三角形中线与角平分线(经典例题)

2015年高考新课标2全国卷数学解三角形题目思考

1、中ABC ?，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，.2倍面积的的面积是ADC ABD ??

.

重点结论：角平分线性质：（1）平分角；（2）到角两边距离相等；（3）线段成比例

中点性质与结论：（1）平分线段；（2）向量结论；（3）两个小三角形面积相等

解法评价：好想，但计算较多，且最终无法取舍两根，需要依靠图片的准确性舍弃一解

在ABC

?

2

2

2

2

2

2

31cos 2AB BC AC B AB BC +-+===

?在ABD

?

中2

22

2732316AD =+-?=?

?

AD ∴=

解法评价：

突出余弦定理两大运用，

两边及夹角，

利用余弦定理求第三边和三边求角，训练在同一个角在不同三角形中求解

ABC ABD ADC S S S ???=+,有正弦定理的面积公式可得

111

sin sin sin 222

AB AC BAC AB AD BAD AC AD CAD ?∠=?∠+?∠

全等三角形证明经典题(含答案)

全等三角形证明经典题(含答案) 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，111749AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADCBD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4即 4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=2 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 延长CD 与P ，使D 为CP 中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 4. 5. 证明：连接BF 和EF ∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三 角形BEF 中,BF=EF ∴∠EBF=∠BEF 。 ∵∠ABC=∠AED 。∴∠ABE=∠AEB 。∴AB=AE 。在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴三角形ABF 和三角形AEF 全等。∴∠BAF=∠ EAF(∠1=∠2)。 6. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC A D B C

过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶角）∴△EFD ≌△CGD EF ＝CG ∠CGD ＝∠EFD 又EF ∥AB ∴∠EFD ＝∠1∠1=∠2 ∴∠CGD ＝∠2∴△AGC 为等腰三角形，AC ＝CG 又EF ＝CG ∴EF ＝AC 7. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠ C 证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD ＝∠CAD ∵AE ＝AC ，AD ＝AD ∴△AED ≌△ACD （SAS ） ∴∠E ＝∠C ∵AC ＝AB+BD ∴AE ＝AB+BD ∵AE ＝AB+BE ∴BD ＝BE ∴∠BDE ＝∠E ∵∠ABC ＝∠E+∠BDE ∴∠ABC ＝2∠E ∴∠ABC ＝2∠C 8. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF ∵CE ⊥AB ∴∠CEB ＝∠CEF ＝90° ∵EB ＝EF ，CE ＝CE ，∴△CEB ≌△CEF ∴∠B ＝∠CFE ∵∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° ∴∠D ＝∠CFA ∵AC 平分∠BAD ∴∠DAC ＝∠FAC ∵AC ＝AC ∴△ADC ≌△AFC （SAS ） ∴AD ＝AF ∴AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 9. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 在BC 上截取BF=AB ，连接EF ∵BE 平分∠ABC ∴∠ABE=∠FBE 又∵BE=BE ∴⊿ABE ≌⊿FBE （SAS ） ∴∠A=∠BFE ∵AB//CD ∴∠A+∠D=180o ∵∠BFE+∠CFE=180o ∴∠D=∠CFE 又∵∠DCE=∠FCECE 平分∠BCDCE=CE ∴⊿DCE ≌⊿FCE （AAS ）∴CD=CF ∴BC=BF+CF=AB+CD 10. 已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C AB ‖ED ，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度， ∵∠EAB=∠BDE ， B A C D F 2 1 E D C B A F E A

必修五解三角形常考题型非常全面

必修五解三角形常考题型 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 【典型题剖析】 考察点1：利用正弦定理解三角形 例1 在V ABC 中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c. 【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。 解：::1:2:3,A . ,,, 6 3 2 1::sin :sin :sin sin :sin :sin :1 2.6 3 2 2A B C B C A B C a b A B C ππ π π π π π =++=∴= = = ∴=== =Q 而 【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。 例2在ABC 中，已知 ，C=30°，求a+b 的取值范围。 【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。 解：∵C=30°， ，∴由正弦定理得： sin sin sin a b c A B C === ∴ )sin （150°-A ）. ∴ )[sinA+sin(150° )·2sin75°·cos(75° -A)= 2 cos(75°-A) ① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b 取得最大值 2 ； ② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A ＜150°，∴0°＜A ＜150°, ∴-75°＜75°-A ＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1， ∴＞ 2 cos75° = 2 × 4 . 综合①②可得a+b 的取值范围为 ,8+ 考察点2：利用正弦定理判断三角形形状 例3在△ABC 中，2 a ·tanB=2 b ·tanA ，判断三角形ABC 的形状。 【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC 的形状。

