有理数加减运算中的几个技巧

有理数运算中的几个技巧

河北 赵春祥

有理数的运算是初中数学中的基础运算，熟练地掌握有关的运算技巧，巧妙地运用有关数学方法，是提高运算速度和准确性的必要保证．下面介绍一些运算技巧．

一、归类运算

进行有理数的加减运算时，运用交换律、结合律归类加减，常常可以使运算简捷．如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等．

例1 计算：－(0.5)－(－3

41) + 2.75－(72

1)． 解法一：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721) = (－0.5 + 2.75) + (341－721) = 2.25－44

1=－2 ． 解法二：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721) =－0.5 + 341+ 2.75－72

1= (3 + 2－7 ) + (－0.5 + 41+ 0.75 －21=－2． 评析：解法一是小数与小数相结合，解法二整数与整数结合，这样解决了既含分数又含小数的有理数加减运算问题．同学们遇到类似问题时，应学会灵活选择解题方法．

二、凑整求和

将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率．

例2 计算：19＋299＋3999＋49999．

解：19＋299＋3999＋49999

=20－1＋300－1＋4000－1＋50000－1

= (20＋300＋4000＋50000)－4

= 54320－4

= 54316．

在有理数的运算中，为了计算的方便，常把非整数凑成整数，一般凑成整一、整十、整百、整千等数，这样便于迅速得到答案．

三、变换顺序

在有理数的运算中，适当改变运算顺序，有时可以减少运算量，在具体运算过程中，技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运算律简化运算．

例3 计算：[4125＋(－71)]＋[(－72)＋612

7]．

解：[4

125＋(－71)]＋[(－72)＋612

7] = 4125＋(－71)＋(－72)＋612

7 = [4125＋6127]＋[(－72)＋(－7

1)] = 11＋(－7

3) = 1074． 评析：在运算前，首先观察、分析参与运算的数的特征、排列顺序等，适当交换一下各数的位置，达到简化运算、快速解题的目的．

四、逆用运算律

在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征，对此加以灵活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快．

例4 计算：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88．

解：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88 =17.48×37＋(17.48×10)×1.9＋17.48×44 =17.48×37＋17.48×19＋17.48×44

= 17.48×(37＋19＋44)

= 1748．

评析：很明显，灵活变形，逆用分配律，减少了运算量，提高了解题效率．

五、巧拆项

把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷．

例5 计算2005×

20042003－1001×1002

1001． 解：2005×20042003－1002

10011001 = (2004＋1)×20042003－(1002－1)×1002

1001 = (2003－1001)＋(20042003＋1002

1001) =100320042001． 评析：对于这些题目结构复杂，长度较大的数，用常规的方法不易解决．解这类问题要根据题目的结构特点，找出拆项规律，灵活巧妙地把问题解决．

六、变量替换

通过引入新变量转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，

其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用．

例6 计算512769)323417(125.0323417-++?+×(0.125＋3

234175127

69+-)． 解：设a =323417+，b = 0.125，c =5

12769-，则 512769)323417(125.0323417-++?+×(0.125＋3

234175127

69+-) = c ab a +×(b ＋a

c ) =c ab a +×a

c ab + = 1． 评析：此题横看纵看都显得比较复杂，但若仔细观察，整个式子可分为三个部分：323417+，0.125，5

12769-，因此，采用变量替换就大大减少了计算量． 七、分组搭配

观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算．

例7 计算：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69．

解：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69

= (2－3－4＋5)＋(6－7－8＋9)＋…＋(66－67－68＋69)

= 0＋0＋0＋…＋0

= 0．

评析：这种分组运算的过程，实质上是巧妙地添括号或去括号问题．

八、倒序相加

在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒序相加减的方法把问题简化．

例8 计算

21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋60

58＋6059)．①

解：把①式括号内倒序后，得：

21＋(32＋31)＋(43＋42＋41)＋(54＋53＋52＋51)＋…＋(6059＋6058＋…＋602＋601)， ② ①＋②得：1＋2＋3＋4＋…＋58＋59 = 1770， ∴21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋6058＋6059) =2

1(1770) = 885． 评析：显然，此类问题是不能“硬算”的，倒序相加可提高运算速度，降低复杂程度．

九、添数配对

例9 计算11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．

解：添上9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，依次与各数配对相加，得：

11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999． = 20＋200＋2×103＋2×104＋…＋2×109－(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1)

= 2222222220－45

= 2222222175．

评析：添数配对实质上也是一种凑整运算．

十、整体换元

对于较复杂的算式直接运算很困难，若能抓住其特征，运用整体运算的思维，创造性地加以解决，就能收到事半功倍的效果．

例10 计算1－

21＋41－81＋161－321＋641－1281＋256

1． 解；设1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋256

1= x ，① 则①×(－21)，得－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋256

1－5121=－21x ， ② ① －②，得1＋5121=23x ，解得x =256

171，故 1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561=256171． 评析：整体换元可以避开局部细节的麻烦，它利用前后项之间的倍数关系，使用的是错位相加法．

初中数学-有理数的加减法(基础)

初中数学-有理数的加减法（基础） 【学习目标】 1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算； 2．掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系； 3．熟练将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简 算，并会解决简单的实际问题. 【要点梳理】 要点一、有理数的加法 1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法． 2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 要点诠释：利用法则进行加法运算的步骤： (1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则． (2)确定和的符号(是“+”还是“－”)． (3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)． 3.有理数加法运算律 加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变 符号语言 a+b ＝b+a 加法结合律 文字语言 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 符号语言 (a+b )+c ＝a+(b+c ) 要点诠释：交换加数的位置时，不要忘记符号． 【高清课堂：有理数的加减 382681 有理数的减法】 要点二、有理数的减法 1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算． 要点诠释：（1）任意两个数都可以进行减法运算． （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值． 2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：()a b a b -=+-． 要点诠释： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如： 要点三、有理数加减混合运算 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.

