2015年考研数学一真题与解析
2015年考研数学一真题
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
１．设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，其二阶导数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点0x =．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C ） 2．设211
23
()x x y e x e =
+-是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce '''++=的一个特解，则 （A ）321,,a b c =-==- （B ）321,,a b c ===- （C ）321,,a b c =-== （D ）321,,a b c ===
【详解】线性微分方程的特征方程为2
0r ar b ++=，由特解可知12r =一定是特征方程的一个实根．如果21r =不是特征方程的实根，则对应于()x
f x ce =的特解的形式应该为()x
Q x e ，其中()Q x 应该是一个零次多项式，即常数，与条件不符，所以21r =也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得
213212(),a b =-+=-=?=，同时*x y xe =是原来方程的一个解，代入可得1c =-应该选（A ）
３．若级数
1
n
n a
∞
=∑
条件收敛，则3x x ==依次为级数
1
1()
n
n
n na x ∞
=-∑的
（Ａ）收敛点，收敛点 （Ｂ）收敛点，发散点 (Ｃ）发散点，收敛点 （Ｄ）发散点，发散点 【详解】注意条件级数
1
n
n a
∞
=∑条件收敛等价于幂级数
1
n n
n a
x ∞
=∑在1x =处条件收敛，也就是这个幂级数的
收敛为1，即11lim
n n n a a +→∞=，所以11()n n n na x ∞
=-∑的收敛半径1
11lim ()n
n n na R n a →∞+==+，绝对收敛域为02(,)
，显然3x x ==依次为收敛点、发散点，应该选（B ）
４．设D 是第一象限中由曲线2141,xy xy ==
与直线,y x y ==所围成的平面区域，函数(,)f x y 在
D 上连续，则
(,)D
f x y dxdy =??（ ）
（Ａ）
13214
22sin sin (cos ,sin )d f r r rdr π
θπθθθθ??
（Ｂ）34
(cos ,sin )d f r r rdr π
πθθθ?
（Ｃ）
13214
22sin sin (cos ,sin )d f r r dr πθπθθθ??
（Ｄ）34
(cos ,sin )d f r r dr π
πθθθ?
【详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程：
22121212sin cos sin xy r r r θθθ=?=?=
?=
221
414122sin cos sin xy r r r θθθ
=?=?=
?=
也就是D
：4
3r ππθ?<
所以
(,)D
f x y dxdy =
??3
4
(cos ,sin )d f r r rdr π
πθθθ?，所以应该选（B ）．
5．设矩阵2211111214,A a b d a d ????
? ?== ? ?
? ?
????
，若集合{}12,Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件是
（A ）,a d ?Ω?Ω （B ）,a d ?Ω∈Ω （C ）,a d ∈Ω?Ω （D ）,a d ∈Ω∈Ω 【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：
22221111111111111201110111140311001212(,)()()()()B A b a
d a d a d a d a d a a d d ??????
? ? ?==→--→-- ? ? ? ? ? ?------??????
方程组无穷解的充分必要条件是3()(,)r A r A b =<，也就是120120()(),()()a a d d --=--=同时成立，当然应该选（D ）．
6．设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为222
123
2y y y +-，其中()
123,,P e e e =，若()132,,Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在x Qy =下的标准形为
（A ）2221232y y y -+ （B ）222
123
2y y y +-
（C ）2221232y y y -- （D ） 222
123
2y y y ++ 【详解】()()132123100100001001010010,,,,Q e e e e e e P ???? ? ?=-== ? ? ? ?--????，100001010T T Q P ??
?=- ? ??? 211T T T T f x Ax y PAPy y y
??
?=== ? ?-??
所以100100100210020010010011001101001001010101T T Q AQ P AP ????????????
? ? ????? ?=-=-=- ? ? ????? ?
? ? ????? ?---????????????
故选择（A ）．
7．若,A B 为任意两个随机事件，则（ ）
（A ）()()()P AB P A P B ≤ （B ）()()()P AB P A P B ≥
（C ）2()()()P A P B P AB +≤
（D ）2
()()
()P A P B P AB +≥
【详解】()(),()(),P A P AB P B P AB ≥≥所以2
()()
()P A P B P AB +≤
故选择（C ）．
8．设随机变量,X Y 不相关，且213,,EX EY DX ===，则2(())E X X Y +-=（ ）
（A ）3- （B ）3 （C ） 5- （D ）5
【详解】222225(())()()()E X X Y E X E XY EX DX EX EXEY EX +-=+-=++-= 故应该选择（D ）．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．20ln(cos )
lim
x x x
→= 【详解】2001
22
ln(cos )tan lim
lim x x x x x x →→-==-．
10．
2
21sin cos x x dx x π
π-??
+=
?+??
