上海市2020届高三数学试题分类汇编：数列(含解析)
高三上期末考试数学试题分类汇编
数列
一、填空、选择题
1、（宝山区2019届高三）如果无穷等比数列{}n a 所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则 公比q =
2、（崇明区2019届高三）已知数列{}n a 满足：①10a =；②对任意的n ∈*N ，都有1n n a a +>成立. 函数1()|sin ()|n n f x x a n
=-，1[,]n n x a a +∈满足：对于任意的实数[0,1)m ∈，()n f x m = 总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是
3、（奉贤区2019届高三）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1
l i m 3n n n n n
S a S a →∞-<+，则q
的取值范围 是（ ）
A. (0,1)
B. (2,)+∞
C. (0,1]
(2,)+∞ D. (0,2)
4、（虹口区2019届高三）已知7个实数1、2-、4、a 、b 、c 、d 依次构成等比数列，若成这7
个数中任取2个，则它们的和为正数的概率为
5、（金山区2019届高三）无穷等比数列{}n a 各项和S 的值为2，公比0q <，则首项1a 的取值范围是
6、（浦东新区2019届高三）已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S . 若936S =，则348a a a ++=
7、（普陀区2019届高三）某人的月工资由基础工资和绩效工资组成，2010年每月的基础工资为2100元，绩效工资为2000元，从2011年起每月基础工资比上一年增加210元，绩效工资为上一年的110%， 照此推算，此人2019年的年薪为 万元（结果精确到0.1）
8、（青浦区2019届高三）已知无穷等比数列{}n a 各项的和为4，则首项1a 的取值范围是 9、（松江区2019届高三）已知等差数列{}n a 的前10项和为30，则14710a a a a +++=
10、（徐汇区2019届高三）若数列{}
n a 的通项公式为*
2()111n n
a n N n n
=∈+，则
l i m n n a →∞
=___________.
11、（杨浦区2019届高三）在无穷等比数列{}n a 中，121
lim()2
n n a a a →∞
++???+=
，则1a 的取值范围 是
12、（长宁区2019届高三） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11
2
n n n a a ++=
，若数列{}n S 收敛于
常数A ，则首项1a 取值的集合为
13、（闵行区2019届高三）等比数列{}n a 中，121a a +=，5616a a +=，则910a a += 14、（闵行区2019届高三）若无穷数列{}n a 满足：10a ≥，当n ∈*N ，2n ≥时，
1121||max{,,,}n n n a a a a a ---=???（其中121max{,,,}n a a a -???表示121,,,n a a a -???中的最大项），有以下
结论：
① 若数列{}n a 是常数列，则0n a =（n ∈*N ）； ② 若数列{}n a 是公差0d ≠的等差数列，则0d <； ③ 若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则1q >；
④ 若存在正整数T ，对任意n ∈*N ，都有n T n a a +=，则1a 是数列{}n a 的最大项. 则其中的正确结论是 （写出所有正确结论的序号）
参考答案
一、填空、选择题
1、32-
2、(1)2
n n n a π-= 3、B 4、4
7 5、(2,4) 6、12
7、10.4 8、(0,4)(4,8) 9、12 10、－1 11、11
(0,)(,1)22
12、?
??
??
?31 13、256 14、①②③④
二、解答题
1、（宝山区2019届高三）如果数列{}n a 对于任意*
n N ∈，都有2n n a a d +-=，其中d 为常数，则称数列{}n a 是“间等差数列”，d 为“间公差”．若数列{}n a 满足1235n n a a n ++=-，*n N ∈，
()1a a a R =∈．
（1）求证：数列{}n a 是“间等差数列”，并求间公差d ；
（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若n S 的最小值为153-，求实数a 的取值范围； （3）类似地：非零．．
数列{}n b 对于任意*
n N ∈，都有2
n n
b q b +=，其中q 为常数，则称数列{}n b 是“间等比数列”，q 为“间公比”。已知数列{}n
c 中，满足()10,c k k k Z =≠∈，1
1120182n n n c c -+??
