备战中考数学二次函数(大题培优易错试卷)及详细答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣1
2
x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；
（3）点P（4，6）．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；
（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，
设P（t，﹣1
2
t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由
S△PAB=S△PAN+S△PBN=1
2
PN?AG+
1
2
PN?BM=
1
2
PN?OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数
的性质求解可得；
（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．
【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），
∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），
将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，
解得：a=﹣1
2
，
所以抛物线解析式为y=﹣1
2
（x﹣6）（x+2）=﹣
1
2
x2+2x+6；
（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，
设直线AB 解析式为y=kx+b ，
将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：
6
60b k b =??
+=?
， 解得：16k b =-??=?
，
则直线AB 解析式为y=﹣x+6，
设P （t ，﹣
12
t 2
+2t+6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，﹣t+6），
∴PN=PM ﹣MN=﹣
12t 2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣1
2
t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN =12PN?AG+1
2PN?BM =1
2
PN?（AG+BM ） =
1
2PN?OB =12×（﹣1
2t 2+3t ）×6 =﹣3
2t 2+9t
=﹣32（t ﹣3）2+272
，
∴当t=3时，△PAB 的面积有最大值； （3）如图2，
∵PH⊥OB于H，
∴∠DHB=∠AOB=90°，
∴DH∥AO，
∵OA=OB=6，
∴∠BDH=∠BAO=45°，
∵PE∥x轴、PD⊥x轴，
∴∠DPE=90°，
若△PDE为等腰直角三角形，
则∠EDP=45°，
∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合，
则当y=6时，﹣1
2
x2+2x+6=6，
解得：x=0（舍）或x=4，
即点P（4，6）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.
2．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)点M(m，0)为线段AB上一点(点M不与点A、B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；
(3)当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的△AEM的面积；
(4)在(3)的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G(点G在点F的上方)．若FG＝22DQ，求点F的坐标．
【答案】(1)A(﹣3，0)，B(1，0)；C(0，3) ；(2)矩形PMNQ的周长＝﹣2m2﹣8m+2；(3) m＝
﹣2；S＝1
2
；(4)F(﹣4，﹣5)或(1，0)．
【解析】
【分析】
（1）利用函数图象与坐标轴的交点的求法，求出点A，B，C的坐标；
（2）先确定出抛物线对称轴，用m表示出PM，MN即可；
（3）由（2）得到的结论判断出矩形周长最大时，确定出m，进而求出直线AC解析式，即可；
（4）在（3）的基础上，判断出N应与原点重合，Q点与C点重合，求出DQ＝DC＝
，再建立方程（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）＝4即可．
【详解】
(1)由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，C(0，3)．
令y＝0，则0＝﹣x2﹣2x+3，
解得，x＝﹣3或x＝l，
∴A(﹣3，0)，B(1，0)．
(2)由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，对称轴为x＝﹣1．
∵M(m，0)，
∴PM＝﹣m2﹣2m+3，MN＝(﹣m﹣1)×2＝﹣2m﹣2，
∴矩形PMNQ的周长＝2(PM+MN)＝(﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2)×2＝﹣2m2﹣8m+2．
(3)∵﹣2m2﹣8m+2＝﹣2(m+2)2+10，
∴矩形的周长最大时，m＝﹣2．
∵A(﹣3，0)，C(0，3)，
设直线AC的解析式y＝kx+b，
∴
30
3
k b
b
-+=?
?
=
?
