用分离参数法确定参数范围

　万方数据

以静制动:用分离参数法确定参数范围

作者：赵春燕

作者单位：广州市第二中学

刊名：

广东教育（教研版）

英文刊名：GUANGDONG EDUCATION

年，卷(期)：2009(2)

本文链接：https://www.wendangku.net/doc/0e17504135.html,/Periodical_gdjy-jyb200902051.aspx

分离参数法 - 学生版

分离参数法 1已知不等式2 210ax x -+>在[]1,2x ∈时恒成立，求实数a 的取值范围. 2 不等式2 210x ax -+>在[]2,2x ∈-上恒成立.求实数a 的取值范围 3.若关于x 的方程22 210x x a a +?++=有实根，求实数a 的取值范围. 4.已知()()23132x x f x k =-+?+当x R ∈时，()f x 恒为正值，则k 的取值范围是 5.已知函数在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是

6若函数()211,2f x x ax x ??=+++∞ ??? 在是增函数，求a 的取值范围. 7.已知函数()()2111 x ax f x a R x ++=∈+，若对于任意*x N ∈，()3f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 8.已知()2222x ax a f x x +-=在[)1+∞，上是单调增函数，则a 的取值范围是 9.设()()1+24lg ,3 x x a f x a R +?=∈如果(]-1∞，时，()f x 有意义，求a 的取值范围 10已知函数()[]2 424g x x ax a =-+在，上有零点，求的取值范围 11已知函数()2 1,.2x x f x e ax a =---其中为实数

（1）当1,2a =-时求曲线()y f x =在()() 11f ，处的切线方程； （2）当()1 0.2x x f x a ≥≥时，若关于的不等式恒成立，试求的取值范围94a ??≤ ?? ? 12已知函数()ln .a f x x x =- （1 ）当0a >时，判断()f x 在定义域上的单调性. （2）若()2 f x x <在()1+∞，上恒成立，求a 的取值范围.()1a ≥-

分离变量法解高考压轴导数题

分离参数法解高考压轴题 新课标下的高考数学压轴题，由数列题转向导数题。而导数题中的最后一问经常考察参数的取值范围。“求谁分离谁”即分离参数是一种常用的方法，但有时分离出参数后，后面函数的最值不容易求得，有的干脆就没有最值，只是趋于某个常数，这种情况下可采用高等数学中的洛必达法则。此方法是一种常规方法，有章可循，有法可依，不存在较强的解题技巧，一般的学生基本上都能掌握。下列举例说明，起到抛砖引玉的作用。 一 洛必达法则介绍 如果当0x x →(或∞→x )时，两个函数)(x f 与)(x g 都趋于零或都趋于无穷大，那么 极限)()(lim 0x g x f x x →或) ()(lim x g x f x ∞→可能存在、也可能不存在，通常把这种极限叫做不定式，并分 别简记为00或∞ ∞． 1．（洛必达法则1） 00 型不定式 设函数)(x f 与)(x g 满足条件 （1）0)(lim )(lim 0 0==→→x g x f x x x x （2）)(x f 与)(x g 在点0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(≠'x g ； （3） A x g x f x x =''→) ()(lim 0（或为无穷大）．则A x g x f x g x f x x x x =''=→→)()(lim )()(lim 00（或为无穷大）． 把0x x →换为∞→x 时，结论也成立． 2（洛必达法则2） ∞ ∞型不定式 设函数)(x f 与)(x g 满足条件 （1）∞=∞=→→)(lim ,)(lim 0 0x g x f x x x x （2）)(x f 与)(x g 在点0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(≠'x g ；

分离变量法

<<电磁场与电磁波>>读书报告 姓 名： 学 院： 学 号： 专 业： 题 目:分离变量法在求静态场的解的应用 成 绩： 二〇一四年四月 Xxx 工程学院 电子工程类