? ． 【详解】只要注意
1sin cos x
x
+为奇函数，在对称区间上积分为零，
所以22
2
02214sin .cos x x dx xdx x π
π
ππ-??+== ?+?
???
11．若函数(,)z z x y =是由方程2cos z e xyz x x +++=确定，则01(,)|dz = ． 【详解】设2(,,)cos z F x y z e xyz x x =+++-，则
1(,,)sin ,(,,),(,,)z x y z F x y z yz x F x y z xz F x y z e xy '''=+-==+
且当01,x y ==时，0z =，所以010101001010010010(,)(,)(,,)(,,)|,|,(,,)(,,)
y x z z F F z z
x y F F ''??=-=-=-=??''
也就得到01(,)|dz =.dx -
12．设Ω是由平面1x y z ++=和三个坐标面围成的空间区域，则
23()dxdydz x y z Ω
++=??? ．
【详解】注意在积分区域内，三个变量,,x y z 具有轮换对称性，也就是
dxdydz dxdydz dxdydz x y z Ω
Ω
Ω
==?????????
11
2
1
2366314
()dxdydz dxdydz ()z
D x y z z zdz dxdy z z dz Ω
Ω
++===-=?????????? 13．n 阶行列式
20021
202
002
2
12
-=- ． 【详解】按照第一行展开，得1111212122()()n n n n n D D D +---=+--=+，有1222()n n D D -+=+ 由于1226,D D ==，得11122222()n n n D D -+=+-=-．
14．设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布10110(,;,;)N ，则{}0P XY Y -<= ． 【详解】由于相关系数等于零，所以X ，Y 都服从正态分布，1101~(,),~(,)X N Y N ，且相互独立． 则101~(,)X N -．
{}{}{}{}1111101001001022222
(),,P XY Y P Y X P Y X P Y X -<=-<=<->+>-<=
?+?= 三、解答题
15．（本题满分10分）设函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++，3
()g x kx =在0x →时为等价无穷小，
求常数,,a b k 的取值．
【详解】当0x →时，把函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++展开到三阶的马克劳林公式，得
233332331
236123
()(())(())
()()()()
x x f x x a x o x bx x x o x a a
a x
b x x o x =+-+++-+=++-+++ 由于当0x →时，(),()f x g x 是等价无穷小，则有10023
a a
b a k ?
?+=??-+=???=??，
解得，11
123
,,.a b k =-=-
=-
16．（本题满分10分）
设函数)(x f y =在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且02()f =，求()f x 的表达式． 【详解】)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+ 令0y =，得000()
()
f x x x f x =-
'
曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积为
000001
42()()(()()
f x S f x x x f x =
--=' 整理，得218y y '=
，解方程，得11
8
C x y =-，由于02()f =，得12C = 所求曲线方程为8
4.y x
=
- 17．（本题满分10分）
设函数(,)f x y x y xy =++，曲线22
3:C x y xy ++=，求(,)f x y 在曲线C 上的最大方向导数．
【详解】显然
11,f f y x x y
??=+=+??． (,)f x y x y xy =++在(,)x y 处的梯度()11,,f f gradf y x x y ??
??==++ ?????
(,)f x y 在(,)x y 处的最大方向导数的方向就是梯度方向，最大值为梯度的
模gradf =所以此题转化为求函数2211(,)()()F x y x y =+++在条件223:C x y xy ++=下的条件极值．用拉格朗日乘子法求解如下：
令2222113(,,)()()()L x y x y x y xy λλ=++++++-
解方程组222120
21203()()x y F x x y F y y x x y xy λλλλ?'=+++=??
'=+++=??++=??
，得几个可能的极值点()11112112,,(,),(,),(,)----，
进行比较，可得，在点21,x y ==-或12,x y =-=
3.= 18．（本题满分10分）
（1）设函数(),()u x v x 都可导，利用导数定义证明(()())()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+； （2）设函数12(),(),
,()n u x u x u x 都可导，12()()()
()n f x u x u x u x =，写出()f x 的求导公式．
【详解】（1）证明：设)()(x v x u y =
)()()()(x v x u x x v x x u y -++=???
()()()()()()()()u x x v x x u x v x x u x v x x u x v x =+?+?-+?++?-
v x u x x uv ???)()(++=
x
u
x u x x v x u x y ???????)
()(++= 由导数的定义和可导与连续的关系
00'lim
lim[()()]'()()()'()x x y u u
y v x x u x u x v x u x v x x x x
?→?→???==+?+=+???
（2）12()()()
()n f x u x u x u x =
1
121212()()()()()()()()()()()n n n
f x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x ''''=+++ 19．（本题满分10分）
已知曲线L
的方程为z z x
?=??=??
