高考数学大一轮复习第十一章统计与统计案例11.3变量间的相关关系、统计案例学案
§11.3 变量间的相关关系、统计案例
1．两个变量的线性相关 (1)正相关
在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关． (2)负相关
在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关． (3)线性相关关系、回归直线
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． 2．回归方程 (1)最小二乘法
求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法． (2)回归方程
方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，
y n )的回归方程，其中a ^
，b ^
是待定参数．
??
?
b ^
＝∑n i ＝1
(x i －x )(y i
－y )∑n
i ＝1 (x i
－x )2＝∑n
i ＝1
x i y i －n x y ∑n
i ＝1
x 2i
－n x
2
，
a ^
＝y －b ^
x .
3．回归分析
(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． (2)样本点的中心
对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中(x ，y )称为样本点的中心． (3)相关系数
当r >0时，表明两个变量正相关； 当r <0时，表明两个变量负相关．
r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于0，表明两个
变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．
4．独立性检验
(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量． (2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X 和Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为
2×2列联表
构造一个随机变量K 2
＝n (ad －bc )2
(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量．
(3)独立性检验
利用随机变量K 2
来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．( × ) (2)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．( √ ) (3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．( √ )
(4)某同学研究卖出的热饮杯数y 与气温x (℃)之间的关系，得线性回归方程y ^
＝－2.352x ＋147.767，则气温为2℃时，一定可卖出143杯热饮．( × )
(5)事件X ，Y 关系越密切，则由观测数据计算得到的K 2
的观测值越大．( √ )
题组二 教材改编
2．[P97A 组T2]为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，用下列哪种方法最有说服力( ) A ．回归分析 B ．均值与方差 C ．独立性检验 D ．概率
答案 C
解析 “近视”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断． 3．[P97练习]下面是2×2列联表：
则表中a ，b 的值分别为( ) A ．94,72 B ．52,50 C ．52,74 D ．74,52
答案 C
解析 ∵a ＋21＝73，∴a ＝52. 又a ＋22＝b ，∴b ＝74.
4．[P81例1]某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次
试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y ^
＝0.67x ＋54.9.
现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为________．
答案 68
解析 由x ＝30，得y ＝0.67×30＋54.9＝75. 设表中的“模糊数字”为a ，
则62＋a ＋75＋81＋89＝75×5，∴a ＝68.
题组三 易错自纠
5．某医疗机构通过抽样调查(样本容量n ＝1 000)，利用2×2列联表和K 2
统计量研究患肺病是否与吸烟有关．计算得K 2
＝4.453，经查阅临界值表知P (K 2
≥3.841)≈0.05，现给出四个结论，其中正确的是( )
A ．在100个吸烟的人中约有95个人患肺病
B ．若某人吸烟，那么他有95%的可能性患肺病
C ．有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”
D ．只有5%的把握认为“患肺病与吸烟有关” 答案 C
解析 由已知数据可得，有1－0.05＝95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”．
6．在一次考试中，5名学生的数学和物理成绩如下表：(已知学生的数学和物理成绩具有线性相关关系)
现已知其线性回归方程为y ^
＝0.36x ＋a ^
，则根据此线性回归方程估计数学得90分的同学的物理成绩为______．(四舍五入到整数) 答案 73
解析 x ＝60＋65＋70＋75＋805
＝70，
y ＝
62＋64＋66＋68＋70
5
＝66，
所以66＝0.36×70＋a ^
，a ^
＝40.8，
即线性回归方程为y ^
＝0.36x ＋40.8.
当x ＝90时，y ^
＝0.36×90＋40.8＝73.2≈73.
题型一相关关系的判断
1．观察下列各图形，
其中两个变量x，y具有相关关系的图是( )
A．①② B．①④
C．③④ D．②③
答案 C
解析由散点图知③中的点都分布在一条直线附近．④中的点都分布在一条曲线附近，所以③④中的两个变量具有相关关系．
2．(2018·广州质检)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)的柱形图．以下结论不正确的是( )
A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
答案 D
解析从2006年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，A选项正确；
2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，B选项正确；
虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，C选项正确；
自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D选项错误，故选D.