一．引言 分离变量法是在数学物理方法中应用最广泛的一种方法。在求解电磁场与电磁波的分布型问题和边值型问题有很重要的应用。分布型问题是指已知场源（电荷分布、电流分布）直接计算空间各点和位函数。而边值型问题是指已知空间某给定区域的场源分布和该区域边界面上的位函数（或其法向导数），求场内位函数的分布。求解这两类问题可以归结为在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程，即求解边值问题。这类问题的解法，例如镜像法，分离变量法，复变函数法，格林函数法和有限差分法，都是很常用的解法。这里仅对在直角坐标系情况下的分离变量法作简单介绍。 二．内容 1.分离变量法的特点： 分离变量法是指把一个多变量的函数表示成几个单变量函数乘积，从而将偏微分方程分离为几个带分离常数的常微分方程的方法，属于解析法的一种。它要求要求所给边界与一个适当的坐标系的坐标面重合.在此坐标系中，待求偏微分方程的解可表示成三个函数的乘积，每一函数仅是一个坐标的函数。我们仅讨论直角坐标系中的分离变量法. 2.推导过程: 直角坐标系中的拉普拉斯方程： 222 222 0 x y z ??? ??? ++=??? 我们假设是三个函数的乘积,即

(,,)()()()x y z X x Y y Z z ?= 其中X 只是x 的函数,同时Y 是y 的函数Z 是z 的函数，将上式带入拉普拉斯方程，得 然后上式同时除以XYZ ，得 0X Y Z X Y Z '''''' ++= 上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数，故可分解为下列三个方程： 即 α,β,γ为分离常数，都是待定常数，与边值有关但不能全为实数或全为虚数 。 由上式得2220αβγ++=，下面以X ”/X =α2式为例，说明X 的形式与α的关系 当α2=0时，则 当α2 <0时，令α=jk x (k x 为正实数)，则 或 当α2 >0时，令α=k x ，则 或 a ，b ，c ，d 为积分常数，由边界条件决定Y(y)Z(z)的解和X(x)类似。 3解题步骤 1,2λα =±00 ()X x a x b =+12()x x jk x jk x X x b e b e -=+12()sin cos x x X x a k x a k x =+12()x x k x k x X x d e d e -=+12() s x x X x c hk x c chk x =+

高一数学之分离参数法(含答案)

高中重要解题方法——分离变量法 分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法. 分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知. 解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知x 的范围，求a 的范围： 定理1 不等式()()f x g a ≥恒成立?[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小值）；不等 式()()f x g a ≤恒成立?[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）. 定理2 不等式()()f x g a ≥存在解?[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大值）；不 等式()()f x g a ≤存在解?[]min ()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）. 定理3 方程()()f x g a =有解?()g a 的范围=()f x 的值域（求解()f x 的值域）. 解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域. 再现性题组： 1、 已知当x ∈R 时，不等式22 4sin cos sin 5x x x a +-<-+恒成立，求实数a 的取值范围。 2.若f(x)=233x x --在[1,4]x ∈-上有()21f x x a ≥+-恒成立，求a 的取值范围。 3,、若f(x)=233x x --在[1,4]x ∈-上有2()251f x x a a ≥+--恒成立，求a 的取值范围。 4、若方程42210x x a -+= 有解，请求a 的取值范围。

25.分离常数法和分离参数法

分离常数法与分离参数法 一:分离常数法: 是研究分式函数的一种代数变形的常用方法：主要的分式函数有 22sin ;;;sin x x ax b ax bx c ma n m x n y y y y pa q cx d p x q mx nx p +++++====+++++等。 解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数. 1）用分离常数法求分式函数的值域 例1：求函数31()2 x f x x +=-(1)x ≤的值域 解：由已知有()()32213277()3.222x x f x x x x ???? -++-+= ==+---。由1x ≤，得 21x -≤-。 所以1102 x -≤ <-。故函数f(x)的值域为{}:43y x -≤<. 2)用分离常数法判断分式函数的单调性 例2：已知函数f(x)= (),x a a b x b +≠+,判断函数f(x)的单调性。 解：由已知有f(x) =()1,x b a b a b x b x b x b ++--=+≠++.所以，当0a b ->时，函数f(x)在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当a -b<0时，函数f(x)在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数。 3)用分离常数法求分式函数的最值 例3：设x>-1,求函数f(x)= 27101 x x x +++的最小值。 解：因为x>-1,所以x+1>0.f(x)= ()()2 11711101 x x x +-++-+????????+

