第二十二章一元二次方程导学案

第二十二章一元二次方程

一、教材内容

一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．

二、课标要求

1、以分析实际问题中的等量关系并求解其中的未知数为背景,认识一元二次方程及其有关概念.

2、根据化归思想,抓住降次这一策略,掌握配方法,公式法和因式分解法等一元二次方程的基本解法.

3、经历分析和解决实际问题的过程,体会一元二次方程的数学模型作用,进一步提高在实际问题中运用这种重要数学工具的基本能力.

三、教学目标

1．知识与技能

了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．

2．过程与方法

（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．?根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．

（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．

（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，?导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．

（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．

（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．

（6）提出、分析问题，建立一元二次方程数学模型，并用解决实际问题．

3．情感、态度与价值观

经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，体会到通过一元二次方程也是

刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．四、教学重点与难点

教学重点:

1. 一元二次方程及其它有关的概念.

2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．3. 利用实际问题建立一元二次方程的数学模型,并解决这个问题.

教学难点:

1．一元二次方程配方法解题．

2．用公式法解一元二次方程时的讨论．

3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．

五、课时划分

本单元教学时间约需13课时，具体分配如下：

22．1 一元二次方程2课时

22．2 降次──解一元二次方程5课时

22．3 实际问题与一元二次方程3课时

教学活动、习题课、小结3课时

22.1.1 《一元二次方程（1）》学案

课型：上课时间：课时：

学习目标：

1、进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型；

2、正确理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。

学习过程：

一、自主学习：

（一）、根据题意列方程：

（1）有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无 盖方盒.如果要制作的无盖方盒底面积为3600cm 2

,那么铁皮各角应切去多大的正方形?

（2）我校为丰富校园文化氛围，要设计一座2米高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与全部高度的乘积，等于下部（腰以下）高度的平方，求雕像下部的高度 .

（3）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，依据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，请问全校有多少个队参赛？

（二）、探索新知：

（１）、问题：上述４个方程是不是一元一次方程？有何共同点？

① ；② ；③ 。

（2）一元二次方程的概念：像这样的等号两边都是_____,只含有___个未知数，并且未知数的最高次数是___的方程叫做一元二次方程。

（3）任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为 (a,b,c 为常数， ）的形式,我们把它称为一元二次方程的一般形式。a 为 ，b 为 ，c 为 。

（三）、注意点：

(1)一元二次方程必须满足三个条件：a ；b ； c 。

(2)任何一个一元二次方程都可以化为一般形式： .二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。

(3)二次项系数0a ≠是一个重要条件，不能漏掉，为什么？

（四）、自我尝试：

1、下列列方程中，哪些是关于x 的一元二次方程？

（1）2

50x -= （22

x - （3）

212

30x x

+-= （4）3

30x x -= （5）2

30x xy +-=

2、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) 2

351x x =- (2) (2)(1)6x x +-= (3) 2

470x -=

（五）阅读课本，25页到27页，反思自主学习情况。

二、学生分小组交流解疑，教师点评升华。 三、巩固练习：课本27页练习1、2题 四、课堂检测：

1、下列方程中，是关于X 的一元二次方程的是（ ）

3= B.2

2

21x x x +=- C.2

0ax bx c ++= D.23(1)2(1)x x +=+

2、方程2(1)4(1)x x x -=-的一次项是（ ） A. 2x B. 4x C. 6- D. 6x -

3、将方程2(21)(3)(21)6x x x -+--=化成一般形式为___________,它的二次项系数为_____，一次项系数为_____，常数项为______。

4、当a_______时，关于X 的方程（a-1）x 2

+3x-5=0是一元二次方程。

22.1.2 《一元二次方程（2）》学案

课型：上课时间：课时：

学习目标：

1、会进行简单的一元二次方程的试解；

2、理解方程的解的概念，发展有条理的思考与表达能力；

3、会在简单的实际问题中估算方程的解，理解方程解的实际意义。

学习过程：

一、自主学习：

（一）复习引入：

1、解方程，并说出方程解的定义：3x=2(x+5)

2一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？

设苗圃的宽为xm，则长为_______m．

根据题意，得________．

整理，得_____ _ __．

（二）探索新知：

1．下面哪些数是上述方程的根？

-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．

2、一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_____，即使一元二次方程等号左右两边相等的_________的值。

3、判断下列一元二次方程后面括号里的哪些数是方程的解：

(1)

2360

x-= (－7,－6,－5, 5, 6, 7)

(2)

2

3113 4902,,1,,0,,1,,2

2222

x

??-=----

?

??

4、你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？

(1)

2250

x-= (2) 2

31

x= (3) 2

9160

x-=

（三）、注意点：

1、使一元二次方程成立的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。

2、由实际问题列出方程并得出解后，还要考虑这些解是否是实际问题的解。

（四）、自我尝试：

1、下列各未知数的值是方程

2

320

x x

+-=的解的是（）

A. 1x =

B.1x =-

C.2x =

D.

13x =

2、根据表格确定方程

287.5x x -+=0的解的范围____________

3、已知方程

2

390x x m -+=的一个根是1，则m 的值是______ （五）阅读课本，27页到28页，反思自主学习情况。

二、学生分小组交流解疑，教师点评升华。 三、巩固练习：课本28页练习1、2题 四、课堂检测：

1、把

2

2(1)2x x x x -=++化成一般形式是______________,二次项是____一次项系数是_______，常数项是_______。 2、一元二次方程2

x

x =的根是__________；方程x （x-1）=2的两根为________

3、写出一个以2x =为根的一元二次方程，且使一元二次方程的二次项系数为1：__________。

4、已知m 是方程260x x --=的一个根，则代数式2

m m -=________。 5．若222x x -=，则

2

243x x -+=_____________。 6．方程ax （x-b ）+（b-x ）=0的根是 x 1=______ x 2=___ 7．已知x=-1是方程ax 2+bx+c=0的根（b ≠0）

8．如果x 2-81=0，那么x 2-81=0的两个根分别是x 1=________，x 2=__________． 9．已知方程5x 2+mx-6=0的一个根是x=3，则m 的值为________．

10．如果x=1是方程ax 2+bx+3=0的一个根，则（a-b ）2+4ab 的值为 ．

11、若关于X 的一元二次方程22

(1)10a x x a -++-=的一个根是0，

a 的值是几？

你能得出这个方程的其他根吗？

22.2.1 《用直接开平方法解一元二次方程》学案

课型： 上课时间： 课时：

学习目标：

1、会用开平方法解形如x 2

=p 或(mx+n)2

=p(p ≥0)的方程；

2、经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界的数学模型。 学习过程： （一）、复习引入

学生活动：请同学们完成下列各题 问题1．填空

（1）x 2-8x+______=（x-______）2； （2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2； （3）x 2+px+_____=（x+______）2． （二）探索新知：