三角形经典习题(必看)

三角形复习卷 一、选择题 1.一个三角形的两边长分别是2cm 和9cm ，第三边的长是一个奇数，则第三边长为（ ） A 、5cm B 、7cm C 、9cm D 、11cm 2. 1.在下列条件中：①∠A+∠B=∠C ，②∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4，③∠A=90°－∠B ，④∠A=∠B= 2 1 ∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有( ) A 、1个； B 、2个； C 、3个； D 、4个 3.对于三角形的内角,下列判断中不正确的是( )； A.至少有两个锐角 B.最多有一个直角 C.必有一个角大于600 D.至少有一个角不小600 4. 如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，则图中互余的角有( ) A 、2对； B 、3对； C 、4对； D 、5对； 5. 下列说法错误的是（ ） A. 三角形三条中线交于三角形内一点； B. 三角形三条角平分线交于三角形内一点 C. 三角形三条高交于三角形内一点； D. 三角形的中线、角平分线、高都是线段 6、一个三角形的两个内角分别为55°和65°，这个三角形的外角不可能是( ) A 、115° B、120° C、125° D、130° 7、如图，在锐角△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，且CD 、BE 相交于一点P ，若∠A=50°，则∠BPC=( ) A 、150° B、130° C、120° D、100° 8、7.一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 9如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，AE 是高，已知∠BAC=2∠B，∠B=2∠DAE，那么∠ACB 为（ ）A. 80° B. 72° C. 48° D. 36° 10．在△ABC 中，∠A=2∠B=4∠C ，则△ABC 为（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.都有可能 11.直角三角形两锐角的平分线相交所夹的钝角为（ ） A 、125° B 、135° C 、145° D 、150° 12.等腰△ABC 的底边为5cm ，一腰上的中线把周长分为差为3cm 的两部分，则△ABC 的腰长是（ ）cm 。 A B C D E P 第7题 第9题

八年级上数学_全等三角形典型例题(一)

全等三角形典型例题： 例1：把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D 在BC 上，连结BE ，AD ，AD 的延长线交BE 于点F ．求 证：AF ⊥BE ． 练习1：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ， AE 是过点A 的直线，BD ⊥AE ，CE ⊥AE ， 如果CE=3，BD=7，请你求出DE 的长度。 例2： △DAC, △EBC 均是等边三角形，AE,BD 分别与CD,CE 交于点M,N, 求证：（1）AE=BD ； (2)CM=CN ； (3) △CMN 为等边三角形；（4）MN ∥BC 。 例3：（10分）已知，△ABC 中，∠BAC = 90°，AB = AC ，过A 任作一直线l ，作BD ⊥l 于D ，CE ⊥l 于E ，观察三条线段BD ，CE ，DE 之间的数量关系． ⑴如图1，当l 经过BC 中点时，DE = （1分），此时BD CE （1分）． ⑵如图2，当l 不与线段BC 相交时，BD ，CE ，DE 三者的数量关系为 ，并证明你的结论．（3分） ⑶如图3，当l 与线段BC 相交，交点靠近B 点时，BD ，CE ，DE 三者的数量关系为 ． 证明你的结论（4分），并画图直接写出交点靠近C 点时，BD ，CE ，DE 三者的数量关系为 ．（1分） 图1 图2 图3 C B A l B C A B C D E l A B C l E D

练习1：以直角三角形ABC的两直角边AB、BC为一边，分别向外作等边三角形△ABE和等边△BCF，连结EF、EC。试说明：（1）EF＝EC；（2）EB⊥CF B A F E 练习2： 如图（1）A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC若AB=CD，G是EF的中点吗？请证明你的结论。 若将⊿ABC的边EC经AC方向移动变为图（2）时，其余条件不变，上述结论还成立吗？为什么？