()()21514 1x x x ++++=+4(1)51x x =++++4(1)51x x =++++当且仅当, 411 x x +=+，即x=1时，等号成立。所以当x=1时，f(x)取得最小值9. 二：分离参数法 分离参数法是求参数的最值范围的一种方法。通过分离参数，用函数的观点讨论主变元的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围。这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决。分离参数法在解决不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数的单调性中参数的取值范围问题时经常用到。解题的关键是分离出参数后将原问题转化为求函数的最值或值域问题。 1. 用分离参数法解决函数有零点的问题 例4：已知函数g(x)= 24ax x -+,在[]2,4上有零点，求a 的取值范围 解：因为函数g(x)= 24ax x -+在[]2,4上有零点，所以方程24ax x -+=0在[]2,4上有实根，即方程4a x x =+在[]2,4上有实根，令4()f x x x =+，则a 的取值范围等价于函数f(x)在[]2,4上的值域。 又()()22 224'()10x x f x x x +-=-=≥在[]2,4上恒成立，所以f(x)在[]2,4上是增函数。所以 (2)()(4),f f x f ≤≤即4()5f x ≤≤所以45a ≤≤ 2. 用分离参数法解决不等式恒成立问题 例5已知不等式2210mx x m --+<对满足22m -≤≤的所有m 都成立，求x 的取值范围。 解：原不等式可以化为2 (1)210x m x --+<，此不等式对22m -≤≤恒成立。 构造函数2()(1)21f m x m x =--+，22m -≤≤，其图像是一条线段。于是有{2(2)2(1)210},f x x -=---+<和2(2)2(1)210f x x =--+<即 22230x x +->，｜｜｜｜且22210,x x --<解得 1122x -++<< 3．用分离参数法解决函数的单调性问题 例6已知2222()x ax a x f x +-=在[)1,+∞上是单调增函数，求a 的取值范围。

高中数学解题方法之分离变量法(含答案)

分离变量法 分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法. 分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知. 解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知x 的范围，求a 的范围： 定理1 不等式()()f x g a ≥恒成立?[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小值）；不等式()()f x g a ≤恒成立?[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）. 定理2 不等式()()f x g a ≥存在解?[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大值）；不等式()()f x g a ≤存在解?[]min ()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）. 定理3 方程()()f x g a =有解?()g a 的范围=()f x 的值域（求解()f x 的值域）. 解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域. 再现性题组： 1、已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立，求实数a 的取值范围。 2、若f(x)=2 33x x --在[1,4]x ∈-上有()21f x x a ≥+-恒成立，求a 的取值范围。 3、若f(x)=233x x --在[1,4]x ∈-上有2 ()251f x x a a ≥+--恒成立，求a 的取值范围。 4、若方程42210x x a -+=有解，请求a 的取值范围 5、已知32 11132 y x ax x = -++是(0,)+∞上的单调递增函数，则a 的取值范围是（ ） .0A a < .22B a -≤≤ .2C a < .2D a ≤ 6、求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 再现性题组答案： 1、解：原不等式4sin cos 25x x a ?+<-+当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立max a+5>(4sinx+cos2x)?-，设f(x)=4sinx+cos2x 则 22f(x)= 4sinx+cos2x=2sin x+4sinx+1=2(sinx 1)+3 --- ∴a+5>3a<2-∴

导数与参数分离(习题)

导数与参数分离 例1．已知函数ln 1()ln ,() 2. x f x ax x g x x =-= +若[][]101,,1,x e x e ?∈?∈,10()()f x g x =,求a 的取值范围. @ 答案： 213]2a e e ∈+ 例2．已知.,,ln )(],,0(,ln )(R a e x x x g e x x ax x f ∈= ∈-=是自然常数其中 （1）讨论)(,1x f a 时=的单调性、极值； （2）求证：在（1）的条件下，;21)(|)(|+ >x g x f & （3）是否存在实数)(,x f a 使的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由。 ~

