q y x p y 的两个解，
则2211y c y c y +=也是它的解，其中21c c 、是任意常数； 2、如果12y y 、是()()'''0y p x y Q x y ++=的两个线性无关的解，
则2211y c y c y +=就是该方程的通解；
3、如果*y 是二阶非齐次线性方程：()()x f y x Q y x p y =++')(''的一个特解，而Y 是它对应的齐次方程的通解，则*+=y Y y 是该非齐次方程的通解；
4、如果*1y 是()())('''1x f y x Q y x p y =++的解，*
2y 是()())('''2x f y x Q y x p y =++的解，
则2121)(')(''f f y x Q y x p y y y +=+++*
*是的解
二、重要考点
1、一阶微分方程，其步骤： （1）确定类型（代换整理）（2）代公式求解
注：含()()()
2
2y x f xy f y x f x y f y x f ±???
? ????? ??±、、、、一般都可通过变量代换化为基本形式。
具体为： ○
1可分离变量：()()y g x f dx
dy
= ()()dx x f y g dy
??=
○2齐次方程：x y u x y Q dx dy =??
? ??=,转化为可分离变量
x y u =
则()()x
dx u u Q du u u Q dx du x =-?-=?
○
3一阶线性微分方程：()x Q y x p y =+)(' 公式：()()()??
????+??=?-c dx e x Q e y dx x p dx x p
○
4贝努利方程：()()1,0)('≠=+n y x Q y x p y n 令u y n =-1，则
()()()()x Q n u x p n dx
du
-=-+11 ○
5全微分方程：y
p x Q Qdy pdx ??=??=+满足,0，则为全微分方程： 通解()()C dy y x Q dx y x p y
y x
x =+??0
,,0
1.已知)(x f 在),(+∞-∞上有定义,,1)0(='f 对于任意的),(,+∞-∞∈y x 恒有
2
11
2)()()(x
y y f x f y x f +?
++=+,求)(x f . 解：由2
11
2)()()(x y y f x f y x f +++=+令0=y 则有)0()()(f x f x f +=从而0)0(=f 原方程可以化为
1
2
)()()(2++=-+x y y f y x f y x f
当0→y 时,对上式取极限,于是有
12112)0()120)0()((lim )()(lim
)(22200
++=++'=++--=-+='→→x x f x y f y f y x f y x f x f y y 即1
2
1)(2++
='x x f 从而C x arc x x f +++=tan 2)( 由0)0(=f 可知C=0即x arc x x f tan 2)(++=
2.求微分方程xy
x y xy dx dy 4222
--=
的通解 解：方程是齐次方程,令xu y =,代入得u u u u dx du x 4122
--=+. 整理得 u
u u dx du x
41)31(-+= 当u(1+3u)≠0时,分离变量并积分,有
???+-=+-=du u u du u u u x dx )3171()31(41
即 x ln +1c =u ln -|31|ln 3
7
u +,
作恒等变形,得通解：
73733)3()31(y x c xy u cx u +=?+=
由于常数c 取零时,已经将解u=0即y=0包含在公式内,而上述通解外方程还有解
1+3u=0即x+3y=0.
2、可降阶的高阶微分方程，其步骤： （1） 确定类型
（2） 代相应公式求解（注：在求特解时，应边运算边代值）
1求0'1
''=+y x
y 满足条件()()11',01==y y 的特解
解：令p y ='则p x
p 1
'-= c x p +-=ln ln
由()11'=y 得c=0即：x
p 1
= 1ln c x y += 由()01=y 01=C
x y ln =
2求()1'''22-=y y y 满足()()11',21-==y y 的特解。 解：令dy
dp
p y p y ?
=='','则即：)1('22-?=y p p p y ()c y p +-=1ln 2ln 由1)1('-=y 得c=0即：()2
1-±=y p 由1)1('-=y 知
()2
1'--=y y
c x y +=-1
1
由02)1(==c y 得 ()11=-∴y x 3、解的结构
已知)()()(10,10,10321233321x a y x a y x a y e x y x y y x =+'+''++=+==是方程的三个特解
,
则
该方
程
的
通
解
可
以
表
示
为
[A]
10)(2231++x e C x C A 10)(2231++x xe C x C B
x e C x C C 2231)(+
10)(D
4、、求二阶常系数线性微分方程的通解，其步骤：
()1求0'''=++qy py y 的通解Y
:A 由20r pr q ++=，求12,r r :B 由12,r r 的不同情况，写出通解
○
1 12,r r 不等实根，通解x r x r e c e c y 2121+=； ○
2 12r r = ()x r e x c c y 121+=； ○
3 i b a r +=1 i b a r -=2 ()bx c bx c e y ax sin cos 21+= （2）求()ax n e x p qy py y =++'''的特解*y 由a 与02=++q pr r 的根的关系设出特解形式
○
1a 不是根 设()ax n e x Q y =* ○2a 是单根 设()ax n e x xQ y =* ○
3a 是重根 设()ax n e x Q x y 2=* （3）求()cos ax n y py qy p x e bx '''++=的特解
①()()cos sin )ax n a bi x bx R x bx e ++n 不是根，设特解(Q ②()()cos sin )ax n a bi x bx R x bx e ++n 是根，设特解x(Q
()3代入定出特解*y ，写出通解*+y Y
求微分方程x y y y cos 854=+'+'' ,当-∞→x 时为有界的特解.
解：对应齐次方程的特征方程为.20542i r r r ±-=?=++ 于是对应齐次方程的通解为).sin cos (212x C x C e Y x +=-
由非齐次项x c o s
8 知i ±不是特征根,故可设原方程的一个特解为,cos sin x B x A y +=*带入原方程,比较系数得,1==B A 于是原方程有特解,cos sin x x y +=*因此,原方程的通解为,*+=y Y y 即 .cos sin )sin cos (212x x x C x C e y x +++=-
为使,-∞→x y 有界,必有,021==C C 故满足题设的特解为.cos sin x x y += 5、欧拉方程 6、应用问题
⑴几何的应用（面积、体积、弧长、导数） ⑵牛顿定律、胡克定理
⑶液体的浓度（用分析法，通过改变量建立方程） CH1行列式(4~6) 一、重要概念、公式
① 行与列互换，其值不变；
② 行列式的两行或两列互换，行列式改变符号；
③ 行列式中某行（列）的公因子可提到行列式的外面，若以一个数乘行列式等于用该数乘行列式的任意一行（列）；
④ 行列式中若有两行（列）成比例，则该行列式为零；
⑤ 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两行列式
之和：
nn
n n n i i i n nn n n in i i n nn
n n in in i i i i n
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
2121112112
121
112
112
1221111211''''''+=+++ ⑥ 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变 3、几个公式：
（1） 范得蒙行列式：1
2
22212
1121
12111
()n
n i j j i n
n n n n
a a a A a a a a a a a a ≤<≤---==∏-
213231121()()()()()()n n n n n a a a a a a a a a a a a --=------ 特点：① 从第一行至第n 行按升幂排列；②
(1)
2
n n -项)(j i x x -积； ③ ,i j x x i j ->
（2）设A 为n 阶矩阵，B 为m 阶矩阵，C 为n 阶矩阵，
则： ① ij n i ij ij n j ij A a A a A ∑∑====1
1
，1
0,n ks is s a A i k ==≠∑，1
0,n
is ik i a A k s ==≠∑；
②
C B c B c B ==0**0；③ C B C B
C
B mn )1(0
*0
-==*； ④
nn nn
a a a a a a 22112211
00=*
**；
⑤
11212
)
1(11
21)
1(00
0n n n n n n n n
a a a a a a
----=*
；⑥ A K KA n =；
⑦ AC A C =，T A A =，但A B A B +≠+；
⑧ 1n A A -*=，112111222212n n n
n
nn A A A A A A A A A A *?? ?
