卡特兰数与斯特林数
卡特兰数
递推关系的解为：
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)
递推关系的另类解为：
h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=0,1,2,...)
斯特林数
S(p,k)的一个组合学解释是：将p个物体划分成k个非空的不可辨别的（可以理解为盒子没有编号）集合的方法数。
S(p,k)的递推公式是：
S(p,k) = k*S(p-1,k) + S(p-1,k-1) ,1<= k <=p-1
边界条件：
S(p,p) = 1 ,p>=0
S(p,0) = 0 ,p>=1
递推关系的说明：考虑第p个物品，p可以单独构成一个非空集合，此时前p-1个物品构成k-1个非空的不可辨别的集合，方法数为S(p-1,k-1)；也可以前p-1种物品构成k个非空的不可辨别的集合，第p个物品放入任意一个中，这样有k*S(p-1,k)种方法。
斯特林公式及其精确化形式
韩山师范学院 学生毕业论文 （2012届） 诚信声明 我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信。 毕业论文作者签名：签名日期：年月日 摘要：本文在蔡聪明教授的基础上猜想出斯特林公式新的探求过程，并改进了一些证明方法。利用计算机的实验数据图，大胆猜想得出斯特林公式的改良式，最后运用传统的数学方法证明它比斯特林公式更加精确，并求出它的误差范围和相对误差范围，解决了参考文献[2]的作者蔡永裕没有解决的问题。 关键词：斯特林公式；改良式；误差；相对误差 Abstract：ThispaperconjecturesanewsearchofStirlingformulabasedontheresearchofProfesso
rCaiCongming,anditalsoimprovestheprovingmethods.Byusingtheexperimentalda tageneratedbycomputer,weguessoutthereform-typeofStirlingformulaaudacity,wh ichhasprovedtobemoreaccurateeconomicalythanthatofusingthetraditionalmathem aticalmethods.Bydeterminingitserrorlimitandrelativeerrorrange,itsolvestheproble mwhichtheauthorofrefs[2]CaiYongyuleft. Keywords:Stirlingformula;improved;error;relativeerror
(完整版)英语中各种数字的表达法和读法
英语中各种数字的表达法和读法 (1)基数词的读法 我们先从基数词人手。首先掌握三位以内数字的读法，因为它是多位数字的基础，一旦熟练掌握，再借助一个逗号，便可轻松应付四位以上任何庞大的数字。我们可以通过例子来说明这一点。 ①3—5位数的读法 202读作：two hundred(and)two 234读作：two hundred(and)thirty-four 1， 234读作：one thousand two hundred(and)thirtyfour 但是在读法上须注意以下几点： a．在英式英语中，一个数的最后两位(十位和个位)得用“and\'’，但美式英语中则不用。如：3，077读作：U.S：three thousand seventy—seven． b．不定冠词“a”只在数的开头才和hundred，thousand等连用。试比较： 146读作：ahundred(and)forty-six 2，146读作：twothousand，one hundred(and)fortysix c.1，000这个整数我们说athousand，在and前我们也说a thousand，但是在一个有百位数的数目前就得说one thousand试比较： 1,031读作：a thousand，(and)thirty-one, 1,150读作：one thousand，one hundred(and)fifty d.hundred，thousand和million这几个词的单数可以和：“a”者“one”连用，但是不能单独使用。在非正式文体中“a”比较常见；当我们说话比较准确的时候就用“one”试比较： I Want to live for a hundred years． The journey took exactly one hundred days． e.我们常常说eleven hundred(1，100)，twelve hundred(1,200)等，而不说one thous and one hundred．从1，100到1,900之间的整数，这种说法最常见。 5位以上数字的读法 11，234读作：eleven thousand two hundred(and)，thirty—four 155,721读作：one hundred(and)fifly-fivethous and seven hundred(and)twenty-one 6，155，702读作：six million one hundred(and)fifly-five thous and seven
《组合数学》课程简介.