=? ?
??
，
*n N ∈，试问数列{}n c 是否为“间等比数列”，若是，求最大的整数．．．．．
k 使得对于任意*
n N ∈，都有1n n c c +>；若不是，说明理由．
2、（崇明区2019届高三）已知数列{}n a 、{}n b 均为各项都不相等的数列，n S 为{}n a 的前n 项和，
11n n n a b S +=+（n ∈*N ）.
（1）若11a =，2
n n
b =
，求4a 的值； （2）若{}n a 是公比为q （1q ≠）的等比数列，求证：数列1
{}1n b q
+
-为等比数列； （3）若{}n a 的各项都不为零，{}n b 是公差为d 的等差数列，求证：2a 、3a 、???、n a 、??? 成等差数列的充要条件是12
d =
. 3、（奉贤区2019届高三）若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得数列{}n a 的前n 项和n m S a =，则称数列{}n a 是“回归数列”.
（1）前n 项和为2n
n S =的数列{}n a 是否是“回归数列”？并请说明理由；
（2）设{}n a 是等差数列，首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“回归数列”，求d 的值； （3）是否对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“回归数列”{}n b 和{}n c ，使得n n n a b c =+ （n ∈*N ）成立，请给出你的结论，并说明理由.
4、（虹口区2019届高三）对于n ()n ∈*N 个实数构成的集合12{,,}n E e e e =，记12E n S e e e =+++.
已知由
n ()n ∈*N 个正整数构成的集合12{,,,}n A a a a =12(,3)n a a a n <<
<≥满足：对于任意 不大于A S 的正整数m ，均存在集合A 的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m . （1）试求1a 、2a 的值；
（2）求证：“1a 、2a 、、n a 成等差数列”的充要条件是“1
(1)2
A S n n =+”；
（3）若2018A S =，求证：n 的最小值为11；并求n 取得最小值时，n a 的最大值.
5、（金山区2019届高三）在等差数列{}n a 中，13515a a a ++=，611a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）对任意m ∈*N ，将数列{}n a 中落入区间1
21(2
,2)m m ++内的项的个数记为{}m b ，记数列
{}m b 的前m 项和为m S ，求使得2018m S >的最小整数m ；
（3）若n ∈*N ，使不等式11
11
(21)n n n n a n a a a λ+++
≤+≤+成立，求实数λ的取值范围.
6、（浦东新区2019届高三）已知平面直角坐标系xOy ，在x 轴的正半轴上，依次取点123,,,,n
A A A A （n ∈*N ），
并在第一象限内的抛物线23
2
y x =
上依次取点123,,,,n B B B B （n ∈*N ）
，使得1k k k A B A -△ （k ∈*N ）都为等边三角形，其中0A 为坐标原点，设第n 个三角形的边长为()f n . （1）求(1)f ，(2)f ，并猜想()f n ；（不要求证明）
（2）令9()8n a f n =-，记m t 为数列{}n a 中落在区间2(9,9)m m 内的项的个数，设数列{}m t 的前m 项和为m S ，试问是否存在实数λ，使得2m S λ≤对任意m ∈*N 恒成立？若存在， 求出λ的取值范围；若不存在，说明理由； （3）已知数列{}n b 满足：122b =
，2
12112
n n b b +=--，数列{}n c 满足： 11c =，2
111
n n n
c c c ++-=
，求证：1
(
)2
n n n b f c π
+<<.
7、（普陀区2019届高三）设数列{}n a 满足13
5
a =，132n n n a a a +=+（n ∈*N ）.
（1）求2a 、3a 的值； （2）求证：1{
1}n a -是等比数列，并求1
2111
lim()n n n a a a →∞++???+-的值；
（3）记{}n a 的前n 项和为n S ，是否存在正整数k ，使得对于任意的n （n ∈*N 且2n ≥）均有n S k ≥成立？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由.