有理数加减法法则

七年级上册数学 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。（-8）+（-3）=-（8+3）=-11 （2）异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. （-8）+3=-（8-3）；8+（-3）=5 （3）互为相反数相加得0. 8+（-8）=0；（-5）+5=0 有理数减法法则： 减去一个数，等于加这个数的相反数。（把减法转化为加法）a-b=a+(-b); 例：-9-(-5)=-9+5=-4 有理数加法口诀速记法： 同号相加一边“倒”；异号相加“大”减“小”，符号跟着“大”的跑； 绝对值相等“零”正好；数零相加变不了。 备注：“大”“小”是指加数的绝对值的大小。 有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得零。 有理数除法法则： （一）、除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 （二）、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0.（0不能做除数） 有理数除法技巧方法： （1）直接应用有理数除法的法则进行计算。 （2）有分数除法，先确定结果的符号，再把除法转化为乘法，使用简便运算更合理。

有理数运算时要按照步骤：一观察、二确定、三求和。 （第一步观察两数的符号，是同号还是异号；第二步确定用哪条法则；第三步求出结果） 有理数加减混合运算几种方法： （1）减法统一转化成加法；（2）省略加号和括号；（3）运用加法运算律进行计算； （一）在计算过程中的技巧： （1）同号结合法（运用运算律将正负数分别相加） （2）同分母结合法（分母相同或哟倍数关系的数结合在一起） （3）凑整法（把某些能相加得整数的结合在一起） （4）相反数结合法（互为相反数的两数可现加） （5）统一法（算式中既有分数又有小数，要把分数统一成小数或把小数统一成分数） （6）拆项法（算式中有带分数时，可先把带分数拆成整数和真分数，拆开后相加，运算就简便） 拆项后注意：（1）分开的整数部分与分数部分必须保留原带分数的符号。 （2）运算符号和数的性质符号要用括号分开。 有理数乘除运算几种方法： 乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后确定积的符号，最后求结果。

2020年有理数加减法技巧

作者：空青山 作品编号：89964445889663Gd53022257782215002 时间：2020.12.13 有理数加减运算的几个技巧小学生进入初中以后，接触了正，负数，很多同学觉得数学的知识增加了很多。但一开始学习有理数加减混合运算，他们发现很容易犯错误，而且在运算过程中有时不知所措。在这里给大家介绍有理数加减运算的几个小技巧。 一：用口诀法记忆有理数的加减运算规则。 同号相加一边倒；异号相加“大”减“小”，符号跟着“大”的跑。如：12-6+5-7=12+5-6-7=17-13=4。这个口诀适合比较简单的运算，主要是将正，负数分开，再计算。但是对较复杂的运算却并不适合。下面的方法可以针对性的解决一些问题。 二：化繁为简。 主要是有些异分母的运算。如：（-2/3）-1/12-（-1/4） =-2/3-1/12+1/4 =-8/12-1/12+3/12 =-9/12+3/12 =-6/12 =-1/2等。

三：统一法：在式子中若既有分数又有小数，把小数统一成分数或把分数统一成小数。如： （-0.5）-（-1/4）+（+2.75）-（+5.5）= -0.5+0.25+2.75-5.5= -3 四：凑整数法。在式子中若既有分数又有小数，有些数相加后能凑出整数，这样做的目的是使得运算简便。 如（1）：（-47/8）-（-51/2）+（-41/4）-（+31/8）=-47/8+51/2-41/4-31/8=-47/8-31/8+51/2-41/4=-8+1.25=-6.25 （2）：（-318/37）-（-3.5）-（-118/37）+（-6.5）=- 318/37+3.5+1 18/37-6.5=-318/37+118/37-6.5+3.5=-2-3=-5。 五：凑零法。在式子中如果有相反数，那么就把它们相加，再运算。如： （1）：1/2+（-2/3）+4/5+（-1/2）+（-1/3）=1/2+（-1/2）+（- 2/3）+（-1/3）+4/5 =0+（-1）+4/5=-1/5 （2）：（-18.65）+（-6.15）+18.15+6.15=（-18.65）+18.15+（-6.15）+6.15 =-0.5+0=-0.5 有理数的加减混合运算，可依据题目的特点，运用适当的方法技巧，可以简化过程，提高解题速度。 一、正负数分别结合相加 二、相加得零的数结合相加 三、非整数相加，相加得整数结合相加 四、分数相加，同分母或分母有倍分关系的分数结合相加 五、带分数相加，将带分数拆开相加 六、分数与小数相加，灵活考虑将小数化成分数或将分数化成小数后再相加 作者：空青山 作品编号：89964445889663Gd53022257782215002 时间：2020.12.13