解三角形的必备知识和典型例题及习题

解三角形的必备知识和典型例题及习题 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 （1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝2 1ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题： 第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题： 第1、已知三边求三角. 第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 5．三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。

(完整版)解析三角形中两条角平分线组成的角

解析三角形中两条角平分线组成的角 当同学们学完三角形的角平分线后，利用角平分线来解决相关几何题就应运而生。这儿作者只是给大家归纳了几种利用三角形两条角平分线组成的角的解析方法，以便大家在平时的作业时可简便计算。 一、三角形两内角角平分线组成的角： 如图，△ABC 中 ∠A=n o ∠ABC 与∠ACB 的角平分线BO,CO 相交与点O ，求∠BOC 的度数？ 解：在△ABC 中 ∠A+∠ABC+∠ACB= 180o 又 ∵∠A=n o ∴∠ABC+∠ACB=180o －n o ∵BO,CO 是∠ABC 与∠ACB 的角平分线 ∴∠OBC= 2 1∠ABC ∠OCB =2 1∠ACB ∴∠OBC+∠OCB=21∠ABC+2 1∠ACB =2 1(∠ABC+∠ACB) ∴∠OBC+∠OCB=2 1(180o －n o ) =90o －21 n o 在△BOC 中 ∠OBC+∠OCB+∠BOC= 180o ∴∠BOC=180o －(∠OBC+∠OCB) =180o －(90o － 21 n o ) =180o －90o + 21 n o =90o +2 1 n o 即：∠BOC=90o +2 1 ∠A 通过上述解题过程不难发现，其实三角形的两内角平分线组成的角应为90o 与第三角的一半的和。 二、三角形两外角角平分线组成的角： 如图，△ABC 中 ∠A=n o ∠CBD 与∠BCE 的角平分线BO,CO 相交与点O ，求∠BOC 的度数？ 解：在△ABC 中 ∠A+∠ABC+∠ACB= 180o C

又 ∵∠A=n o ∴∠ABC+∠ACB=180o －n o ∵∠ABC+∠CBD=180o ∠ACB+∠BCE=180o ∴∠CBD+∠BCE=360o －(∠ABC+∠ACB) =360o －180o +n o =180o +n o ∵BO,CO 是∠DBC 与∠ECB 的角平分线 ∴∠OBC= 2 1∠CBD ∠OCB =2 1∠BCE ∴∠OBC+∠OCB=21∠CBD+2 1∠BCE =2 1(∠CBD+∠BCE) ∴∠OBC+∠OCB=2 1(180o +n o ) =90o +21 n o 在△BOC 中 ∠OBC+∠OCB+∠BOC= 180o ∴∠BOC=180o －(∠OBC+∠OCB) =180o －(90o + 2 1 n o ) =180o －90o －2 1 n o =90o －2 1 n o 即：∠BOC=90o －21 ∠A 由此我们可发现三角形的两个外角角平分线所组成的角等于90o 与第三角的一半的差。 三、三角形一内角角平分线与一外角角平分组成的角： 如图，△ABC 中 ∠A=n o ∠ABC 与∠ACD 的角平分线BO,CO 相交与点O ，求∠BOC 的度数？ 解：∵∠ACD 为△ABC 的外角 ∴∠ACD=∠A+∠ABC ∵BO,CO 是∠ABC 与∠ACD 的角平分线 ∴∠OBC=2 1∠ABC ∠OCB =2 1∠ACD =21(∠A+∠ABC) A E

全等三角形练习题(很经典)