8、（青浦区2019届高三）若存在常数k （k ∈*N ，2k ≥）、c 、d ，使得无穷数列{}n a 满足
1n n n
n a d k
a n ca k +?+???=??∈??
*
*N N ，
则称数列{}n a 为“Γ数列”，已知数列{}n b 为“Γ数列”.
（1）若数列{}n b 中，11b =，3k =，4d =，0c =，试求2019b 的值；
（2）若数列{}n b 中，12b =，4k =，2d =，1c =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，若不 等式43n n S λ≤?对n ∈*N 恒成立，求实数λ的取值范围；
（3）若{}n b 为等比数列，且首项为b ，试写出所有满足条件的{}n b ，并说明理由.
9、（松江区2019届高三）对于给定数列{}n a ，若数列{}n b 满足：对任意n ∈*N ，都有
11()()0n n n n a b a b ++--<，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“相伴数列”.
（1）若n n n b a c =+，且数列{}n b 是{}n a 的“相伴数列”，试写出{}n c 的一个通项公式，并说明理由；
（2）设21n a n =-，证明：不存在等差数列{}n b ，使得数列{}n b 是{}n a 的“相伴数列”； （3）设12n n a -=，1n n b b q -=?（其中0q <），若{}n b 是{}n a 的“相伴数列”，试分析实数b 、q 的取值应满足的条件.
10、（徐汇区2019届高三）已知项数为0n 0(4)n ≥项的有穷数列{}n a ，若同时满足以下三个条件：
①011,n a a m ==(m 为正整数)；②10i i a a --=或1，其中02,3,,i n =…；
③任取数列{}n a 中的两项,()p q a a p q ≠，剩下的02n -项中一定存在两项,()s t a a s t ≠，满足
p q s t a a a a +=+. 则称数列{}n a 为Ω数列.
（1）若数列{}n a 是首项为1，公差为1，项数为6项的等差数列，判断数列{}n a 是否是Ω数列，并
说明理由；
（2）当3m =时，设Ω数列{}n a 中1出现1d 次，2出现2d 次，3出现3d 次，其中*
123,,d d d N ∈，
求证：1234,2,4d d d ≥≥≥；
（3）当2019m =时，求Ω数列{}n a 中项数0n 的最小值.
11、（杨浦区2019届高三）记无穷数列{}n a 的前n 项中最大值为n M ，最小值为n m ，令2
n n
n M m b +=
，n ∈*N .
（1）若2cos
2
n n n a π
=+，请写出3b 的值； （2）求证：“数列{}n a 是等差数列”是“数列{}n b 是等差数列”的充要条件；
（3）若对任意n ，有||2018n a <，且||1n b =，请问：是否存在K ∈*N ，使得对于任意不小于K 的正整数n ，有1n n b b +=成立？请说明理由.
12、（长宁区2019届高三）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2a a =. （1）若数列{}n a 是等差数列，且815a =，求实数a 的值；
（2）若数列{}n a 满足22n n a a +-=（n *∈N ），且191019S a =，求证：{}n a 是等差数列； （3）设数列{}n a 是等比数列，试探究当正实数a 满足什么条件时，数列{}n a 具有如下性质M ：对
于任意的2n ≥（n *∈N ），都存在m *∈N ，使得1()()0m n m n S a S a +--<，写出你的探究过程，并求出满足条件的正实数a 的集合. 13、（闵行区2019届高三）
参考答案
二、解答题
1、解：（1）由1235n n a a n ++=-得12233n n a a n +++=-，……………………2分 作差得22n n a a d +-==，………………………………………………………3分 即数列{}n a 是“间等差数列”，间公差2d =.…………………………………4分
（2）由（1）得{}{}212,n n a a -分别以12,33a a a a ==--为首项，公差为2的等差数列，
因此，()()21122212221235k k
a a k k a a a k k a -=+-=-+???=+-=--??
所以()*121352n n a n k a k N n a n k +- =-?=∈?