《组合数学》课程简介 06191350 组合数学 3 Combinatorics 3－0 预修课程：数学分析（微积分）、高等代数（线性代数）、近世代数 面向对象：三、四年级本科生 内容简介： 《组合数学》是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。本课程主要介绍组合数学中涉及组合计数、组合设计和编码理论的基本原理、基本问题和基本方法，主要包括：排列与组合、母函数与递推关系、容斥原理、反演公式、鸽巢原理、Pólya计数定理、区组设计与编码理论等内容。通过该课程的学习，使学生了解和掌握《组合数学》的基本内容和基本方法，培养学生的应用意识，为学生在今后的教学或科研活动中可能的应用作准备。推荐教材或主要参考书： 《组合数学》（第三版）卢开澄，卢华明编著，清华大学出版社，2003 《组合数学》教学大纲 06191350 组合数学 3 Combinatorics 3－0 预修课程：数学分析（微积分）、高等代数（线性代数）、近世代数 面向对象：三、四年级本科生 一、教学目的和基本要求： 《组合数学》是一门应用广泛的学科。它在计算机科学、信息论、管理科学以及其它现代科技领域都有着重要的应用。本课程主要介绍组合数学中涉及组合计数、组合设计和编码理论的基本原理、基本问题和基本方法。通过该课程的学习，使学生了解和掌握《组合数学》的基本内容和基本方法，培养学生的应用意识，为学生在今后的教学或科研活动中可能的应用作准备。 二、主要内容及学时分配： （1）引言2学时 （2）排列与组合8学时 （3）母函数与递推关系12学时 （4）容斥原理3学时 （5）反演公式3学时 （6）鸽巢原理3学时 （7）Pólya计数定理5学时 （8）区组设计6学时 （9）编码理论6学时 三、教学方式：课堂讲授 四、相关教学环节安排： 五、考试方式及要求：笔试 六、推荐教材或主要参考书： 《组合数学》（第三版）卢开澄，卢华明编著，清华大学出版社，2003 七、有关说明：
《计算方法》
插值法 引言 许多实际问题都有用函数来表示某种内在规律的数量关系，其中相当一部分函数是通过实验或观测得到的．虽然某个区间上是存在的，有的 还是连续的，但却只能给出上一系列点的函数值， 这只是一张函数表．有的函数虽有解析表达式，但由于计算复杂，使用不方便，通常也造一个函数表，如大家熟悉的三角函数表、对数表、平方根和立方根表等等．为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在表上的函数值．因此，我们希 望根据给定的函数表做一个既能反映函数的特性，又便于计算的简单函数 ，用近似．通常选一类较简单的函数（如代数多项式或分段代数 多项式）作为，并使对成立．这样确定的就是我们希望得到的插值函数．例如，在现代机械工业中用计算机等程序控制加工机 械零件，根据设计可给出零件个形曲线的某些型值点（,）（）， 加工时为近年第步走刀方向步数，就要算出零件外形曲线其他点的函数值，才能加工出外表光滑的零件，这就是求插值函数的问题。下面我们给出有关插值法的定义。 设函数在区间上有定义，且已知在点上的值，若存在一简单函数，使 () (1.1) 成立，就称为的插值函数，点称为插值节点，包含插值节 点的区间称为插值区间，求插值函数的方法称为插值法。若是次数不超过的代数多项式，即
， (1.2) 其中为实数，就称为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值，若 为分段的多项多，就称为分段插值。若为三角多项式，就称为三角插值。本章只讨论多项式插值与分段插值。 从几何上看，插值法就是求曲线,使其通过给定的＋１个点， ，并用它近似已知曲线,见图2-1。 由已知的离散因变量的值来估计未知的中间插值的方法。 插值法又称“内插法”。 利用函数f （x）在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f （x）的近似值，这里的方法称为插值法。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。
常用数字的表达方法
常用数字的表达方法 1.整数 123 one hundred and twenty-three 1,500 fifteen hundred; one thousand five hundred 3,405 three thousand four hundred and five 45,000 forty-five thousand 56,789 fifty-six thousand seven hundred and eighty—nine 600,000 six hundred thousand 6,124,012 six million one hundred twenty-four thousand and twelve 700,000,000 seven hundred million 1,070,000,000 one billion and seventy million 2.小数 6.268 six point two six eight 3.04 three point nought four; three point 0 four 45.008 forty-five point nought nought eight 0.23 point two three 3.分数 1/2 one-half, a half 1/3 one-third 3/4 three-fourths 5/7 five-sevens 1/10 one-tenth; a tenth
2% two per cent 4 {2/3} four and two third 4.年月日 1801 年 eighteen 0 one 1989 年 nineteen eighty-nine 2003 年 two thousand and three 7月3日 July (the) third; the third of July 5.电话号码 137 one three seven 150 one five oh 4557 four double five seven 6846923 six eight four six nine two three 6.金额 $32.48 thirty-two dollars (and) forty-eight cents ￡4,23.15 four thousand two hundred and three pounds fifteen pence 7.算式 3+5=8 Three plus five equals eight./Three mad five is (equal to) eight. 8-5=3 Eight minus five equals three./Five from eight leaves three. 4×6=24 Four times six is twenty-four. 24÷6=4 Twenty-four divided by six equals four.