2e a = 例4．已知函数)0(3ln )(≠∈--=a R a ax x a x f 且 ． （1）求函数)(x f 的单调区间； … （2）若函数)(x f y =的图像在点))2(,2(f 处的切线的斜率为1，问： m 在什么范围取值时， 对于任意的]2,1[∈t ，函数)](2 [)(2 3x f m x x x g '++=在区间)3,(t 上总存在极值 （3）当2=a 时，设函数32)2()(-+--=x e p x p x h ，若在区间],1[e 上至少存在一个0x ，使得)()(00x f x h >成立，试求实数p 的取值范围． 综上所述，p 的取值范围是),14( 2+∞-e e ( 例5. 已知函数)(cos 2sin )(R b bx x x x f ∈-+= （1）是否存在实数b ，使得()f x 在2(0, )3π为增函数，2(,)3ππ为减函数，若存在，求出b 的值，若不存在，请说明理由； （2）如果当0x ≥时，都有()0f x ≤恒成立，试求b 的取值范围. ;

第七章一维波动方程的解题方法及习题答案

第二篇 数学物理方程 ——物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法 Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程—偏微分方程； 2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件 (自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题； 3、方程齐次化； ４、数理方程的线性导致解的叠加。 一、数理方程的来源和分类（状态描述、变化规律） 1、来源 I ．质点力学：牛顿第二定律F mr = 连续体力学2222()(,)(,)0(()0;v 1()0(Euler eq.).u r t a u r t t v t v v p f t ρρρ?????-?=?????????+??=????-?+??=+=????? 弹性定律弦弹性体力学 杆 振动：波动方程);膜流体力学：质量守恒律：热力学物态方程： II.麦克斯韦方程 ;;00;().,,,D D E l B s E B B B H l j D s H j D E u B A u A σρτρσ??=???=?=????=????=???=?=+????=+??=-?=????????? ???????????d d d d d d d 满足波动方程。Lorenz 力公式力学方程；Maxwell eqs.+电导定律电报方程。 III. 热力学统计物理 220;0.T k T t D t ρρ??-?=??????-?=??? 热传导方程：扩 散方程：特别: 稳态（0t ρ?=?）:20ρ?= (Laplace equation). IV. 量子力学的薛定谔方程： 22.2u i u Vu t m ?=-?+?

稳态方程 Laplace equation 20u ?= 椭圆型 二、数理方程的导出 推导泛定方程的原则性步骤： （1）定变量：找出表征物理过程的物理量作为未知数（特征量），并确定影响未知 函数的自变量。 （2）立假设：抓主要因素，舍弃次要因素，将问题“理想化” ---“无理取闹”（物理趣乐）。 （3）取局部：从对象中找出微小的局部（微元），相对于此局部一切高阶无穷小均可忽略---线性化。 （4）找作用：根据已知物理规律或定律，找出局部和邻近部分的作用关系。 （5）列方程：根据物理规律在局部上的表现，联系局部作用列出微分方程。 Chapter 7 一维波动方程的傅里叶解 第一节 一维波动方程-弦振动方程的建立 弦横振动方程的建立 （一根张紧的柔软弦的微小振动问题） （1）定变量：取弦的平衡位置为x 轴。表征振动的物理量为各点的横向位移),(t x u ，从而速度为t u ，加速度为tt u . （2）立假设：①弦振动是微小的，1<<α，因此，sin tan ααα≈≈，1cos ≈α，又 tan u x αα?=≈?，1<

分离参数法求解高考压轴题

分离参数法解高考压轴题 一 洛必达法则介绍 如果当0x x →(或∞→x )时，两个函数)(x f 与)(x g 都趋于零或都趋于无穷大，那么 极限)()(lim x g x f x x →或) () (lim x g x f x ∞→可能存在、也可能不存在，通常把这种极限叫做不定式，并分 别简记为 00或∞ ∞． 1．（洛必达法则1） 型不定式 设函数)(x f 与)(x g 满足条件 （1）0)(lim )(lim 0 ==→→x g x f x x x x （2）)(x f 与)(x g 在点0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(≠'x g ； （3） A x g x f x x =''→) ()(lim （或为无穷大）．则A x g x f x g x f x x x x =''=→→)() (lim )()(lim 00（或为无穷大）． 把0x x →换为∞→x 时，结论也成立． 2（洛必达法则2） ∞ ∞ 型不定式 设函数)(x f 与)(x g 满足条件 （1）∞=∞=→→)(lim ,)(lim 0 x g x f x x x x （2）)(x f 与)(x g 在点0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(≠'x g ； （3）A x g x f x x =''→) ()(lim （或无穷大）．则A x g x f x g x f x x x x =''=→→)() (lim )()(lim 00（或为无穷大） 把0x x →换为∞→x 时，结论也成立．，结论也成立．