第十二章 全等三角形 第Ⅰ卷（选择题 共30 分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列说法正确的是（ ） A.形状相同的两个三角形全等 B.面积相等的两个三角形全等 C.完全重合的两个三角形全等 D.所有的等边三角形全等 2. 如图所示，a,b,c 分别表示△ABC 的三边长，则下面与△ABC 一定全等的三角形是（ ） 3.如图所示，已知△ABE ≌△ACD ，∠1=∠2，∠B=∠C ， 下列不正确的等式是（ ） A.AB=AC B.∠BAE=∠CAD C.BE=DC D.AD=DE 4. 在△ABC 和△A /B /C /中,AB=A /B /,∠B=∠B /,补充条件后 仍不一定能保证△ABC ≌△A /B /C /,则补充的这个条件是 ( ) A ．BC= B / C / B ．∠A=∠A / C ．AC=A /C / D ．∠C=∠C / 5.如图所示，点B 、C 、E 在同一条直线上，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（ ） A.△ACE ≌△BCD B.△BGC ≌△AFC C.△DCG ≌△ECF D.△ADB ≌△CEA 6. 要测量河两岸相对的两点A,B 的距离，先在AB 的垂 线BF 上取两点C,D ，使CD=BC ，再作出BF 的垂线DE ， 使A,C,E 在一条直线上（如图所示），可以说明 △EDC ≌△ABC ，得ED=AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长，判定△EDC ≌△ABC 最恰当的理由是（ ） A.边角边 B.角边角 C.边边边 D.边边角 7.已知：如图所示，AC=CD ，∠B=∠E=90°，AC ⊥CD ，则不 正确的结论是（ ） A ．∠A 与∠D 互为余角 B ．∠A=∠2 C ．△ABC ≌△CE D D ．∠1=∠2 8. 在△ABC 和△FED 中，已知∠C=∠D ，∠B=∠E ，要判定 这两个三角形全等，还需要条件（ ） 第3题图 第5题图 第7题图 第2题图 第6题图 A B C D

解三角形典型例题

1．正弦定理和余弦定理 在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 2.S △ABC ＝2ab sin C ＝2bc sin A ＝2ac sin B ＝4R ＝2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r . 1.在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ?cos A c; a-b

三角形角平分线专题讲解(精选.)

二由角平分线想到的辅助线 口诀： 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 几何的证明在于猜想与尝试，但这 种尝试与猜想是在一定的规律基本之图1-1 B

上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。 如图1-1，∠∠，如取，并连接、，则有△≌△，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 例1． 如图 1-2，，平分∠，平分∠， 点E 在上，求证：。 分析：此题中就涉及到角平分线， 可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。 简证：在此题中可在长线段上截取，再证明，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长与的延长线交于一点来证明。自已试一试。 例2． 已知：如图 1-3，2，∠∠，，求证⊥ 图1-2 D B C

三角形经典题50道附答案解析

1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，111749AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=2 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：1 2CD AB 延长CD 与P ，使D 为CP 中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形 又∠ACB=90 ∴平行四边形ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 A D B C

证明：连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。 ∵ ∠ABC=∠AED 。 ∴ ∠ABE=∠AEB 。 ∴ AB=AE 。 在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF, ∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G CG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶角） ∴△EFD ≌△CGD EF ＝CG B A C D F 2 1 E

人教版八年级上全等三角形经典例题整理

全等三角形的典型习题 一、全等在特殊图形中的运用 1、如图，等边△ABC 中，D 、E 分别是AB 、CA 上的动点，AD ＝CE ，试求∠DFB 的度数． 2、如下图所示，等边△ABC 中，D 、E 、F 是AB 、BC 、CA 上动点，AD ＝BE ＝CF ，试判 断△DEF 的形状． 3、如下图所示，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，且点B 、A 、D 在同一直线上，AC 、BE 相交于点G ，AE 、CD 相交于点F ，试说明△AGF 是等边三角形． Ex 、如图，四边形ABCD 与BEFG 都是正方形，AG 、CE 相交于点O ，AG 、BC 相交于点M ，BG 、CE 相交于点N ，请你猜测AG 与CE 的关系(数量关系和位置关系)并说明理由． 4、△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∠B ＝∠C ＝45°，D 是底边BC 的中点，DE ⊥DF ，试说明BE 、CF 、EF 为边长的三角形是直角三角形。 A B A A

