专题12数列极限数学归纳法
专题三 函数 不等式 数列 极限 数学归纳法
一能力培养 1,归纳猜想证明 2,转化能力
3,运算能力
4,反思能力
二问题探讨
1
冋题1数列｛ a n ｝满足3]
, a i a 2
2
问题2已知定义在R 上的函数f(x)和数列｛ a n ｝满足下列条件：
a 1 a , a . f (a n 1) (n =2,3,4, ),a 2 印，
f (a n )
f (a n 1) = k(a n a n 1) (n =2,3,4,),其中 a 为常数,k 为非零常数
(I) 令b n a n 1 a n ( n N )，证明数列｛b n ｝是等比数列； (II) 求数列｛ a n ｝的通项公式；(III)当k 1时，求 lim a n .
n
umv uuuv uuuv uuuv uuuiv uuv
问题3已知两点M ( 1,0) ,N (1,0),且点P 使MP MN , PM PN , NM NP 成公差小
于零的等差数列?
uuuv uuuv
(I)点P 的轨迹是什么曲线？ (II)若点P 坐标为(X g , y 。),记 为PM 与PN 的夹角，求tan
2
a n n a n ,(n N ). (I)求｛a n ｝的通项公式
(II)求丄
100n 的最小值；
a n
(III)设函数
f(n)是—
100n 与n 的最大者，求 f (n)的最小值.
三习题探讨 选择题
2
1数列｛a n ｝的通项公式a n n kn ,若此数列满足a n
a n ,(n N ),则k 的取值范围是
A, k 2
B, k 2
C,k 3
D, k 3
2等差数列｛
a n ｝,｛
b n ｝的前n 项和分别为S n ,T n ,若」
--- ，贝V —=
T n 3n 1
b n
2
2n 1 2n 1
2n 1
A,—
B,-
C,-
D,-
3
3n 1
3n 1 3n 4
3已知三角形的三边构成等比数列 ，它们的公比为q ,则q 的取值范围是
若AF , BF , CF 成等差数列，则有
1
6在 ABC 中,ta nA 是以4为第三项,4为第七项的等差数列的公差，ta nB 是以-为
3
第三项,9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是 A,钝角三角形 B,锐角三角形
C,等腰直角三角形
D,以上都不对
填空
2m 项之和S 2m ___________________________________ 11等差数列｛a n ｝中，S n 是它的前n 项和且S 6 S 7，S 7 S 8,则①此数列的公差 d 0,
1苗
A, (0, 丁)
B,(1
5
1 、5 1 、、
5
c,[1, 丁) D,(
1_5) 2
4在等差数列｛a n ｝中,a 1
8 B ,75 1
，第10项开始比1大，记
25
t 色 25
4 C ,
75 [
im A (a n
n n _3 50 S n ) t ,则t 的取值范围是
4
D ,75
t
5o
5 设 A (x i , y i ),B (X 2, y 2),C (X 3, y 3)是椭圆
2
y
b 2 1(a 0)上三个点 ,F 为焦点，
A, 2X 2 X ] x 3 B,2y 2 y 1 y 3
2
C,—
X 2 2
D,
X
X 1 X 3
X 1 X 3
7等差数列｛a n ｝前n (n 6)项和& 324，且前6项和为36,后6项和为180，则n 22 32 23 33 62
63
{a n }中』m(a 1 a ?
10 一个数列{a n },当n 为奇数时，a .
9在等比数列
2n 3n 6n
,则 lim
S n 1 a n ) ，则a 1的取值范围是 ________________
15
n
5n 1 ；当n 为偶数时，a n 22 .则这个数列的前
②S 9S 6,③a 7是各项中最大的一项，④S 7 一定是S n 中的最大项，其中正确的是 r 曰
n
a n X ，且a 1,a 2,a 3 a .组成等差数列(n 为正偶数).
又f(1) n 2, f ( 1) n ,(l)求数列的通项a n ；(II)试比较f(1)与3的大小，并说明理由.
2
13已知函数f(x) 3x bx 1是偶函数，g(x) 5x c 是奇函数，正数数列｛a n ｝满足
2
a 1
1,f(a n1 a n
)
g(a n1a n a n ) 1
? (I)若｛a n ｝前n 项的和为S n ,求limS n ;
n
(II)若b n
2f (a n ) g(a n 1),求b n 中的项的最大值和最小值?
14?已知等比数列｛x n ｝的各项不为1的正数 擞列｛y n ｝满足y n log x n a 2 (a 0且
a 1),设 y 4 17, y 7 11.
(I)求数列｛y n ｝的前多少项和最大，最大值是多少？
(III)试判断，是否存在自然数 M,使当n M 时x n 1恒成立,若存在求出相应的 M;若不存
在,请说明理由?