二 典型例题: （2006全国二）设函数)1ln()1()(++=x x x f ，若对所有的0≥x ，都有ax x f ≥)(成立，求实数a 的取值范围． 解：分离变量法 ①若0=x ，则R a ∈. ②若0>x ，则只需x x x a )1ln()1(++≤ ，则m in ]) 1ln()1([x x x a ++≤。 令x x x x g )1ln()1()(++=，2 ) 1ln()(x x x x g +-=' 令)1ln()(+-=x x x h ，则01 )(>+='x x x h ，故)(x h 为增函数，0)0()(=>h x h ， 从而0)(>'x g ，)(x g 为增函数，)0(g a ≤，)0(g 不存在，只能求极限， 由洛比达法则得，1))1ln(1(lim ])1ln(1[(lim )1ln()1(lim 000 =++=' ' ++=+++++ →→→x x x x x x x x x x ），故1≤a . 解法二： 令g (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)－ax ， 对函数g (x )求导数：g ′(x )＝ln(x ＋1)＋1－a 令g ′(x )＝0，解得x ＝e a － 1－1， ……5分 (i )当a ≤1时，对所有x ＞0，g ′(x )＞0，所以g (x )在[0，＋∞)上是增函数， 又g (0)＝0，所以对x ≥0，都有g (x )≥g (0)， 即当a ≤1时，对于所有x ≥0，都有 f (x )≥ax ． ……9分 (ii )当a ＞1时，对于0＜x ＜e a －1－1，g ′(x )＜0，所以g (x )在(0，e a － 1－1)是减函数， 又g (0)＝0，所以对0＜x ＜e a － 1－1，都有g (x )＜g (0)， 即当a ＞1时，不是对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立． 综上，a 的取值范围是（－∞，1]． ……12分 解法三：令g (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)－ax ， 于是不等式f (x )≥ax 成立即为g (x )≥g (0)成立． ……3分 对函数g (x )求导数：g ′(x )＝ln(x ＋1)＋1－a 令g ′(x )＝0，解得x ＝e a － 1－1， ……6分 当x ＞ e a － 1－1时，g ′(x )＞0，g (x )为增函数， 当－1＜x ＜e a － 1－1，g ′(x )＜0，g (x )为减函数， ……9分 所以要对所有x ≥0都有g (x )≥g (0)充要条件为e a － 1－1≤0． 由此得a ≤1，即a 的取值范围是（－∞，1]． ……12分 （2007全国一）设函数x x e e x f --=)(． （Ⅰ）证明：)(x f 的导数2)(≥'x f ； （Ⅱ）若对所有0≥x 都有ax x f ≥)(，求a 的取值范围． 解一（Ⅰ）x x e e x f -+=')( 由于22=?≥+--x x x x e e e e ，故2)(≥'x f ，（当且仅当0=x 时，等号成立）．