1、36的平方根是________,4

9的平方根是____________。 2、若24x =，则x =______________；若2

21x =，则x =__________。

3、请根据提示完成下面解题过程：

(1) 由方程 2(21)5x -=， 得 (2) 由方程 2

692x x ++=， 得 21x -=_______ (_________)2

=2 即 ∴ ______________=_______ 21x -=____，21x -=_____ 即 ____________, ____________ ∴ 1x =_______, 2x =_____ ∴ 1x =_______, 2x =_____ （三）、归纳概括：

1、形如2x p =(0)p ≥或2

()mx n p +=(0)p ≥的一元二次方程可利用平方根的

定义用开平方的方法直接求解，这种解方程的方法叫做直接开平方法。

2、如果方程能化成2x p =或2

()mx n p +=(0)p ≥

的形式，那么可得x =

或mx n +=

3、用直接开平方法解一元二次方程实质上是把一个一元二次方程降次．．，转化 为两个一元一次方程。

（四）、自我尝试 解下列方程：

(1)25x = (2) 2

390x -=

(3) 2(1)4x -= (4) 2

12365x x ++=

（五）阅读课本，30页到31页，反思自主学习情况。

巩固练习：请在练习本上尝试做出课本31页练习 四、课堂检测：

1、方程2

3x =的根是（ ） A. 1

23x x ==

B. 1

x =

C. 12x x ==12x ==2、解下列方程：

(1）2

4250t -= (2) 25(3)125x -= (3) 22(1)60x +-=

(4) 2

4410y y ++= (5) 291241x x ++= (6) 2

1

14

y y -+

=

9

22.2.1 《用配方法解一元二次方程》学案

课型： 上课时间： 课时：

学习目标:

1、掌握用配方法解数字系数的一般一元二次方程；

2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。 学习过程：

（一）复习引入：填上适当的数，使下列等式成立：

(1) 212x x ++____ = 2(6)x + (2) 24x x -+____ = (x -___)2

(3) 2

8x x ++____ = (x +____)2

（4）2

x －

4

5x ＋_____＝（x －____）2

由上面等式的左边可知，常数项和一次项系数的关系是： _____________________________________________________

（二）探索新知：请阅读教材第32页，解方程2

450x

x +-=，完成下面框图：

2450x x +-=

10

（三）、归纳总结：

1、通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。

2、配方是为了降次．．

，把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解。 3、方程的二次项系数不是1时，可以让方程的各项除以二次项系数，将方程的二次项系数化为1。

4、用配方法解二次项系数是1的一元二次方程的一般步骤是：

①、移项，把常数项移到方程右边；

②、配方，在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方； ③、利用直接开平方法解之。

（四）、自我尝试：解下列方程：（同桌相互查找问题，进行纠正）

(1) 2

61x x += (2) 2

20x --=3x (3) 2

67x +=2x

（五）阅读课本，32页到33页，自作例题1，反思自主学习情况。

巩固练习：课本34页练习 课堂检测：

1、填上适当的数，使下列等式成立：

(1) 25____(____x x x ++=+2

) (2) 2

1

____(____2x x x +

+=+2)

(3) 2____(____x x +=-2

) (4) 2____(____b x x x a ++=+2)

2、将方程2

410x ++=x 配方后，原方程变形为（ ）

A. (23x +=2)

B. (43x +=2)

C. (25x +=-2)

D. (23x +=-2

) 3、解下列方程：

(1) 2

280x +-=x (2) 2

35x +=2x (3) 2

410x -+=2x

11

22.2.2《公式法》学案

课型： 上课时间： 课时：

学习目标：

1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力。

2、会用公式法解简单系数的一元二次方程。 学习过程： 一、自主学习： (一)复习提问

1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？

2、用配方法解方程：x 2

-7x-18=0 3、你能用配方法解方程2

0(0)ax bx c a ++=≠吗？请尝试解

（二）归纳总结： 1、一元二次方程2

0(0)ax

bx c a ++=≠的根由方程的_________确定。当__________时，

它的根是_____________，这个式子叫做一元二次方程的_____________，利用它解一元二次方程的方法叫做______________。 2、一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠：

当2

4b

ac -____时，方程有实数根______________________________；

当___________时，方程有实数根______________________________； 当___________时，方程没有实数根。 （三）、注意点：

1、公式法是解一元二次方程的一般方法.

2、 公式法是配方法的一般化和格式化。配方法是公式法的基础，通过配方法得出了求根公式；公式法是直接利用求根公式，它省略了具体的配方过程。

3、一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠

当2

40b

ac ->

: 12b x a -+

= 22b x a --=

；

当2

40b ac -=时,方程有实数根：122b x x a

==-；

12

当2

40b

ac -<时，方程没有实数根。

（四）、自我尝试： 1、一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是_______________。

2、用公式法解方程：

(1) 2

780x

x --= (2) 2260x x +-=

3、 不解方程，判断下列方程实数根的情况： (1)

22340x x --= (2) 2690x x -+= (3) 2340x x ++=

（五）阅读课本，25页到27页，反思自主学习情况。

二、学生分小组交流解疑，教师点评升华。 三、巩固练习：课本42页练习1、2题 四、课堂检测： 1、方程2

10x x --=的根是（ ）

A. 1

1

x -+=

2

1x --= B. 112x += 212

x -=

C. 112x +

= 212

x -= D. 没有实数根

2、下列方程中，没有实数根的是（ ）

A.2

210x

x +-= B. 220x ++=

C. 2

10x += D. 220x x -++=

3、用公式法解下列方程： (1) 2

2980x x

-+= (2) 2340x -= (3) 29610x x ++=

(4)2112

x x =+ (5) 2

3520x x --+= (6) (1)(1)x x +-=

13

22.2.3 《因式分解法》学案

课型： 上课时间： 课时：

学习目标：

1、会用因式分解法（提公因式法、公式法）法解某些简单的数字系数的一元二次方程。

2、能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。 学习过程： 一、 自主学习

（一）创设情境，提出问题

背景材料：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10M/S 的速度竖直上抛，那么经过xs 物体离地面的高度（单位：m ）为10x-4.9 x 2

。

设问1：你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？（精确到0.001s ） 设问2；除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程？ （二）探索新知：