-- =?，
，，
，……………………………………6分 又1235n n a a n ++=-，所以，
当n 为偶数时，()()()2123413323735222
n n n n n n n
S a a a a a a --+--=++++
+=
?=， 当18n =时，n S 最小值为18153S =-.……………………………7分
当n 为奇数，()()()123421n n n n S a a a a a a a --=++++
++
233239135117222
n n n n
n a a -+---=?++-=++，…………8分
当17n =时，n S 最小值为17136S a =-+，因为n S 的最小值为153-， 因此只需13615317a a -+≥-?≥-. ………………………10分
（3）由1
1120182n n n c c -+??
=? ?
??
得12
120182n
n n c c ++??
=? ???
………………………11分
作比得，
21
2
n n c c +=，所以数列{}n c 是“间等比数列”. ………………13分 由
212n n c c +=得{}{}212,n n c c -分别以122018,c k c k ==为首项，公比为12
的等比数列， 又1n n c c +>，所以123c c c >>>，又因为13524624,24c c c c c c ===
===
，
所以，由12
30k c c c >??>>?得20182k
k k >>，……………………………………16分
解得20184036k <<
，
即最大的整数．．．．．63k =． …………………………………………………………18分 2、解：（1）由11,2
n n
a b ==
，知2344,6,8a a a ===.………………………4分 （2）因为11n n n a b S +=+①， 所以当2n ≥时，111n n n a b S --=+②， ①-②得，当2n ≥时，11n n n n n a b a b a +--=③， 所以111111
n n n n n n n a a b b b a a q q
--++=
+=+，………………………3分 所以111111n n b b q q q -??
+
=+ ?--??
，………………………5分 又因为1
01n b q
+
≠-（否则{}n b 为常数数列与题意不符）， 所以1
{}1n b q
+
- 为等比数列。………………………6分 （3）因为{}n b 为公差为d 的等差数列，所以由③得，当2n ≥时，()1n n n n n a b a b d a +--=, 即()()11n n n n a a b d a +-=-，因为{}n a ，{}n b 各项均不相等，所以10,10n n a a d +-≠-≠,
所以当2n ≥时，11n n
n n
b a d a a +=--④, 当3n ≥时，
11
1
1n n n n b a d a a ---=--⑤,
由④-⑤，得当3n ≥时
111111n n n n n n n n a a b b d
a a a a d d
--+---==----⑥,………………………3分
先证充分性：即由1
2
d =证明23,,,,
n a a a 成等差数列,
因为12d =
，由⑥得111
1n n n n n n a a a a a a -+--=--, 所以当3n ≥时，1
11
1n n n n n n a a a a a a -+-+=--,
又0n a ≠，所以11n n n n a a a a +--=- 即23,,
,,
n a a a 成等差数列.………………………5分
再证必要性：即由23,,,,
n a a a 成等差数列证明1
2
d =
. 因为23,,,,n a a a 成等差数列，所以当3n ≥时，11n n n n a a a a +--=-,
所以由⑥得，
11111111n n n n n n n n n n n n a a a a d
a a a a a a a a d
--+----=-==-----
所以1
2
d =
，………………………7分 所以23,,,,
n a a a 成等差数列的充要条件是1
2
d =
.…………………8分
4、
5、
6、解：（1）(1)1f =，(2)2f = ?????????????? ????????????????（2分） 猜想()f n n = ?????????????? ????????????????（2分） （2）98n a n =- ?????????????? ????????????????（5分） 由212188
99899999
m m m m n n --<-
<<+ 112191,92,,9---∴=++??????m m m n ?????????????? ????????????????（6分） 21199m m m t --∴=- ??????????????????? ?????????????????????????（7分）
352211(91)(99)(99)(99)m m m S --∴=-+-+-+???+-
3521
21
(9999
)(1999
)m m --=+++???+-+++???+22129(19)(19)91091
191980
m m m m +---?+=-=-- ????
???????????（9分）
2λ≤m S 对任意*m N ∈恒成立min 12()83λλ?≤==?≤m S S ???????????????（10分）.
