抽象函数寻源与求解
抽象函数寻源与求解
所谓抽象函数题，就是只提供一些运算性质，而不提供函数的具体的表达式的题目.一般地，一道抽象函数题都有其具体的函数作为命题背景.下面以指数函数和对数函数作为命题背景谈谈抽象函数题的改编与求解.
一、指数函数()(1)x f x a a =>在R 上是增函数，且过定点（0，1），且0x >时，() 1.f x >而指数有如下性质：x y x y a a a +=?，我们保留一部分性质，而其他一部分性质作为结论，可以编拟以下抽象函数题：
例1 定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=?，且当0x >时，() 1.f x >
（1）求(0)f .
（2）证明()f x 在R 上是增函数.
解：（1）(0)(00)(0)(0)f f f f =+=?，(0)1,f ∴=或(0)0.f =
但是(0)0f =时，对于任意0x >，()(0)()(0)0f x f x f x f =+=?=，这与当0x >时，()1f x >矛盾.所以(0) 1.f =
（2）设12,x x 是任意两个实数，且12x x <，则210x x ->，从而21() 1.f x x -> 121211()()()()
f x f x f x f x x x ∴-=--+12111211()()()()()f x f x x x f x f x x f x =--+=--?
121()[1()].f x f x x =-- 由11()()(0)122x x f f f ?-==知1()02x f ≠，所以111()()()022
x x f x f f =?>， 又211()0f x x --<，所以121()[1()]0,f x f x x --<即12()()0f x f x -<，12()(),f x f x <所以()f x 在R 上是增函数.
二、对数函数()log (1)a f x x a =>在（0，+∞）上是增函数，且过定点（1，0），且1x >时，()0.f x >而对数有如下性质：log ()log log a a a xy x y =+，于是我们可以编拟以下抽
象函数题：
例2 定义在（0，+∞）上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y ?=+，且当1x >时，()0.f x >
（1）求(1)f .
（2）证明()f x 在（0，+∞）上是增函数.
解：（1）由(1)(11)(1)(1)f f f f =?=+得(1)0f =.
（2）设12,x x 是（0，+∞）上的任意两个实数，且12x x <，则21
1x x >，于是21()0.x f x > 212111()()()()x f x f x f x f x x ∴-=-?2111
()[()()]x f x f f x x =-+21()0x f x =-<， 所以12()(),f x f x <因此()f x 在（0，+∞）上是增函数.
高中数学函数的解析式和抽象函数定义域练习题
高中数学函数的解析式和抽象函数定义域练习题 1、分段函数已知???>-≤+=) 0(2)0(1)(2x x x x x f 则 （1）若=)(x f 10，则x= ；（2）)(x f 的值域为 _____. 2、画出下列函数的图象（请使用直尺） (1) Z x x y ∈-=,22且 2≤x (2) x x y -=2 3、动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ， 试写出线段AP 的长度y 与P 点的行路程x 之间的函数关系式。 4、根据下列条件分别求出函数)(x f 的解析式 观察法(1)221)1(x x x x f +=+ 方程组法x x f x f 3)1(2)()2(=+ 换元法（3）13)2(2++=-x x x f D P C P A P B
待定系数法 （4）已知()x f 是一次函数，且满足()()1721213+=--+x x f x f ,求()x f 。 （复合函数的解析式）---代入法 （5）已知1)(2-=x x f ，1)(+=x x g ，求)]([x g f ]和)]([x f g 的解析式。 5、抽象函数的定义域的求解 1、若函数)(x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(-x f 的定义域为 。 2、若函数)1(2-x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(+x f 的定义域为 。 练习：1、若x x x f 2)1(+=+,求)(x f 。 2、函数)(x f 满足条件10)()(+-=x xf x f ，求)(x f 的解析式。 3、已知)(x f 是二次函数，且满足()10=f ,()()x x f x f 21=-+，求()x f 的表达式。 4、若()32+=x x f ，)()2(x f x g =+，求函数)(x g 的解析式 5、已知二次函数()h x 与x 轴的两交点为(2,0)-，(3,0)，且(0)3h =-，求()h x ；
抽象函数解题方法与技巧