?
= ?
?
??
，ij A 为元素ij a 的代数余子式；
⑨ 1
1
--=A
A ，nn
nj nj n n n
i j i j i i i n i j i j i i i n
j j j
i ij a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A
1
1
2
1
1111112111111112111111112
11
)
1(+-+++-+++-+-----+-+-= (注意符
号)→ij M 余子式：()
ij j
i ij M A ?-=+1 ()
1i j
ij ij M A +=-?
二、考题类型：解题技巧（规律）例题分析 1、利用行列式定义的计算证明问题 注：（1）取自不同行不同列的n 个元素的乘积 （2）!n 项
2、关于代数余子式的计算证明
注（1）余子式与代数余子式的定义。
（2）*A A ij ?对应关系
3、行列式的计算其步骤：
（1） 观察行列式的结构特点，注意高、低阶。 利用性质，化简整理。 （2） 代公式。
常用方法：○1利用性质化为阶梯形，○2按行列展开，常用在零比较多的情况，○3递推法，○
4定义 设A 是三阶方阵,且,0322=+=-=+E A E A E A 求.2*E A + [解] 由,0322=+=-=+E A E A E A
可知A 的特征值：,2
3
,2,1--由特征值性质可知
.3)2
3
(2)1(=-??-=A
由重要公式可知*
A 的特征值为
λ
A
,即 .2,23
,3--
于是 E A 2*+的特征值：,022,2
7
223,123=+-=+-=+-
故 .002
7
)1(2*=??-=+E A
CH2矩阵(8~12)
一、重要概念、公式 1、矩阵的运算：
（1）加减同型：mn mn B A ±； （2）乘法：m l nl m n C B A =? 2、矩阵的逆运算：相等mn mn A B =； 3、伴随矩阵：对称阵、反对称阵； 4、矩阵的初等变换，矩阵的秩：
等价矩阵：PAQ B =， P Q 、互逆（同型号, 秩等） 5、分块矩阵及运算； 6、常用公式：
（1）T T T
B A B A +=+）（；（2）A A T T =)(，T T A A λλ=)(；
（3）T T T A B AB =）（； （4）11--=）（）（T T A A ，
A A =--11）（； （5）
111--=A K
KA ）（，111---=A B AB ）（， *-*
=A K KA n 1）（； （6）A
A 11=
- 7、分块矩阵：
（1）已知A 为分块对角矩阵，????
??
?
??=t A A A A
2
1， i A 为可逆方阵， 则??????
?
?
?=----112
111t A A A A ； （2）若???? ??=00C B A ，则???
? ??=---001
1
1
B C A ； （3）若???? ??=D C B A 0且0≠=D B A ，则???
?
??-=-----11111
0D CD B B A ； （4）若A=???? ?
?D C
B
0，0≠=D B A ，则???
? ?
?-=-----11111
0D CB D B A
8、A 、B 为同阶方阵，则***
=A B AB ）（；
若A 为可逆矩阵，则1
1-**-=）
（）（A A ，E A AA =* 注：（1）BA AB ≠； （2）分块矩阵的运算： ○
1加法减法：分法一致，对应块加减； ○
2乘法：当A 的列分法与B 的行分法一致时才能相乘 若???? ??=
t A A A A 11211
，????
??=tr t r B B B B B 1
111， 则)(ij C C AB ==，kj ik ij B A C ∑= 9、初等变换不改变矩阵的秩：
)()()(B r A r B A r +≤+，{})(),(min )()()(B r A r AB r n B r A r ≤≤-+，)()(T A r A r =
二、考题类型：解题技巧（规律）例题分析
1、矩阵的运算：
2、矩阵的逆的计算、证明： （1） 用初等变换求逆矩阵
()()B E E A ???→?初等行变换
1
-=A
B ??
? ?????→???? ??B E E A 初等列变换 1-=A B （2） 利用分块矩阵求矩阵的逆
（3） 利用伴随矩阵求矩阵的逆 *
11A A
A =
- ○
1只适用于阶数比较低的矩阵 ○2代数余子式 （4） 利用逆矩阵定义求逆矩阵 3、求矩阵方程：
解矩阵方程：已知()0,,=C B A f 求A 的一般步骤： ○
1化简整理：()()C B h C B Ag ,,= ○
2利用矩阵的运算求出结果 4、求矩阵的秩：
（1） 利用初等变换将矩阵化为阶梯形,非零行向量的个数即为矩阵的秩 （2） 利用矩阵秩的定义通过逐阶考查子行列式的值而得到矩阵的秩。
已知矩阵.216101512211λλλ，求的秩为???
?
? ??---=A
解：求矩阵的秩常用初等变换：
???
?? ??-+--→????? ??---1510031221016101
21151216101~λλλλA 由于秩A=2
1
3
5121021=+=--∴
λλ 即：3=λ CH3向量
一、重要概念、公式
1、向量组的线性相关、线性无关；
2、向量组的极大无关组，向量组的秩：
如果向量组A 中有r 个向量1,,r αα 线性无关，而A 中任意1r +个向量（如果有）相关，则称1,,r αα 为极大无关组，→r 秩；
3、如1,,r αα 和1,,s ββ 互相线性表示，则称1,,r αα 与1,,s ββ 等价；
4、向量组的秩和矩阵的秩：矩阵的秩等于向量组的秩也等于列向量组的秩；
5、向量空间、子空间、基底、维数及坐标的概念：
设v 是n 维向量的集合，V 非空，且v 对于加法及数乘封闭； 6、n 维向量空间的基变换和坐标变换，过渡矩阵： 设1,,n αα 和1,n
ββ 是n 维向量空间的两个基，且
()()T T =n n P αααβββ 2121,,,，
则称上式为基变换公式，P 为从基1,,n αα 到12,,,n βββ 的过渡矩阵； 如果α在12,,,n ααα 的坐标为()n x x x ,,21， α在12,,,n βββ 的坐标为
()n y y y ,,21，则()()1212,,,,n n y y y P x x x = ；
7、向量的内积；
8、线性无关向量组的正交规范化，标准正交基（n 阶正交矩阵A 的n 个行（列）向量）
施密特： 若1,,n αα 线性无关，则11αβ=，1111222)
()
(ββββααβ-
=， 111122221111)
()
()()()()(-------
=k k k k k k k k k ββββαββββαββββααβ 9、正交矩阵及其性质：T AA E = 10、基本定理：
（1）向量组)2(,21≥m m ααα 线性相关的充要条件是：其中至少有一个向量可
由其余1m -个向量线性表示；
（2）如向量组12,,m ααα 线性无关，而向量组12,,,m αααβ 线性相关，则β可由12,,m ααα 线性表示，且表示法唯一；
（3）若向量组12,,m ααα 线性相关，则121,,,,,m m s ααααα+ 也相关； （4）向量组12,,m ααα 线性相关1(,,)m r m αα?< ， 向量组12,,m ααα 线性无关1(,,)m r m αα?= ；
（5）若向量组线性无关，则将其每个向量添加分量后所组成的向量组也线性无关；
（6）设向量组12,,r ααα 线性无关且可由向量组12,,s βββ 线性表示，则r s ≤。 任意两个线性无关的等价向量组所含向量个数相等。
正交向量组，必线性无关。
（7）向量组的秩与该向量组所构成的矩阵的秩相等； （8）矩阵的行秩与列秩相等，都等于矩阵的秩； （9）{})(),(min )()()(B r A r AB r n B r A r ≤≤-+； （10）),min()(n m A r ≤；
（11）如果P 、Q 为可逆矩阵，则)()()(A r AQ r QA r PA r ===）（；
（12）)()()(B r A r B A r +≤+；（13）??
?