分离变量法求最值或范围

1 分离参数法解高考压轴题 新课标下的高考数学压轴题，由数列题转向导数题。而导数题中的最后一问经常考察参数的取值范围。“求谁分离谁”即分离参数是一种常用的方法，但有时分离出参数后，后面函数的最值不容易求得，有的干脆就没有最值，只是趋于某个常数，这种情况下可采用高等数学中的洛必达法则。此方法是一种常规方法，有章可循，有法可依，不存在较强的解题技巧，一般的学生基本上都能掌握。下列举例说明，起到抛砖引玉的作用。 一 洛必达法则介绍 如果当0x x →(或∞→x )时，两个函数)(x f 与)(x g 都趋于零或都趋于无穷大，那么 极限)()(lim 0x g x f x x →或) ()(lim x g x f x ∞→可能存在、也可能不存在，通常把这种极限叫做不定式，并分 别简记为00或∞ ∞． 1．（洛必达法则1） 00 型不定式 设函数)(x f 与)(x g 满足条件 （1）0)(lim )(lim 0 0==→→x g x f x x x x （2）)(x f 与)(x g 在点0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(≠'x g ； （3） A x g x f x x =''→)()(lim 0（或为无穷大）．则A x g x f x g x f x x x x =''=→→) ()(lim )()(lim 00（或为无穷大）． 把0x x →换为∞→x 时，结论也成立． 2（洛必达法则2） ∞ ∞型不定式 设函数)(x f 与)(x g 满足条件 （1）∞=∞=→→)(lim ,)(lim 00 x g x f x x x x （2）)(x f 与)(x g 在点0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(≠'x g ； （3）A x g x f x x =''→) ()(lim 0（或无穷大）． 则A x g x f x g x f x x x x =''=→→) ()(lim )()(lim 00（或为无穷大）

(分离常数法与分离参数法)

分离常数法与分离参数法 分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax b y cx d +=+，22ax bx c y mx nx p ++=++，x x m a n y p a q ?+=?+，sin sin m x n y p x q ?+=?+ 等.解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数. 1.用分离常数法求分式函数的值域 例1 求函数31()(1)2 x f x x x +=≤-的值域. 解 由已知有3[(2)2]1()2x f x x -++=-3(2)77322 x x x -+==+--. 由1x ≤，得21x -≤-.∴1102x -≤<-.∴函数()f x 的值域为{|43}y R y ∈-≤<. 2.用分离常数法判断分式函数的单调性 例2 已知函数()()x a f x a b x b +=≠+，判断函数()f x 的单调性. 解 由已知有()1x b a b a b y x b x b ++--==+++，x b ≠-.所以，当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数. 3.用分离常数法求分式函数的最值 例3 设1x >-，求函数2710()1 x x f x x ++=+的最小值. 解 ∵1x >-，∴10x +>.由已知有 2 [(1)1]7[(1)1]10()1x x f x x +-++-+=+2(1)5(1)41x x x ++++=+4[(1)]51 x x =++++59≥=. 当且仅当411 x x += +，即1x =时，等号成立.∴当1x =时，()f x 取得最小值9. 分离参数法 分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题. 1.用分离参数法解决函数有零点问题 例4 已知函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，求a 的取值范围. 解 ∵函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，∴方程2 40x ax -+=在[2,4]上有实根，即方程4a x x =+在[2,4]上有实根. 令4()f x x x =+ ，则a 的取值范围等于函数()f x 在[2,4]上的值域. 又224(2)(2)()10x x f x x x +-'=-=≥在[2,4]x ∈上恒成立，∴()f x 在[2,4]上是增函数. ∴(2)()(4)f f x f ≤≤，即4()5f x ≤≤.∴45a ≤≤.

分离参数法求变量范围

分离参数法求变量范围

分离参数法求变量x 范围 1已知任意函数的值总是大于0，求的范围2设不等式 对于满足的一切m 的值都成 立,求x 的取值范围.3. 已知函数，其中是的导函数. （1）对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围； 4. 对于满足|a|2的所有实数a,求使不等式x 2+ax+1>2a+x 恒成立的x 的取值范围。 5. 已知函数是定义在上的奇函数，且，若，，有，（1）证明在上的单调性；（2）若对所有恒成立，求的取值范围 ()()()331,5f x x ax g x f x ax '=+-=--()'f x ()f x 11a -≤≤a ()0g x +()f x []1,1-2()21f x m am ≤-+[]1,1a ∈-m [],1,1-∈a ()a x a x x f 244)(2-+-+=x

6、已知函数，. （Ⅰ）若函数的图象在处的切线与直线平行，求实数的值；（Ⅱ）设函数，对满足的一切的值，都有成立，求实数的取值范围； 5 已知函数（I ）讨论函数的单调性； （II ）设.如果对任意，，求的取值范围。（-∞，-2]. 19.(本小题9分) 已知。 1 ln )1()(2+++=ax x a x f )(x f 1--=-a a x x x f a 且