清华大学学习视频教程下载,有需要的千万别错过
da清华大学（英文名：Tsinghua University），地处北京西北郊繁盛的园林区，是在几处清代皇家园林的遗址上发展而成的。清华大学的前身是清华学堂，始建于1911年，曾是由美国退还的部分庚子赔款建立的留美预备学校。1912年，清华学堂更名为清华学校。1925年设立大学部，开始招收四年制大学生。1928年更名为国立清华大学，并于1929年秋开办研究院。清华大学的初期发展，虽然渗透着西方文化的影响，但学校十分重视研究中华民族的优秀文化瑰宝。 清华大学《运筹学》共40讲学习梦想家园 https://www.wendangku.net/doc/0e17412172.html,/thread-232-1-1.html 清华大学《C++语言程序设计》周登文 48讲学习梦想家园 https://www.wendangku.net/doc/0e17412172.html,/thread-371-1-1.html 清华大学《数据结构》（c语言）严蔚敏48讲学习梦想家园 https://www.wendangku.net/doc/0e17412172.html,/thread-1547-1-1.html 清华大学《计算机文化基础》视频教学共28讲学习梦想家园 https://www.wendangku.net/doc/0e17412172.html,/thread-233-1-1.html 清华大学《计算机原理》王诚 64讲学习梦想家园 https://www.wendangku.net/doc/0e17412172.html,/thread-328-1-1.html 清华大学《模式识别》林学訚 32讲学习梦想家园 https://www.wendangku.net/doc/0e17412172.html,/thread-375-1-1.html 清华大学《计算机网络体系结构》汤志忠 48讲学习梦想家园 https://www.wendangku.net/doc/0e17412172.html,/thread-374-1-1.html 清华大学《汇编语言程序设计》温冬婵 64讲学习梦想家园 https://www.wendangku.net/doc/0e17412172.html,/thread-356-1-1.html 清华大学《JA V A编程语言》许斌32讲学习梦想家园 https://www.wendangku.net/doc/0e17412172.html,/thread-354-1-1.html 清华大学《人工智能原理》朱晓燕48讲学习梦想家园 https://www.wendangku.net/doc/0e17412172.html,/thread-329-1-1.html 清华大学《编译原理》张素琴吕映芝64讲学习梦想家园 https://www.wendangku.net/doc/0e17412172.html,/thread-330-1-1.html 清华大学《软件工程》刘强48讲学习梦想家园 https://www.wendangku.net/doc/0e17412172.html,/thread-327-1-1.html 思想道德修养清华大学 https://www.wendangku.net/doc/0e17412172.html,/thread-327-1-1.html 清华大学《C++语言程序设计》周登文48讲学习梦想家园 https://www.wendangku.net/doc/0e17412172.html,/thread-2-1-2.html 清华大学《模拟电子技术》华成英56讲学习梦想家园
熟记---数字表示法
熟记－－－数字表示法 数词 数词主要分为基数词和序数词两类。 一、数词的分类 1. 基数词 表示数目的词称为基数词。其形式如下： A．从1——10 one，two，three，four，five，six，seven，eight，nine，ten．B．从11——19 eleven，twelve，thirteen，fourteen，fifteen，sixteen，seventeen，eighteen，nineteen． 这里除eleven，twelve，thirteen，fifteen，eighteen为特殊形式外，fourteen，sixteen，seventeen，nineteen 都是由其个位数形式后添加后缀-teen构成。 C．从21——99 整数几十中除twenty，thirty, forty，fifty，eighty为特殊形式外，sixty，seventy，ninety都是其个位数形式后添加后缀-ty构成。 表示几十几时，在几十和个位基数词形式之间添加连字符“-” 21 twenty-one 76 seventy-six D．百位数 个数基数词形式加“hundred”，表示几百，在几十几与百位间加上and． 101 a hundred and one 320 three hundred and twenty 648 six hundred and forty-eight E．千位数以上 从数字的右端向左端数起，每三位数加一个逗号“，”。从右开始，第一个“，”前的数字后添加thousand，第二个“，” 前面的数字后添加million，第三个“，”前的数字后添加billion。然后一节一节分别表示，两个逗号之间最大的数为百位数形式。 2,648 two thousand six hundred and forty-eight 16,250,064 sixteen million two hundred and fifty thousand sixty-four 5,237,166,234 five billion，two hundred and thirty-seven million，one hundred and sixty-six thousand，two hundred and thirty-four F．基数词在表示确切的数字时，不能使用百、千、百万、十亿的复数形式；但是，当基数词表示不确切数字，如成百、成千上万 ，三三两两时，基数词则以复数形式出现。