对于方程10x-4.9 x 2

=0。它的右边为0，左边可以因式分解，得

=0； 于是得 或 。 所以：x 1 = ，x 2≈

设问3：方程的两根都符合问题的实际意义吗？

设问4：以上解方程的方法是如何使二次方程降为一元一次的？ （三）归纳总结：

1、对于一元二次方程，先因式分解使方程化为_________________的形式， 再使________________________________，从而实现_________________， 这种解法叫做__________________。

2、如果

0a b ?=，那么0a =或0b =，这是因式分解法的根据。如：如果(1)(1)0x x +-=，那么10x +=或_______，即1x =-或________。

（四）、注意点：

1、因式分解法是解一元二次方程最简单的方法，但只适用于左边易因式分解而右边是0的一元二次方程。

14

2、因式分解法的根据是：如果0a b ?=，那么0a =或0b =。据此把一元二次方程化为两个一元一次方程来解，达到降次．．的目的。 （五）、自我尝试：

1、说出下列方程的根：（1）(8)0x x -= （2）(31)(25)0x x +-=

2、解下列方程： (1) 2

540x x -= (2) 3(3)x x x -=- (3) 2(5)315x x +=+

（五）阅读课本，25页到27页，反思自主学习情况。

二、学生分小组交流解疑，教师点评升华。 三、巩固练习：课本45页练习1、2题 四、课堂检测：

1、方程(3)0x x +=的根是（ ） A.10x = 20x = B.13x = 23x = C.10x =23x = D.10x = 23x =-

2、下列方程适合用因式分解法的是（ ）

A.2

10x

x ++= B.22310x x -+= C.2230x x ++= D.2(1)1x x -=-

3、方程2

2(1)1x x +=+的根是________________。

4、用因式分解法解下列方程： (1) (41)(57)0x x -+=

(2) 2

x = (3) 3(1)2(1)x x x -=-

(4) 2

(1)250x +-=(5) 22(3)9x x -=- (6) 2216(2)9(3)x x -=+

22.2.4 《习题课》学案

课型： 上课时间： 课时：

学习目标：选择合适的方法解一元二次方程 一、自主学习：解下列方程： 1. 2

70x x -= 2. 21227x x += 3、X （x-2）+X-2=0

15

4. 2

24x x +-= 5、5x 2

-2X-4

1 =x 2

-2X+43

6. 2

24(2)9(21)x x +=-

二、归纳总结：

1、解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次

3、一般考虑选择方法的顺序是：

直接开平方法、 分解因式法、 配方法或公式法 三、巩固练习：45页习题3、4、5题 四、课堂检测

1、方程2(4)5(4)x x x -=-的根是（ ）

A. 52x =

B.4x =

C.152x =-24x =

D. 52x =-

2、一元二次方程2

4210x x +-=的根是__________________________.

3、当x =____________时，代数式2

1230x x ++的值等于3.

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4、两个数的和为-7，积为12，这两个数是_____________________.

5、解下列方程：

(1) (23)(4)(32)(15)x x x x -+=-- (2) 215

6042

x x +-=

(3) 2

(21)(63)x x x -=- (4) 2670x x +-=

6、一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数是多少？

7

、已知2+

240x x c -+=的一个根，求方程的另一个根及c 的值。

17

22..3《实际问题与一元二次方程(1)》学案

课型： 上课时间： 课时：

学习目标：

会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理，进一步培养分析问题解决问题的意识和能力。 学习过程: 一、自主学习： （一）复习巩固 1、解下列方程： (1) 2

(1)2250x +-= (2) 2(2)(2)49x x x -=--

2、列一元二次方程解应用题的一般步骤:

(1)“设”，即设_____________，设求知数的方法有直接设和间接设未知数两种； (2)“列”，即根据题中________关系列方程； (3)“解”，即求出所列方程的_________；

(4)“检验”，即验证是否符合题意； (5)“答”，即回答题目中要解决的问题。 （二）自主探究

问题：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

分析：1、设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了_______人，第一轮后共有______人患了流感：2、第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了_______人，第二轮后共有_______人患了流感。 则：列方程 ，解得 即平均一个人传染了 个人。

再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？ （三）归纳总结： 1、-=

实际数基数

增长率基数

2、平均增长率公式：2

(1)Q a x =± 其中a 是增长（或降低）的基础量，x 是平均增长（或

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降低）率，n 是增长（或降低）的次数。 （四）、自我尝试：

某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？

（五）阅读课本，25页到27页，反思自主学习情况。

二、学生分小组交流解疑，教师点评升华。 三、课堂检测：

1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x ，第一年的产量为6万kg ，第二年的产量为_______kg ，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．

2.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x ,列方程( )

A. 500(12)x +=720

B. 2500(1)720x +

=

C. 2500(1)720x +=

D. 2

720(1)500x -=

3．?我国政府为了解决老百姓看病难的问题，?决定下调药品价格，?某种药品在1999年涨价30%?后，?2001?年降价70%?至a?元，?则这种药品在1999?年涨价前价格是__________． 4、某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？

5、商店里某种商品在两个月里降价两次，现在该商品每件的价格比两个月前下降了36％，问平均每月降价百分之几？

6、某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．

22.3《实际问题与一元二次方程(2)》学案

课型： 上课时间： 课时：

学习目标：

能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.

学习过程：

一、自主学习:

（一）复习巩固：

1、某商店销售一批服装，每价成本价100元，若想获得25%，这种服装的售价应为_______________元。

2、某商品原价a元，因需求量大，经营者将该商品提价10%，后因市场物价调整，又降价10%，降价后这种商品的价格是_______________。

（二）、归纳总结：

1、有关利率问题公式：利息=本金×利率×存期本息和=本金+利息

2、有关商品利润的关系式：（1）利润=售价－进价

（2）利润率=

-

=

利润售价进价

进价进价

（3）售价=进价（1+利润率）

（三）、自我尝试：

某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，?商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?

（四）例题选讲

某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，?那么商场平均每天可多售出34?张．?如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大．

二、课堂检测：

1．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（）．A．12人 B．18人 C．9人 D．10人

2．一个产品原价为a元，受市场经济影响，先提价20%后又降价15%，现价比原价多_______%．3．一个容器盛满纯药液63升，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，?第二次又倒出同样多

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的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28升，设每次倒出液体x升，?则列出的方程是________．

4．上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大?

5．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，?现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，?如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树?

6.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，?据市场分析，?若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：

（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．

（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．

（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?