??-<-===*1)(01)(1)()(n A r n A r n A r n
A r
注：① ()m m n >个n 维向量必线性相关； ② n 个n 维向量线性无关 0≠?A 二、考题类型、解题规律技巧、例题分析： 1、向量组线性相关性的命题：
判断向量组n ααα 21,的线性相关性的方法主要有：
（1） 向量的个数维数相等，用行列式来判断，行列式为0，相关否则无关。 （2） 个数与维数不等。 ○
1个数>维数 相关 ○
2个数<维数 A 、用定义由02211=+++n n k k k ααα 判断是否存在不全为0的数n k k k 21使此
式成立。 B 、根据性质
C 、用向量组与矩阵的秩的关系
1：设向量组()()()().1,411,512,102321T
T
T
T
c b a =-=-==βααα
试问：当c b a ,,满足什么条件时,
(1)β可由321,,ααα线性表出,且表示惟一？ (2)β不能由321,,ααα线性表出？
(3)β可由321,,ααα线性表出,但表示不惟一？并求出一般表达式. 解：设有一组数321,,x x x ,使得 ,332211βααα=++x x x
即 ???
??=++=++=--c
x x x b x x x x x ax 321
3213214510212
该方程组的系数行列式 44
5
10
112
11--=-=a a
A (1)当4-≠a 时,行列式0≠A ,方程组有惟一解,β可由321,,ααα线性表出,且表示惟一.
(2)当4-=a 时,对增广矩阵作初等行变换,有
,1312100010001214510112124????
? ??--+--→????? ??---=-
c b b b c b A
若,13≠-c b 则秩≠)(A r 秩,方程组无解,β不能由321,,ααα线性表出.
(3)当4-=a ,且13=-c b 时,秩)(A r ＝秩,32)(<=-
A r 方程组有无穷多组解,β可由321,,ααα线性表出,但表示不惟一,解方程组,得
12,12,321+=---==b x b C x C x (C 为任意常数). 因此有321)12()12(αααβ++++-=b b C C
2、求向量组的秩及极大无关组
求向量组的秩及极大无关组的一般步骤： （1） 由向量组写出矩阵。
（2） 对矩阵施行初等行（列）变换，使之变成阶梯阵。 （3） 结论。
1．已知向量组???
?
? ??=????? ??=????? ??-=01,12110321b a βββ， 与向量组
???
?
?
??-=????? ??=????? ??-=769103321321ααα，，具有相同的秩，且3β可由321,,ααα线性
表示，求b a ,
解：07136029
3
1
=-- 21αα无关 b a b
a 300111210
==-∴即 又β可由321ααα线性表示?即21ααβ可由表示
线性相关，于是5,00
1310231
==-b b
5,15==∴b a
CH4方程组
一、重要概念、公式
1、齐次线性方程组有非0解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件： （1）为未知数的个数）解有非n n A r AX ()(00
2、齐次线性方程组的基础解系、通解、解空间 基础解系(1)()()1212,,r A r
ξξξξξξ= n-r n-r ,为解
2,
为解的极大无关解 通解 1122n r k k k ξξξ-++ n-r 3非齐次线性方程组解的结构
12,ξξξ s ,为 的解b Ax = 0i j AX ξξ-=为的解.
1122s s k k k ξξξξ=+++ 不一定为的解b Ax =。仅当121s k k k +++= 时为其解
非齐次通解=齐次通解+非齐次的一个特解 二、考题类型、解题规律技巧、例题分析 1、讨论齐次线性方程组解的问题 （1） 求通解
（2） 已知解的情况，求待定系数，步骤如下：
① 先对系数矩阵A 作初等行变换，得到一个阶梯形矩阵，并写出对应的同解方
程组（只能做行变换）；
② 确定自由未知量（其个数s n r =-）()12,,,r r n x x x ++ ；
③ 自由未知量取s 组线性无关的值()00,1,0,0 ，得到方程组s 组线性无关的解
()010,0,21 ri i i i x x x =ξ，构成了方程组的一个基础解系，则通解为
r n r n k k k --+++=ξξξξ 2211
1．设A 与B 是n 阶方阵,齐次线性方程组00==Bx Ax 与 有相同的基础解系321,,ξξξ则下列方程组中以321,,ξξξ 为基础解系的是 [D]
(A)()0=+X B A .(B)0=ABX .(C)0=BAX .(D)0=????
??X B A .
2. 设向量组s ααα,,,21 是齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系， 向量β不是方程组0=Ax 的解，即0≠βA . 试证明：向量组s αβαββ++,,,1 线性无关。
[证明] 设有一组数s k k k ,,,10 ，使得0)()(110=+++++s s k k k αβαββ
即 0)(1110=++++++s s s k k k k k ααβ 上式两边同时左乘矩阵A ，有
0)(1110=++++++s s S A k A k A k k k ααβ 。
因为 0;,,2,1,0,0≠==βαA s i A i 。
故 010=+++s k k k (1) 从而有 .02211=+++s s k k k ααα 又s ααα,,,21 为0=Ax 的基础解系，必线性无关，
故 021====s k k k (2) 代入式(1)得00=k ，由定义知，s αβαββ++,,,1 线性无关.
2、讨论非齐次线性方程组解的问题： （1） 求通解
（2） 已知解的情况，求待定常数.
① 对增广矩阵做初等行变换，得到一个阶梯阵，并写出一个对应的同解方程组 ② 利用阶梯阵，求出()r A 和()r A ，给出有解、无解的结论
A 、A rank rankA ≠ 无解
B 、A rank rankA = 有解
（1）n A rank rankA == 有唯一解，由下到上逐步求解 （2）n A rank rankA <= 有无穷多解
① 求出齐次的基础解系
② 求出一特解：对同解方程组令自由未知量全为零边得特解 ③ 写出通解
写出增广矩阵并对其做初等行变换（列变换仅限交换两列）， 得到一个阶梯阵，重点讨论拐角处的元素与零的关系
CH5特征值和特征向量(10~12) 一、重要概念、公式
1、特征值、特征向量的定义：
设A 为n 阶矩阵，如果存在数λ和n 维非零列向量x ，使x Ax λ=，则称λ为A 的特征值，x 称为A 的对应于特征值λ的特征向量 2、特征方程：0=-E A λ
3、相似矩阵：对于A 、B ，如果存在可逆阵p ，使B Ap p =-1，则称A 和B 相似
4、矩阵的相似对角化：对n 阶方阵A ，求相似变换P ，使1p Ap -=Λ，为对角阵的过程称为A 的相似对角化
合同：若AQ Q B T =，则称A B 、合同，Q 可逆
5、主要定理：
（1） n 阶方阵A 有n 个特征值，它们的和等于A 的主对角线元素之和，它们的
乘积等于A 的行列式A ；
（2） 如果m λλλ 、、21是方阵A 的特征值，m p p p 、、21是与之对应的特征向量，
则m λλλ 、、21互不相等时，m p p p 、、21线性无关；
（3） 如果n 阶方阵A 与B 相似，则A 与B 有相同的特征多项式，从而有相同的
特征值，有相同的迹；
（4） 如果n 阶方阵A 与对角阵Λ相似，则Λ的主对角线元素就是A 的n 个特征
值；
（5）A 可相似对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量；
（6） 如果n 阶方阵A 的n 个特征值互不相等，则A 与对角阵相似，即A 可相似
对角化；
（7） 实对称矩阵的特征值全为实数；
（8） 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交；
（9） 对n 阶实对称矩陈A ，必存在正交阵P ，使Λ=-AP P 1，其中Λ为以A 的n
个特征值为主对角线元素的对角阵； （10）如λ为A 的特征值，则()f λ为()f A 的特征值 注：① 相似矩阵有相同的特征值；② 迹同；
③ A n =λλ 1；④ 相似，合同，等价矩阵的秩相等
()1*,,,,k k A A A f A A A A -与有相同的特征向量，但的特征向量不一定是A 的特征向量
二、考题类型、解题技巧、规律、例题分析：
1、求n 阶方阵)ij a A （=的特征值和特征向量的一般步骤：
（1）计算A 的特征多项式：E A f λλ-=)(；（2）由0=-E A λ，求出A 的特征值；