解得k＝l，b＝3，∴解析式y＝x+3，令x＝﹣2，则y＝1，∴E(﹣2，1)，
∴EM＝1，AM＝1，
∴S＝1
2AM×EM＝
1
2
．
(4)∵M(﹣2，0)，抛物线的对称轴为x＝﹣l，∴N应与原点重合，Q点与C点重合，
∴DQ＝DC，
把x＝﹣1代入y＝﹣x2﹣2x+3，解得y＝4，∴D(﹣1，4)，
∴DQ＝DC
∵FG＝
，
∴FG＝4．
设F(n，﹣n2﹣2n+3)，则G(n，n+3)，
∵点G在点F的上方且FG＝4，
∴(n+3)﹣(﹣n2﹣2n+3)＝4．
解得n＝﹣4或n＝1，
∴F(﹣4，﹣5)或(1，0)．
【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查了函数图象与坐标轴的交点的求法，待定系数法求函数解析式，函数极值的确定，解本题的关键是用m表示出矩形PMNQ的周长．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1, 0）、C（3, 0）、D（3,
4）．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，以每秒1
2
个单位的
速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒．过点P作PE⊥x轴交抛物线于点M，交AC 于点N．
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）当t为何值时，△ACM的面积最大？最大值为多少？
（3）点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C、Q、N、H为顶点的四边形为菱形？
【答案】（1）A（1，4）；y＝－x2＋2x＋3；（2）当t＝２时，△AＭC面积的最大值为
1；（3）2085
20 13
．
【解析】
（1）由矩形的性质得到点A的坐标，由抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a（x －1）2＋4，把点C的坐标代入即可求得a的值；
（2）由点P的坐标以及抛物线解析式得到点M的坐标，由A、C的坐标得到直线AC的解析式，进而得到点N的坐标，即可用关于t的式子表示MN，然后根据△ACM的面积是△AMN和△CMN的面积和列出用t表示的△ACM的面积，利用二次函数的性质即可得到当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1；
（3）①当点Ｈ在Ｎ点上方时，由PＮ＝CQ，PN∥CQ，得到四边形PNCQ为平行四边形，
所以当PQ ＝CQ 时，四边形FECQ 为菱形，据此得到，解得t 值；
②当点Ｈ在Ｎ点下方时，NH=CQ=，NQ ＝CQ 时，四边形NHCQ 为菱形，NQ 2＝CQ 2，得：
，解得t 值．
解：（1）由矩形的性质可得点A （1，4）， ∵抛物线的顶点为A ，
设抛物线的解析式为y ＝a （x －1）2＋4， 代入点C （3, 0），可得a ＝－1． ∴y ＝－（x －1）2＋4＝－x 2＋2x ＋3． （2）∵P （1
12
t +，４）， 将112x t =+代入抛物线的解析式，y ＝－（x －1）2＋4＝21
44t -， ∴M （112t +
，21
44
t -）， 设直线AC 的解析式为
，
将A （１,４），C （３,０）代入，得：
，
将1
12x t =+代入得，
∴N （112
t +，），
∴MN ，
∴
，
∴当t ＝２时，△A ＭC 面积的最大值为1． （3）①如图１，当点Ｈ在Ｎ点上方时， ∵Ｎ（112
t +
，），P （1
12
t +
，４）， ∴P Ｎ＝４—（）＝＝CQ ，
又∵PN ∥CQ ，
∴四边形PNCQ 为平行四边形， ∴当PQ ＝CQ 时，四边形FECQ 为菱形， PQ 2＝PD 2+DQ 2 ＝，
∴
，
整理，得240800t t -+=．解得12085t =-，22085t =+
②如图２当点Ｈ在Ｎ点下方时，
NH=CQ=，NQ ＝CQ 时，四边形NHCQ 为菱形， NQ 2＝CQ 2，得：
．
整理，得213728000t t -+=．()()1320400t t --=．所以12013
t =
，（舍去）．
“点睛”此题主要考查二次函数的综合问题，会用顶点式求抛物线，会用两点法求直线解析式，会设点并表示三角形的面积，熟悉矩形和菱形的性质是解题的关键.
4．如图，在平面直角坐标系中有抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2和y ＝a （x ﹣h ）2，抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2经过原点，与x 轴正半轴交于点A ，与其对称轴交于点B ；点P 是抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2上一动点，且点P 在x 轴下方，过点P 作x 轴的垂线交抛物线y ＝a （x ﹣h ）2于点D ，过点D 作PD 的垂线交抛物线y ＝a （x ﹣h ）2于点D ′（不与点D 重合），连接PD ′，设点P 的横坐标为m ： （1）①直接写出a 的值；
②直接写出抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2的函数表达式的一般式；
（2）当抛物线y ＝a （x ﹣h ）2经过原点时，设△PDD ′与△OAB 重叠部分图形周长为L ： ①求
PD
DD
'
的值； ②直接写出L 与m 之间的函数关系式；
（3）当h 为何值时，存在点P ，使以点O 、A 、D 、D ′为顶点的四边形是菱形？直接写出h
的值．
【答案】（1）①12；②y ＝2
12
x ﹣2x ； （2）①1；
②L ＝2
(22)(02)
21(221)4(24)m m m π?+
； （3）h ＝±3 【解析】 【分析】
（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中计算即可；②y ＝2
12
x ﹣2x ； （2）将（0，0）代入y ＝a （x ﹣h ）2中，可求得a ＝
12，y ＝1
2
x 2，待定系数法求OB 、AB 的解析式，由点P 的横坐标为m ，即可表示出相应线段求解；
（3）以点O 、A 、D 、D ′为顶点的四边形是菱形，DD ′＝OA ，可知点D 的纵坐标为2，再由AD ＝OA ＝4即可求出h 的值． 【详解】
解：（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中， 得：0＝a （0﹣2）2﹣2， 解得：a ＝12
； ②y ＝
2
12
x ﹣2x ；． （2）∵抛物线y ＝a （x ﹣h ）2经过原点，a ＝12
； ∴y ＝
12
x 2， ∴A （4，0），B （2，﹣2），
易得：直线OB 解析式为：y ＝﹣x ，直线AB 解析式为：y ＝x ﹣4 如图1，
222111,2,,,(,0),(,),,222P m m m D m m E m F m m D m m '??????