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第22章一元二次方程

22.1 一元二次方程 一.知识点总结 1> 一元二次方程的概念 2、 一元二次方程的一般形式 3、 一元二次方程的解(根) 题型一：一元二次方程的概念问题 卜列方程中，一元二次方程共有( ). 1 * ①谿+ “0②加-3&+—0③八严 ④宀］⑤宀§+3=0 A. 2个 B ?3个 C ?4个 D ?5 卜列方程中是关丁 X 的一元二次方程的是 14、 __________________________________________ 方程3妒=7x+3的一般形式是 . 15、 _____________________________________________________ 把一元二次方程兀仗~9 = 4化简为一般形式是 ________________________________________________ ?一 16、 若方程（m-2） x m2_5m+8+（m+3）x +5=0是一元二次方程，求m 的值 17、 已知关丁?x 的方程⑷一加八十側十1）工十3心1二0.当尬为何值时，该方程是-元二 次方程？ 18、已知关丁? x 的方程（圧/ +必+，-1 = 0 题型总结 2、 A. %2+ 7 = 0 B .卅+加+*O c （兀一1）（兀+2） = 1 D =0 3、 卜列方程中，是一元二次方程的是( ）. A. r+3=0 B. x 2-3y = 0 c. 4 、 A r- - = 0 x 5、 A. (x +3)(1-3) = 1 D. 若5x2=6x —8化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项分别是 5, 6, —8 B 、5, —6, —8 C 、5, —6, 8 D 、6, 5, —8 一元二次方程3X 2-4X =5的二次项系数是( ) 3 B. - 4 C. 5 D.?5 C> 5, —6, 8

解一元二次方程--教学设计(张洁)

一、关联认知经验， 明确研究方向 问题（1）我们上节课已经学习了一元二次方程的概念，按照你以往的学习经验，接下来我们要研究什么呢？ 活动（1）请每组同学写出一些一元二次方程，为了方便观察，我们统一都写成一元二次方程的一般形式. 活动（2）虽然同学们写的都是一般形式，但是我们还是发现大家能够写出看起来是各式各样的一元二次方程.当我们要研究一个比较复杂的情形时可以怎么办呢？对，分类.那么请同学试着将这些一元二次方程分分类吧. 活动（3）请每组同学领一张任务纸，讨论呈现方式后，将自己小组同学写出的所有一元二次方程进行归类。学生预案： 根据已有的学习一元一次方程和分式 方程的经验，我们是按照方程的概念、解 法和应用的顺序展开研究，下面应该研究 一元二次方程的解法了. 学生预案： 分类方法可能有： （1）按等号左边多项式所含的项数分； （2）按系数是否为零分等情况； 教师预案： 根据学生的分类情况及时回应，如果 学生分类范围比较大，追问还能细分么？ 例子中若含有x2+1=0，x2+2x=0则引导学 生细分为两种情况，例子中若不含 x2+2x=0，教师不急于补充，在接下来的环 节中引导学生自主写出. 经过讨论，发现当a>0时，根据b、c 正、零、负的不同取值，一元二次方程共 有9种不同的类型；当a<0时，依据等式 的基本性质可将方程变为a>0的情形，因 此我们可以直接对b、c进行分类,对这9 类情形进行解法探究. 学生预案： 类别的呈现会出现直接罗列、树状 图、列表格等不同的形式。 教师预案： 用实物投影全班展示,比一比谁的呈 现方式更加直观简洁。 让学生有意识的 根据自己的学习经验， 总结代数学中研究方 程的一般顺序.自主提 出研究的内容和方向. 让学生自己写一 元二次方程，是对定义 的一次复习，同时也是 训练学生的发散思维， 提高同学的参与度和 研究兴趣的一种策略. 使学生在分类活 动中逐步认识一元二 次方程的各种形式，为 探究一元二次方程的 解法布好局，学生在接 下来的学习中探究每 个不同形式的方程解 法，也就完成了整个单 元中解法探索的整合 教学.使学生的学习是 连贯的、系统的，知识 的建构是完整的. “列表格”是数学中 常用的分析问题的方 法，既有直观简洁的特 征，又能体现分类者的 思维顺序。这里，通过 填表加深学生对一元 二次方程各项系数的 认识，以及方程不同类 型的理解，并为后续研

5.4 二次函数与一元二次方程导学案

.3.1二次函数与一元二次方程 班级 姓名 【学习目标】 1.经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程，体会方程与函数之间的联系； 2.理解抛物线与x 轴公共点的个数与相应的一元二次方程根的对应关系； 3.会求抛物线与坐标轴的交点坐标. 【课前自习】 2 . 2.二次函数的顶点式是 ，其中顶点坐标是 ，对称轴是 . 3.解下列一元二次方程： ①0322 =--x x ②0962 =+-x x ③0322 =+-x x 4.对于任何一个一元二次方程02 =++c bx ax ，我们可以通过表达式 的值判断方程的根的情况如下：当 >0时，方程有 实数根； 当 =0时，方程有 实数根； 当 <0时，方程 实数根.

【课堂助学】 一、探索归纳： 2.对比《课前自习》第3题各方程的解，你发现什么？ 3.归纳： ⑴一元二次方程02 =++c bx ax 的实数根就是对应的二次函数c bx ax y ++=2 与 x 轴交点的 . 的 ⑶二次函数c bx ax y ++=2 与y 轴交点坐标是 . 练习.判断下列函数的图象与x 轴是否有公共点，有几个公共点，并说明理由. ⑴x x y -=2 ； ⑵962 -+-=x x y ⑶11632 ++=x x y

二、典型例题： 例1、已知二次函数342+-=x x y .求该抛物线的图象与坐标轴的交点坐标. 归纳：⑴求抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点坐标只要令 ，转化为求对应 方程 的解；若对应方程的实数根为21x x 、，则抛物线与x 轴 的交点坐标是 ，特别当21 x x =时，这个交点就是抛物线的 . ⑵求抛物线c bx ax y ++=2与y 轴的交点坐标只要令 ，该交点坐标是 . 这也是求任意函数的图象与坐标轴交点坐标的一般方法. 【课堂检测】 1.抛物线2 2x x y --=与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 . 2.抛物线c bx ax y ++=2的图象都在x 轴的下方，则函数值y 的取值范围是 . 3.抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴只有一个交点（-3，0），则它的顶点坐标是 . 4. 若抛物线42 ++=bx x y 与x 轴只有1个交点，求b 的值. . 求抛物线822 --=x x y 与x 轴的交点之间的距离. 【拓展提升】 利用下列平面直角坐标系求例①中抛物线342 +-=x x y 与坐标轴的交点围成的 △ABC 的周长和面积.