，起点为0()A
，终点为00(,)B ，计算曲线积分
2222()()()L
y z dx z x y dy x y dz ++-+++?
．
【详解】曲线L
的参数方程为cos ,cos x t
y t z t =??
=??=?
起点0()A 对应2
t π
=
，终点为00(,)B 对应2
t π
=-
．
22222
2
2
2()()()cos )(cos )))(cos )cos L
y z dx z x y dy x y dz
t t d t t d t t d t
π
π-
++-+++=+++-?
?
220
2
sin .tdt π
==
20．（本题满分11分）
设向量组123,,ααα为向量空间3
R 的一组基，113223332221,,()k k βααβαβαα=+==++． （1）证明：向量组123,,βββ为向量空间3
R 的一组基；
（2）当k 为何值时，存在非零向量ξ，使得ξ在基123,,ααα和基123,,βββ下的坐标相同，并求出所有的非零向量.ξ
【详解】（1）()12312320
1020201(,,),,k k βββααα?? ?= ?
?+??
，
因为2
01
210
20
24021
201
k k k k ==≠++，且123,,ααα显然线性无关，所以123,,βββ是线性无关的，
当然是向量空间3
R 的一组基．
（2）设非零向量ξ在两组基下的坐标都是123(,,)x x x ，则由条件
112233112233x x x x x x αααβββ++=++
可整理得：1132231320()()x k x x k ααααα++++=，所以条件转化为线性方程组
()1321320,,k k x ααααα++=存在非零解．
从而系数行列式应该等于零，也就是
1231231011010100
1002020(,,)(,,k k k k
αααααα??
?
== ? ???
由于123,,ααα显然线性无关，所以1
01
10020k k
=，也就是0k =．
此时方程组化为()112121312230,,()x x x x x x ααααα?? ?
=++= ? ???
，
由于12,αα线性无关，所以13200x x x +=??=?，通解为1230x C x x C ????
? ?
= ? ? ?
?-?
???，其中C 为任意常数．
所以满足条件的0C C ξ??
?= ? ?-??
其中C 为任意不为零的常数． 21．（本题满分11分）
设矩阵02313312A a -?? ?=-- ? ?-??相似于矩阵12000031B b -??
?= ?
???
．
（1）求,a b 的值；
（2）求可逆矩阵P ，使1
P AP -为对角矩阵．
【详解】（1）因为两个矩阵相似，所以有trA trB =，A B =．
也就是324
235
a b a a b b +=+=????
?
-==??． （2）由
21
20
5
01500
3
1
()()E B λλλλλλ--=
-=--=--，得A ，B 的特征值都为12315,λλλ===
解方程组0()E A x -=，得矩阵A 的属于特征值
121λλ==的线性无关的特征向量为
12231001.ξξ-???? ? ?== ? ?
? ?????
；
解方程组50()E A x -=得矩阵A 的属于特征值35λ=的线性无关的特征向量为3111ξ-??
?
= ? ???
令()123231101011,,P ξξξ--?? ?== ? ???，则1100010005.
P AP -?? ?= ? ???
22．（本题满分11分）设随机变量X 的概率密度为220
00ln ,(),x x f x x -?>=?≤?
对X 进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y 为次数．
求Y 的分布函数；
（1） 求Y 的概率分布； （2） 求数学期望.EY 【详解】（1）X 进行独立重复的观测，得到观测值大于3的概率为
3
1
3228
()ln x P X dx +∞
->==?
显然Y 的可能取值为234,,
,
且2
2
11117171234888648()(),,,,
k k k
P Y k C k k ---????
==??=-= ? ???
?
?
（2）设22
3
2
2221111()()(),()n n
n n n n x S x n n x
x x x x x ∞
∞
∞-===''''????''=
-====< ? ?--????
∑∑∑ 2
22171711664
8648()()()k k n E Y kP Y k k k S -∞
∞
==??
??
===-=
= ?
?????
∑∑ 23．（本题满分11分）
设总体X 的概率密度为
1
110,(;),x f x θθθ?≤≤?
=-???其他
其中θ为未知参数，12,,
,n X X X 是来自总体的简单样本．
（1）求参数θ的矩估计量；
（2）求参数θ的最大似然估计量． 【详解】（1）总体的数学期望为
1
11
112
()()E X x
dx θ
θθ==+-? 令()E X X =，解得参数θ的矩估计量：21?X θ
=-． （2）似然函数为
12121
1
10,,,,()
(,,
,;),n n
n x x x L x x x θθθ?≤≤?-=???
其他
显然()L θ是关于θ的单调递增函数，为了使似然函数达到最大，只要使θ尽可能大就可以，所以
参数θ的最大似然估计量为12
?min(,,,).n x x x θ=