斯特林公式及其精确化形式
斯特林公式及其精确化形式 (总16页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除
韩山师范学院 学生毕业论文 （2012届） 诚信声明 我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信。 毕业论文作者签名：签名日期：年月日 摘要：本文在蔡聪明教授的基础上猜想出斯特林公式新的探求过程，并改进了一些证明方法。利用计算机的实验数据图，大胆猜想得出斯特林公式的改良式，最后运用传统的数学方法证明它比斯特林公式更加精确，并求出它的误差范围和相对误差范围，解决了参考文献[2]的作者蔡永裕没有解决的问题。 关键词：斯特林公式；改良式；误差；相对误差 Abstract：This paper conjectures a new search of Stirling formula based on the research of Professor Cai Congming, and it also improves the proving
methods. By using the experimental data generated by computer, we guess out the reform-type of Stirling formula audacity, which has proved to be more accurate economicaly than that of using the traditional mathematical methods. By determining its error limit and relative error range ,it solves the problem which the author of refs [2] Cai Yongyu left. Key words:Stirling formula;improved;error;relative error
数字单位表达法
数字单位表达法 1、234，567，890 （左边起）第一逗号B=billion,第二逗号M=million,第三逗号T=thousand BMT（别摸它） 练一练 112，234，567_______________________________________________ 674，532____________________________________________________ 1,024________________________________________________________ 数字写法 一到十二样各异，一个一个单独记。 后加-teen变十几，thirteen，fifteen看仔细。 十八需要看准确，词中只有一个t。 二十到九十后加-ty，twenty不同重点记。 forty挖去字母u，thirty，fifty，eighty更出奇。 十位数后加个位数，表示数字几十几。 几十几时需牢记，连字符号莫丢弃。 写到几百几十几，and把百与十联系。 百数即使超过一，hundred后也不加-s。 练一练： 1_____________ 8_____________ 15_____________ 30_____________ 2_____________ 9_____________ 16_____________ 40_____________ 3_____________ 10_____________ 17_____________ 50_____________ 4_____________ 11_____________ 18_____________ 60_____________ 5_____________ 12_____________ 19_____________ 70_____________ 6_____________ 13_____________ 20_____________ 80_____________ 7_____________ 14_____________ 21_____________ 90_____________
组合数学课程教学大纲
《组合数学》课程教学大纲 课程编号：（研究生院统一编写） 课程名称：组合数学 英文名称：Combinatorial Mathematics 课程类别：学位（基础理论课）课 授课对象：工程硕士 学分：2 学时：40 开课学期：1 开课周次：1-20周 开课系及教研室：（保定）计算机系计算机教研室 任课教师及职称：（保定）孟建良副教授 先修课程：高等数学、离散数学 适用专业：计算机应用技术 主要内容：随着计算机性能的持续提高及其应用的深入普及，组合数学自20世纪60年代以来得到了急速的发展。组合数学的思想和技巧不仅影响着数学的许多分支，而且广泛应用于计算机科学、社会科学、信息论、生物科学以及其他传统自然科学领域。每当我们求解实际问题，编制计算机程序的时候，它往往不仅提供具体的算法而且还知道对算法运行效率和存储需求的分析。正因为如此，组合数学所包含的内容越来越广泛。本课程主要包括以下基本内容： 1.排列与组合 加法法则、乘法法则及排列与组合，圆周排列，排列的生成算法，序数法、字典序法、换位法，组合的生成，允许重复的组合，司特林公式，瓦利斯公式。 2.递推关系与母函数