抽象函数解题方法与技巧 函数的周期性： 1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=f(x-a)（或f(x-2a)=f(x)）(a >0)恒成立，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数； 2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数； 3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数； 4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b （a ≠b ），则函数y=f(x)是周期为4|a-b|的周期函数； 5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，其中a>0，且如果y=f(x)为奇函数，则其周期为4a ；如果y=f(x)为偶函数，则其周期为2a ； 6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=-f(x)()1()f x a f x ??+= ???或()1()f x a f x ??+=- ???或，则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数； 7、若()()()1 1 f x f x a f x -+= +在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为4a 的周期函数； 8、若()() ()11 f x f x a f x -+= +在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。 （7、8应掌握具体推导方法，如7） 函数图像的对称性： 1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线2 a b x +=对称； 2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a-x)或f(x+a)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称； 3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c ，则y=f(x)的图像关于点,2 2a b c +?? ??? 成中心对称图形； 4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a-x,2b-y)=0； 5、形如()0,ax b y c ad bc cx d += ≠≠+的图像是双曲线，由常数分离法 d ad ad a x b b a c c c y d d c c x c x c c ??+-+-+ ???==+????++ ? ???? ?知：对称中心是点,d a c c ??- ???； 6、设函数y=f(x)定义在实数集上，则y=f(x+a)与y=f(b-x)的图像关于直线2b a x -=对称； 7、若函数y=f(x)有反函数，则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a 对称。 一、换元法 换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法. 例1. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x , 求f(x) ()()()()()()()1 1 11212112()() 11 f x f x a f x f x a f x f x a f x f x f x --+-+-+====--++++
抽象函数周期函数复合函数对称性课件
第六讲i 一、 周期函数 （a ）概念：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期， 则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。 （b ）函数周期性的几个重要结论： 2、()()f x a f x b +=+?)(x f y =的周期为a b T -= 3、)()(x f a x f -=+?)(x f y =的周期为a T 2= 4、) (1)(x f a x f =+?)(x f y =的周期为a T 2= 5、) (1)(x f a x f -=+?)(x f y =的周期为a T 2= 7、1)(1)(+- =+x f a x f ?)(x f y =的周期为a T 2= 6、) (1)(1)(x f x f a x f +-=+?)(x f y =的周期为a T 3= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+= +?)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+?)(x f y =的周期为a T 6= 10、若.2 , )2()(,0p T p px f px f p =-=>则 推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+?)(x f y =周期a T 2= 推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+?)(x f y =周期a T 4= 二、函数对称性