（3）1sin
,4
b π
=记1sin ,4
n n b π
θθ==
，则12
sin 1cos sin 22
n n n θθθ+=
-= *1
()2
n n n N π
θ+?=
∈ ???????????? ????????????????????????????????????????????????????????（12分）
1tan ,4
c π
=记1tan ,4
n n c π
??==
，则1sec 1tan tan tan 2
n n n n ??
??+-=
=
*1
()2
n n n N π
?+?=
∈ ???????????? ????????????????????????????????????????????????????????（14分）
1
1
sin
,tan ,2
2
n n n n b c π
π
++∴==
当(0,
)2
x π
∈时，sin tan x x x <<可知： 1
1
1
1sin
(
)tan ,
222
2n n n n n n b f c π
π
π
π
++++=<
=<= ??????????? ??????????????????????????
（18分） 7、
故不等式的解集为：2(,log 3]-∞；
8、解：（1）因为数列{}n b 是“Γ数列”，且11b =，3k =、4d =、0c =， 所以当1n ≥，n *∈N 时，310n b +=， 又
*2016
672N 3
=∈，即20170b =， 20182017044b b d =+=+=，20192018448b b d =+=+= （2）因为数列{}n b 是“Γ数列”，且12b =，4k =、2d =、1c =
()()()414344341434243434312336
n n n n n n n n n n b b cb b b d b b d b b d b d +---------=-=?+-=+-=+-==则数列前4n 项中的项43n b -是以2为首项，6为公差的得差数列，
易知{}4n b 中删掉含有43n b -的项后按原来的顺序构成一个首项为2公差为2的等差数列，
41543()
n n S b b b -∴=+++()()()()23467846454442414+n n n n n n b b b b b b b b b b b b -----++++++++++++????
2(1)3(31)
26(3)2212822
n n n n n n n n --=+
?+?+?=+
43n
n S λ≤?，43
n
n S λ∴≤，设2412833n n n n
S n n c +==，则()max n c λ≥， 222111
12(1)8(1)12824820
333
n n n n n n n n n n n c c +++++++-++-=-= 当1n =时，2248200n n -++>，12c c <；当2n ≥，n *∈N 时，2248200n n -++<，1n n c c +<，∴123c c c <>>
，∴()2max 64
9
n c c ==
， 即()2max 649
n c c λ≥==
（3）因为{}n b 既是“Γ数列”又是等比数列，设{}n b 的公比为
1
n n
b q b +=，由等比数列的通项公式有1
n n b bq -=，
当m *∈N 时，21k m k m b b d ++-=，即()1
1km km km bq bq bq q d +-=-=
① 1q =，则0d =，n b b =； ② 1q ≠，则()1km
d q
q b
=
-，则km
q 为常数，则1q =-，k 为偶数，2d b =-，()11n n b b -=-；
经检验，满足条件的{}n b 的通项公式为n b b =或()
1
1n n b b -=-.
9、解：（1）(1)n
n c =-， …………………………………………2分 此时，121
1111()()[(1)][(1)](1)
0n n n n n n n n n n n a b a b a a a a ++++++--=------=-< 所以{}n b 是数列{}n a 的“相伴数列”． …………………………………………4分 注：答案不唯一，{}n c 只需是正负相间的数列．
（2）证明，假设存在等差数列{}n b 是{}n a 的“相伴数列”，则有11b ≠ …………5分 若11b <，则由12(1)(3)0b b --< 得23b >…①， 又由23(3)(5)0b b --< 得35b <
又因为{}n b 是等差数列，所以13226b b b +=<，得23b <，与①矛盾 …………7分 同理，当11b >，则由12(1)(3)0b b --< 得23b <…②， 又由23(3)(5)0b b --< 得35b >
又因为{}n b 是等差数列，所以13226b b b +=>，得23b >，与②矛盾 ……………9分
所以，不存在等差数列{}n b ，使得数列{}n b 是{}n a 的“相伴数列” ………………10分
（3）由于1
2-=n n a ，易知0≠b 且1≠b ，
①当1>b 时，11a b >，由于对任意*
N n ∈，都有()()011<--++n n n n b a b a ，
故只需2221210
k k k k a b a b ++->??