母函数的性质，若干基本的母函数，指数型母函数，费卜拉契数列，解线性常系数递推关系特征根法，任意阶齐次递推关系，司特林数，卡特朗数。 3.容斥原理与鸽巢原理 容斥原理的两个基本公式，有限制的排列，棋盘多项式，有禁区的排列问题，广义的容斥原理，广义容斥原理的若干应用，错排问题的推广，容斥原理在数论上的应用，一般的鸽巢原理，鸽巢原理的推广，拉蒙赛数。 4.Burnside引理与Po/lya定理 群的概念，群的基本性质，置换群，循环、奇循环与偶循环，Burnside引理，Po/lya定理，母函数形式的波利亚定理。 使用教材：《组合数学》,卢开澄,卢华明,清华大学出版社,2002年 参考书目：《组合数学》,Richard A.Brualdi 著,冯舜玺等译,机械工业出版社，2005年。 组合数学导论》,（美）C.L.Liu著,魏万迪译,四川大学出版社,1987年。 教研室意见： 系（院、部）意见： 研究生院审核意见：
正态分布推导72927
正态分布的推导 斯特林(Stirling)公式的推导 斯特林（Stirling）公式： 这个公式的推导过程大体来说是先设一个套，再兜个圈把结果套进来，同时把公式算出来。Stirling太强了。 1，Wallis公式 证明过程很简单，分部积分就可以了。 由x的取值可得如下结论： 即 化简得 当k无限大时，取极限可知中间式子为1。所以
第一部分到此结束，k!被引入一个等式之中。 2，Stirling公式的求解 继续兜圈。 关于lnX的图像的面积，可以有三种求法，分别是积分，内接梯形分隔，外切梯形分隔。分别是： 显然， 代入第一部分最后公式得
（注：上式中第一个beta为平方） 所以得公式： 正态分布推导 在一本俄国的概率教材上看到以下一段精彩的推导，才知道原来所谓正态分布并不是哪位数学家一拍脑门想起来的。记得大学时的教材上只告诉了我们在抽样实验中当样本总量很大时，随机变量就服从正态分布，至于正态分布是怎么来的一点都不提。大学之前，我始终坚信数学是世界上最精致的艺术。但是上了大学之后，发现很多数学上很多问题教材中都是语焉不详，而且很多定义没有任何说明的就出来了，就像一致连续，一致收敛之类的，显得是那么的突兀。这时候数学就像数学老师一样蛮横，让我对数学极其反感，足足有四年之久。只到前些日子，在CSDN上读到孟岩的一篇并于矩阵的文章，才重新对数学发生兴趣。最近又读到了齐民友所写的《重温微积分》以及施利亚耶夫所写的《概率》，才知道原来每一个定义，和每一个定理都有它的价值和意义。 前几天在网上遇到老文，小小的探讨了一下这个问题，顺便问起他斯特林公式的证明过程。他说碰巧最近很是在研究这个公式，就写出来放在百度上以供来者瞻仰吧。于是就有了这篇文章： 斯特林(Stirling)公式的推导 如果哪位在读本篇之前想要知道斯特林公式是怎么来的，请阅读之。 本来是想和老文一块发的，怎奈一个小小的公式编辑器让我费了两个晚上才搞定。于是直至今日，方才有这篇小文字。 本篇是斯特林公式的一个应用。本篇的推导全部抄自施利亚耶夫著《概率》，本文的证明完成了棣莫弗——拉普拉斯定理推导的前半部分，后半部分以及其与伯努利大数定律的关系在以后再往上贴吧。其实也不是很难，自己动动手也是能推出来的。 这次推导可以说是“连续性随机变量”第一次出现在该书中，作为理解连续性随机变量的基础，正态分布是十分重要的。 斯特林公式： 根据斯特林公式,
英文数字表示方法大全
数词主要分为基数词和序数词两类。 一、数词的分类 1. 基数词 表示数目的词称为基数词。其形式如下： A．从1——10 one，two，three，four，five，six，seven，eight，nine，ten． B．从 11——19 eleven，twelve， thirteen， fourteen， fifteen，sixteen， seventeen，eighteen， nineteen． 这里除 eleven， twelve， thirteen， fifteen， eighteen 为特殊形式外，fourteen，sixteen，seventeen，nineteen 都是由其个位数形式后添加后缀-teen构成。 C．从 21——99 整数几十中除twenty，thirty, forty，fifty，eighty为特殊形式外，sixty，seventy，ninety都是其个位数形式后添加后缀-ty构成。 表示几十几时，在几十和个位基数词形式之间添加连字符“-” 21 twenty-one 76 seventy-six D．百位数 个数基数词形式加“hundred”，表示几百，在几十几与百
位间加上and． 101 a hundred and one 320 three hundred and twenty 648 six hundred and forty-eight E．千位数以上 从数字的右端向左端数起，每三位数加一个逗号“，”。从右开始，第一个“，”前的数字后添加 thousand，第二个“，” 前面的数字后添加 million，第三个“，”前的数字后添加 billion。然后一节一节分别表示，两个逗号之间最大的数为百位数形式。 2,648 two thousand six hundred and forty-eight 16,250,064 sixteen million two hundred and fifty thousand sixty-four 5,237,166,234 five billion，two hundred and thirty-seven million，one hundred and sixty-six thousand，two hundred ,and thirty-four F．基数词在表示确切的数字时，不能使用百、千、百万、十亿的复数形式；但是，当基数词表示不确切数字，如成百、成千上万，三三两两时，基数词则以复数形式出现。 There are hundreds of people in the hall． 大厅里有数以百计的人。 Thousands and thousands of people come to visit the Museum of Qin Terra-Cotta Warriors and Horses every day．每天有成千上万的人来参观秦兵马涌博物馆。