抽象函数定义域问题的教学反思
抽象函数定义域问题的教学反思 【摘要】抽象函数定义域问题一直是学生学习的难点，如何行之有效的解决此类问题是值得我们反思的，故笔者从四个方面提出一点自己的教学思考，以期与同行齐思共想。 【关键词】抽象概念形象化具体化逐步渗透 函数出现在苏教版必修一第二章节，作为高考的必考内容，函数占了相当大的比例和分量，而其中抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难度，特别是初学时求其定义域，许多同学解答起来总感觉到棘手．所以如何行之有效的解决此类问题是值得我们反思的，故笔者提出一点自己的教学思考，以期与同行齐思共想。 1、理解函数概念，追溯问题源头 新课改以来，概念教学的重要性日益提高，李邦河院士说：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！”但在实际的一线教学中，许多教师并不重视概念教学，一到概念教学就觉得“没意思，没用，难教”等等，往往就走走过场，既没有在概念的背景上下工夫，也不让学生经历概念的概括生成过程，以解题教学代替概念教学。 抽象函数定义域问题归根结底还是要回归到函数概念上。抽象函数通常指一类没有给出具体解析式的函数,其概念是非常简单的形式定义,它的意象表征抽象而又比较灵活,学生理解有相当难度,很难明确概念的内涵,并对概念的本质属性 准确揭示。而抽象概念学习是整个抽象函数的基础,概念不清就谈不上进一步讨论抽象函数的其它问题。一般地,设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的每一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为集合A到集合B的一个函数,其中x叫做自变量,x的取值范围也就是集合A叫做函数的定义域.因此任何函数的定义域都是指自变量x 的取值范围.正是由于定义域中自变量x的首先变化，引起了函数值的变化，所以，函数的定义域确切的说是函数中首先变化的那个量的所有取值组成的集合。 2、抽象知识形象化，激发学生的学习兴趣 本人任教农村中学的高中数学,学生基础较差,接受能力较弱。绝大多数同学学不好数学,在于上课听不懂,对抽象知识难以理解。这就需要教师时时刻刻地站
抽象函数+解题技巧
抽象函数与解题策略 上海南洋模范中学 熊晓东 2005年11月19日 （一）抽象函数的定义、特征和一般解题策略 （1）什么是抽象函数？ 那些没有给出函数的具体解析式，只给出一些特殊条件或特征的函数称为抽象函数。 （2）抽象函数与一般函数的有什么联系？ 抽象函数往往有它所对应的具体的函数模型。例如，)x (f )x (f )x x (f 2121+=+对应的是指数函数2 1 2 1x x x x a a a ?=+；)x (f )x (f )x x (f 2121+=对应的是对数函数 2a 1a 21a x l o g x l o g )x x (l o g +=等等。当然，也有的时候并没有我们比较熟悉的函数模型，而是新定义的一种函数。 抽象函数也可以与我们熟悉的函数，如指数函数、对数函数等一样，有自己的性质，如奇偶性、周期性、单调性等。有自己的特殊点，有自己的对称性，能画出大致图像。 （3）抽象函数的解题策略一般有哪些？ 面对抽象函数数学题，我们的解题思路一般不外乎①合理赋值，化抽象为具体；②作恒等变形，找出该函数规律性、特征性特点；③分类讨论，归纳出抽象函数的实质问题。 （二）高考中的抽象函数 （1）抽象函数在高考中的地位 函数是高考数学中非常重要的一部分，根据上海卷命题的要求，每年函数部分的内容将占到整个卷面分值的三分之一左右，2005年高考上海卷中，函数相关的内容将近55分。而抽象函数是函数中考核要求较高，难度较大的内容。2000年开始，不论是全国卷还是上海卷都对学生提出了考查抽象函数的要求。03年上海卷一年中考了两道与抽象函数有关的题目，03、04、05年连续三年上海高考试卷中均有与抽象函数有关的题目。
复合函数定义域三种形式解法
先介绍几个名词：（能理解最好，如果感觉这些名词有点晕，你可以跳过） 【定义域】：就是初中我们所学的，函数y=f(x)的自变量x的取值范围；【值域】：函数y=f(x)的因变量y的取值范围； 【显函数】：俗称常见函数，函数解析式是明确的，例如：y=f(x)=2x2+3x-5； 【隐函数】：俗称抽象函数，函数解析式是不明确的，就用y=f(x)表示，具体f(x)是什么内容是隐藏的； 【复合函数】：如果说y=f(x)是一个简单的抽象函数，那么把自变量x 用一个函数g(x)来代替，就称y=f(g(x))为复合的抽象函数，习惯上称y=f(t)是外函数，t=g(x)为内函数。 讲解之前提醒很关键的一句：凡是函数的定义域，永远是指自变量x 的取值范围。 【题型一】已知抽象函数y=f(x)的定义域[m,n]，如何求复合抽象函数y=f(g(x))的定义域？ 思路分析：本题型是已知y=f(x)的自变量x的范围，求y=f(g(x))的自变量x的范围，其中的关键是，后者的g(x)相当于前者的x。 解决策略：求不等式m≤g(x)≤n的解集，即为y=f(g(x))的定义域【例题1】已知函数y=f(x)的定义域[0,3]，求函数y=f(3+2x)的定义域. 解：令t=3+2x，∵y=f(x)的定义域[0,3]，∴y=f(t)的定义域也为[0,3]，