3．x 和y 的散点图如图所示，则下列说法中所有正确命题的序号为________．
①x ，y 是负相关关系； ②在该相关关系中，若用y ＝21e c x
c 拟合时的相关指数为R 2
1
，用y ^
＝b ^
x ＋a ^
拟合时的相关指
数为R 2
2，则R 2
1>R 2
2；
③x ，y 之间不能建立线性回归方程． 答案 ①②
解析 在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，因此x ，y 是负相关关系，故①正确；由散点图知用y ＝21e
c x
c 拟合比用y ^
＝b ^
x ＋a ^
拟合效果要好，则R 2
1>R 2
2，故②正确；x ，y 之间
可以建立线性回归方程，但拟合效果不好，故③错误． 思维升华 判定两个变量正，负相关性的方法
(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．
(2)相关系数：r >0时，正相关；r <0时，负相关．
(3)线性回归方程中：b ^
>0时，正相关；b ^
<0时，负相关． 题型二 线性回归分析
典例 (2016·全国Ⅲ)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：
参考数据：∑i ＝1
7y i ＝9.32，∑i ＝1
7t i y i ＝40.17,
∑i ＝1
7
(y i －y
)2
＝0.55，7≈2.646.
参考公式：相关系数r ＝
∑i ＝1
n
(t i －t )(y i －y
)
∑i ＝1
n
(t i －t )2
∑i ＝1
n
(y i －y
)
2
，
回归方程y ^
＝a ^
＋b ^
t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
b ^
＝
∑i ＝1
n
(t i －t )(y i －y
)
∑i ＝1
n
(t i －t
)
2
，a ^
＝y －b ^
t .
解 (1)由折线图中数据和附注中参考数据得
t ＝4，∑i ＝1
7
(t i －t )2
＝28,
∑i ＝1
7
(y i －y
)2
＝0.55.
∑i ＝1
7 (t i －t )(y i －y )＝∑i ＝1
7
t i y i －t ∑i ＝1
7
y i
＝40.17－4×9.32＝2.89， 所以r ≈ 2.89
0.55×2×2.646
≈0.99.
因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系． (2)由y ＝9.32
7
≈1.331及(1)得
b ^
＝
∑i ＝1
7
(t i －t )(y i －y
)
∑i ＝1
7
(t i －t
)
2
＝2.8928
≈0.103， a ^
＝y －b ^
t ≈1.331－0.103×4≈0.92.
所以y 关于t 的回归方程为y ^
＝0.92＋0.10t . 将2016年对应的t ＝9代入回归方程得
y ^
＝0.92＋0.10×9＝1.82.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨． 思维升华 线性回归分析问题的类型及解题方法 (1)求线性回归方程
①利用公式，求出回归系数b ^
，a ^
.
②待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数．
(2)利用回归方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值．
(3)利用回归直线判断正、负相关；决定正相关还是负相关的是系数b ^
.
(4)回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r |越趋近于1时，两变量的线性相关性越强．
跟踪训练 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
表中w i ＝x i ，w ＝18∑i ＝1
8
w i .
(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ^
＝α^
＋β^
u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
β^
＝
∑i ＝1
n
(u i －u )(v i －v
)
∑i ＝1
n
(u i －u
)
2
，α^
＝v －β^
u .
解 (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型． (2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于
d ^
＝
∑i ＝1
8
(w i －w
)·(y i －y )
∑i ＝1
8
(w i －w
)
2
＝
108.8
1.6
＝68， c ^
＝y －d ^
w ＝563－68×6.8＝100.6，
所以y 关于w 的线性回归方程为y ^
＝100.6＋68w ，
因此y 关于x 的回归方程为y ^
＝100.6＋68x . (3)①由(2)知，当x ＝49时，
年销售量y 的预报值y ^
＝100.6＋6849＝576.6，
年利润z 的预报值z ^
＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值
z ^
＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12.
所以当x ＝13.6
2
＝6.8，即x ＝46.24时，z ^
取得最大值．
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
题型三 独立性检验
典例 (2017·全国Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：
(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A的概率；
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)．附：
K2＝n(ad－bc)2
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
.
解(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”．
由题意知，P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)．
旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为
(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62， 故P (B )的估计值为0.62.
新养殖法的箱产量不低于50 kg 的频率为 (0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66， 故P (C )的估计值为0.66.
因此，事件A 的概率估计值为0.62×0.66＝0.409 2. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表如下：
K 2
＝200×(62×66－34×38)2
100×100×96×104
≈15.705.
由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5，
箱产量低于55 kg 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5， 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50＋0.5－0.34
0.068≈52.35 (kg)．
思维升华 (1)比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法 ①通过计算K 2
的大小判断：K 2
越大，两变量有关联的可能性越大．
②通过计算|ad －bc |的大小判断：|ad －bc |越大，两变量有关联的可能性越大． (2)独立性检验的一般步骤 ①根据样本数据制成2×2列联表．
②根据公式K 2
＝n (ad －bc )2(a ＋b )(a ＋c )(b ＋d )(c ＋d )
计算K 2
的观测值k .