解答题
2
3
12 已知 f(x) a/ a ?x a 3X
(II)设 b n
2yn ,S n b i b 2 d
b n ,求lim 冬的值.
n
2
15设函数f(x)的定义域为全体实数，对于任意不相等的实数 X 「X 2,都有f(xj f(X 2)
X i 屜，且存在 X 0,使得 f (X o ) X o ,数列｛a n ｝中，31
X o , f(a n ) 2a n 1 a n (n N),
求证:对于任意的自然数n ,有：(I) 3n X o ； (II) 3n
X n 1.
参考答案：
2 2
问题 1 解：(I) a i a 2 a n n a n ,得 S n = n a n
当n
2
时，
a n
S n
S n 1
2
=n a n
(n
1)2a n 1,有(n 2
1)a n
2
a n n 1 (n 1) a n 1，即
a n 1
n 1
于是 a n
a 2 a 3 a 4
a n 1 2 3 n 1 2 1 1
于是
a 〔 a 〔 a 2 a 3
a n 1
3 4 5
n 1
n(n 1)
.乂 a 〔 ，得 a n 一
.
2 n(n 1)
由于 a 1也适合该式，故a n =
1
n(n 1).
1
所以当n 49或50时，
100n 有最小值 2450. a n
有 f min (n)= f (1)=1.
而,当n 2时，虽乩f(a n )
b n 1
a n a n 1
因此，数列｛b n ｝是一个公比为k 的等比数列.
n 1
n 1
(II) 解:由(I)知,b n k b 1 k (a 2 aj(n N )
(II)丄
100 n = n 2 99n = (n 2
49.5)
2450.25
(III)因f(n)是丄 100 n 与n 的最大者，有 f(n) a n
100)
n(1 n 1 100n(100 a n
n)'
问题 2(I)证明：由 b | a 2 a 1
0 ,得 b 2 a 3 a ?
fQ) f(aj k(a 2 aj 0.
由数学归纳法可证b n a n 1 a n 0(n
N ). f(a n 1)
a n a n 1
k(a n a n 1
) k
a n a n 1
1,
当k 1 时,bi
1 k n 1
b 2 b n (a 2 印），
1
—(n 2) k
当k 1 时,bi b 2
b n (n 1)(a 2 印）（n 2）
而bi b 2
b n
(a 2 aj (
a 3
a 2)
(a n
a n 1 )
a n a(n
2),有
当k
1
时,a n
1 k n1
a 1 =
(a 2 aj
1 k
(n
2);当 k 1 时,a n
a 1 = (n 1)(a 2 aj (n 2)
以上两式对
n
1时?
也成立,于是
1 时,a n
1 k n1 1 k n1
当k a 1 (a 2 印) 1 k =
a (f (a) a)
1 k
当k 1 时,a n
a 1 (n 1)(a 2
ai) = a (n 1)(f (a) a).
问题 3 解:(I)设点 P(x,y ),由 M ( 1,0) ,N (1,0) 得
UUUV UUV 2 2
(II)设P(X 0,y °),则由点P 在半圆C 上知,PM PN x 0 y ° 1
..(1 x
0)2 y °2 (1
x 0
)2
y °W
=
(4 2x
)(4 2x 0)=2
、4
x
02
习题解答:
(III)解:当 k 1 时,lim a n
n
lim[ a (f (a) a)
n
1 k n1] 1 k ]
f (a) a 1 k
umv PM
UUUV
LU uuv
UUL
UUUV NM (2,0)
UUUV
UUUV 有 MP MN
UUUV UUUV 2(1 x) ,PM PN 2 UUUV UUV y 1,NM NP 2(1 x). UUV UUUV UUUV UUUV UUUV 于是 MP MN ,PM PN ,NM UUV NP 成公差小于零的等差数列等价于 2 2
1 x y 1
- [2(1 x) 2(1 2
2(1 x) 2(1 x) 0
2 2
x)] x y
，即 y x 0
所以点P 的轨迹是以原点为圆心
，-.3为半径的右半圆C.
UUUV UUV 又 PM PN
得cos 又 0 x 。 1,1
,4 x 。2
,sin
3
、1 cos 2
1
4 1x 02 ,由此得 tan
\ 3 x )2
y ° ?
UUUV
1 由 a n 1 a n (2n
1) k 0 ,n N 恒成立，有3 k 0,得 k 3,选 D.
a 〔 a ?
c a n 2a n b n 2b n b 1 a 1 a 2n 1 口 (2 n 1) 2 D b 2n 1 __2
Sn 1 (2n 1) T 2n1 2(2 n 1)
3(2n 1) 1
选B.
3n 1
2 3设三边长分别为 a,aq,aq ，且a
0,q 0 ①当q 1 时，由 a 2
aq aq ，得
1 1 .5 q 丁 ②当0 q 1 时,由 aq aq 4由印。 a 1 9d 1，且 a 9 1 7 3 又a 1 ，于是 t ai D. 75
5由椭圆第 2定义得AF 选
a ，得壬」 q 1，于是得 J 选D.