即t=3+2x∈[0,3]， 关于抽象复合函数定义域的求法 说明：内函数g(x)=3+2x，通过令t=3+2x做了一个换元，此处换元不能写为令x=3+2x。原因是y=f(x)中的x与 y=f(3+2x)的x虽然长得一样，但是意义不同，如果令x=3+2x，则等号两边的x就是一模一样了，x只能为-3了。 【题型二】已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，如何求抽象函数y=f(x)的的定义域？ 思路分析：本题型是已知y=f(g(x))的自变量x的范围，求y=f(x)的自变量x的范围，其中的关键是，前者的 g(x)相当于后者的x。 解决策略：求内函数t=g(x)在区间[m,n]的值域（t的取值范围），即为y=f(x)的定义域 【例题2】已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，求函数y=f(x)的定义域. 解：∵y=f(2x-1)的定义域[0,3]，∴0≤x≤3，令t=2x-1，∴t=2x-1∈[-1,5] 故，函数y=f(t)的定义域为t∈[-1,5]， 故，函数y=f(x)的定义域为x∈[-1,5] 说明：函数y=f(x)与y=f(t)是同一个函数，与单个自变量是x还是t 无关。另外，题型二是题型一的逆向题目。
抽象函数解题方法与技巧
抽象函数的解题技巧 1.换元法 换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法. 例1. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x, 求f(x) 解:令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0≤u ≤2),则f(u)=-u 2+3u+1 (0≤u ≤2) 故f(x)=-x 2+3x+1 (0≤u ≤2) 2.方程组法 运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。 例2..232|)x (f :|,x )x 1(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥=-=求证且为实数即是实数函数设 解:02)x (xf 3 x ,x 1)x (f 2)x 1(f ,x x 12=++=-与已知得得代换用 .232|)x (f |,024)x (9f 02≥∴≥?-≥?得由 例3.f(x).1),x 0(x ,x 1)x 1x ( f )x (f 求且已知≠≠+=-+ 解:(1)1),x 0(x x 1)x 1x (f )x (f ≠≠+=-+且 ,x 1x 1)x 1x 1x 1x (f )x 1x (f :x x 1-x -+=---+-得代换用 :x )1(x -11 (2) .x 1x 2)x 11(f )x 1-x f( 得中的代换再以即-=-+ (3) .x 1x 2)x (f )x -11f( ,x 111)x 111x 11(f )1x 1(f --=+-+=---+-即 1)x 0(x x 2x 21x x )x (f :2)2()3()1(223≠≠---=-+且得由 3.待定系数法 如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。 例4.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x). 解:由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0) 代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x 2-2x-1. 4.赋值法
复合函数及抽象函数的单调性
复合函数的单调性 复合函数的定义： 设y=f(u)定义域A ，u=g(x)值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的y=f[g(x)]叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量 复合函数的单调性 复合函数的单调性由两个函数共同决定； 引理1：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。 引理2：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。 若u=g(x) y=f(u) 则y=f[g(x)] 规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。 “同增异减” 例2. 已知f ( x )=－x2 + 2x + 8，g ( x ) = f ( 2－x 2 )，求g ( x )的单调增区间． 的单调区间。：求函数例2912 1)(1x x f --=
抽象函数 例1：设f(x)是定义在实数集R 上的奇函数，且在区间（-∞，0）上是增函数，又f(2a2+a+1)
抽 象 函 数 的 解 题 方 法