组合数学前沿介绍
组
合
数
学
Combinatorics
马昱春 MA Yuchun myc@https://www.wendangku.net/doc/0e17412172.html,
1
组
合
数
学
Combinatorics
组合数学:有人认为广义的组合数学就是离散数学，也有人认 为离散数学是狭义的组合数学和图论、代数结构、数理逻辑 等的总称。但这只是不同学者在叫法上的区别。总之，组合 数学是一门研究离散对象的科学。
https://www.wendangku.net/doc/0e17412172.html,/zh-cn/%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6
Combinatorics: Combinatorics is a branch of pure mathematics concerning the study of discrete (and usually finite) objects. It is related to many other areas of mathematics, such as algebra, probability theory, ergodic theory and geometry, as well as to applied subjects in computer science and statistical physics.
https://www.wendangku.net/doc/0e17412172.html,/wiki/Combinatorics 2
组合数学与离散数学
? 狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态（ 也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面的 问题。
– 组合数学的主要内容有组合计数、组合设计、组合矩 阵、组合优化等。
? 离散数学(Discrete mathematics)是数学的几个分 支的总称，以研究离散量的结构和相互间的关系 为主要目标，其研究对象一般地是有限个或可数 无穷个元素；因此它充分描述了计算机科学离散 性的特点。
– 离散数学通常研究的领域包括：数理逻辑、集合论、 关系论、函数论、组合学、代数系统与图论。 。
3
英语数字表达法汇总
英语数字表达法汇总2018 一、数位与关键数字 汉语数字分段法： 第一段位个十百千 第二段位万十万百万千万 第三段位亿十亿百亿千亿 第四段位兆（万亿） 英语数字分段法： 第一段位One Ten Hundred 第二段位Thousand Ten thousand Hundred thousand 第三段位Million Ten million Hundred million 第四段位Billion Ten billion Hundred billion 第五段位Trillion 英文数字用逗号隔开，有一个逗点读“thousand”；两个逗点读“million”；三个逗点读“billion”每个逗点区间由三位数组成，即百、十、千。因此，英文数字中的第四位数、第七位数、第十位数是很关键的数位。 Examples： 1,234 读作：one thousand, two hundred and thirty-four 4,567,809 读作：four million, five hundred and sixty-seven thousand, eight hundred and nine 5,678,120,000 读作：five billion, six hundred and seventy-eight million, one hundred and twenty thousand 其中，个别英美数字读法有差异。如：部分有一个逗点的数字（四位数），英国人用“thousand”表示，而美国人则多用“hundred”。再如，有三个逗点的数字（十位数），美式读法为“billion”，而英式读法为“thousand million”。因此，熟悉英美两种不同的读法对消除数字理解上的歧义是十分必要的。例词 英式1,900 one thousand, nine hundred 美式1,900 nineteen hundred 英式4,000,000,000 four thousand million 美式4,000,000,000 four billion 再者，英国英语在百位和十位之间加读“and”，而美国英语往往不用“and”。比如754这个数字。英国英语读成seven hundred and fifty-four，而美国英语则读为seven hundred fifty-four。此外，在某些时间表达上，英美也有不同的读法。 二、分数、小数、百分数的读法 （一）分数词是由基数词的序数词合成的，分子用基数词表示，分母用序数词表示， 除了分子是"1"的情况外，序数词都要用复数形式。 Examples： 1/3 读作：one-third 7/12 读作：seven-twelfths