华东师大版初中数学九年级上册 第22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法测试题6

22.2 一元二次方程的解法 ［课前预习］ 1、用直接开平方法解下列方程： （1）2 (2)2x -= （2）(x －2m)2=4m 2－4mn+n 2 (x 为未 知数) （3）(3x －1)2 =－5 （4）2 2 (2)9(3)x x -=+ 2、用因式分解法解下列方程： （1）2 (2)4(2)x x -=- （2）2 (2)(24)(2)0x x x x -+-+= 3、用配方法解方程： （1）02222 =--t t （2）02 =++q px x (x 为未知数) 4、用公式法解方程：012=-+x x （精确到0.01） ［课内练习］ 5、关于x 的方程043)5(2 =+--mx x m x 是一元二次方程的条件是＿＿＿＿。 6、分式1 ||3 22---x x x 的值为零，则x ＝＿＿＿。 7、若最简二次根式132342 +--x x x 与是同类二次根式，则x ＝＿＿＿。 8、解方程：m m x +=-3)(2 3m +一定是非负数吗？

9、解关于x 的方程： （1）0)23(2 =--x m x （2）0)1(2)1(2 =-+-y y y （3）)0(0)(2 ≠=---m n x n m mx 10、若(0)n n ≠是关于x 的方程02=++n mx x 的根，则m+n ＝＿＿＿＿。 11、若单项式22++m m m y ax 是六次单项式，则m ＝＿＿＿＿。 12、已知：关于x 的二次三项式102)42(2 2 +-++-a a x a x 是完全平方式，求a 的值。 13、（1）方程02=++c bx ax 中，若0=++c b a ，则一定有一个根为＿＿＿。 （2）当m_______时，方程02)()1(2 2 =-++-x m m x m 有一个根为1。 14、已知：的值求2 2 2 2 2 2 ,10)2)(1(y x y x y x +=++-+。 15、已知：y x y x y xy x 43,01272 2 ===+-或求证：。（求x y 呢） 16、已知：x 、y 满足等式)(6)(y x y y x x -=+,求x y 的值。

配方法解一元二次方程导学案[1]

配方法解一元二次方程. 学习目标：掌握用配方法解数字系数的一元二次方程； 重 点：用配方法解数字系数的一元二次方程； 难 点：配方的过程。 知识链接 a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 填空：（1）x 2＋6x ＋（ ）＝（x ＋ ）2；（2）x 2－8x ＋（ ）＝（x － ）2； （3）x 2＋2 3x ＋（ ）＝（x ＋ ）2；(4) x 2＋x+( )=(x+ )2 从这些练习中你发现了什么特点? (1)________________________________________________ (2)________________________________________________ 例1、用配方法解下列方程： （1）x 2－6x －7＝0； （2）x 2＋3x ＋1＝0. 总结规律:用配方法解二次项系数是1的一元二次方程有哪些步骤？ 例2、 用配方法解下列方程： （1）011242=--x x （2）03232=-+x x 总结规律:用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程有哪些步骤？ 达标检测 1．用适当的数填空： ①、x 2+6x+ =（x+ ）2； ②、x 2－5x+ =（x － ）2； ③、x 2+ x+ =（x+ ）2； ④、x 2－9x+ =（x － ）2 ⑤、4x 2－6x ＋（ ）＝4（x － ）2＝（2x － ）2.

2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______． 4．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 5．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ） A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 6．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ） A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数 7. 用配方法解方程： （1）x 2＋8x －2＝0 （2）x 2－5x －6＝0. （3）2x 2-x=6 （4）x 2＋px ＋q ＝0(p 2－4q ≥0). （5）3x 2-5x=2． （6）x 2+8x=9 （7）x 2+12x-15=0 （8） 41 x 2-x-4=0 8. 用配方法求解下列问题 （1）求2x 2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x 2+5x+1的最大值。 （3） 已知代数式x 2-5x+7,先用配方法说明，不论x 取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？

一元二次方程导学案教案

2010-2011学年度 第一学期初三数学电子备课 第 四 章 导 学 案 （总计13教时） 备课人：

一元二次方程（1） 一 、学习目标 1 正确理解一元二次方程意义，并能判断一个方程是否是一元二次方程； 2 知道一元二次方程的一般形式是c b a c bx ax 、、(02 =++是常数，0a ≠） ，能说出二次项及其系数，一次项及其系数和常数项； 3 理解并会用一元二次方程一般形式中a ≠0这一条件 4 通过问题情境，进一步体会学习和探究一元二次方程的必要性，体会数学知识来源于生活，又能为生活服务，从而激发学习热情，提高学习兴趣。 二 、知识准备： 1、只含有____________ 个未知数，且未知数的最高次数是___________的整式方程叫一元一次方程 2、方程2（x+1）=3的解是________________ 3、方程3x+2x=含有_______ 个未知数，含有未知数项的最高次数是_______________ ，它____________ （填“是”或“不是”）一元一次方程。 三 、学习内容 1、 根据题意列方程： ⑴正方形桌面的面积是2㎡，求它的边长。 设正方形桌面的边长是xm ，根据题意,得方程_______________，这个方程含有_____个未知数，未知数的最高次数是_____。 ⑵如图4-1，矩形花园一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m ，如果花园的面积是24㎡，求花园的长和宽。 设花园的宽是xm,则花园的长是（19－2x ）m,根据题意，得：x(19－2x)=24，去括号，得:______________这个方程含有____________个未知数，含有未知数项的最高次数是________。 ⑶如图，长5m 距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。（3＋x ）＋设梯子滑动的距离是xm ，根据勾股定理，滑动的梯子的顶端离地面4m ，则滑动后梯子的顶端离地面（4－x ）m ，梯子的底端与墙的距离是（3＋x ）m 。 根据题意，得： 25x 342 2=++-）（）（x 去括号，得：_____________________ 移项，合并同类项，得： -_________________此方程含有_____________个未知数，含有未知数项的最高次数是______。 2、概括归纳与知识提升： ⑴像0241922 =+-x x ，02 =-x x ，22 =x 这样的方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫一元二次方程。 〖思考感悟〗判断下列方程是否是一元二次方程并说明理由。

一元二次方程的解法教学设计

一元二次方程的解法教学设计Teaching design of solving quadratic equation of one variable

一元二次方程的解法教学设计 前言：小泰温馨提醒，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本教案根据数学课程标准的要求和针对教学对象是初中生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用，本文下载后内容可随意修改调整及打印。 教学目标 1．初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如的方程； 2．初步掌握用配方法解一元二次方程，会用配方法解数字系数的一元二次方程； 3．掌握一元二次方程的求根公式的推导，能够运用求根公式解一元二次方程； 4．会用因式分解法解某些一元二次方程。 5．通过对一元二次方程解法的教学，使学生进一步理解“降次”的数学方法，进一步获得对事物可以转化的认识。 教学重点和难点 重点：一元二次方程的四种解法。