解 抽 象 函 数 的 常 用 方 法 抽象函数是指没有给出具体解析式的函数。此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和转化能力，以及对一般和特殊关系的认识，因此备受命题者的青睐，成为高考热点。然而，由于抽象函数本身的抽象性、隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。 我在多年的教学中,积累了一些解题方法,供大家参考. 一、 利用线性函数模型 在中学数学教材中，大部分抽象函数是以具体函数为背景构造出来的，解题时最根本点是将抽象函数具体化，这种方法虽不能代替具体证明，但却能找到这些抽象函数的解题途径，特别是填空题、选择题，直接用满足条件的特殊函数求解，得出答案即可。常见的抽象函数模型有： 例1、函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且f （1）＝2， f （x ）在区间[－４，２]上的值域为 。 0a a ≠且
解析：由题设可知，函数f （x ）是正比例()y kx k =为常数的抽象函数，由f （1）＝2可求得 k=2，∴ f （x ）的值域为［－８，４］。 例2、已知函数f （x ）对任意,x y R ∈，满足条件()()()2f x y f x f y +=+-，且当x ＞0时， f （x ）＞2，f （3）＝5，求不等式2(22)3f a a --的解。 分析：由题设条件可猜测：f （x ）是y ＝x ＋2的抽象函数，且f （x ）为单调增函数，如果 这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设1221,0x x x x -则，∵当x ＞0时，f （x ）＞2，∴21()2f x x -，则 ， 即，∴f （x ）为单调增函数。 ∵， 又∵f （3）＝5，∴f （1）＝3。∴2(22) (1)f a a f --，∴2221a a --， 解得不等式的解为－1 < a < 3。 例3、定义在Ｒ上的函数()y f x =，对任意的12,x x 满足12x x ≠时都有12()()f x f x ≠，且有 ()()()f x y f x f y +=成立。求： （1）f （0）； （2）对任意值x ，判断f （x ）值的正负。 分析：由题设可猜测f （x ）是指数函数()(01)x f x a a a =≠且的抽象函数， 从而猜想f （0）＝1且f （x ）＞0。 解：（1）令y ＝0代入()()()f x y f x f y +=，则()()(0)f x f x f =， ∴[]()1(0)0f x f -=。若f （x ）＝0，则对任意12x x ≠，有12()()0f x f x ==，
抽象函数的解题方法与技巧
抽象函数的解题方法与技巧 摘要：抽象函数是没有具体的解析式，只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数。因而显得特别抽象。所以解决抽象函数问题需要从函数的本质出发，考虑其定义，性质，加之解决抽象函数问题时常用的技巧——赋值法，换元法等。尽可能使抽象函数变得不再抽象。 关键词：抽象函数；性质；求值；解析式 ；解题方法；技巧 Problem-solving methods and skills of abstract functions Xue Jie School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China Abstract :: abstract function is not analytic type specific, given only the function characteristics, its nature or some special relationship. So it is especially abstract. So to solve the abstract function problems need from the view of function essence, considering its definition, nature, and solve the abstract function problems commonly used techniques -- assignment method, substitution method etc.. As far as possible to make the abstract function is no longer abstract. Keywords : abstract function; property; evaluation; analytic method; problem solving skills; 1. 提出问题的背景 抽象函数问题是函数中的一类综合性较强的问题，这类问题通过对函数性质结构的代数表述，能够综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对函数性质的代数推理和论证能力，考查学生的抽象思维和对知识的灵活运用能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，因而成为近几年高考命题的热点。由于抽象函数问题只给出函数所满足的一般性质或运算法则，没有明确的表示形式，因其抽象性和综合型，对学生而言有较大的难度。因此有必要对抽象函数的解题方法和技巧进行归纳总结。 2. 抽象函数的知识点 （1）定义域：函数的定义域指自变量x 的取值范围。所以对抽象函数()x f ，()[]x g f 而言，其定义域均指的是x 的取值范围。对于()[]x g f 和()[]x h f ，其中()x g 和()x h 的地位是等价的，故取值范围是一样的。 （2）值域：函数的值域指函数值的取值范围。那么具有相同对应关系的两个抽象函数 ()[]x g f 和()[]x h f ，它们的值域是相同的。