-
,2N k k n ∈=时，n k n a bq
b <<=-012， 故只需当*
,12N k k n ∈+=时，n k
k n a bq b =>=222，
即b q k
? ??22对*
N k ∈恒成立，得2-≤q ； ………………13分 ②当10<
11a b <，220a bq b <<=，与()()02211<--b a b a 矛盾，不符合题意； ……14分 ③当1-
当*
,12N k k n ∈+=时，n k
n a bq b <<=02，
故只需当*
,2N k k n ∈=时，n k k n a bq
b =>=--12122， 即b q k >???
? ??-1
22对*
N k ∈恒成立，得2-≤q ； ……………15分 ④当01<≤-b 时，11a b <，则222=>=a bq b ，
下证只需2>bq ： 若2>bq ，则b
q 2
<，
当*,12N k k n ∈+=时，n k
n a bq b <<=02，
当*
,2N k k n ∈=时，n k k k k k n a b
b b bq
b =≥?=
?
?
? ???>=-----12122
21
21
2221
2， 符合题意． ……………17分
综上所述，实数q b 、的取值应满足的条件为：
()()(]2,,,11-∞-∈+∞-∞-∈q b ，或[)2,0,1>-∈bq b ………………18分
10、解：(1)若数列{}:1,2,3,4,5,6n a 是Ω数列，取数列{}n a 中的两项1和2，则剩下的4项中不存在两项,()s t a a s t ≠，使得12s t a a +=+，故数列{}n a 不是Ω数列；……….4分 (2)若13d ≤，对于1,2p q ==，若存在2s t <<，满足p q s t a a a a +=+， 因为2s t <<，于是3,4s t ≥≥，
所以2s a a ≥，1t a a >，从而21s t a a a a +>+，矛盾， 所以14d ≥，同理34d ≥
.……………….8分
下面证明22d ≥：
若21d =，即2出现了1次，不妨设2k a =，1k s t a a a a +=+，
等式左边是3；等式右边有几种可能，分别是11+或13+或33+，等式两边不相等，矛盾， 于是12
d ≥
.……………….10分
(3)设1出现1d 次，2出现2d 次，…，2019出现2019d 次，其中*
122019,,,d d d N ∈… 由(2)可知，120194,4d d ≥≥，且22d ≥，同理20182d ≥， ……………….12分
又因为*
342017,,,d d d N ∈…，所以项数01220192027
n d d d =+++≥…
.……….14分
下面证明项数0n 的最小值是2027：
取12342017201820194,2,1,2,4d d d d d d d ========…，可以得到数列
{}:1,1,1,1,2,2,3,4,,2016,2017,2018,2018,2019,2019,2019,2019n a ….
接下来证明上述数列是Ω数列：
若任取的两项分别是1,1，则其余的项中还存在2个1，满足1111+=+， 同理，若任取的两项分别是2019,2019也满足要求；
若任取的两项分别是1,2，则其余的项中还存在3个1,1个2，满足要求， 同理，若任取的两项分别是2018,2019也满足要求；
若任取1,3p q a a =≥，则在其余的项中选取2,1s t q a a a ==-，满足要求， 同理，若2017,2019p q a a ≤=也满足要求；
若任取的两项,p q a a 满足12019p q a a <≤<，则在其余的项中选取1,1s p t q a a a a =-=+， 每个数最多被选取了1次，于是也满足要求.