难点：选择恰当的方法解一元二次方程。 教学建议： 一、教材分析： 1．知识结构： 2．重点、难点分析 （1）熟练掌握开平方法解一元二次方程 用开平方法解一元二次方程，一种是直接开平方法，另一种是配方法。 如果一元二次方程的一边是未知数的平方或含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，或完全平方式，如方程，和方程就可以直接开平方法求解，在开平方时注意取正、负两个平方根。 配方法解一元二次方程，就是利用完全平方公式，把一般形式的一元二次方程，转化为的形式来求解。配方时要注意把二次项系数化为1和方程两边都加上一次项系数一半的平方这两个关键步骤。 （2）熟记求根公式（）和公式中字母的意义在使用求根公式时要注意以下三点：

初中数学 一元二次方程学案

初中数学 第一课时 一元二次方程 学习目标 1.理解一元二次方程的概念，根据一元二 次方程的一般 式，确定各项系数 2.灵活应用一元二次方程概念解决有关问题 3.理解一元二次方程解的概念，并能解决相关问题 一、回顾思考： 一元一次方程是只含有 未知数，并且未知数的最高次数为 的 方程。 它的一般形式是 。 二元一次方程是含有 未知数，并且含未知数的项的最高次数是 的 方程。 它的一般形式是 。 二、观察归纳： 观察课件上面的方程，思考它们与我们所学的一元一次方程、二元一次方程有什么异同？ 1、 。2 。3 。 猜想：只含有______未知数，且未知数的最高次数是______的______方程叫 。 注：认识一元二次方程需从以下几个方面去考虑： （1）只含有一个未知数；（2）未知数最高次数2；（3）方程是整式方程； 思考：怎么才能判断是否是一元二次方程？ 一元二次方程的定义：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c 为常数, a ≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. 三、一元二次方程的一般形式 任何一个关于x 的一元二次方程都可以化成c b a c bx ax 、、(02=++是常数0a ≠）的形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式，其中c bx ax 、、2分别叫_________、________和______，b a 、分别叫做_________和_________。 练习：把下列关于x 的一元二次方程化为一般形式，写出它的二次项系数、一次项系数及常数项538)1(2+=x x （2）)2(2)2(3-=-x x x 注意： （1）二次项系数0a ≠ （2）一元二次方程地一般形式不是唯一的，但习惯上都把二次项的系数化为正整数。 （3）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项等都是针对一般

人教版九年级数学上册第22章一元二次方程学案(全章共10个)

x 22．1 一元二次方程（1） 重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题． 难点（关键）：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念． 学一学（阅读教材第25至26页，并完成预习内容。） 问题1 要设计一座2m 高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？ 分析：设雕像下部高x m ，则上部高________,得方程 _____________________________ 整理得 _____________________________ ① 问题2 如图，有一块长方形铁皮，长100cm ，宽50cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c ㎡，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为________________,宽为_____________.得方程 _____________________________ 整理得 _____________________________ ② 问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛的场数为___________ 设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他_________个队各赛1场，所以全部比赛共_________________场。列方程 ____________________________ 化简整理得 ____________________________ ③ 请口答下面问题： （1）方程①②③中未知数的个数各是多少？___________ （2）它们最高次数分别是几次？___________ 方程①②③的共同特点是： 这些方程的两边都是_________，只含有_______未知数（一元），并且未知数的最高次数是_____的方程. 1、只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程，叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式： ,其中 是 二次项， 是一次项， 是常数项， 是二次项系数 ， 是一次项系数。 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式ax 2 +bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一 元二次方程的一般形式．其中ax 2 是____________，_____是二次项系数；bx 是__________,_____是一次项系数；_____是常数项。（注意：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。二次项系数0a ≠是一个重要条件，不能漏掉。） 3. 例 将方程（8-2x ）（5-2x ）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 练一练 1:判断下列方程是否为一元二次方程，为什么？ 2222 2(1)10(3)23x 10x x (5)(3)(3)x x -==+=-22　ｘ (2)2(x -1)=3y 12 　ｘ－－ (4) －=0 (6)9x =5－4x

因式分解法解一元二次方程导学案(教师版)

24、2因式分解法解一元二次方程导学案 学习目标： 1、会用因式分解法解一元二次方程 2、会灵活选择合适的方法求解一元二次方程 学习重点： 1、会用因式分解法解一元二次方程 学习难点： 1、会用因式分解法解一元二次方程 2、根据方程特征选择适当的方法解一元二次方程 温故而知新 1、什么叫因式分解？ 2、你所知道的因式分解的方法有哪些？ 3、将下列各式因式分解 (1) x2-x (2) x2-4 (3) x2-2x+1 (4) x2+x-12 4、回想乘法法则：几个数相乘，有一个因式为零，则积为零。反之，若ab=0，那么________ 运用这一结论，快速求解下列方程 （1）x(x-1)=0 （2）(x-3)(x-5)=0 （3） (x+1)(x-4)=0 5、思考：试试这个吧！（要求群学） 解方程：x2=3x

闪亮登场 1、试一试 （群学）试着用上面的方法求解一元二次方程 x 2 =3x （请一名同学上台演示，必须说明理论依据和步骤） 2、总结因式分解法解一元二次方程的定义（投影) 先将一元二次方程通过（ ）化为两个一次式的乘积等于（ ）的形式，再使这两个一次式分别等于（ ），从而实现（ ），这种解法叫做因式分解法。 3、总结因式分解的步骤 （学生总结） （投影展示）【右化零，左分解，两因式，各求解】 4、把关练习（师傅把关） (1)x(x-2)+x-2=0 (2)(x －1)(x ＋2)=2(x ＋2) (3)5x 2-2x-41=x 2-2x+4 3 (4)x 2-12x+35=0 5、找找茬 （对学） 有一个很爱动脑筋的同学，又发现了一种更简洁的解法，大家看一看，这样行吗？ x 2 =4x 解：方程同除以x ，得 x=4