（3）对每个特征值0λ，求出()00=-x E A λ的基础解系s ααα 、、21， 则 s s k k k ααα+++ 2211是对应于0λ的全部特征向量 注：A 不具体必用定义或通过其相似矩阵求解 1已知B A ,为三阶矩阵,且有相同的特征值1,2,2
则下列命题：B A ,① 等价,B A ,②相似；B A ,③若为实对称矩阵, 则B A ,合同； A E E A -=-22④行列式,成立的有 (A)1个, (B)2个 , (C)3个, (D)4个 [C] 2、将n 阶矩阵A 相似对角化的一般步骤： （1）求出矩阵A 的特征值j λλλ 21,;
（2）若i λ是A 的k 重特征值，判定()i r A E λ-是否等于n k -。不等于n k -，则不可相似对角化；否则可相似对角化；求出对应于i λ的线性无关的特征向量
k ξξξ ，，21，令()12n P ξξξ= ，，
（3）如求正交阵则按施密特正交化法将其正交化，再单位化；
（4）以n 个正交规范化后的特征向量为列向量构成矩阵P ，此 即为所求的正交矩阵1P AP -=Λ
注：()A P 的第i 列即为Λ的第i 个主对角线元素i λ对应的特征向量的单位化向量
例谈一类幂级数和函数的求法
即ｉ薹Ｉ、蠢≤妻鍪主委 羹萋矍鍪萋羲鬃戋 姜孽耋爱薹；霎蓁囊爹至雩１２毛』三：ｆ毒耋辜耋！姜萼鬟鬻鹱｜；曼彗 囊摹ｌ！，∑叁Ｌ：： ２垂≤＝引●ｒ毛 翼蓁蘩鏊蓁篓鋈篓鋈襄錾鋈鬟黍冀羹 翻Ｎ肇 ；萋藿薹摹ｊ霎耋誊薹摹蠹繁型篱篓薹菱垂羹零ｉ ｉ萋莹荔差薹；００ｉ＿；蓦毒到｝：Ⅱ：而；羹ｉ霎霎萋囊！ｉ雾霎蚕～；；ｉ７１专００三；｝ｉ—ｌｌ蓄；一妻ｉ 薹｛重髻硫终；密萋霉童霉羹。囊至■摹吾｜｜争霪 耋嘉霪藿薹。一薹～。霉篓薹薹●，萋一芝＿＿＿一一誊摹一 藉鏊鼋，尊甾藿姜耋■囊≤｜｜甲琴嘉囊髦鋈薹妻囊囊冀 霎＝ｉ薹■｜｜ｊ妻瞻ｉ兰霎薹罨。蓦薹耋ｊ．；蔓ｉ三 雪差薹薹。墨雾萋毫妻季耋蘑二雾薹姜一琴囊冀狐囊竖 萋罄蠹郛萎篓囊霆姿鬣萋，匿鬻ｉ囊磊些羹蘑鍪雾静蒸 蕊蓑鬟霎；雾妻薹羹蠢捞鬓秀鍪彳萄辇雾薹篓篓髫雾刍 譬誊囊善墓量！≤竖羹囊霪鏊雾管基蓥蠢鉴鏊澍ｍ嗜： 奏鸯耋羹暨奎妻錾蕊捆掌囊４－疟～。晡鏊翼蠹藩题÷囊 旨篓霎萋萎萋萋薹蓦。胤耋：～篓雾鋈菱薹薹璺羹荔警
例谈一类幂级数和函数的求法 作者：杜炜 作者单位：濮阳广播电视大学,河南,濮阳,457000 刊名： 濮阳教育学院学报 英文刊名：JOURNAL OF PUYANG COLLEGE OF EDUCATION 年，卷(期)：2002，15(1) 被引用次数：0次 参考文献(1条) 1.朱有清.贺才兴高等数学复习十五讲 1986 相似文献(10条) 1.期刊论文解烈军求幂级数和函数的微分方程方法-高等数学研究2009,12(3) 按照通常求幂级数和函数的思路,对一些幂级数并不能奏效.在某些情况下,可以引入求幂级数和函数的微分方程方法.其主要思路是通过建立和函数的微分方程,将幂级数求和函数问题化为微分方程初值问题来求解. 2.期刊论文徐凤林.张秀丽.XU Feng-lin.ZHANG Xiu-li幂级数和函数的解法综述-山东轻工业学院学报(自然科学版)2006,20(1) 本文总结了求幂级数和函数的四种方法.一种方法是将待求级数分解成己知和函数的级数的运算(一般是加减)表达形式,然后逐一求和新的级数;第二种方法是"先求导,再积分"或"先积分,再求导";第三种方法是把待求级数用基本初等函数的幂级数展开式表示出来;第四种方法是列写出和函数满足的微分方程,解此微分方程得到和函数. 3.期刊论文张锦来.ZHANG Jin-lai幂级数∞∑n=1x2n/(2n)k和函数的递推公式及其应用-延边大学学报（自然科学版）2008,34(2) 根据收敛级数的分析性质研究了幂级数∞∑n=1x2n/(2n)k(k≥2)的和函数问题,用数学归纳法证明了其和函数的递推公式,由此得出k=2,3,4,…时幂级数和函数的具体表达式,进而导出几个与之相关的非初等积分的值或近似值. 4.期刊论文张玉灵由通项公式求一类幂级数的和函数-高等数学研究2009,12(3) 利用和函数的定义对形如∞∑anbn(x)的幂级数,其中{an}是一等差数列,{bn(x)}是一等比函数列,推导出了求该类幂级数和函数的一个通项公式. 5.期刊论文桂曙光.GUI Shu-guang利用差分法求一类幂级数的和函数-安庆师范学院学报（自然科学版）2001,7(4) 利用差分法导出了求幂级数和函数的一个通项公式,用它能求出系数为高阶等差数列和高阶等比数列的幂级数∞∑n=0anxn的和函数. 6.期刊论文周宏安.ZHOU Hong-an幂级数和函数分析性质的一种证明-陕西工学院学报2000,16(2) 作者在文[1]中给出了幂级数在收敛区内连续性的一种证明,本文直接利用幂级数的收敛性,给出幂级数和函数在收敛区间上的分析性质的一种简捷证明.并举例说明方法的实用性. 7.期刊论文朱双荣例谈求幂级数和函数的一题多解-高等函授学报（自然科学版）2010,23(2) 借助于已知级数的和函数,通过观察或逐项求导、逐项积分等方法得到需要求出和函数的级数所满足的式子,从而求出级数的和函数. 8.期刊论文李高明利用拆项法求一类幂级数的和函数-高等数学研究2009,12(3) 利用拆项法,给出一类系数为和式的幂级数和函数的求法.并对此类幂级数收敛半径计算,给出一个一般性结论. 9.期刊论文金少华.宛艳萍求幂级数的和函数时应注意的几个问题-高等数学研究2007,10(3) 讨论求幂级数的和函数时应注意的几个问题. 10.期刊论文刘永莉.李曼生.LIU Yong-li.LI Man-sheng两类幂级数的和函数求法-甘肃联合大学学报（自然科学版）2005,19(2) 利用差分算子与微分方程导出了两类系数含有高阶等差数列的幂级数的求和公式,并举例介绍了公式的应用. 本文链接：https://www.wendangku.net/doc/0117254359.html,/Periodical_pyjyxyxb200201036.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：1b3522eb-5036-489c-8ded-9dcf00c128de 下载时间：2010年8月11日
看我是怎么整理考研数学笔记的
得数学者得天下，数学的重要性不言自明，一定要好好准备，我高中，大学数学底子还不错，自己也努力了，感觉数学里面最容易的还是线性代数和概率论和数理统计，因为题型有限，变化不大，对比历年真题就会发现。真正难的是高数，因为花样太多了，虽然考点有限，但是怎么个综合法，你就不知道了，所以高数题目要多见识，今年考研高数证明题我就看过很类似的，所以很快就做出来了，没见过的同学都不知道怎么下手。我今年数学考得不太好的 原因是我线性代数和概率论各算错一道题目，后悔死了，所以大家在准备考研时，别忘记提 醒自己时刻细心做题。数学的辅导书我很反感陈文登的，比较支持李永乐的，蔡遂林的也不错。 我数学资料做了一大批。要不我把做过的辅导书点评下，仅供参考！ 2008数学大纲解析：由于2009没出版，只能用2008的，这是本好书，都是真题，分析透彻，建议买。 轻轻松松考高分线代概率历年真题分类解析——李永乐，这本书对历年真题对比分析， 让你知道考研真正考什么？该准备什么。强烈推荐。 2006考研数学历年真题解析与指导--高教，图书馆借的，现在不出版了，也是分析真题, 像大纲解析，如果图书馆有的话，可以看看。 2009数学考试分析--高教，近3年的试题分析，数一到数四都包括，花2天时间琢磨出题的变化，觉得不错，你会发现一些规律。 武钟祥的历年真题分析，这是我认为真题分析最全面最好的书，里面涵盖了所以年份的试题，数一到数四的都有，大家要知道，数学题目经常是今年数学一考了，明年后年可能数学三考，只是变换出题的方式，大家不要只看数学一的题目。强烈推荐。其实上面这么多 书我觉得最好的还是这本，有一本就够了。 线性代数辅导讲义--李永乐，这本书要多看几遍，越看越好，越看越懂，然后做真题。强烈推荐。 概率论与数理统计辅导讲义--龚兆仁，还可以，有些地方有些繁琐，有些根本不会考的也作了详细介绍。 数学基础过关660题--李永乐。不是很必要买，做了没什么感觉。 陈文登的复习指南，我不推荐买，原因就不说了，你们在网上搜搜看评价，本人用过，的确不怎么样。 李永乐的全书，贴合实际，但是稍显繁琐，很多同学到了11月底才看完，根本没时间去想，思 考。感觉知识点是全，是细，但是你记起来就不容易了。数学的记不像政治，数学 要练习，多思考才能有体会，才能记得深刻，最后才能灵活用。如果买全书的话，要注意时
数项级数敛散性判别法。(总结)
华北水利水电学院 数项级数敛散性判别法。（总结） 课程名称：高等数学（下） 专业班级： 成员组成 联系方式： 2012年5月18日