有理数运算技巧之拆项法

有理数运算技巧之拆项法 引子： ...... 4 1-31433-434433-412131-21322-323322-3612 1-1211-212211-221=??=?==??=?==??=?= 1 11)1()1()1()1()1()1(1+-=+-++=+-+=+a a a a a a a a a a a a a a 你能仿照上述过程将2) a(a 2+进行拆项吗？ 2)a(a 2+2 11)2()2()2)2()2+-=+-++=+-+=a a a a a a a a a a a a （（ 同理，有 3 11)3()3(3)3()3()3(3+-=+-++=+-+=+a a a a a a a a a a a a a a 4 11)4()4(4)4()4()4(4+-=+-++=+-+=+a a a a a a a a a a a a a a ...... 你发现其中的规律了吗？ 一个分数，若分母是两个数的积，分子刚好是这两个数的差，则可将原分数拆成分别以这两个数为分母，分子为1的两个分数的差的形式。 思考：一个分数，若分母是两个数的积，分子刚好是这两个数的

和，则可将原分数拆成两个分数的什么形式？自己探究下吧。 例：计算：2020 20191...541431321211?++?+?+?+? 解：原式 2020 20192020 1-12020 1-20191...51-4141-3131-2121-1==+++++= 巩固练习： 1. 计算：90 17215614213012011216121++++++++ 2. 计算：2021 20191201920171...751531311?+?++?+?+? 巩固练习参考答案： 1. 90 17215614213012011216121++++++++ 10 910 1-1101-91...41-3131-2121-110 91...431321211==++++=?++?+?+?=

讲义-数学-七年级上册-第2讲-有理数的加减法

讲义

（1）2121213(3 )3585840 ????-+-=-+=- ? ????? ； （2）1 313131(6)(2)(62)8934341212 +++=++=+ = （3）21.1253 1.125( 3.4)(3.4 1.125) 2.2755? ?+-=+-=--=- ??? （4）220(5)533 +-=- （5）1 3 ( 3.5) 3.5 3.502 -++=-+= 例2. 邮递员骑车从邮局出发，先向南骑行2km 到达A 村，继续向南骑行3km 到达B 村，然后向北骑行9km 到C 村，最后回到邮局． （1）以邮局为原点，以向北方向为正方向，用1cm 表示1km ，画出数轴，并在该数轴上表示出A 、B 、C 三个村庄的位置； （2）C 村离A 村有多远？ （3）邮递员一共骑了多少千米？ 【教法建议】建议结合生活实际给学生讲解正负数的实际应用 【答案与解析】 解：（1）依题意得，数轴为： ； （2）依题意得：C 点与A 点的距离为：2+4=6（千米）； （3）依题意得邮递员骑了：2+3+9+4=18（千米）． 【试一试】 1. 计算：(1) -721+1061; (2) (-21)+(-7.3); (3) 14 1+(-231); (4) 751 +(-3.8)+(-7.2) 【答案】 （1）原式=11112 (107)(97)(1)262623 +-=-+-=； （2）原式=(0.57.3)7.8-+=-；（3）原式=111 (21)13412 --=-； （4）原式=7.27.2 3.80 3.8 3.8--=-=- 2. 计算：115112 36?? -++- ??? 【答案】1151151151111(11)12 36236236?? ??????-++-=--++-=-++-++-=- ? ? ??????????? 3. 计算：

有理数加减法法则

有理数加减法法则 一、有理数的加法法则 把两个或两个以上的有理数合并成一个有理数的运算，叫做有理数的加法，相加的两个数叫做加数，得到的结果叫做和。 由于有理数分为正有理数、零、负有理数三类，所以两个有理数相加就有以下三种情况： 同号两数相加；异号两数相加；一个数同0相加。 ⑴一个数同0相加，仍得这个数。如：（－2）＋0＝－2，6＋0＝6. ⑵借助数轴来探究同号两数相加的情况：（规定向东为正方向，1个单位长度为1米） 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ⑶借助数轴来探究异号两数相加的情况：（规定向东为正方向，1个单位长度为1米） 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0。 二、有理数加法的运算步骤 进行有理数加法运算时，应按照以下“一判，二定，三加减”的步骤： 第一步：判断加法的类型，并根据加法的类型确定使用

哪一个法则； 第二步：根据加法绝对值的大小及有理数的符号，确定和的符号： 第三步：对绝对值进行加或减，确定和的绝对值。三、有理数的加法运算律 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置和不变。即a+b=b+a。 交换加数的位置时，各加数应连同其符号一起交换。 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加或先把后两个数相加和不变。即（a+b）+c=a+（b+c）。 多个数相加时，灵活运用加法运算律，可使运算简便，通常有以下运算技巧。 ①凑0，即和为0的几个数先加。 ②凑10或凑100，即和为整10或者100的几个数先加。 ③凑整，即和为整数的几个数先加。 ④同号的几个数先加。 ⑤同分母或易通分的分数先加。 四、有理数的减法法则 减法的概念：已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法，减法是加法的逆运算。在小学时，被减数要大于减数，引入负数后，任何两个数都可以进行减