一元二次方程优质课教学设计

《一元二次方程》 2.1一元二次方程教学设计 一、内容和内容解析 （1）内容：一元二次方程的概念, 一元二次方程的一般形式 （2）内容解析：一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固，同时一元二次方程又是今后学生学习可化为一元二次方程的方程、一元二次不等式、二次函数以及高次方程等知识的基础。初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。我们从知识的横向联系上来看，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。 二、目标和目标解析 （1）目标：理解一元二次方程的概念；了解一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。（2）目标解析： 1．通过实际问题的解决，让学生体会到未知数相乘（或因面积问题）导致方程的次数升高，从而说明一元二次方程存在的实际背景，感受一元二次方程是重要的数学模型，体会到学习的必要性． 2．将不同形式的一元二次方程统一为一般形式，学生从数学符号的角度，体会概括出数学模型的简洁和必要，针对“二次”规定a≠0的条件，完善一元二次方程的概念。学生能够将一元二次方程整理成一般形式，准确的说出方程的各项系数，并能确定简单的字母系数方程为一元二次方程的条件． 三、学情分析 教学对象是九年级学生，他们有强烈的好奇心和求知欲，当他们在解决实际问题时，发现列出的方程不再是以前所学过的一元一次方程或是可化为一元一次方程的其他方程时，他们自然会想需要进一步研究和探索有关方程的问题。而从学生的认知结构上来看，前面我们已经系统的研究了一元一次方程及相关概念、整式、分式、二次根式。这就为我们继续研究一元二次方程奠定了基础。 四、教学问题诊断分析

华东师大版九年级数学上册 第22章 一元二次方程 单元检测试题(有答案)

第22章一元二次方程单元检测试题 （满分120分；时间：120分钟） 一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，） 1. 下列方程为一元二次方程的是（） A.x?2＝0 B.x2?2x?3 C.x2?4x+1＝0 D.y＝x2?1 2. 方程x2+2x=5的根是（） A.x=2±√6 2B.x=?1±√6 C.x=2±√6 4 D.x=?2+√6 3. 一元二次方程x2?3x?4=0的常数项是（） A.?4 B.?3 C.1 D.2 4. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是() A.x2+2x+3=0 B.x2+2x?3=0 C.x2?2x+3=0 D.x2+2x+1=0 5. 方程(x+1)2=4的解是（） A.x1=?3，x2=3 B.x1=?3，x2=1 C.x1=?1，x2=1 D.x1=1，x2=3 6. 已知x＝1关于x的一元二次方程x2+ax+2＝0的一个解，则a的值是（） A.?1 B.?2 C.?3 D.1 7. 已知x1+x2＝?7，x1x2＝8，则x1，x2是下列哪个方程的两个实数根（） A.x2?7x?8＝0 B.x2?7x+8＝0 C.x2+7x+8＝0 D.x2+7x?8＝0

8. 在实数范围内定义一种新运算“¤”，其规则为a¤b=a2?b2，根据这个规则，方程(x+ 2)¤3=0的解为（） A.x=?5或x=?1 B.x=5或x=1 C.x=5或x=?1 D.x=?5或x=1 9. 王刚同学在解关于x的方程x2?3x+c=0时，误将?3x看作+3x，结果解得x1=1，x2=?4，则原方程的解为() A.x1=?1，x2=?4 B.x1=1，x2=4 C.x1=?1，x2=4 D.x1=2，x2=3 10. 若一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，按这样的传染速度，若2人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有（） A.20人 B.22人 C.61人 D.121人 二、填空题（本题共计7 小题，每题3 分，共计21分，） 11. 把x2+6x+5=0化成(x+m)2=k的形式，则m=________． 12. 当关于x的方程(m?1)x m2+1?(m+1)x?2=0是一元二次方程时，m的值为 ________． 13. 一元二次方程x2?5x+c=0有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c是整数，则c=________．（只需填一个）． 14. 如果关于x的方程x2?4x+m2＝0有两个相等的实数根，那么m＝________． 15. 方程2x2+6x?1=0的两根为x1，x2，则x1+x2等于________． 16. 若k为整数，关于x的一元二次方程(k?1)x2?2(k+1)x+k+5=0有实数根，则整数k的最大值为________．

3.4用因式分解法解一元二次方程导学案

3.4用因式分解法解一元二次方程导学案 学习目标 掌握用因式分解法解一元二次方程． 通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．重难点关键 1．重点：用因式分解法解一元二次方程． 2．?难点与关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便． 学习过程 一、课前预习： （学生活动）解下列方程． （1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法） 老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为，的一半应为，因此，应加上（）2，同时减去（）2．（2）直接用公式求解． 二、课内探究 1、自主学习： 思考下面各题． （1）上面两个方程中有没有常数项？ （2）等式左边的各项有没有共同因式？ 上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解: 2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2） 因此，上面两个方程都可以写成： （1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0 因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-． （2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2． 结论：因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法． 2、合作交流： 先自己完成，后小组对照答案，改正错误 例1．解方程 （1）4x2=11x （2）（x-2）2=2x-4 分析：（1）移项提取公因式x；（2）等号右侧移项到左侧得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可达到分解因式；一边为两个一次式的乘积，?另一边为0的形式 解：（1） （2）移项，得

一元二次方程(复习课导学案)

初三数学 班级 姓名 一元二次方程（复习课导学案） 复习目标 1．了解一元二次方程的有关概念。 2．能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。 3．会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。 4．掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会运用它解决有关问题。 5． 通过复习深入理解方程思想、转化思想、分类讨论思想、整体思想，并会应用；进一步培养分析问题、解决问题的能力。 重点：能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。 难点：1、会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。 2、掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会运用它解决有关问题。 复习流程 考点呈现 考点1：一元二次方程的概念 例1 下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ） A.3（x+1）2 =2(x+1) B. 02112 =-+x x C.ax 2+bx+c=0 D.x 2+2x=x 2 -1 解析：构成一元二次方程（一般形式）必须同时满足以下条件：①整式方程；②二次项系数不为0；③只含有一个未知数；④未知数的最高次数是2.选项B 不满足①，C 不满足②，D 不满足④.故选Ａ. 考点2：一元二次方程的根 例2已知x=-1是一元二次方程02=++n mx x 的一个根，则2 22-n mn m +的值为 ． 解析：把x ＝-1代入一元二次方程，得m-n ＝1, 则m 2-2mn+n 2＝(m-n) 2 ＝1． 考点3：一元二次方程的解法 例3 方程x(x －1)＝2的解是（ ） A ．x ＝－1 B ．x ＝－2 C ．x 1＝1，x 2＝－2 D ．x 1＝－1，x 2＝2 解析：将原方程化为一般形式为x 2 -x-2＝0，用公式法解得x 1＝-1，x 2＝2. 故选D. 例4方程（x ﹣1）（x + 2）= 2（x + 2）的根是 ． 解析：方法一：去括号，整理得 x 2 －x －6＝0.用公式法解得x 1＝－2，x 2＝3. 方法二：移项，提取公因式x ＋2，得 (x ＋2)(x －3)＝0.解得x 1＝－2，x 2＝3． 点评：解一元二次方程要根据方程的特点灵活选用，讲究解法技巧，准确、迅速． 考点4：一元二次方程根的判别式 例5已知关于x 的一元二次方程 01)12 =++-x x m （有实数根，则m 的取值范围是 ．