2
6由条件得 8d 1 1,而 lim 2 (a n
n n
S n )
t ,
CF 4 4tanA,9 (为 2 BF 2(X 2 2
—)，选
A.
c
得 tan C tan[ (A B)] 7 由 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 佝a n ) (a 2 a n 1 ) Ita n 3
3 tan (A 36 ,a n (a 6 a n 5) B ，有 tan A 2 , tanB 3.
B) 1,于是ABC 为锐角三角形
a n 1 a n 2
a n 3 a n 4 a n 5 216 ,即 6(a 1 a n )=216,得 a 1 ，选
B.
180有 a n =36, 324,解得 n 18. 1 8S n (3 3^ (2 1 班)，得 n im S 1 3 1 1
3 1 2 1〕 2 9由条件知 ，公比q 满足0 1,且冷亦当0 q 1时,0 a 1 1 15 2 15
于是a 1的取值范围是 (0和6,即 10当n 为奇数时，相邻两项为a n 与a n 2,由a . 5n 1得a n 2 a .
5(n 2) 1 (5n 1)
=10,且a 1 6 ?所以｛a n ｝中的奇数项构成以 a 1 6为首项，公差d 10的等差数列
n 2
n a 2~
当n 为偶数时，相邻两项为a n 与a n 2,由a n = 22
,得亠 - a n 2二
2 ,且 a 2 2 所以｛a n ｝中的偶数项构成以 a 2 2为首项，公比q 2的等比数列. 由此得S 2m 6m m(m 1) 2 10 2UD 5m 2 m 2m1 2. 1 2 11 由 S 6 S 7 , S 7 0,a 8 0,有d 0;S 9 S 6；S 7是S n 中的最大值，选①②④. 12解:(1)由 S s ，得 a 7 f(1) a i 又 f( 1) 印 (2n 1 (2n 1 得(1 1 2 a 2 碍）
1 (II) fg 1 1 2f(2)
(1)n2
a n = n 2,再依题意有a 1 a n = 2n ,即2a 1 a n ,（n 为正偶数）得d
2，代入①有
1 f (2)
1 2 1
2(?n (2n 1 (2n 1)
3. 2n
(n a n
1)d 2n 2n ① 1.
13 解:(I)可得 f(x) 3x 2 1 ,g(x) 5x ,由已知 f (a n a n ) g(a n 1a n
a n 2)
1，
得
(3a n 1
2a n ) (a n 1
a n )
a n 1
0 ,而 a n 1 a n 0 ,有一
a n
是 lim S
n
3.
(II) b n 2f (a n ) g(a n 1)
由a n (f)n 1 知b n 的最大值为 5 2 83
6(a n )2
,
18 54
」 14
b 1 —,最小值为 b 4 374 243
14 解：（I ） Y n
n 1
X n ,设 X n XQ
有y n 1 Y
n
2 log x n
2lOg a a
x n 1 2log a X n 2log a q ,又｛『n ｝成等差数列.
Y 7 Y 4
7 4 2log a q
d ，得
d
2, Y 1 Y 7 (7 1) ( 2)
23, y n 25 2n .
当 Y n 0 时，即 23 (n 1) ( 2)
0,得 n
25 2
于是前12项和最大
，其最大值为
144.
(II) b n 2Yn225 2n,b! 223，得 E
b n
4,b n 223(4)n1
4 4
lim n S n
223
4
2!
3 lim25
n 2
(III) 由(I)知当n 12 时,y0恒成立,由Y n2l0g a X n，得
X n Y n a^
(i)当0 n 12时有X n
Y n
a^ a01,
(ii)当a 12 时,X n 1,
故当0 a 1 时，在M 12 使n M 时,x n1恒成立；当a1时不存在自然数M,使当n M 时x n 1.
15证明：用数学归纳
法
(I)当n 1时，a1a0命题成立.
假设当n k(k N)时,a k a0成立,那么当n k 1 时，由f(M)f(X2) X1 X2 ,
得f(X o) f(aQ X o a k ,又f (X o) X o,有X o f(a k) X o a k ,
而a k X o,得X o f(a k) X o
于是a k X o X o f (a k) X o a k,即a k f(a k) f
(a k) a k
2X0,又
f(a k) 2a k 1 a k,
有a k (2a k 1 a k) 2X o，即
a k 1 X o,于是当n k 1时，命题也成
立.
综上所述，对任意的k N ,a n (II)由fX) f (X2)
又f (X o) X o,得又a n 比,得X o 有f(a n) a n,而
故a n 1 a X
o
X1 X2 ,得f(X o) f(a n
f (a n)
f(a n) X o
f(a n) 2a n 1
X o a n
a n，即a n X o X o
a n，得2a n 1 a n
X o a n
f (a n) X o a n,