有理数混合运算的解题方法和技巧

精心整理 一、理解运算顺序 有理数混合运算的运算顺序： ①从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减； 有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键。 例1：计算：3＋50÷22×(5 1-)－1 ②从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。 例2：计算：()[]232315.011--??? ???????? ???-- ③从左向右：同级运算，按照从左至右的顺序进行。 例3 1234段呢?(1) (2) (3) (4)例 （1）、归类组合：将不同类数(如分母相同或易于通分的数)分别组合；将同类数(如正数或负数)归类计算。 （2）、凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消。 （3）、分解：将一个数分解成几个数和的形式,或分解为它的因数相乘的形式。 （4）、约简：将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。 （5）、倒序相加：利用运算律，改变运算顺序,简化计算。 例3计算2+4+6+…+2000 （6）、正逆用运算律：正难则反,逆用运算定律以简化计算。 乘法分配律a(b+c)=ab+ac 在运算中可简化计算．而反过来，ab+ac=a(b+c)同样成立，有时逆用也可使运算简便。 例3计算：

(1)-32÷(-8×4)+2.52+(+－－)×24 (2)(－)×(－)－×(－)＋×(－) 四、理解转化的思想方法 有理数运算的实质是确定符号和绝对值的问题。因此在运算时应把握“遇减化加．遇除变乘，乘方化乘”，这样可避免因记忆量太大带来的一些混乱，同时也有助于我们抓住数学内在的本质问题。把我们所学的有理数运算概括起来。可归纳为三个转化： 一个是通过绝对值将加法、乘法在先确定符号的前提下，转化为小学里学的算术数的加法、乘法； 二是通过相反数和倒数分别将减法、除法转化为加法、乘法； 三是将乘方运算转化为积的形式。 若掌握了有理数的符号法则和转化手段，有理数的运算就能准确、快速地解决了。 例4计算： 如果a 如果c 如果 例，试求x2 例计算：。 应分为三段：, 参加计算较为方便。 解：原式 “减”号分段，使每段只含二、三级运算，这样各段可同时进行计算，有利于提高计算的速度和正确率。 例2 计算：。 分析：此题运算顺序是：第一步计算和；第二步做乘法；第三步做乘方运算；第四步做除法。 解：原式

浅谈有理数加减法的教学方法

浅谈有理数加减法的教学方法 发表时间：2012-10-11T11:21:54.497Z 来源：作者：杨玲[导读] 小学生在升入七年级以后，首先学到的便是正数和负数． 杨玲贵州凤冈琊川中学 小学生在升入七年级以后，首先学到的便是正数和负数．在认识了正、负数以后马上就要学习有理数的加减法，但他们长期养成的思维方式认为加减法是分开的．而现在教材上的有理数加、减法法则是：一、同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加．二、异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大绝对值减去较小的绝对值．三、互为相反数的两个数相加得零．四、减去一个数，等于加上这个数的相反数．这些法则对于规范学生的思维，正确认识有理数的加减法是非常必要的．但我们在教学中发现，学生在做有理数的加减法时还是会出现各种各样的问题．比如-7+8=-15，-6-1=-5等等的错误，让人十分头疼．究其原因，还是这个法则过于繁琐，条条框框较多，分类太细使学生难以掌握．从而造成学生在做有理数加减法时无法分清到底什么时候做加法，什么时候做减法．针对这一现象本人结合教学实践进行了一些探索，现就本人的教学实践谈谈几点粗浅的体会．首先，本人让学生练习小学的加减法运算，如6+7，8-6，11-8，6-2，等等，（当然，学生很容易回答），接下来就让学生练习5-7，-5-7，8-11，2-6，-3-4，-5+7，-6+2，等等，此时有一部分学生就发生错误了，但是大部分同学还是能够正确回答．然后引导学生观察： +5，+7做加法，-5，-7做加法，-3，-4做加法，+8，-6做减法，-8，+11，做减法，+5，-7做减法， +8，-11，做减法等等，这时问同学什么时候该做加法？什么时候该做减法？它们的符号又有什么规律？此时学生通过观察就会发现同号做加法，异号做减法．一个简单而又重要的加减法法则便顺理成章出现在我们面前：同号相加，异号相减．于是我便通过这个法则来指导学生完成其他的加减法题目．比如我们再拿上述几道题目来验证这个法则．-6+2是同号还是异号？是做加法还是减法？5-7是同号还是异号？是做加法还是减法？-5-7是同号还是异号？是做加法还是减法？-5+7是同号还是异号？是做加法还是减法？实际上当学生熟练掌握了这个法则以后，在做有理数加减运算时，只需作出两个非常简单的逻辑判断，（1）同号还是异号．（2）结果正或负．从而大大提高了解题的正确性．虽然这个法则并没有涉及到结果的符号问题，但学生的错误主要是出现在分不清加减上，而符号则基本上不容易出现问题．因此相对于教材上的有理数加减法法则，这个法则更为简单明了，便于学生理解和掌握．其次，在授课时还应注意，学生经过前一阶段有理数的学习，应该知道加号也可以看成正号，减号也可以看成负号．因此两个有理数相加不一定做加法，而两个有理数相减也并不一定做减法．比如：-7+5，从表面来看是做加法，而实际是做减法．又如：-7-5从表面来看是做减法，而实际是做加法．因此我们在授课时一定要注意：强调符号，淡化加减．因为本人一直认为加减运算本身就是不可分割的统一体．因而在讲解有理数加减法运算时，常常把加减法混在一起，而不把它们人为的分成有理数加法或减法运算．这样有助于学生在做有理数加减法时认识到符号的重要性．最后，在讲解有理数加减法时还应注意解题的步骤．第一步，去括号，即去掉有理数的括号．第二步，分类，即把正负数进行分类，同时把正数放在前面，负数放在后面．第三步，做加法，即分别做正数和负数的加法．第四步，做减法．即把正数的和减去负数的和．这样可以培养学生有条不紊地进行有理数的加减运算的习惯，而且不容易出错．通过大量反复的练习，学生很容易掌握有理数的加减法运算规律．同时为下一章学习整式的加减打下坚实的基础．通过几年的教学实践，我所任教的几个班级学生在有理数加减运算方面明显强于其他班级的学生． 综上所述，同号相加，异号相减．本人认为这个法则比书上的法则要更简洁明了，也更容易被学生理解和掌握．因此本人认为它应该成为有理数加减法的新法则，或者它至少应该成为有理数加减法运算的口诀．这样可以帮助我们摆脱教材上繁琐的有理数加减法法则，也可以让学生轻松的学好有理数加减．