初三数学上册_第22章一元二次方程教案_新人教版

第二十二章一元二次方程 单元要点分析 教材内容 1．本单元教学的主要内容． 一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题． 2．本单元在教材中的地位与作用． 一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容． 教学目标 1．知识与技能 了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题． 2．过程与方法 （1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．?根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念． （2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，?导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程． （4）通过用已学的配方法解ax2+b x+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0． （5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它． （6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，?并用该模型解决实际问题． 3．情感、态度与价值观 经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣． 教学重点 1．一元二次方程及其它有关的概念． 2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程． 3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．教学难点 1．一元二次方程配方法解题． 2．用公式法解一元二次方程时的讨论．

公式法解一元二次方程导学案

公式法解一元二次方程导学案 主备人： 组长： 包科领导： 学习目标： 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程. 2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式， 通过判别式判断根的情况. 3.学会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程 学习重点： 求根公式的推导，公式的正确使用 学习难点： 求根公式的推导 预 习 案 1、用配方法解下列方程 （1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=52 2、如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能 否用上面配方法的步骤求出它们的两根？ 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c ? 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解： 移项，得： ， 二次项系数化为1，得 配方，得： 即 ∵a ≠0，∴4a 2>0，式子b 2-4ac 的值有以下三种情况： （1） b 2 -4ac ＞0，则2244b ac a -＞0 直接开平方，得： 即x=2b a -± ∴x 1= ，x 2= （2） b 2 -4ac=0，则2244b ac a -=0此时方程的跟为 即一元二次程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个 的实根。 （3） b 2 -4ac ＜0，则2244b ac a -＜0，此时（x+2b a ）2 ＜0，而x 取

任何实数都不能使（x+2b a ）2 ＜0，因此方程 实数根。 探 究 案 一、由预习可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定， （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0， 当b 2 -4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子x=2b a -±就得到方程的根，当b 2-4ac ＜0，方程没有实数根。 （2）ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有 实数根。 当b 2-4a c ＞0时，一元二次方程有 的实数根； 当b 2-4ac=0时，一元二次方程有 的实数根； 当b 2-4ac ＜0，一元二次方程 实数根。 （4） 一般地，式子b 2-4ac 叫做方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的 判别式，通常用希腊字Δ表示它，即Δ= b 2-4ac 二、使用公式法解一元二次方程的一般步骤： ○ 1把方程整理成一般形式，确定a,b,c 的值，注意符号 ○ 2求出b 2-4ac 的值 ○ 3当b 2-4ac ≥0时，把a ，b ，c 及b 2-4ac 的值带入求根公式 x 1，x 2；当b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根 三、用公式法解方程（参考课本65页例题书写） （1）x 2-4x-7=0 （2）4x 2-3x+1=0 四、当堂训练 1.用公式法解下列方程：

21.1一元二次方程(教学设计)

第1课时 21.1一元二次方程(教学设计) 课型：新授课 编制：张媚 九年级（ ）班 姓名 学习目标： 1、知识与技能： 了解一元二次方程的概念,一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)，应用一元二次方程概念解决一些简单问题。 2、过程与方法： 通过独立思考，小组交流，探究一元二次方程的概念和一元二次方程的一般形式。 3、情感与态度： 培养学生自学能力与小组合作的意识。 重点： 一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0) 难点：一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)转化。 学情分析：本节课以实际问题为例，通过自主学习，小组探究交流讨论，引出一元二次方程的概念，有利于学生感受和理解，对每个知识点，进行归纳整理，设计适当练习，加深对知识理解，发展学生的能力，突破重点，降低难点。但现有 学生运算能力较差，将一元二次方程的化为一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)有一定困 难，对实际问题列一元二次方程也会出现困难。 导学过程： 一、自学指导： 阅读教材第1至4页，并完成预习内容.. 问题1 如图，有一块长方形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积 为3 600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为 ，宽为 .得方程 ， 整理得 化简，得 .① 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛的场数为 设应邀请x 个队参赛，每个队要与其他 个队各赛1场，所以全部比赛共 ____ 场. 列方程_ ____ = . 化简整理得 .② 知识探究 (1)方程①②中未知数的个数各是多少？ 个 (2)它们最高次数分别是几次？ 次 方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是整式，只含有 未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 的整式方程. 自学反馈 1.一元二次方程的概念. 2.一元二次方程的一般形式: 自学检测： 下列方程中哪些是一元二次方程？（看课件） 二、合作探究（例题学习） 活动1小组讨论 例1将方程3x （x －1）＝5(x ＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项. 05212 =+-x x )(

一元二次方程复习导学案教案

《一元二次方程复习》导学案主备：张悦审核：王杰时间：12.29 1、复习一元二次方程，一元二次方程的解的概念； 2、复习4种方法解简单的一元二次方程； 3、会建立一元二次方程的模型解决简单的实际问题。 [学习过程] 一、回顾知识点 1、一元二次方程具有三个显著特点，它们是①_________________； ②_________________；③_________________。 2、一元二次方程的一般形式是_______________________________。 3、一元二次方程的解法有____________、____________、____________、____________。 4、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为△=b2-4ac。 ①当△＞0时，方程有__________；②当△=0时，方程有__________； ③当△＜0时，方程有__________。 5.一元二次方程20 ++=的两根为1x，2x，则两根与方程系数 ax bx c 之间有如下 一、填空题： 1、在下列方程①2x+1=0;②y2+x=1;③x2+1=0;④ +x2=1中，是一元

一次方程的是_____。 2、已知x=1是一元二次方程x2-2mx+1=0的一个解，则m=______。 3、若关于x 的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0的常项为0，则m=________。 4、关于x 的一元二次方程x2-mx+m-2=0的根的情况是__________。 5、写出两个一元二次方程，使每个方程都有一根为0，并且二次项系数都为1：________；______________。 6、三角形的每条边的长都是方程x2-6x+8=0的根，则三角形的周长是___________。 7、解方程5（x- ）2=2(x- )最适当的方法是_____________。二、填空题：（每题3分，共24分） 8．一元二次方程02=-x x 的二次项系数为 ，一次项系 数为 ，常数项为 ； 9. 方程042=-x x 的解为 10．已知关于x 一元二次方程02=++c bx ax 有一个根为1，则=++c b a 11．当代数式532++x x 的值等于7时，代数式2932-+x x 的值是 ； 12．关于0132=+-x x 实数根（注：填“有”或“没有”）。 13．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两 位数为 ；