组合数学-浅谈组合数学与计算机科学
浅谈组合数学与计算机科学 摘要：组合数学，又称为离散数学，是一门研究离散对象的科学。组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支，随着计算机科学的日益发展，组合数学的重要性也日渐凸显。 关键词：组合数学计算机欧拉回路 Abstract: The combination of mathematics, also known as discrete mathematics, is a study of discrete objects. A combination of computer mathematics is a branch of mathematics developed rapidly since, with the increasing importance of the development of computer science, combinatorial mathematics has become more prominent. Key words: Combinatorics Computer Euler circuit 1.组合数学简述 组合数学是一门古老而又新兴的数学分支。我国古人早在《河图》、《洛书》中已对一些有趣的组合问题给出了正确的解答。近代随着计算机的出现,组合数学这门学科得到了迅猛的发展,成为了一个重要的数学分支。组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。 组合数学主要研究符合一定条件的组态对象、计数及构造等方面的问题。离散构形问题是组合数学的主要研究内容，主要包括：①构形构形的存在性问题；②构形的构造性问题；③构形的计数问题；④构形的最优化问题。 现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等; 另一类就是研究离散对象的组合数学。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如在计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。而组合数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。 电子计算机处理的信息，都是仅用“0”与“1”两个简单数字表示的信息，或者是用这种数字进行了编码的信息。所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而组合数学是一门研究离散对象的科学。现代数学的研究内容主要包括两个方面：一方面类是研究连续对象的，如分析、代数等，另一方面就是研究离散对象的组合数学。
数值分析——求π
怎么计算π的值： 用莱布尼兹公式、韦达公式和斯特林公式分别迭代，当结果与π确切值之间误差小于0.005时结束迭代，通过分析三个公式的迭代次数得出最优的迭代公式。 1、莱布尼兹公式： (7) 1-5131-14++=π 根据数列得出：∑∞=---=111 21)1(4n n n π 通过程序实现如下（laibulizi.m ）： for n=1:1000 n a(n)=(-1).^(n-1)./(2*n-1); %y=vpa(4*sum(a),30) %error=vpa(y-pi,30) y=4*sum(a) error=y-pi if (error<=0.005&&error>=-0.005) break ; end end ; 运行结果为： 2、韦达公式：??????+++=2 222222222π 通过分析公式可知：)2 (cos 22221+=???+++i π 则：∏∞=+=11)2 cos(2i i ππ
通过程序实现如下（weida.m ）： clear; x=1; for i=1:100; i x=x*cos(pi/2^(i+1)); pai=2/x error=pai-pi if (error<=0.005&&error>=-0.005) break ; end end 运行结果为： 3、斯特林公式：π2!lim =?∞→n n n e n n n 程序实现如下（sitelin.m ）： for n=1:150 n a=exp(n); b=factorial(n); c=sqrt(n); d=(a*b)/((n^n)*c); p=(d^2)/2 err=p-pi if err<=0.005 break ; end end
文言数字表示法