摘要：在学习数项级数的时候，对于单一的方法所出的例题，大家都知道用何种方法去解决。但是等到所有的方法学完之后，再给出题目，大家似乎一头雾水，不知道用哪一种方法。有些同学甚至挨个拭每一种方法，虽然也可行。但是对于同一个级数，用不同的方法判断敛散性的难易程度不同，如果选用合适的方式，可以到到事半功倍的效果，但是如果悬选择了错误的方法，可能费了九牛二虎之力之后，得出的结果还是错误的。所以我们有必要总结一下判断敛散性的方法，了解它们的特性，才能更好地运用它们。 关键词：数项级数，敛散性，判断，方法。 英文题目 Abstract:Single out examples to learn a number of series,we all know which way to go.But wait until all of the methods after completing their studies are given topics,everyone seems confused and do not know what kind of way. Some students even one by one swab of each method, although it is also feasible.But for one series,using different methods to determine the convergence and divergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to a multiplier effect,but if the hanging has chosen the wrong way,may have spent nine cattle tigers after the power, the result is wrong.So we need to sum up to determine the convergence and divergence,and to understand their characteristics,in order to make better use of them. Key words:A number of series,convergence and divergence of judgment. 引言：以下介绍书中所提到的判断数项级数敛散性的定理，并通过一些例题，讲解它们各自的适用范围。并总结出判断敛散性的一般思维过程。
幂级数求和
求幂级数的和函数()S x 1．1 (1) (1) n n n x n n ∞ =-+∑ 解：易知收敛域为[]1,1-。当()()1,00,1x ∈-?时，1 1 1 (1) ()(1) n n n S x x x n n ∞ +=-= +∑。 令1 11 (1) ()(1) n n n S x x n n ∞ +=-= +∑，则 11 (1)()n n n S x x n ∞ =-'= ∑ ，() 1 1 11 11()(1)1n n n n n S x x x x ∞∞ --==''= -=--=- +∑ ∑。 两边取积分，则 111()()(0)S x S x S '''=-=10 ()ln(1)1x x dt S t dt x t ''=-=-++? ? 。 再取一次积分，则 11110 ()()(0)()ln(1)(1)ln(1)x x S x S x S S t dt t dt x x x '=-= =-+=-++? ?， 从而当()()1,00,1x ∈-?时有 1()1l n (1)x S x x x +=- +。 （*） 当1x =-时，()1 11 1 111(1) 1n n S n n n n ∞ ∞ ==??-= = -= ?++? ?∑∑。 当0x =时，(0)0S =。 当1x =时， ()() ()()() () 1 1 1 1 1 11111112ln 2(1) 11 n n n n n n n n n S n n n n n n +∞ ∞ ∞ ∞ ====?? -----== -=+ =-??+++??? ? ∑ ∑ ∑ ∑ 。 注意：上面第三个等式成立是因为等式右边的两个级数都收敛； 最后一个等式利用了下列麦克劳林展开式： () 1 1 ln(1)1n n n x x n ∞ -=+=-∑ （11x -<≤）。 将1x =代入，即得 () () () 1 1 1 1 1 111ln 211 n n n n n n n n n -+∞ ∞ ∞ ===---= =-=-+∑ ∑ ∑ 。也可以利用幂 级数和函数的分析运算性质（1）（见P262）直接得出(1)S 也满足（*）的结论。
无穷级数内容小结讲课讲稿
无穷级数内容小结
1.数项级数：∑∞=1n n u ，称∑==n i k n u s 1为前n 项部分和。 若存在常数 s,使n n s s ∞ →=lim ，则称级数收敛，s 为该级数的和；否则级数发散。 2.数项级数性质：1)∑∞ =1n n Cu =C ∑∞=1n n u ；2)若级数∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 收敛于σ,s ，则级数∑∞ =±1n n n v u 收敛于 σ±s ；3）级数中去掉，增加或改变有限项，敛散性不变；4）收敛级数任意加括号所得的级数仍收敛，且其和不变。5）若级数∑∞=1n n u 收敛，必有0lim =∞ →n n u 3．两个重要级数：1）几何级数：∑∞ =-11n n aq = +++++-12n aq aq aq a (0≠a ) 若,10） 若p>1,级数收敛；若1≤p ，级数发散；当p=1时，调和级数∑ ∞=11n n 发散。 4．正项级数审敛法：对一切自然数n,都有0≥n u ，称级数∑∞ =1 n n u 为正项级数 方法：1）比较审敛法：设∑∞=1 n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数，且n n v u ≤（n=1,2,…）若级数∑∞ =1n n v 收敛， 则级数∑∞=1n n u 收敛；若级数∑∞=1n n u 发散，则∑∞ =1 n n v 发散。2）比较审敛法的极限形式：若 l v u n n n =∞→lim )0(+∞<
考研数学重点笔记
第一部分 第一章集合与映射 §1.集合 §2.映射与函数 本章教学要求：理解集合的概念与映射的概念，掌握实数集合的表示法，函数的表示法与函数的一些基本性质。 第二章数列极限 §1.实数系的连续性 §2.数列极限 §3.无穷大量 §4.收敛准则 本章教学要求：掌握数列极限的概念与定义，掌握并会应用数列的收敛准则，理解实数系具有连续性的分析意义，并掌握实数系的一系列基本定理。 第三章函数极限与连续函数 §1.函数极限 §2.连续函数 §3.无穷小量与无穷大量的阶 §4.闭区间上的连续函数 本章教学要求：掌握函数极限的概念，函数极限与数列极限的关系，无穷小量与无穷大量阶的估计，闭区间上连续函数的基本性质。 第四章微分 §1.微分和导数 §2.导数的意义和性质 §3.导数四则运算和反函数求导法则 §4.复合函数求导法则及其应用 §5.高阶导数和高阶微分 本章教学要求：理解微分，导数，高阶微分与高阶导数的概念，性质及相互关系，熟练掌握求导与求微分的方法。 第五章微分中值定理及其应用 §1.微分中值定理 §2＇法则 §3.插值多项式和公式 §4.函数的公式及其应用 §5.应用举例 §6.函数方程的近似求解 本章教学要求：掌握微分中值定理与函数的公式，并应用于函数性质的研究，熟练运用L＇法则计算极限，熟练应用微分于求解函数的极值问题与函数作图问题。 第六章不定积分
§1.不定积分的概念和运算法则 §2.换元积分法和分部积分法 §3.有理函数的不定积分及其应用 本章教学要求：掌握不定积分的概念与运算法则，熟练应用换元法和分部积分法求解不定积分，掌握求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。 第七章定积分（§1 —§3） §1.定积分的概念和可积条件 §2.定积分的基本性质 §3.微积分基本定理 第七章定积分（§4 —§6） §4.定积分在几何中的应用 §5.微积分实际应用举例 §6.定积分的数值计算 本章教学要求：理解定积分的概念，牢固掌握微积分基本定理：牛顿—莱布尼兹公式，熟练定积分的计算，熟练运用微元法解决几何，物理与实际应用中的问题，初步掌握定积分的数值计算。 第八章反常积分 §1.反常积分的概念和计算 §2.反常积分的收敛判别法 本章教学要求：掌握反常积分的概念，熟练掌握反常积分的收敛判别法与反常积分的计算。 第九章数项级数 §1.数项级数的收敛性 §2.上级限与下极限 §3.正项级数 §4.任意项级数 §5.无穷乘积 本章教学要求：掌握数项级数敛散性的概念，理解数列上级限与下极限的概念，熟练运用各种判别法判别正项级数，任意项级数与无穷乘积的敛散性。 第十章函数项级数 §1.函数项级数的一致收敛性 §2.一致收敛级数的判别与性质 §3.幂级数 §4.函数的幂级数展开 §5.用多项式逼近连续函数 本章教学要求：掌握函数项级数（函数序列）一致收敛性概念，一致收敛性的判别法与一致收敛级数的性质，掌握幂级数的性质，会熟练展开函数为幂级数，了解函数的幂级数展开的重要应用。