--- ? ? ??????
?，
①221122,222PD m m m m DD m '??
=
--== ???
PD 2m 1DD 2m
'∴
== ②如图1，当0＜m ≤2时，L ＝OE +EF +OF ＝2(22)m m m m ++=+，
当2＜m ＜4时，如图2，设PD ′交x 轴于G ，交AB 于H ，PD 交x 轴于E ，交AB 于F ，
则222111,2,,,(,0),(,4),,222P m m m D m m E m F m m D m m '??????--- ? ?
??????
?， 2211(4)23422PF m m m m m ??
=---=-+- ???，
22
22322m 22,PG m 22m 2422
FH PH PF ==
=-+-=-+ ∵DD ′∥EG
EG PE DD PD '∴
=，即：EG ?PD ＝PE ?DD ′，得：EG ?（2m ）＝（2m ﹣12
m 2
）?2m ∴EG ＝2m ﹣
12
m 2
，EF ＝4﹣m ∴L ＝EG +EF +FH +GH ＝EG +EF +PG
22
12242222m m m m ??=-+-+-+ ? ???
2
21m (221)m 4
2
+=-
+++ 2
(22)m(0m 2)21m (221)m 4(2m 4)2L ?+
∴=?+-+++<
；
（3）如图3，
∵OADD ′为菱形 ∴AD ＝AO ＝DD ′＝4， ∴PD ＝2，
23PA = 23h ∴=±
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，抛物线的平移等，解题时要注意考虑分段函数表示方法．
5．如图所示，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线过点A(4,0)、B(1,3)
(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
(2)记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、n 的值.
【答案】(1)y=-22
4(2)4y x x x =-+=--+，对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）
(2)m 、n 的值分别为 5，-5 【解析】
（1） 将点A(4,0)、B(1,3) 的坐标分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得： 4b+c-16=0，b+c-1="3" ， 解得：b="4" ， c=0．
所以抛物线的表达式为：2
4y x x =-+． y=-224(2)4y x x x =-+=--+，
所以 抛物线的对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）． （2） 由题可知，E 、F 点坐标分别为（4-m ，n ），（m-4，n ）． 三角形POF 的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|， 三角形AOP 的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|，
四边形OAPF 的面积= 三角形POF 的面积+三角形AOP 的面积=20， 所以 4|n|=20， n=-5．（因为点P(m,n)在第四象限，所以n<0） 又n=-2m +4m ，
所以2m -4m-5=0，m=5．（因为点P(m,n)在第四象限，所以m>0) 故所求m 、n 的值分别为 5，-5．
6．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数
（
）的图象
与x 轴交于A （﹣2，0）、B （8，0）两点，与y 轴交于点B ，其对称轴与x 轴交于点D ．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如图1，连结BC ，在线段BC 上是否存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点P （m ，n ）是该二次函数图象上的一个动点（其中m ＞0，n ＜0），连结PB ，PD ，BD ，求△BDP 面积的最大值及此时点P 的坐标． 【答案】（1）；（2）E 的坐标为（，
）、（0，﹣4）、
（
，
）；（3）
，（
，
）．
【解析】
试题分析：（1）采用待定系数法求得二次函数的解析式； （2）先求得直线BC 的解析式为，则可设E （m ，
），然后分三种情况讨
论即可求得；
（3）利用△PBD的面积即可求得．
试题解析：（1）∵二次函数（）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C （8，0）两点，
∴，解得：，∴该二次函数的解析式为；
（2）由二次函数可知对称轴x=3，∴D（3，0），∵C（8，0），∴CD=5，由二次函数可知B（0，﹣4），设直线BC的解析式为，
∴，解得：，∴直线BC的解析式为，设E（m，），
当DC=CE时，，即，解得，（舍去），∴E（，）；
当DC=DE时，，即，解得，（舍去），∴E（0，﹣4）；
当EC=DE时，，解得=，∴E（，
）．
综上，存在点E，使得△CDE为等腰三角形，所有符合条件的点E的坐标为（，
）、（0，﹣4）、（，）；
（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点F，∵P点的横坐标为m，∴P点的纵坐标为：，
∵△PBD的面积
==
=，
∴当m=时，△PBD的最大面积为，∴点P的坐标为（，）．
考点：二次函数综合题．
7．如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上。
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P ，使△POB 与△POC 全等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标。
【答案】解：（1）2
y x 2x 3=--；（2）存在，P （
1-132，13-1
2
）；（3）Q 点坐标为（0，-72）或（0，3
2
）或（0，－1）或（0，－3）. 【解析】 【分析】
（1）已知点A 坐标可确定直线AB 的解析式，进一步能求出点B 的坐标．点A 是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B 的坐标，依据待定系数法可解. （2）首先由抛物线的解析式求出点C 的坐标，在△POB 和△POC 中，已知的条件是公共边OP ，若OB 与OC 不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB 等于OC ，那么还要满足的条件为：∠POC=∠POB ，各自去掉一个直角后容易发现，点P 正好在第二象限的角平分线上，联立直线y=-x 与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P 在第二象限的限定条件.