分段函数抽象函数与复合函数
精心整理 2015-2016学年度???学校9月月考卷 分段函数、抽象函数与复合函数 考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 第I卷（选择题） 请点击修改第I卷的文字说明 5．已知函数 3,0, () ln(1),>0. x x f x x x ?≤ =? + ? ,若2 (2)() f x f x ->，则实数x的取值范围是（） A．(,1)(2,) -∞-?+∞B．(,2)(1,) -∞-?+∞C．(1,2) - D．(2,1) -
6．定义一种运算? ??>≤=?b a b b a a b a ,,，令()()t x x x x f -?-+=224（t 为常数），且[]3,3-∈x ， 则使函数()x f 最大值为4的t 值是（） A ．2-或6B ．4或6C ．2-或4D ．4-或4 7．已知? ???+∈+=R x x i R x x x f ,)1(,1)(，则=-))1((i f f （） A.2i - B.1 C.3 D.3i + 8 34x x <，且(f A ．9A ．1 10a 的取A ．(C ．[11．若() 2 2,,0()21,[0,) x x f x x x x ?--∈-∞=?--∈+∞?，x 1＜x 2＜x 3，且f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)，则x 1+x 2+x 3的值的范围是（） A ．[1,2) B ．(1,2] C ．(0,1] D ．[2,3) 12．已知函数()2 3,2 x f x x x ≥=-
13．已知函数()() ()?????≤?? ? ??>=0340sin x x x x f x π，则()()1-f f 的值为（） A. 4 3π B.1sin - C.22 D.1- 14．设函数???><=0 ,log 0 ,2)(2x x x x f x ，若存在唯一的x ，满足a a x f f 28))((2+=，则正实数．．． a 的最小值是（） （A 15A.(16a 的个A ．17A ．918A.(191)]1([=g f A.1B.2C.3D.1- 20．已知函数2|log |,02 ()sin(),2104 x x f x x x π <
抽象函数定义域问题
抽象函数定义域问题 这类题往往困扰着高一同学，大家总弄不明白一会x是这个范围，怎么一会又是另一个范围了，在讲解这类题目之前请大家明确3个问题： 1)凡是函数的定义域，永远是指自变量x的取值范围。 2)f( )表示的是同一对应法则，同一对应法则括号里的范围一致 3)f( )与g( )表示不同的对应法则括号里范围不一致 【题型一】已知抽象函数y=f(x)的定义域[m,n]，如何求复合抽象函数y=f(g(x))的定义域？ 思路分析：根据张老师总结的三个问题，列表格解决 【例题1】已知函数y=f(x)的定义域[0,3]，求函数y=f(3+2x)的定义域. 函数定义域括号里的范围 F(x) 0≦x≦30≦x≦3 F(3+2x) 3/2≦x≦00≦3+2x≦3易知F(3+2x)的定义域为｛x|3/2≦x≦0｝括号里范围一致 根据括号里范围求x范围定义域是指自变量x的取值范围
【题型二】已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，如何求抽象函数y=f(x)的的 定义域？ 思路分析：根据张老师总结的三个问题，列表格解决 【例题2】已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，求函数y=f(x)的定义域. 解： 函数 定义域 括号里的范围 F(2x-1) 0≦x ≦3 -1≦2x-1≦5 F(x) -1≦x ≦5 -1≦x ≦5 v 易知F(x)的定义域为｛x|-1≦x ≦5｝ 【题型三】已知复合抽象函数y=f(g(x))定义域[m,n]，如何求复合抽象函数y=f(h(x))的定义域？ 思路分析：根据张老师总结的三个问题，列表格解决 【例题3】已知函数y=f(2x-1)的定义域[0,3]，求函数y=f(3+x)的定义域. 解：思路分析：根据张老师总结的三个问题，列表格解决 函数 定义域 括号里的范围 F(2x-1) 0≦x ≦3 -1≦2x-1≦5 F(3+x) -4≦x ≦2 -1≦3+x ≦5 v 易知易知F(x)的定义域为｛x|-4≦x ≦2｝ 根据括号里范围求x 范围 括 号 里 范 围一致 定义域是指自变量x 的取值范围 根据x 范围求括号里范围 根据括号里范围求x 范围 括 号 里 范 围一致 定义域是指自变量x 的取值范围 根据x 范围求括号里范围
抽象函数问题的解题策略
抽象函数问题的解题策略Last revision on 21 December 2020