文言数字表示法，古今大不同 一、零数表示法： 整数与零数之间加上“有”（读ｙòｕ，相当于现代汉语中的“又”字）字，连接整数与零数。 例１、舟首尾长约八分有奇。（《核舟记》）可译为：船从头到尾大约八分多长。 例2、为字共三十有四。（《核舟记》）可译为：刻的字共有三十四个。 二、概数表示法： 概数表示与实际数目接近的数目。文言文中表示约数的方法有多种： 可以在基数词后加“所”“许”“余”等表示，可以在基数词前加“且、将、约、几、盖、可、数”等表示。 例3、每字有二十余印。（《活板》）可译为：每个字有二十多个印模。 例4、高可二黍许。（《核舟记》）可译为：高约二分上下。 例5、见宫殿数十所。（《山市》）可译为：看见几十座宫殿。 可以用两个邻近的数字表示。 例6、若止印三二本，未为简易；若印数十百千本，则极为神速。（《活板》）可译为：如果只印三两本，不能算是简便；如果印几十本乃至成百上千本，那就极其快速。 例7、以亿万计。（《山市》）可译为：得用成千上万来计数。即：数也数不过来。 三、分数表示法： 与现代汉语一样，文言文中有用“几分之几”表示分数。如：“天下三分之一。”（《汉书·地理志》）但并不局限于此种形式，也有与现代汉语中表示分数不同的。 例8、近塞上之人，死者十九。（《塞翁失马》）此处“十九”即“十分之九”，省去“分”与“之”，翻译时应补上。 四、虚数表示法： 虚数是指不实在的数字，一般用来突出数量的“少”或“多”，与实际数目关系不大，有的甚至全无关系。常用“三、九、十二、百、千、万”及其倍数作虚数，一般表示“多”。 例9、赏赐百千强。（《木兰诗》）可译为：木兰得到的赏赐有千百金以上。 但并非上述数词都表虚数，要根据上下文内容辨其虚、实。如“船头坐三人”。（《核舟记》）此处“三”即为实数。可译为：船头坐着三个人。 五、序数表示法： １．在基数前加“第”。这种情况较少见。 例10、此印者才毕，则第二板已具。（《活板》） ２．不用“第”而直接用数字表示。这种情况较常见。 例11、一鼓作气，再而衰，三而竭。（《曹刿论战》） 六、两数相乘表示法： 有时两个数字相连，表示两者相乘。 例12、三五之夜，明月半墙。（农历每月十五）《项脊轩志》 例13、一个女子，年约二八。（十六岁）《灌园叟晚逢仙女》
Stirling公式
Stirling's Formula An important formula in applied mathematics as well as in probability is the Stirling's formula known as where is used to indicate that the ratio of the two sides goes to 1 as n goes to . In other words, we have or Proof of the Stirling's Formula First take the log of n! to get Since the log function is increasing on the interval , we get for . Add the above inequalities, with , we get Though the first integral is improper, it is easy to show that in fact it is convergent. Using the antiderivative of (being ), we get
Next, set We have Easy algebraic manipulation gives Using the Taylor expansion for -1 < t < 1, we get This implies We recognize a geometric series. Therefore we have From this we get 1. the sequence is decreasing;
数字的规范用法
数字的规范用法 关于出版物上涉及的数字（表示时间、长度、质量、面积、容积等量值和数字代码）用法，国家标准GB/T15835-1995中有相关的规定，因此在新闻报刊中数字的使用要符合此标准。下面就结合例子来具体分析一下数字（包括阿拉伯数字和汉字数字）的规范用法。 一、使用阿拉伯数字时须注意的问题 1、文章中的数字，除部分表示结构层次的序数和定型的词、词组、成语、惯用语、缩略语等必须使用汉字外，其余应当使用阿拉伯数字，新闻稿件中如遇特殊情形，或为了避免歧义，可以灵活变通，但全文体例应当统一。 2、统计表中的数值，如正负整数、小数、百分比、分数、比值等，必须使用阿拉伯数字。 如，10.1%，22%～30%，1/3，1：500。 3、年份必须写全，不能简写。 错误示例：早在08年前，此事便已提上议事日程，但提而不决，至今还是八字未见一撇。 示例中“08年前”应为“2008年前”。否则，容易产生歧义，因为“08年前”也可理解为“8年前”。同理，1990年不能简作“九〇年”或“90年”。 4、5位以上且尾数连续为“0”的整数数值，在非科技出版物中，可以“亿”“万”作单位，但一般情况下，不得以“十”“百”“千”“十万”“百万”“千万”为单位，更不能将“万、千、百、十”同时使用。 如：234000000，也可写成2.34亿或23400万，但不得写作2亿3千4百万；3000万不得写作3千万。数值巨大的精确数字，为了便于定位读数或移行，作为特例可以同时使用“亿”“万”作单位。如，1990年人口普查人数为11亿3368万2501人。 5、一个用阿拉伯数字书写的数值应避免断开移行。 6、用阿拉伯数字写纯小数必须写出小数点前定位的“0”，小数点是齐底线的黑圆点“.”。 如，0.01不得写成.01或者0·01。 7、阿拉伯数字书写的数值表示数值范围时，使用波纹式连接号“～”，前后必须加单位或其他符号。 如：20%～30%，20℃～25℃,2万～3万。20万亿～30万亿元，不可写作20～30万亿元，因为“万亿”作为一个整体，如果写作20～30万亿，表示的是十位数20到30万亿。数值后面可接写“之间”，但不宜接写“左右”或“以上”，如，24℃～35℃之间不可写成24℃～35℃左右或24℃～35℃以上。 8、如果文中出现一组具有统计和比较意义的数字，其中既有精确数字，也有用“多”“余”等表示的约数，为保持局部体例上的一致，其约数也可以使用阿拉伯数字。