m 二．证明全等常用方法（截长法或补短法） 5、如图所示，在△ABC 中，∠ABC ＝2∠C ，∠BAC 的平分线交BC 于点D ．请你试说明AB ＋BD ＝AC ． Ex1，∠C ＋∠D ＝180°，∠1＝∠2，∠3＝∠4．试用截长法说明AD ＋BC ＝AB ． Ex2、五边形ABCDE 中,AB ＝AE,∠BAC ＋∠DAE ＝∠CAD,∠ABC ＋∠AED ＝180°,连结AC ，AD ．请你用补短法说明BC ＋DE ＝CD ．（也可用截长法，自己考虑） 6、如图，正方形ABCD 中，E 是AB 上的点，F 是BC 上的点，且∠EDF ＝45°．请你试用 补短法说明AE ＋CF ＝EF ． Ex1.、如图所示，在△ABC 中，边BC 在直线m 上，△ABC 外的四边形ACDE 和四边形ABFG 均为正方形，DN ⊥m 于N ，FM ⊥m 于M ．请你说明BC ＝FM ＋DN 的理由．(分别用截长法和补短法) （连结GE ，你能说明S △ABC ＝S △AGE 吗？） B B C F C A B

解三角形典型例题答案

1. 解：cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=+= sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sin cos A B C A B A B C C +=+-= cos()cos(),2cos cos 0A B A B A B -=-+= cos 0A =或cos 0B =，得2A π=或2B π= 所以△ABC 是直角三角形。 2. 证明：将ac b c a B 2cos 222-+=，bc a c b A 2cos 2 22-+=代入右边 得右边22222222 22()222a c b b c a a b c abc abc ab +-+--=-= 22a b a b ab b a -==-=左边， ∴)cos cos (a A b B c a b b a -=- 3．证明：∵△AB C 是锐角三角形，∴,2A B π+>即022A B ππ>>-> ∴sin sin()2 A B π >-，即sin cos A B >；同理sin cos B C >；sin cos C A > ∴C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++ 4.解：∵2,a c b +=∴sin sin 2sin A C B +=，即2sin cos 4sin cos 2222 A C A C B B +-=， ∴1sin cos 222B A C -==0,22 B π<<∴cos 2B = ∴sin 2sin cos 22244B B B ==?=839 5解：22222222sin()sin cos sin ,sin()cos sin sin a b A B a A B A a b A B b A B B ++===-- cos sin ,sin 2sin 2,222cos sin B A A B A B A B A B π===+=或2 ∴等腰或直角三角形 6解：2sin sin 2sin sin )sin ,R A A R C C b B ?-?=- 222sin sin )sin ,,a A c C b B a c b -=--=-

三角形的高、中线与角平分线(全国优质课一等奖)

2008年全国第六届初中数学优质课比赛教案 课题：§7.1.2三角形的高、中线与角平分线 教材：人教版义务教育课程标准实验教科书七年级数学下册第65～66页 授课教师：临川一中陈良琴 [教材分析] 1、本节教材的地位与作用： 学生已学习了角的平分线，线段的中点，垂线和三角形的有关概念及边的性质等，本节课在此基础上进一步认识三角形，为今后学习三角形的内切圆及三心等知识埋下了伏笔．本节内容着重介绍了三角形的三种特殊线段，已学过的过直线外一点作已知直线的垂线、线段的中点、角的平分线等知识是学习本节新知识的基础，其中三角形的高学生从小学起已开始接触，教材从学生已有认知出发，从高入手，利用图形，给高作了具体定义，使学生了解三角形的高为线段，进而引出三角形的另外几种特殊线段——中线、角平分线． 通过本节内容学习，可使学生掌握三角形的高、中线、角平分线与垂线、角平分线的联系与区别．另外，本节内容也是日后学习等腰三角形等特殊三角形的基础．故学好本节内容是十分必要的． 2、教学重点： 能够正确地画出三角形的“高”、“角平分线”和“中线”，并理解它们概念的含义、联系和区别．3、教学难点： 在钝角三角形中作高． 4、教学关键： 运用好数形结合的思想，特别是研究三角形的角平分线、中线、高时，从折叠、度量入手，获得三种线段的直观形象，以便准确理解上述基本知识。 [教学目标] 基于上述对教材地位与作用的分析，结合学生已有的认知水平的年龄特征，制定本节如下的教学目标： （1）知识与技能目标：通过观察、画、折等实践操作、想像、推理、交流等过程，认识三角形的高线、角平分线、中线；会画出任意三角形的高线、角平分线、中线，通过画图、折纸了解三角形的三条高线、三条角平分线、三条中线会交于一点． （2）过程与方法目标：经历画、折等实践操作活动过程，发展学生的空间观念，推理能力及创新精神．学会用数学知识解决实际问题能力，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力．（3）情感与态度目标：通过对问题的解决，使学生有成就感，培养学生的合作精神，树立学好数学的信心． [学情分析] 七年级的孩子思维活跃，模仿能力强，对新知事物满怀探求的欲望.同时他们也具备了一定的学习能力，在老师的指导下，能针对某一问题展开讨论并归纳总结.但是受年龄特征的影响，他们知识迁移能力不强，推理能力还需进一步培养． [教学过程] 本节课按照“创设情境，引入新课”——“合作交流，探求新知”——“拓展创新，挑战自我”——“课堂小结，感悟反思”——“走出课堂，应用数学”的流程展开．