抽象函数问题的解题策略 一、利用特殊模型 有些抽象函数问题,用常规解法很难解决,但与具体函数“对号入座”后,问题容易迎刃而解.这种方法多用于解填空题、选择题、解答题的解题后的检验,但解答题的解答书写过程一般不能用此法. 例1 若函数f(x)与g(x)在R 上有定义,且f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y), f(-2)=f(1)≠0,则g(1)+g(-1)= . 解 因为 f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y), 这是两角差的正弦公式模型, 又f(-2)=f(1)≠0, 则可取x x f 3 2sin )(π= 于是 f(-1-1)=f(-1)g(1)-g(-1)f(1) 例2 设函数f(x)是定义在R 上的减函数,且满足f(x+y)=f(x)f(y), f(-3)=8,则不等式f(x)f(x-2)< 的解集为 . 解 因为函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y),这是指数函数模型, 又 f(-3)=8, 则可取 ∵f(x)f(x-2)< ∴2)21()21(-x x ＜2561, 即22)21(-x ＜8)2 1(， ∴ 2x-2 >8, 解不等式,得 x>5, ∴ 不等式的解集为 {x|x >5}. 二、利用函数性质 函数的特征是通过函数的性质反映出来的,抽象函数也不例外,只有充分利用题设条件所表明的函数的性质,灵活进行等价转化,抽象函数问题才能峰回路 转、化难为易. 1. 利用单调性 例3 设f(x)是定义在（0,+∞）上的增函数,满足f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1,解不等式f(x)+f(x-8)≤2. 解 ∵ 函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1, ∴ 2=1+1=f(3)+f(3)=f(9), 由f(x)+f(x-8)≤2,得 f[x(x-8)]≤f(9), ∵ 函数f(x)是定义在（0,+∞）上的增函数, 则 ∴ 不等式解集为 {x|8 2014高三数学专题 抽象函数 特殊模型和抽象函数 特殊模型 抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=x n f(xy)=f(x)f(y) [或) y (f )x (f )y x (f =] 指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [) y (f )x (f )y x (f =-或 对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )y x (f -=或 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x) 正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1) y (f )x (f )y x (f -+= + 余切函数 f(x)=cotx ) y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-= + 一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 11≤≤-x 。 解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ?的定义域问题，相当于解内函数()x ?的不等式问题。 练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()? ?? ? ? ?-x f 3log 2 1 的定义域。 例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。 []11log ,13 评析： 已知函数()()x f ?的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数()x ?的值域。 抽象函数常见题型解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。 一、定义域问题 例1. 已知函数 )(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。 例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21 [，-，求函数)] 3([log 2 1x f -的定义域。 二、求值问题 例 3. 已知定义域为+ R 的函数f （x ），同时满足下列条件：① 51 )6(1)2(= =f f ，；② )()()(y f x f y x f +=?，求f （3），f （9）的值。 三、值域问题 例4. 设函数f （x ）定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。 解：令0==y x ，得2 )]0([)0(f f =，即有0)0(=f 或1)0(=f 。 