无穷级数总结
无穷级数总结 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
无穷级数总结 一、概念与性质 1. 定义：对数列12,, ,n u u u ，1 n n u ∞ =∑称为无穷级数，n u 称为一般项；若部分 和 数列{}n S 有极限S ，即lim n n S S →∞ =，称级数收敛，否则称为发散. 2. 性质 ①设常数0≠c ，则∑∞ =1 n n u 与∑∞ =1 n n cu 有相同的敛散性； ②设有两个级数∑∞=1 n n u 与∑∞=1 n n v ，若∑∞==1 n n s u ，σ=∑∞=1 n n v ，则∑∞ =±=±1 )(n n n s v u σ； 若∑∞=1n n u 收敛，∑∞=1 n n v 发散，则∑∞ =±1 )(n n n v u 发散； 若∑∞ =1 n n u ，∑∞=1 n n v 均发散，则∑∞ =±1 )(n n n v u 敛散性不确定； ③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性； ④设级数∑∞ =1n n u 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的 和． 注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散； ②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定． ⑤级数∑∞ =1n n u 收敛的必要条件：0lim =∞ →n n u ； 注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散； ②若0lim =∞ →n n u ，则∑∞ =1n n u 未必收敛； ③若∑∞ =1 n n u 发散，则0lim =∞ →n n u 未必成立．
二、常数项级数审敛法 1. 正项级数及其审敛法 ① 定义：若0n u ≥，则∑∞ =1n n u 称为正项级数. ② 审敛法： （i ） 充要条件：正项级数∑∞ =1n n u 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界. （ii ） 比较审敛法：设∑∞=1 n n u ①与∑∞ =1 n n v ②都是正项级数，且 (1,2,)n n u v n ≤=，则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散. A. 若②收敛，且存在自然数N ，使得当n N ≥时有(0)n n u kv k ≤>成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数N ，使得当n N ≥时有(0)n n u kv k ≥>成立，则①发散； B. 设∑∞ =1n n u 为正项级数，若有1p >使得1 (1,2,)n p u n n ≤=，则∑∞ =1 n n u 收敛；若 1 (1,2,)n u n n ≥=，则∑∞ =1 n n u 发散. C. 极限形式：设∑∞ =1 n n u ①与∑∞ =1 n n v ②都是正项级数，若lim (0)n n n u l l v →∞=<<+∞，则 ∑∞ =1 n n u 与∑∞ =1 n n v 有相同的敛散性. 注：常用的比较级数： ①几何级数：∑∞ =-?? ???≥<-=11 1 11n n r r r a ar 发散； ②-p 级数：∑ ∞ =???≤>1 111n p p p n 时 发散 时收敛；
考研数学之幂级数展开与求和
考研数学之幂级数展开与求和 来源：文都图书 级数在考研数学中属于数一和数三要考查的内容，其核心内容为幂级数展开与求和，今天我们就来详细学习一下幂级数的展开与求和步骤。 幂级数展开与求和在考试中常以解答题形式出现。要学好展开与求和，首先，我们需要两大工具：1、常见泰勒级数及收敛域;2、逐项展开与逐项求导。其次，要掌握常用方法。 展开常用方法，一是直接展开，这种考法较少，二是间接展开，以这种考法居多。间接展开解题的要点如下： (1)转化，将函数f(x)在某非零点处展开，转化到在x=0处展开。 (2)拆项，将函数拆成两项之和或差，然后利用常见函数的幂级数展开将两个展开式求和或者求差便可。 (3)因式分解，将函数分解成两项之积，一般其中一个因式为低次(至多为二次)多项式，另一个用常见幂级数展开式展开。 (4)求导法，先对函数求导，再用常见幂级数展开式展开，最后逐项积分。 (5)积分法，先对函数积分，再用常见幂级数展开式展开，最后逐项求导。 幂级数求和是展开的逆问题，比展开要难，考研中常用到的方法如下。 (1)直接套用已知的基本展开式，后者拆后套用。 (2)系数的分母中含有n的阶乘的，考虑用指数函数,或者正弦函数与余弦函数的某种组合。 (3)系数的分母中含有n、n+1、n+2的可以先逐项求导。系数的分子中含有n、n+1、n+2的可以先逐项积分。 除此之外，展开与求和部分还会考一些综合性题目，如跟微分方程结合在一起考查。总之主要方法还是如上综述的方法。望考生们多
联系，以体会上述方法。此外建议考生找一些类似的题目，强化练习。学会利用其方法和技巧，考研数学会涉及很多题目考察很多知识点，对待这些题目，我们要从运用的基本知识，及其解题方法，从理论到实践系统性的掌握，建议参考一下汤家凤的2017《考研数学复习大全》认真备考吧，预祝考试顺利。 When you are old and grey and full of sleep, And nodding by the fire, take down this book, And slowly read, and dream of the soft look Your eyes had once, and of their shadows deep; How many loved your moments of glad grace, And loved your beauty with love false or true, But one man loved the pilgrim soul in you, And loved the sorrows of your changing face; And bending down beside the glowing bars, Murmur, a little sadly, how love fled And paced upon the mountains overhead And hid his face amid a crowd of stars. The furthest distance in the world Is not between life and death But when I stand in front of you
无穷级数总结
无穷级数总结 一、概念与性质 1. 定义：对数列 u 1,u 2,L ,u n L ， u n 称为无穷级数， u n 称为一般项；若部分和 n1 数列｛&｝有极限S ，即limS n S ，称级数收敛，否则称为发散. n 2. 性质 ① 设常数 c 0 ，则 u n 与 cu n 有相同的敛散性； n1 n1 ② 设有两个级数 u n 与 v n ，若 u n s ， v n ，则 (u n v n ) s ； n1 n1 n1 n1 n1 若 u n 收敛， v n 发散，则 (u n v n ) 发散； n1 n1 n1 若 u n ， v n 均发散，则 (u n v n ) 敛散性不确定； n1 n1 n1 ③ 添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性； ④ 设级数 u n 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和． n1 注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散； ②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定. ⑤ 级数 u n 收敛的必要条件： lim u n 0 ； n1 n 注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散； ③若 u n 发散，则 lim u n 0 未必成立． n1 n 二、常数项级数审敛法 1. 正项级数及其审敛法 ① 定义：若 u n 0 ，则 u n 称为正项级数 . n1 ② 审敛法： i ) 充要条件：正项级数 u n 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界 ②若 lim u n 0 ，则 u n 未必收敛； n1