从而，项数0n 的最小值是2027. ……………….18分 11、解：(1)因为8,3,2321===a a a ……2分 所以52
8
23=+=
b ……4分 (2) （必要性）当数列{}n a 是等差数列时，设其公差为d 当 d >0时， 10n n a a d --=>，所以1n n a a ->，所以n
n M a =，1n m a =， 当 d <0时， 10n n a a d --=<，所以1n n a a -<，所以1n
M a =，n n m a =， 当 d =0时， 10n n a a d --==，所以1n n a a -=，所以1n
M a =，n n m a =
综上，总有 1
2
n n a a b +=
所以 1111222
n n n n a a a a d
b b --++-=-=，所以数列{}n b 是等差数列 ……6分
（充分性） 当数列{}n b 是等差数列时，设其公差为d * 因为*1111
1+2222
n n n n n n n n n n M m M m M M m m b b d -----+----=
-==， 根据n n M m ，的定义，有以下结论：
11n n n n M M m m --≥≤，，且两个不等式中至少有一个取等号
当d >*0时，则必有1n n M M ->，所以11n n n n a M M a --=>≥， 所以{}n a 是一个单调递增数列，所以n n M a =，1n m a =，
所以*1111
1222
n n n n n n a a a a a a b b d ---++--=
-== 所以*
12n n a a d --=，即{}n a 为等差数列
当d <*0时，则必有1n n m m -<，所以11n n n n a m m a --=<≤ 所以{}n a 是一个单调递减数列，所以1n M a =，n n m a =，
所以*1111
1222
n n n n n n a a a a a a b b d ---++--=
-== 所以*
12n n a a d --=，即{}n a 为等差数列 当d =*0时，02
2221
1111=-+-=+-+=
------n n n n n n n n n n m m M M m M m M b b 因为11n n n n M M m m ----，中必有一个为0， 根据上式，一个为0，则另一个亦为0， 所以11,,n
n n n M M m m --== 所以{}n a 为常数数列，所以{}n a 为等差数列
综上，结论得证. ……9分
(3)存在 ……10分
假设不存在， 因为||1n
b =，即1n b = 或者1n b =-，
所以对任意*
K ∈N ，一定存在i K ≥，使得1,i i b b +符号相反 ……12分 所以在数列{}n b 中存在1231,,,...,,....i i k k k k k b b b b b +，其中123......i k k k k <<<<
且 12311.......i i k k k k k b b b b b +-======，
1231111111......
i i k k k k k b b b b b ++++++======
……14分
因为11,1i i k k b b +=-=，即
11
1,
12
2
i i
i i k k k k M m M m ++++=-=
注意到11,i i i i k k k k M M m m ++≥≤，且有且仅有一个等号成立， 所以必有11,i i i i
k k k k M M m m ++>=
……16分
所以14i i k k M M +=+，所以114i i i k k k a M M ++==+ 因为1i i k k ->，所以11i i k k -≥+ ，所以-1+1i i k k M M ≥ 所以-11+144i i i k k k a M M +=+≥+ 所以-11+14i i k k a a +≥+ 所以-11+14i i k k a a +-≥ 所以21114k k a a ++-≥
32114k k a a ++-≥
43114k k a a ++-≥ …… 1114m m k k a a -++-≥ 所以11+14(1)m k k a a m +-≥- 所以11+14(1)m k k a a m +≥+-
所以101011+14(10101)201840362018k k a a +≥+->-+=，
这与||2018n a <矛盾，所以假设错误， ……18分
所以存在*
K ∈N ，使得任意n ，n K ≥，有1n n b b +=.
12、解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ．由11a =，815a =得1571=+d ， 解得2=d ． ………………………………………………………2分 则得 32112=+=+=d a a ，所以3=a ．…………………………………………4分
（2）由191019S a =，得 )8(1922
8
9922910110+?=??++??+
?a a ， 解得2=a ， …………………………………………2分 由22=-+n n a a ，且11=a ，22=a ，得
当n 为奇数时，n n a a n =?-+
=221
1； 当n 为偶数时，n n a a n =?-+=22
2
2． ………………………………………4分
所以对任意*
N ∈n ，都有n a n =，当2≥n 时，11=--n n a a ，
所以数列{}n a 是以1为首项、1为公差的等差数列． …………………………………6分 其它解法，对应给分。
（3）由题意1
-=n n a a ， ……………………………………………1分
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