（1）求f(x)的解析是，并写出定义域； （2）判断f(x)的奇偶性并证明； （3）当a>1时，求使f(x)成立的x 的集合。 10．（１0分）已知≤≤1，若函数在区间[1，3]上的最大值为，最小值为，令． （1）求的函数表达式； （2）判断函数在区间[，1]上的单调性，并求出的最小值 .3 1a ()221f x ax x =-+()M a ()N a ()()()g a M a N a =-()g a ()g a 3 1()g a 0≥

(整理)数学物理方程第二章分离变量法word版

第五讲补充常微分方程求解相关知识。

第二章 分离变量法 偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。 解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数 一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题 对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题 （第六讲） §2.1 有界弦的自由振动 什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。 定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为 .0 ),(u ),(u 0, ,0u ,0u 0, l,0 ,0 t 0022 222l x x x t t x x u a t u t t l x x ≤≤==>==><

分离常数法和分离参数法的应用

分离常数法与分离参数法的应用 娄底二中 康惠如 一）:分离常数法: 是研究分式函数的一种代数变形的常用方法:主要的分式函数有 22sin ;;;sin x x ax b ax bx c ma n m x n y y y y pa q cx d p x q mx nx p +++++====+++++等。 解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数. 1)用分离常数法求分式函数的值域 例1：求函数31()2 x f x x +=-(1)x ≤的值域 解:由已知有()()32213277()3.2 22x x f x x x x ???? -++-+===+---。由1x ≤，得 21x -≤-。 所以1102 x -≤<-。故函数f （ｘ)的值域为{}:43y x -≤<. 2）用分离常数法判断分式函数的单调性 例２：已知函数f(x)= (),x a a b x b +≠+,判断函数f(x)的单调性。 解:由已知有f(x) =()1,x b a b a b x b x b x b ++--=+≠++.所以,当0a b ->时,函数ｆ(x ）在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数;当a-ｂ<0时,函数f(x)在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数。 ３)用分离常数法求分式函数的最值 例3:设x ＞-1，求函数f （x)＝ 27101 x x x +++的最小值。 解:因为x ＞-1，所以ｘ+１>0.f(x)= ()()211711101 x x x +-++-+????????+ ()()21514 1x x x ++++=+4(1)51x x =++++4(1)51x x =++++当且仅当, 411 x x +=+,即x=1时,等号成立。所以当x=1时，ｆ(x ）取得最小值9. 二：分离参数法 分离参数法是求参数的最值范围的一种方法。通过分离参数，用函数的观点讨论主变元的变

分离变量法

<<电磁场与电磁波>>读书报告 姓 名： 学 院： 学 号： 专 业： 题 目:分离变量法在求静态场的解的应用 成 绩： 二〇一四年四月 Xxx 工程学院 电子工程类

一．引言 分离变量法是在数学物理方法中应用最广泛的一种方法。在求解电磁场与电磁波的分布型问题和边值型问题有很重要的应用。分布型问题是指已知场源（电荷分布、电流分布）直接计算空间各点和位函数。而边值型问题是指已知空间某给定区域的场源分布和该区域边界面上的位函数（或其法向导数），求场内位函数的分布。求解这两类问题可以归结为在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程，即求解边值问题。这类问题的解法，例如镜像法，分离变量法，复变函数法，格林函数法和有限差分法，都是很常用的解法。这里仅对在直角坐标系情况下的分离变量法作简单介绍。 二．内容 1.分离变量法的特点： 分离变量法是指把一个多变量的函数表示成几个单变量函数乘积，从而将偏微分方程分离为几个带分离常数的常微分方程的方法，属于解析法的一种。它要求要求所给边界与一个适当的坐标系的坐标面重合.在此坐标系中，待求偏微分方程的解可表示成三个函数的乘积，每一函数仅是一个坐标的函数。我们仅讨论直角坐标系中的分离变量法. 2.推导过程: 直角坐标系中的拉普拉斯方程： 222 222 0 x y z ??? ??? ++=??? 我们假设是三个函数的乘积,即