等腰三角形典型例题练习(含答案)#(精选.)

等腰三角形典型例题练习

等腰三角形典型例题练习 一．选择题（共2小题） 1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（） A．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定 2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD 和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论： ①AE=BD ②CN=CM ③MN∥AB 其中正确结论的个数是（） A．0B．1C．2D．3 二．填空题（共1小题） 3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF 的面积与△ABC的面积之比等于_________． 三．解答题（共15小题） 4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证 DE=DF． 5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．

6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC 是什么三角形？并说明理由． 7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE． （1）∠E等于多少度？ （2）△DBE是什么三角形？为什么？ 8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD． 9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF． 10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E， 求证：BD=2CE．

全等三角形经典题型题带标准答案

全等三角形经典题型题带答案

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全等三角形证明经典50题（含答案） 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE

4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥ AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 证明:在BC 上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE ≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于CD,则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE ≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD. C D B A B A C D F 2 1 E

正弦定理余弦定理综合应用解三角形经典例题老师

一、知识梳理 1．内角和定理：在ABC ?中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C - 面积公式: 111 sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?= == 在三角形中大边对大角，反之亦然. 2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具) 形式二： ?? ? ??===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具) 形式三：::sin :sin :sin a b c A B C = 形式四： sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R = == 3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一：2 2 2 2cos a b c bc A =+- 2 2 2 2cos b c a ca B =+- 222 2cos c a b ab C =+-(解三角形的重要工具) 形式二： 222cos 2b c a A bc +-= 222cos 2a c b B ac +-= 222 cos 2a b c C ab +-= 二、方法归纳 (1)已知两角A 、B 与一边a ,由A +B +C =π及sin sin sin a b c A B C == ，可求出角C ，再求b 、c . (2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2 -2b c cosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C . (3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C . (4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理sin sin a b A B = ，求出另一边b 的对角B ，由C =π-(A +B )，求出c ，再由sin sin a c A C =求出C ，而通过sin sin a b A B = 求B 时，可能出一解，两解或无解的情况 a = b sinA 有一解 b >a >b sinA 有两解 a ≥b 有一解 a >b 有一解 三、课堂精讲例题 问题一：利用正弦定理解三角形

三角形培优经典题型

《三角形》练习题 班级_________ 姓名__________ 分数__________一、选择题（每题4分） 1．等腰三角形的两边长分别是3和7，那么它的周长是（） A、13 B、16 C、17 D、13或17 2、如图1，图中三角形的个数为（） A．17 B．18 C．19 D．20 3、在△ABC中，∠A-∠C=25°，∠B-∠A=10°，则∠B=（） A、28° B、35° C、15° D、21° 4、如图2，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点， ∠A=50°，则∠D=（） A．15°B．20°C．25°D．30° 5、已知一个多边形的每一个内角都等于135°，则这个多边形是（） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 6、如图3，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°， 则∠P的度数为（） A．15°B．20°C．25°D．30° 7、一个多边形截去一个内角后，形成另一个多边形，它的内角和为2520°， 则原来多边形的边数不可能是（） A、15条 B、16条 C、17条 D、18条 8、已知三条线段分别是a、b、c且a＜b＜c（a、b、c均为整数）， 若c=6，则线段a、b、c能组成三角形的个数为（） A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