有理数加减法法则及简便运算(教师版)

有理数加减运算中的结合技巧 有理数的加减混合运算是七年级数学的重点，也是同学们难以掌握，常常出错的地方，如能根据题目特征选择适当的方法，则可简化运算过程，提高解题速度与准确度。现举例如下，供同学们学习参考。 一、把符号相同的加数相结合 计算：（+5）+（-6）+（+4）+（+9）+（-7）+（-8） 解：原式=[（+5）+（+4）+（+9）]+[（-6）+（-7）+（-8）] =（+18）+（-21） =-3 二、把和为零的加数结合 例2 计算：（-15.43）+（-4.15）+（+15.20）+（+4.15）+（+0.23）+（-5） 解：原式=[（-15.43）+（+15.20）+（+0.23）]+[（-4.15）+（+4.15）]+（-5） =0+0+（-5） =-5 三、把和为整数的加数相结合 例3 计算：（+6.4）+（-5.1）-（-3.9）+（-2.4）-（+4.9） 解：原式=（+6.4）+（-5.1）+（+3.9）+（-2.4）+（-4.9） =6.4-5.1+3.9-2.4-4.9 =（6.4-2.4）+（-5.1-4.9）+3.9 =4-10+3.9 =-2.1 四、把整数与整数，分数与分数分别相结合 例4 计算：-42 3 -3 1 3 +6 1 2 -2 1 4 解：原式=（-4-3+6-2）+（-2 3 - 1 3 + 1 2 - 1 4 ） =-3-1 4 =-33 4 点评：在分拆带分数时，要注意符号。如：-42 3 =-4- 2 3 ，而不是-4+ 2 3 。 五、统一形式后再结合 例5 计算：（-0.125）+（-0.75）+（3 4 ）+ 1 8 +1 解：原式=（-1 8 ）+（- 3 4 ）+（- 3 4 ）+ 1 8 +1 =[（-1 8 ）+ 1 8 ]+[（- 3 4 ）+（- 3 4 ）]+1 =0+（-6 4 ）+1 =-1 2 点评：当同一个算式中既有分数，又有小数时，一般要先统一形式，具体统一成分数还是统一成小数要看哪一种计算简便。六、把分母相同或便于通分的加数相结合 例6 计算：（+ 3 7 ）+（- 5 13 ）+（+ 4 7 ）+（+ 15 26 ）+（- 1 7 ）+（+3）解：原式=[（+ 3 7 ）+（+ 4 7 ）+（- 1 7 ）]+[（- 5 13 ）+（+ 15 26 ）]+（+3）= 6 7 + 5 26 +3 = 737 182 七、分组后再结合 例7 计算：2-3-4+5+6-7-8+9+…+66-67-68+69 解：原式=（2-3-4+5）+（6-7-8+9）+…+（66-67-68+69） =0+0+0=0 八、巧添辅助数后再结合 例8 计算： 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + 1 64 解：原式= 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + 1 64 + 1 64 - 1 64 = 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + 1 32 - 1 64 = 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 16 - 1 64 = 1 2 + 1 2 - 1 64 =1- 1 64 = 63 64 九、先拆项后结合 例9 计算： 1 12 ? + 1 23 ? + 1 34 ? +…+ 1 9697 ? 解：原式=（1- 1 2 ）+（ 1 2 - 1 3 ）+（ 1 3 - 1 4 ）+…+（ 1 96 - 1 97 ） =1+（- 1 2 + 1 2 ）+（- 1 3 + 1 3 ）+…+（- 1 96 + 1 96 ）- 1 97 =1- 1 97 = 96 97 第 1 页共1 页

1.6.2有理数加减法的混合运算 教案

1.6.2有理数加减法的混合运算 一、教学目标 1、掌握去括号法则. 2、掌握添括号法则. 3、能用去括号和添括号法则解决实际问题. 二、课时安排：1课时. 三、教学重点：去括号法则和添括号法则. 四、教学难点：用去括号和添括号法则解决实际问题. 五、教学过程 （一）导入新课 有些加减法混合运算的算式中是含有括号的，如下面的式子： ).3876(31-- 如何计算上面的式子呢？下面我们学习去括号和添括号. （二）讲授新课 思考： 1、观察这个算式，如果按照运算顺序的规定，应当怎样计算？ 2、我们发现，括号内的一个加数3 8-和括号外的31是同分母的分数，如果对它们先做计算，就能使运算简便.那么，怎样才能对它们先做计算呢？这种做法的依据是什么？ 同学们思考并交流. 要想实现38-和3 1先做计算，就必须去掉算式中的括号，然后再根据加法的交换律和结合律进行.我们已经知道，“某数减去若干个数的和，可以逐个减去各个加数”，按照这个法则，就有 .7 157637 63831387631)38()76(31)3 876(31=-=-+=+-=--+-=-- 可见，在某些时候，如果能把算式中的括号去掉，就能使运算简便. （三）重难点精讲