（3）分别以A 、B 、Q 为直角顶点，分类进行讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可. 【详解】
解：（1）把A （1，﹣4）代入y ＝kx ﹣6，得k ＝2， ∴y ＝2x ﹣6， 令y ＝0，解得：x ＝3， ∴B 的坐标是（3，0）． ∵A 为顶点，
∴设抛物线的解析为y ＝a （x ﹣1）2﹣4，
把B（3，0）代入得：4a﹣4＝0，
解得a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．
（2）存在．
∵OB＝OC＝3，OP＝OP，
∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC，
此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y＝﹣x．
设P（m，﹣m），则﹣m＝m2﹣2m﹣3，解得m＝1-13
2
（m＝
1+13
2
＞0，舍），
∴P（1-13，13-1）．
（3）①如图，当∠Q1AB＝90°时，△DAQ1∽△DOB，
∴1
DQ
AD
OD DB
=，即5
6
=1
35
，∴DQ1＝
5
2
，
∴OQ1＝7
2
，即Q1（0，-
7
2
）；
②如图，当∠Q2BA＝90°时，△BOQ2∽△DOB，
∴2
OQ
OB
OD OB
=，即2
3
63
OQ
=，
∴OQ2＝3
2
，即Q2（0，
3
2
）；
③如图，当∠AQ3B＝90°时，作AE⊥y轴于E，
则△BOQ3∽△Q3EA，
∴3
3
OQ
OB
Q E AE
=，即3
3
3
41
OQ
OQ
=
-
∴OQ32﹣4OQ3+3＝0，∴OQ3＝1或3，
即Q3（0，﹣1），Q4（0，﹣3）．
综上，Q点坐标为（0，-
7
2
）或（0，
3
2
）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．
8．如图，关于x 的二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A （1，0）和点B 与y 轴交于点C （0，3），抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标； （3）有一个点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点B 时，点M 、N 同时停止运动，问点M 、N 运动到何处时，△MNB 面积最大，试求出最大面积．
【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）点P 的坐标为：（0，2（0，3﹣2）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M 出发1秒到达D 点时，△MNB 面积最大，最大面积是1．此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处． 【解析】 【分析】
（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c 得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；
（2）先求出点B 的坐标，再根据勾股定理求得BC 的长，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB ；②BP=BC ；③PB=PC ；分别根据这三种情况求出点P 的坐标； （3）设AM=t 则DN=2t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，S △MNB=
1
2
×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t ，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB 最大面积；此时点M 在D 点，点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处． 【详解】
解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ，
10
3b c c ++=??
=?