图1 图2 图3 二、填空题（每题4分） 9、若△ABC的三边长分别是4，X，9，则X的取值范围是_____， 周长L的取值范围是_____；当周长为奇数时，X=_____ 10、一条线段的长为a，若要使3a—l，4a+1，12－a这三条线段组成一个三角形，则a 的取值范围__________． 11、等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分， 则此等腰三角形的腰长是_____ 12、如图4，小亮从A点出发，沿直线前进100m后向左转30°，再沿直线前进100m， 又向左转30°，…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了________m 13、如图5，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，S△ABC=12， 则S△ADF -S△BEF=_____. 14、如图6，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是______° 15、如图7，DC平分∠AD B，E C平分∠AEB，若∠DAE＝α， ∠D BE＝β，则∠D CE＝______ (用α、β表示)． 16、如图8，DO平分∠CDA，BO平分∠CBA，∠A=20°，∠C=30°，∠O=______°.

全等三角形经典例题(含答案)

全等三角形证明题精选 一．解答题（共30小题） 1．四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO． 2．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．（1）求证：AC∥DE； （2）若BF=13，EC=5，求BC的长．

3．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD． 4．如图，点O是线段AB和线段CD的中点． （1）求证：△AOD≌△BOC； （2）求证：AD∥BC．

5．如图：点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD，求证：∠B=∠D． 6．如图，已知△ABC和△DAE，D是AC上一点，AD=AB，DE∥AB，DE=AC．求证：AE=BC．

7．如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF．求证：AF=DF． 8．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：AB∥DE． 9．如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB 求证：AE=CE．

10．如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF．

11．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB． 12．已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2． （1）求证：BD=CE； （2）求证：∠M=∠N．

三角形角平分线部分经典题型

1．如图1所示，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝2 cm，则点D到BC的距离为________cm． 图1图2 2．如图2所示，在RtΔABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于D，若CD＝n，AB＝m，则ΔABD的面积是（） A ．mn 3 1 B． mn 2 1 C．mn D．2mn 3．如图，在△ABC中，∠C＝900，BC＝40，AD是∠BAC的平分线交BC于D，且DC∶ DB＝3∶5，则点D到AB的距离是。 4．如图，已知BD是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB的外角平分线，由D出发，作点D到BC、AC和AB的垂线DE、DF和DG，垂足分别为E、F、G，则DE、DF、DG的关系是。 5．如图，已知AB∥CD，O为∠A、∠C的角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2， 则两平行线间AB、CD的距离等于。 6.AD是△BAC的角平分线，自D向AB、AC两边作垂线，垂足为E、F，那么下列结论中错误的是( ) A、DE=DF B、AE=AF C、BD=CD D、∠ADE=∠ADF 7．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（） Ａ．三条中线的交点Ｂ．三条高的交点 Ｃ．三条边的垂直平分线的交点Ｄ．三条角平分线的交点 8.已知△ABC中，∠A=80°，∠B和∠C的角平分线交于O点，则∠BOC= 。 9.如图，已知相交直线AB和CD，及另一直线EF。如果要在EF上找出与AB、CD距离相等的点，方法是，这样的点至少有个，最多有个。 3题图 D C B A z .. ..

z .. .. D C B A 10.如图所示，已知△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，AD 平分∠CAB ，交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且AB =6 cm,则△DEB 的周长为( )。 A.9 cm B.5 cm C.6 cm D.不能确定 11.如图，AB //CD ,CE 平分∠ACD ，若∠1=250 ，那么∠2的度数是 . 12．如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ） A ．PA PB = B ．PO 平分APB ∠ C ．OA OB = D ．AB 垂直平分OP 13．如图，已知AC ∥BD 、EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠ABD ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD?相等吗？说明理由． 14、如图所示，已知AD 为等腰三角形ABC 的底角的平分线，∠C ＝90° 求证：AB ＝AC ＋CD ． 15、如图，在四边形ABCD 中，BC>BA ，AD=DC,BD 平分∠ABC,求证：∠A+∠C=180° 16、如图，∠ACB=90°,AC=BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE. 求证：△ACD ≌△CBE. O B A P A B C D E D C A B E