交流： 1、形如m-(a+b-c)的算式可以选择几种不同的算法？ 2、如果我们选择先去掉括号的算法，你能从上面的研究中概括出“去掉前 面带有减号(或负号)的括号”的法则吗？ 3、与此类似，对于形如m+(a+b-c)的算式，如果我们选择去掉括号的算法，那么你能概括出“去掉前面带有加号(或正号)的括号”的法则吗？ 同学们思考并交流. 由于存在加法结合律，所以“去掉前面带有加号的括号”可以任意地进行.而“去掉前面带有减号的括号”以后，进行的是减法运算.根据减法的运算法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”，可以概括出去括号的法则. 去括号法则 1、当括号前面是“+”时，去掉括号和它前面的“+”，括号内各数的符号都不改变. 2、当括号前面是“-”时，去掉括号和它前面的“-”，括号内各数的符号都要改变. 典例： 例3、计算： ).52253711(739)2();41483(432)1(---+--++ .8 118 318 34414324 1483432)4 1483(432)1(-=--=--++=+--+=+--++解：

有理数的加减法(基础)知识讲解

有理数的加减法（基础） 【学习目标】 1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算； 2．掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系； 3．熟练将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简 算，并会解决简单的实际问题. 【要点梳理】 要点一、有理数的加法 1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法． 2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 要点诠释：利用法则进行加法运算的步骤： (1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则． (2)确定和的符号(是“+”还是“－”)． (3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)． 3.有理数加法运算律 加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变 符号语言 a+b ＝b+a 加法结合律 文字语言 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 符号语言 (a+b )+c ＝a+(b+c ) 要点诠释：交换加数的位置时，不要忘记符号． 【高清课堂：有理数的加减 382681 有理数的减法】 要点二、有理数的减法 1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算． 要点诠释：（1）任意两个数都可以进行减法运算． （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值． 2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：()a b a b -=+-． 要点诠释： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如： 要点三、有理数加减混合运算 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 【典型例题】

有理数加减法技巧

有理数加减法技巧 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

有理数加减运算的几个技巧小学生进入初中以后，接触了正，负数，很多同学觉得数学的知识增加了很多。但一开始学习有理数加减混合运算，他们发现很容易犯错误，而且在运算过程中有时不知所措。在这里给大家介绍有理数加减运算的几个小技巧。 一：用口诀法记忆有理数的加减运算规则。 同号相加一边倒；异号相加“大”减“小”，符号跟着“大”的跑。如：12-6+5-7=12+5-6-7=17-13=4。这个口诀适合比较简单的运算，主要是将正，负数分开，再计算。但是对较复杂的运算却并不适合。下面的方法可以针对性的解决一些问题。 二：化繁为简。 主要是有些异分母的运算。如：（-2/3）-1/12-（-1/4） =-2/3-1/12+1/4 =-8/12-1/12+3/12 =-9/12+3/12 =-6/12 =-1/2等。 三：统一法：在式子中若既有分数又有小数，把小数统一成分数或把分数统一成小数。如： （）-（-1/4）+（+）-（+）= ++ -3 四：凑整数法。在式子中若既有分数又有小数，有些数相加后能凑出整数，这样做的目的是使得运算简便。 如（1）：（-47/8）-（-51/2）+（-41/4）-（+31/8）=-47/8+51/2-41/4- 31/8=-47/8-31/8+51/2-41/4=-8+=

（2）：（-318/37）-（）-（-118/37）+（）=-318/37++1 18/=- 318/37+118/+=-2-3=-5。 五：凑零法。在式子中如果有相反数，那么就把它们相加，再运算。如：（1）：1/2+（-2/3）+4/5+（-1/2）+（-1/3）=1/2+（-1/2）+（-2/3）+（-1/3）+4/5 =0+（-1）+4/5=-1/5 （2）：（）+（）++=（）++（）+ =+0= 有理数的加减混合运算，可依据题目的特点，运用适当的方法技巧，可以简化过程，提高解题速度。 一、正负数分别结合相加 二、相加得零的数结合相加 三、非整数相加，相加得整数结合相加 四、分数相加，同分母或分母有倍分关系的分数结合相加 五、带分数相加，将带分数拆开相加 六、分数与小数相加，灵活考虑将小数化成分数或将分数化成小数后再相加

有理数加减的若干技巧

有理数加减的若干技巧 一，分类相加 例1 计算-51-23+47+17-16+36． 解：原式=(-51-23-16)+(47+17+36)=-90+100=10． 说明：将正、负数分别结合相加，不易出错． 二、凑零相加 例3 计算1+2-3-4+5+6-7-8+9+…+1997+1998-1999． 解：原式=1+(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(1998-1999)=1+0+0+…+0+(-1)=0． 说明：把相加为0的几个数结合相加，比较简捷． 三、凑整相加 (A)5.55，(B)5.65，(C)5.75，(D)5.85． 解：去括号，并按同分母重新组合相加，得 说明：分数相加，将和为整数的几个数相加，较为简洁． 四、变形相加 例6 计算-1991+1992-1993+1994- (1999)