解得：b=﹣4，c=3，
∴二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3； （2）令y=0，则x 2﹣4x+3=0， 解得：x=1或x=3， ∴B （3，0），
∴BC=32，
点P 在y 轴上，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1， ①当CP=CB 时，PC=32，∴OP=OC+PC=3+32或OP=PC ﹣OC=32﹣3 ∴P 1（0，3+32），P 2（0，3﹣32）； ②当PB=PC 时，OP=OB=3， ∴P 3（0，-3）； ③当BP=BC 时， ∵OC=OB=3 ∴此时P 与O 重合， ∴P 4（0，0）；
综上所述，点P 的坐标为：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（﹣3，0）或（0，0）；
（3）如图2，设AM=t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，则DN=2t ， ∴S △MNB=
1
2
×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t=﹣（t ﹣1）2+1， 当点M 出发1秒到达D 点时，△MNB 面积最大，最大面积是1．此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．
9．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++过点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点
C ，连接AC ，BC ，将OBC 沿BC 所在的直线翻折，得到DBC △，连接O
D ． （1）用含a 的代数式表示点C 的坐标．
（2）如图1，若点D 落在抛物线的对称轴上，且在x 轴上方，求抛物线的解析式． （3）设OBD 的面积为S 1，OAC 的面积为S 2，若
122
3
S S =，求a 的值．
【答案】（1）(0,3)C a -； (2) 抛物线的表达式为：252535
555
y x x =-++
； (3) 22a =-22a =【解析】 【分析】
（1）根据待定系数法，得到抛物线的表达式为：(
)
2
(1)(3)23y a x x a x x =+-=--，即可求解；
（2）根据相似三角形的判定证明CPD DQB ∽，再根据相似三角形的性质得到
CP PD CD
DQ BQ BD
==，即可求解； （3）连接OD 交BC 于点H ，过点H 、D 分别作x 轴的垂线交于点N 、M ，由三角形的面积公式得到
122
3S S =，29m DM =，11299
m HN DM OC ===，而2
2
899m HN ON BN ??
=?== ???
，即可求解．
【详解】
（1）抛物线的表达式为：(
)
2
(1)(3)23y a x x a x x =+-=--，即3c a =-，则点
(0,3)C a -；
（2）过点B 作y 轴的平行线BQ ，过点D 作x 轴的平行线交y 轴于点P 、交BQ 于点Q ， ∵90CDP PDC ?∠+∠=，90PDC QDB ?∠+∠=， ∴QDB DCP ∠=∠，
设：(1,)D n ，点(0,3)C a -，
90CPD BQD ?∠=∠=，
∴
CPD DQB ∽，
∴CP PD CD
DQ BQ BD
==，
其中：3CP n a =+，312DQ =-=，1PD =，BQ n =，3CD a =-，3BD =， 将以上数值代入比例式并解得：5a =±， ∵0a <，故5a =-
， 故抛物线的表达式为：252535
555
y x x =-
++
； （3）如图2，当点C 在x 轴上方时，连接OD 交BC 于点H ，则DO BC ⊥， 过点H 、D 分别作x 轴的垂线交于点N 、M ，
设：3OC m a ==-，
113
22
OBD S S OB DM DM ?==??=， 21
12
OAC
S S m ?==??，而1223S S =，
则29m DM =
，11
299m HN DM OC ==
=， ∴1193BN BO ==，则18
333
ON =-=，
则DO BC ⊥，HN OB ⊥，
则BHN HON ∠=∠，则tan tan BHN HON ∠=∠，
则2
2899m HN ON BN ??
=?== ???
，
解得：62m =±（舍去负值），
|3|62CO a =-=，
解得：22a =-（不合题意值已舍去），
故：22a =-．当点C 在x 轴下方时，同理可得：22a =；故：22a =-或
22a =
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用、一次函数、三角形相似、图形的面积计算，其中（3）用
几何方法得出：2
2
899m HN ON BN ??
=?== ???
，是本题解题的关键．
10．复习课中，教师给出关于x 的函数
（k 是实数）.
教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上.
学生思考后，黑板上出现了一些结论.教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条：
①存在函数，其图像经过（1,0）点； ②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点； ③当
时，不是y 随x 的增大而增大就是y 随x 的增大而减小；
④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数； 教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由，最后简单写出解决问题时所用的数学方法.
【答案】①真，②假，③假，④真，理由和所用的数学方法见解析. 【解析】
试题分析：根据方程思想，特殊与一般思想，反证思想，分类思想对各结论进行判断. 试题解析：①真，②假，③假，④真.理由如下： ①将（1,0）代入，得
，解得
.
∴存在函数，其图像经过（1,0）点.
∴结论①为真. ②举反例如，当时，函数
的图象与坐标轴只有两个不同的交点.∴结论②
为假. ③∵当
时，二次函数
（k 是实数）的对称轴为
，
∴可举反例如，当
时，二次函数为
，
当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.
∴结论③为假.
④∵当时，二次函数的最值为
，
∴当时，有最小值，最小值为负；当时，有最大值，最大值为正.
∴结论④为真.
解决问题时所用的数学方法有方程思想，特殊与一般思想，反证思想，分类思想
考点：1.曲线上点的坐标与方程的关系；2.二次函数的性质；3.方程思想、特殊元素法、反证思想和分类思想的应用.