(ii ) 比较审敛法：设U n①与V n②都是正项级数，且U n %(n 1,2丄)，则若② n 1 n 1 收敛则①收敛；若①发散则②发散? A.若②收敛，且存在自然数N，使得当n N时有u n kv n(k 0)成立，则①收敛；若② 发散，且存在自然数N，使得当n N时有u n kv n(k 0)成立，则①发散； 1 B.设U n为正项级数，若有p 1使得u n—p (n 1,2丄)，贝U U n收敛；若 n 1 n n 1 1 U n (n 1,2,L )，贝U U n 发散? n n 1 C.极限形式：设U n①与v n②都是正项级数，若lim l(0 l )，则 n 1 n 1 n V n U n与V n有相同的敛散性 n 1 n 1 注：常用的比较级数： a ①几何级数：ar n1 1 r r 1 n 1 发散r| 1 ②p级数：［收敛P 1时. n 1 n p发冃攵P 1时， ③调和级数：丄1 1 1 发散. n 1 n 2 n (iii )比值判别法(达郎贝尔判别法)设a n是正项级数，若 n 1 ①lim也r 1，则a n收敛；②lim也r 1，则a.发散. n a n n 1 n a n n 1 注：若lim 也1，或lim ：恳1,推不出级数的敛散.例1 与2，虽然佃乩1，n a n n n 1 n n 1 n n a. lim n a n 1，但丄发散，而 $收敛? n' n 1 n n 1 n a n是正项级数，lim , a n ，若1，级数收敛, n (iv )根值判别法(柯西判别法)设
幂级数求和函数方法概括与总结
常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3)n u x n =L 是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++∈L L 为定义在E 上的函数项级数，简记为1()n n u x ∞ =∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 200102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-++-+∑L L
考研高等数学145分高手整理完整经典笔记(考研必备免费下载)
最新下载(https://www.wendangku.net/doc/0117254359.html,) 中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息 数学重点、难点归纳辅导 第一部分 第一章集合与映射 §1.集合 §2.映射与函数 本章教学要求：理解集合的概念与映射的概念，掌握实数集合的表示法，函数的表示法与函数的一些基本性质。 第二章数列极限 §1.实数系的连续性 §2.数列极限 §3.无穷大量 §4.收敛准则 本章教学要求：掌握数列极限的概念与定义，掌握并会应用数列的收敛准则，理解实数系具有连续性的分析意义，并掌握实数系的一系列基本定理。 第三章函数极限与连续函数 §1.函数极限 §2.连续函数 §3.无穷小量与无穷大量的阶 §4.闭区间上的连续函数 本章教学要求：掌握函数极限的概念，函数极限与数列极限的关系，无穷小量与无穷大量阶的估计，闭区间上连续函数的基本性质。 第四章微分 §1.微分和导数 §2.导数的意义和性质 §3.导数四则运算和反函数求导法则 §4.复合函数求导法则及其应用 §5.高阶导数和高阶微分 本章教学要求：理解微分，导数，高阶微分与高阶导数的概念，性质及相互关系，熟练掌握求导与求微分的方法。 第五章微分中值定理及其应用 §1.微分中值定理 §2.L＇Hospital法则 §3.插值多项式和Taylor公式 §4.函数的Taylor公式及其应用 §5.应用举例
§6.函数方程的近似求解 本章教学要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式，并应用于函数性质的研究，熟练运用L＇Hospital法则计算极限，熟练应用微分于求解函数的极值问题与函数作图问题。 第六章不定积分 §1.不定积分的概念和运算法则 §2.换元积分法和分部积分法 §3.有理函数的不定积分及其应用 本章教学要求：掌握不定积分的概念与运算法则，熟练应用换元法和分部积分法求解不定积分，掌握求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。 第七章定积分（§1 —§3） §1.定积分的概念和可积条件 §2.定积分的基本性质 §3.微积分基本定理 第七章定积分（§4 —§6） §4.定积分在几何中的应用 §5.微积分实际应用举例 §6.定积分的数值计算 本章教学要求：理解定积分的概念，牢固掌握微积分基本定理：牛顿—莱布尼兹公式，熟练定积分的计算，熟练运用微元法解决几何，物理与实际应用中的问题，初步掌握定积分的数值计算。 第八章反常积分 §1.反常积分的概念和计算 §2.反常积分的收敛判别法 本章教学要求：掌握反常积分的概念，熟练掌握反常积分的收敛判别法与反常积分的计算。 第九章数项级数 §1.数项级数的收敛性 §2.上级限与下极限 §3.正项级数 §4.任意项级数 §5.无穷乘积 本章教学要求：掌握数项级数敛散性的概念，理解数列上级限与下极限的概念，熟练运用各种判别法判别正项级数，任意项级数与无穷乘积的敛散性。 第十章函数项级数 §1.函数项级数的一致收敛性 §2.一致收敛级数的判别与性质 §3.幂级数
级数知识点总结
第十二章 无穷级数 一、 常数项级数 1、 常数项级数： 1) 定义和概念：无穷级数： +++++=∑ ∞ =n n n u u u u u 3211 部分和：n n k k n u u u u u S ++++== ∑= 3211 正项级数：∑∞ =1 n n u ，0≥n u 级数收敛：若S S n n =∞ →lim 存在，则称级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，否则称级数 ∑∞ =1 n n u 发散 2) 性质： 改变有限项不影响级数的收敛性；如级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛. 两个收敛级数的和差仍收敛.，级数 ∑∞=1 n n a ， ∑∞ =1 n n b 收敛，则 ∑∞ =±1 )(n n n b a 收敛；注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散. 去掉、加上或改变级数有限项,不改变其收敛性级数 ∑∞ =1 n n a 收敛，则任意加括号后仍然收敛； 若级数收敛,则对这级数的任意项加括号后所成的级数仍收敛，其和不变，且加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散.注：收敛级数去括号后未必收敛. 注意：不是充分条件！唯一判断发散条件） 3) 审敛法：（条件：均为正项级数 表达式： ∑∞ =1 n n u ，0≥n u ）S S n n =∞ →lim 前n 项和存在极限则收敛； ∑∞ =1 n n u 收敛? {}n S 有界； 比较审敛法：且),3,2,1( =≤n v u n n ，若∑∞ =1 n n v 收敛，则∑∞ =1 n n u 收敛；若∑∞ =1 n n u 发散，则∑∞ =1 n n v 发散. 比较法的极限形式： )0( l lim +∞<≤=∞→l v u n n n ，而∑∞n v 收敛，则∑∞n u 收敛；若0lim >∞→n n n v u 或+∞=∞→n n n v u lim ，而∑∞n v 发散，则∑∞ n u 发散. 2、 交错级数： 莱布尼茨审敛法：交错级数： ∑∞ =-1 )1(n n n u ，0≥n u 满足：),3,2,1( 1 =≤+n u u n n ，且0lim =∞ →n n u ，则级数∑∞ =-1 )1(n n n u 收敛。 条件收敛： ∑ ∞ =1 n n u 收敛，而 ∑ ∞ =1 n n u 发散；绝对收敛： ∑ ∞ =1 n n u 收敛。 ∑∞ =1 n n u 绝对收敛，则∑∞ =1 n n u 收敛。 其他级数：； 二、 函数项级数（幂级数： ∑∞ =0 n n n x a ） 1、 2、 和函数)(x s 的性质：在收敛域I 上连续;在收敛域),(R R -内可导，且可逐项求导;和函数)(x s 在收敛域I 上可积分，且可逐项 积分.(R 不变,收敛域可能变化).