解：原式=-2000+9+2000-8-2000+7+…-2000+1 =-2000+(9-8+7-6+5-4+3-2+1) = -2000+5 = -1995 说明：先变形，再用运算律，避开了复杂的计算． 五、分离相加 说明：带分数相加，将整数部分和分数部分分离，然后分别结合相加，使运算化简 六、同分母加 说明：同分母结合相加，常常使分数加减变得简捷．本题也可用“分离相加法”． 七、尾数相加 例9 某班20名学生的身高测得如下(单位：cm)，求这20位学生的平均身高： 170，169，169，165，168，171，170，166，167，168， 164，166，167，169，172，170，171，168，170，170， 解：观察这些数据，多数接近于170，将每个数据减去170，得下列“尾数”： 0，-1，-1，-5，-2，+1，0，-4，-3，-2，-6，-4，-3，-1，+2，0，+1，-2，0，0．将这些“尾数”相加得-30，于是平均身高为：170+(-30)÷20=170-1.5=168.5(cm) 八，添辅助数结合相加 例10 计算 32 1161814121++++ 解：原式=321161814121++++321321-+ =321161161814121-++++ =32 181814121-+++ =321414121-++ =32 12121-+ =3211- = 3231

有理数的加减法(基础)知识讲解

有理数的加减法(基础) 责编：康红梅 有理数的加法 把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法. (1) 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； (2) 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对 值减去较小的绝对值?互为相反数的两个数相加得 0； (3) 一个数同0相加，仍得这个数. 要点诠释：禾U 用法则进行加法运算的步骤： (1) 判断两个加数的符号是同号、 异号，还是有一个加数为零， 以此来选择用哪条法则. (2) 确定和的符号(是"+ ”还是“一”). (3) 求各加数的绝对值，并确定和的绝对值 (加数的绝对值是相加还是相减 ). 3.运算律： 要点二、有理数的减法 1. 定义：已知两个数的和与其中一个加数， 求另一个加数的运算， 叫做减法，例如：(-5)+? =7,求？，减法是加法的逆运算. 要点诠释：(1)任意两个数都可以进行减法运算. (2) 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的 绝对值. 【学习目标】 1.掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算； 2?掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系； 3.熟练将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算 律合理简 算， 并会解决简单的实际问题 . 【要点梳理】 要点一、 1. 定义： 2. 法则： 【高清课堂：有理数的加减 有理数的减法】 a - b =a + (-b). 要点诠释： 数变为它的 甲号变jjra 尹 6~(--2)=6+(+2> ?数变为相反数 减数变为相反数

有理数加减法运算法则学习攻略

有理数加减法运算法则学习攻略 【必备知识】 一、有理数加法法则： 1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 2、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0. 二、有理数减法法则：减去一个数等于加这个数的相反数a-b=a+(-b) 例1、同号相加 同为正号：2+3=+（2+3）=+5（同正号两数相加，取正号，把绝对值相加） 同为负号：-2-3=-2+（-3）=-（2+3）=-5（一个负数减一个正数时，把减一个正数看作加一个负数，此时就 可以看作是同号相加，同理此题取负号，并把绝对值相加） 练习1：（仿照上面例1过程作答） 1、2+7= 2、-2-7= 3、3+4= 4、-3-4= 5、5+8= 6、-5-8= 例2、异号相加 大减小：4-3=+（4-3）=+1（异号和同号的区别是，谁大取谁的符号，这里“4”的绝对值大，所以括号前取正号，括号里面是绝对值相减） 小减大：3-4=-（4-3）=-1（这里“-4”的绝对值较大，所以括号前取负号，括号里面依然是绝对值相减）练习2：（仿照上面例2过程作答） 1、2-7= 2、-2+7= 3、3-4= 4、-3+4= 5、5-8= 6、-5+8= 补充相似考点（合并同类项） 例如：2a+3a=（2+3）a=5a（合并同类项时，字母部分保留，把系数相加减） 1、2-3= 2、-7-3= 3、-4+11= 4、2a-3a= 5、x+5x= 6、-4ab+7ab= 7、13xy2-8xy2= 8、3mn-mn= 化简求值题学习攻略

【必备知识】 一、分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式. 先看一个异分母分数相加减的题 6 56236263232132313121=+=+=??+??=+ 学习攻略： 21和3 1的分母分别是2和3，由于两数没有公因数，所以通分直接是两数相乘得2×3，也即通分后分母为6. 再看一个异分母分式相加减的题 ab a b ab a ab b a b a b a b b a +=+=??+??=+1111 学习攻略： a 1和b 1的分母分别是a 和b ，由于两分式没有公因式，所以通分直接是两数相乘得a ×b ，也即通分后分母为ab . 看到这里，我想大家都似乎明白了分式通分的原理与分数的通分原理是一模一样的，只不过我们在做题时，经常会遇到这么三类通分的题：分母直接相乘的通分题、分母需要因式分解的通分题，与整式（特别是与“1”）相加减的通分题。 例1、分母直接相乘的通分题 1 2)1()1()1()1()1()1()1(1)1()1()1(111112-=+?-++-=+?-+?+-?+-?=-++a a a a a a a a a a a a a a 注意：（a +1）和（a -1）直接相乘作为通分后的分母，由平方差公式可得（a +1）（a -1）=a 2-1 练习1（仿照上面例1过程作答） 1、 =++111m m 2、=-++2 121n n