(,,)()()()x y z X x Y y Z z ?= 其中X 只是x 的函数,同时Y 是y 的函数Z 是z 的函数，将上式带入拉普拉斯方程，得 然后上式同时除以XYZ ，得 0X Y Z X Y Z '''''' ++= 上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数，故可分解为下列三个方程： 即 α,β,γ为分离常数，都是待定常数，与边值有关但不能全为实数或全为虚数 。 由上式得2220αβγ++=，下面以X ”/X =α2式为例，说明X 的形式与α的关系 当α2=0时，则 当α2 <0时，令α=jk x (k x 为正实数)，则 或 当α2 >0时，令α=k x ，则 或 a ，b ，c ，d 为积分常数，由边界条件决定Y(y)Z(z)的解和X(x)类似。 1,2λα =±00 ()X x a x b =+12()x x jk x jk x X x b e b e -=+12()sin cos x x X x a k x a k x =+12()x x k x k x X x d e d e -=+12() s x x X x c hk x c chk x =+

分离常数法与分离参数法在数学解题中的应用

分离常数法与分离参数法在数学解题中的应用 分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有 ax b y cx d +=+，22ax bx c y mx nx p ++=++，x x m a n y p a q ?+=?+，sin sin m x n y p x q ?+=?+ 等.解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数. 1.用分离常数法求分式函数的值域 例1 求函数31()(1)2 x f x x x +=≤-的值域. 解 由已知有3[(2)2]1()2x f x x -++=-3(2)77322 x x x -+==+--. 由1x ≤，得21x -≤-.∴1102x -≤<-. ∴函数()f x 的值域为{|43}y R y ∈-≤<. 2.用分离常数法判断分式函数的单调性 例2 已知函数()()x a f x a b x b +=≠+，判断函数()f x 的单调性. 解 由已知有()1x b a b a b y x b x b ++--==+++，x b ≠-. 所以，当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数. 3.用分离常数法求分式函数的最值 例3 设1x >-，求函数2710()1 x x f x x ++=+的最小值. 解 ∵1x >-，∴10x +>. 由已知有 2[(1)1]7[(1)1]10()1 x x f x x +-++-+=+2(1)5(1)41x x x ++++=+4[(1)]51x x =++++ 59≥=.当且仅当411x x +=+，即1x =时，等号成立. ∴当1x =时，()f x 取得最小值9. 分离参数法 分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题. 1.用分离参数法解决函数有零点问题 例4 已知函数2 ()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，求a 的取值范围. 解 ∵函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，∴方程240x ax -+=在[2,4]上有

分离常数参数法-高考理科数学解题方法讲义

方法四 分离（常数）参数法 分离（常数）参数法是高中数学中比较常见的数学思想方法，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系，其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高，随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法. 1 分离常数法 分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围. 1.1 用分离常数法求分式函数的最值（值域） 分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax b y cx d += +，22 ax bx c y mx nx p ++=++，x x m a n y p a q ?+=?+，sin sin m x n y p x q ?+=?+ 等，解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数. 例1. 已知函数()242x x a a f x a a -+=+（0a >且1a ≠）是定义在R 上的奇函数. （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的值域； （Ⅲ）当[] 1,2x ∈时， ()220x mf x +-≥恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】(Ⅰ) 2a =；(Ⅱ) ()1,1-；(Ⅲ) 10,3?? +∞???? . 【解析】试题分析： (Ⅰ)由函数为奇函数可得()()f x f x -=-，即242422x x x x a a a a a a a a ---+-+=-++，可得2a =．（Ⅱ）分离常数可得()2121x f x =- +，故函数为增函数，再由211x +>，可得211121 x -<-<+，即可得函数的值域．(Ⅲ) 通过分离参数可得()( )212221 x x x m +-≥ -在[]1,2x ∈时恒成立，令()2 113x t t =-≤≤，，则有 ()()2121 t t m t t t +-≥ =-+，根据函数2 1y t t =- +的单调性可得函数的最大值，从而可得实数m 的取值