幂级数求和函数方法概括与总结
幂级数求和函数方法概括与总结
常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑
考研数学数项级数敛散性判定解题思路总结
2016考研数学数项级数敛散性判定解题思路总结 数项级数敛散性判定是考研数学一数三考试的重点题型，而且是考试的难点，为了便于同学们解题，文都考研高端数学老师帮大家总结了此种题型的解题思路和常用结论，希望对大家的学习有帮助。 1.解题思路 若有两个收敛，则第三个收敛; 若其中一个收敛，另一个发散，则第三个发散;
若有两个发散，则第三个敛散性不确定; 若有两个绝对收敛，则第三个绝对收敛; 若其中一个绝对收敛，另一个条件收敛，则第三个条件收敛; 若有两个条件收敛，则第三个收敛，但不能判断它是绝对收敛还是条件收敛。
1.林黛玉：三生石畔，灵河岸边，甘露延未绝，得汝日日倾泽。离恨天外，芙蓉潇湘，稿焚情不断，报汝夜夜苦泪。 2.薛宝钗：原以为金玉良缘已成，只待良辰，奈何君只念木石前盟，纵然艳冠群芳牡丹姿，一心只怜芙蓉雪。 3.贾元春：贤孝才德，雍容大度，一朝宫墙春不再，一夕省亲泪婆娑。昙花瞬息，红颜无罪，到底无常。 4.贾探春：虽为女流，大将之风，文采诗华，见之荡俗。诗社杏花蕉下客，末世悲剧挽狂澜，抱负未展已远嫁。 5.史湘云：醉酒卧石，坦荡若英豪，私情若风絮，嫁与夫婿博长安，终是烟销和云散，海棠花眠乐中悲。 6.妙玉：剔透玲珑心，奈何落泥淖，青灯古佛苦修行，高洁厌俗袅亭亭。可惜不测之风云，玉碎冰裂，不瓦全。 7.贾迎春：沉默良善，见之可亲，深宅冷暖，累遭人欺，腹中无诗情风骚，膺内缺气概魄力。空得金黄迎春名，可怜一载赴黄泉。 8.贾惜春：高墙白曼陀，冷水伴空门。孤寒寂立一如霜，如何能得自全法？狠心舍弃近身人。侯门金簪冰雪埋，海灯僻冷长弃世。 9.王熙凤：毒酒甘醇，罂粟灿艳，锦绣华衣桃花眼，眼明刀锋吊梢眉。何幸七窍玲珑心，只惜冷硬霜凝集。千机算尽，反误性命。
级数知识点总结
级数知识点总结 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
第十二章无穷级数 一、 常数项级数 1、 常数项级数： 1) 定义和概念：无穷级数： +++++=∑ ∞ =n n n u u u u u 3211 部分和：n n k k n u u u u u S ++++== ∑ = 3211 正项级数： ∑∞ =1 n n u ，0≥n u 级数收敛：若S S n n =∞ →lim 存在，则称级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，否则称级数∑∞ =1 n n u 发散 2) 性质： ? 改变有限项不影响级数的收敛性；如级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛 ? 两个收敛级数的和差仍收敛，级数 ∑∞=1 n n a ， ∑∞ =1 n n b 收敛，则 ∑∞ =±1 )(n n n b a 收敛；注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散. ? 去掉、加上或改变级数有限项不改变其收敛性级数 ∑∞ =1 n n a 收敛，则任意加括号后仍然收敛； ? 若级数收敛则对这级数的任意项加括号后所成的级数仍收敛，其和不变，且加括号后所成的级数发散则原来级数也发散注：收敛级数 去括号后未必收敛. ? 注意：不是充分条件！唯一判断发散条件） 3) 审敛法：（条件：均为正项级数表达式： ∑∞ =1 n n u ，0≥n u ）S S n n =∞ →lim 前n 项和存在极限则收敛； ∑∞ =1 n n u 收敛? {}n S 有 界； ? 比较审敛法：且),3,2,1( =≤n v u n n ，若∑∞ =1 n n v 收敛，则∑∞=1 n n u 收敛；若∑∞=1 n n u 发散，则∑∞ =1 n n v 发散. ? 比较法的极限形式： )0( l lim +∞<≤=∞→l v u n n n ，而∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛；若0lim >∞→n n n v u 或+∞=∞→n n n v u lim ，而∑∞ =1n n v 发散，则∑∞ =1 n n u 发散. ? ，当：1
论文_幂级数求和的方法
长沙学院信息与计算科学系本科生科研训练 幂级数求和的方法 系（部）：信息与计算科学系 专业：数学与应用数学 学号： 2009031110 学生姓名：范庆勇 成绩： 2012年 6月
幂级数求和的方法 范庆勇 长沙学院 信息与计算科学系 湖南长沙 410022 摘要：幂级数是无穷级数中的一种．本文主要总结了幂级数的多种求和方法．主要有逐项微分与逐项积分法，代数方程法，公式法等．同时通过举例说明了不同方法在解题中的应用． 关键词：幂级数，和函数，微分，积分 １ 引言 幂级数是微积分中十分重要的内容之一,而求幂级数的和函数是一类难度较高、技巧性较强的问题,因此是有必要对这类问题进行研究和探讨．求解幂级数的和函数时,我们通常用幂级数的有关运算，综合运用求导，求积分，拼凑，分解等技巧来解决．也可以利用幂级数的有关公式求解． 本文通过具体例子介绍了幂级数求和的几种方法．文献［１］主要介绍了利用逐项积分与逐项微分的思想，计算部分和的极限以及转化为微分方程求幂级数的和．文献［２］主要是讲述了裂项组合法，逐项积分与逐项微分法，有限递推法，代数方程法，微分方程法求幂级数的和，同时还介绍了化归思想在幂级数求和中的应用．文献［３］主要是介绍通过逐项微分推导出几种公式，利用公式求和函数． 本文主要介绍逐项积分与逐项微分法，代数方程法，公式法求幂级数的和． ２ 幂级数求和的几种方法 ２．１ 逐项微分［１］ 幂级数在其收敛区间内其和函数是可导的，且有逐项求导公式 )x ('s ＝（n n n x a ∑∞ =）＇＝ x a n n n ）（∑ ∞ =＝1 -n 1 n n x na ∑∞ =， 通过对幂级数的逐项求导将其转化为能求出和函数的幂级数，再积分即可．