有理数加减乘除四则运算精讲

常州知典教育一对一教案 学生：年级：学科：数学授课时间：月日授课老师：赵鹏飞

要点诠释：（1）加法交换律：。 （2）加法结合律：。 知识点四：有理数减法的意义要点诠释：有理数减法的意义与小学学过的减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。减法是加法的逆运算。 知识点五：有理数减法法则 要点诠释：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 知识点六：有理数加减法统一成加法的意义要点诠释：对于有理数的加减混合运算中的减法，可以根据有理数减法法则将减法转化为加法。这样一来，就将原来的混合运算统一为加法运算。统一成加法以后的式子是几个正数或负数的和的形式，有时，我们把这样的式子叫做代数和。 知识点七：有理数加减混合运算的方法要点诠释：（1）运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。 （2）运用加法法则、加法交换律、加法结合律简便运算。 知识点八：有理数乘法法则要点诠释：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。知 知识点九：有理数乘法法则的推广要点诠释：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。 （2）几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为0。 知识点十：有理数乘法的运算定律要点诠释：（1）乘法交换律： （2）乘法结合律： （3）分配律： 知识点十一：倒数的概念 要点诠释：乘积是1的两个数互为倒数。由于，所以当a是不为0的有理数时，a的倒数是。若a、b互为倒数，则ab＝1。 知识点十二：有理数除法法则 要点诠释：（1）除以一个数等于乘以这个数的倒数。即。 （2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。

有理数加减混合运算的五种运算技巧

17-47 64-192824-40-24-192840-)24()19()28(40=+=++=++=-+++++-=2443.23.443.243.4)4()3.2()4(3.4=-+-=--+=-+-+++=46 10313255245353 1524325535)31()524()325(535=-=--+=-+-=-+++-+=有理数加减法的运算技巧 学生对于单独的两个有理数的加法或者减法比较容易掌握，计算时的准确率较高，但是当加减发混合在一起的时候，学生的思路就模糊不清了，所以有理数的加减混合运算是有理数运算的基础也是一大难点。小编根据有理数加减混合运算题目的特点，总结了有理数加减混合运算的五大运算技巧，由于个人经验所限，如有不到之处，还请大家不吝赐教。 大家都知道，有理数的加减混合运算的式子首先统一成有理数的加法运算，再利用加法的运算律进行简便运算。 一、符号相同的数可以先相加 例1：（－40）－（－28）－（－19）+（－24） 解：原式 （根据“减去一个数，等于加上这个数的相反数”将加减 法统一成加法） （省略加号和括号，改写成代数和的形式） （注意：运用加法运算律时，一定要连同前面的符号一起 交换位置） 【举一反三】 38－22－(－62)＋(－78) 【答案】解：原式=0 二、互为相反数的两个数，可以先相加得0 例2：(＋4.3)－(－4)＋(－2.3)－(＋4) 解：原式 （观察：4与－4互为相反数） 【举一反三】(－6.37)＋(－334)＋6.37＋2.75 【答案】解：原式=－1 三、同分母的分数可以先相加 例3：535－523－（－425）＋(－13)； 解：原式

有理数加减法运算定律

第9课时有理数加法运算律

）3+4 +2）+ +2）+31 +）+3 （﹣）（﹣）） ）（﹣）（﹣ ）

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例题详解： 【例1】用加法运算律转化式子（－9）+8.75+（－1）正确的是（）． A （－9）＋（－8.75）＋1 B ．（－9）＋（－1）＋（－8.75） C ．（－9）＋（－1）＋8.75 D ．（－8.75）＋(9＋1) 解析：观察式子可知先运用交换律把8.75与－1交换可使计算简便，注意交换时要连同符号一起交换． 答案：C ． 【例2】用简便方法计算： （1）18.65(7.25) 1.357.25+-++； （2）5 3( 2.25)()0.12584??-+-+-+ ??? ． 解析：（1）原式=()[]18.65 1.35(7.25)7.25++-+ =20+0 =20． （2）原式=()( 2.25)(0.625)0.750.125-+-+-+ =()()()2.250.750.6250.125-+-+-+???????? =()30.5-+- =-3.5． 【例3】李华用400元批发（购买）了8套儿童服装，全部卖出，如果每套以55元的价格为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下：+2，﹣3，+2，+1，﹣2，﹣3，0，﹣2．问：李华在这次买卖中是盈利还是亏损，盈利或亏损多少元钱？ 分析：把记录的所有的数相加，根据有理数的加法运算法则进行计算，如果是正数，则盈利，是负数，则亏损． 解答：解：（+2）+（﹣3）+（+2）+（+1）+（﹣2）+（﹣3）+0+（﹣2） =2﹣3+2+1﹣2﹣3+0﹣2 =﹣5， 故李华在这次买卖中亏损，亏损5元钱． 点评：本题考查了有理数的加法运算，以及正负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 练习答案： 练1．计算（-87）+（-12.5）+2.5时，为了简便运算，第一步应先利用的加法运算律是（） A ．交换律 B ．结合律 C ．交换律和结合律 D ．不确定 解：观察算式，可知先利用加法结合律交换把-12.5与2.5结合可简便运算．故选B ． 练2．运用加法运算律简化计算. （1）（-12）＋23 ＋（-56）；