③比较k 与临界值的大小关系，作统计推断．
跟踪训练 (2017·石家庄质检)微信是现代生活进行信息交流的重要工具，某公司200名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余的员工每天使用微信的时间在一小时以上，若将员工分成青年(年龄小于40岁)和中年(年龄不小于40岁)两个阶段，那么使用微信的人中75%是青年人．若规定：每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中有2
3
是青年人．
(1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出2×2列联表：
(2)根据2×2列表中的数据利用独立性检验的方法判断是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？
附：K 2
＝n (ad －bc )2
(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
.
解 (1)由已知可得，该公司员工中使用微信的有200×90%＝180(人)． 经常使用微信的有180－60＝120(人)， 其中青年人有120×2
3
＝80(人)，
使用微信的人中青年人有180×75%＝135(人)， 故2×2列联表如下：
(2)将列联表中数据代入公式可得： K 2
＝180×(80×5－55×40)2
120×60×135×45
≈13.333，
由于13.333>10.828，所以有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”．
求线性回归方程的方法技巧
典例 (12分)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的线性回归方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
； (2)利用(1)中所求出的线性回归方程预测该地2018年的粮食需求量．
思想方法指导 回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法．主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观测值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求出线性回归方程． 规范解答
解 (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间近似直线上升，下面来求线性回归方程，先将数据处理如下表．
对处理的数据，容易算得x ＝0，y ＝3.2，[4分]
b ^
＝
(－4)×(－21)＋(－2)×(－11)＋2×19＋4×29－5×0×3.2(－4)2＋(－2)2＋22＋42－5×02
＝260
40
＝6.5， a ^
＝y －b ^
x ＝3.2.[6分]
由上述计算结果，知所求线性回归方程为
y ^
－257＝6.5(x －2010)＋3.2，
即y ^
＝6.5(x －2010)＋260.2.[8分]
(2)利用所求得的线性回归方程，可预测2018年的粮食需求量大约为 6.5×(2018－2010)＋260.2＝6.5×8＋260.2＝312.2(万吨)．[12分]
1．根据如下样本数据：
得到的线性回归方程为y ^
＝b ^
x ＋a ^
，则( )
A.a ^
>0，b ^
>0
B.a ^
>0，b ^
<0
C.a ^
<0，b ^
>0 D.a ^
<0，b ^
<0
答案 B
解析 根据给出的数据可发现：整体上y 与x 呈现负相关，所以b ^
<0，由样本点(3,4.0)及
(4,2.5)可知a ^
>0，故选B.
2．(2017·江西南城一中、高安中学等九校联考)随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表．
由K 2
＝n (ad －bc )2
(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
，
得K 2
＝100×(45×22－20×13)2
65×35×58×42
≈9.616.
参照下表，
正确的结论是( )
A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”
B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”
C ．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”
D ．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关” 答案 C
解析 ∵K 2
≈9.616>6.635，∴有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，故选C.
3．对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其线性回归
方程是y ^
＝1
3
x ＋a ^ ，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数a ^
的值是
( )
A.116
B.18
C.14
D.12 答案 B
解析 依题意可知样本点的中心为? ??
??34，38，
则38＝13×34＋a ^ ，解得a ^
＝18
. 4．(2017·山东)为了研究某班学生的脚长x (单位：厘米)和身高y (单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其
线性回归方程为y ^
＝b ^
x ＋a ^
.已知∑10
i ＝1x i ＝225，∑10
i ＝1y i ＝1 600，b ^
＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为( )
A ．160
B ．163
C ．166
D ．170 答案 C
解析 ∵∑10
i ＝1x i ＝225，∴x ＝110∑10i ＝1
x i ＝22.5. ∵∑10i ＝1y i ＝1 600，∴y ＝110∑10i ＝1
y i ＝160. 又b ^
＝4，∴a ^
＝y －b ^
x ＝160－4×22.5＝70.
∴线性回归方程为y ^
＝4x ＋70.
将x ＝24代入上式，得y ^
＝4×24＋70＝166.故选C.
5．(2018·湖南永州模拟)已知x 与y 之间的几组数据如下表：
假设根据上表数据所得的线性回归方程为y ^
＝b ^
x ＋a ^
.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )
A.b ^
>b ′，a ^
>a ′
B.b ^
>b ′，a ^
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