若0)0(=f ，则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ，对任意R x ∈均成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故0)0(≠f ，必有1)0(=f 。 由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立，因此，对任意R x ∈，有 )]2([)2()2()22()(2≥==+=x f x f x f x x f x f 下面来证明，对任意0)(≠∈x f R x ， 设存在 R x ∈0，使得0)(0=x f ，则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f 这与上面已证的0)0(≠f 矛盾，因此，对任意0)(≠∈x f R x ， 所以0)(>x f 评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。 四、解析式问题 赋值法解答抽象函数问题的赋值技巧与策略 函数是高中数学的重要内容，也是高考的热点.对于没有明确给出具体表达式的函数，称之为抽象函数.解答抽象函数问题的方法较多，其中用赋值法进行解答就是一种行之有效的方法.赋值主要从以下方面考虑：①令x=…、﹣2、﹣1、0、1、2…等特殊值求抽象函数的函数值；②令x=x 2，y=x 1或y=1 x 1，且x 1 抽象函数是指函数的三种表示法：列表法、图象法、解析法均未给出，只给出函数记号f(x)的一类函数.这类函数解决起来较抽象，但却能有效地反映学生对知识的掌握、理解、应用及迁移的能力，对培养、提高学生的发散思维和创造思维等能力有很好的促进作用。因此，这类问题在高中数学的各类考试中经常出现。下面谈谈这类问题常见的几种解法： 一、赋值法 先以特殊值作尝试，在探索中发现题中条件遵循某些规律或特点,从而使问题得以解决。这类问题经常出现,要认真理解其解题的要领和方法。 例1设函数f(x)的定义域为自然数集，若f(x+y) = f(x)+f(y)+x 对任意自然数x,y恒成立，且f(1) = 1，求f(x)的解析式。 分析:当令y=1时,可得f(x＋1)=f(x)＋x＋1,这相似于数列中的递推关系,再利用相应的递推关系可求出函数的解析式。 解：令y = 1, 则f(x+1) = f(x)+f(1)+x = f(x)+x+1， ∴ f(1) = 1 f(2)= f(1) +2 f(3) = f(2) +3 … f(n) = f(n－1) +n 各式相加得：f(n) = 1+2+3+…+n = ∴ f(x) = 例2已知函数f(x)满足f(x+y)＋f(x－y) = 2 f(x) · f(y)，x∈R, y∈R,且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数。 分析: 当令 x=y=0时,可得f(0)=1,再利用题中条件变形求解。 证明：令x = y = 0 ∴ f(0) +f(0) = 2f 2 (0) ∵ f(0) ≠ 0, ∴ f(0) = 1 令 x = 0 , 则 f(y) + f(－y) = 2f(0) · f(y) ∴ f(－y) = f(y), ∵ y∈R, ∴ f(x)是偶函数 例3 已知函数f(x)的定义域为(0 , + ∞ )，对任意x > 0, y> 0 恒有f(xy) = f(x) + f(y) 求证：当x > 0时, f( ) = －f(x) 分析:当令x=y=1时,可得f(1)=0,再灵活运用f(1)=f(x·)可求得。 证明：令x = y = 1，则f(1) = f(1) + f(1)，∴ f(1) = 0 又令y = ，x > 0，则 f(1) = f(x) + f( ) ∴ f(x) + f( ) = 0 即f( ) = －f(x) 二定义法 在熟练掌握函数的定义、性质的基础上，对题中抽象函数给出的条件进行分析研究，运用定义、性质进行化简、变形，寻找解决问题的方法。 例4函数f(2x)的定义域是[－1,1],则f(x)定义域为 x)定义域为___________ f(log 2 抽象函数定义域 的类型及求法 抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难 度，特别是求其定义域时， 许多同学解答起来总感棘手． 下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法． 一、已知 f ( x) 的定义域，求 f g( x) 的定义域 其解法是：若 f ( x) 的定义域为 a ≤ x ≤ b ，则在 f g( x) 中， a ≤ g ( x) ≤ b ，从中 解得 x 的取值范围即为 f g( x) 的定义域． 例 1 已知函数 f (x) 的定义域为 15， ，求 f (3 x 5) 的定义域． 分析：该函数是由 u 3x 5 和 f (u) 构成的复合函数，其中 x 是自变量， u 是中 间变量，由于 f ( x) 与 f (u) 是 同一个函数，因此这里是 已知 1≤ u ≤ 5 ，即 1≤ 3x 5≤ 5，求 x 的取值范围． 解： f ( x) 的定义域为 15， ， 1≤ 3x 5 ≤ 5 ， 4 ≤ x ≤ 10 ． 3 3 故函数 f (3 x 5) 的定义域为 4 10 3 ， ． 3 二、已知 f g( x) 的定义域，求 f (x) 的定义域 其解法是：若 f g ( x) 的定义域为 m ≤ x ≤ n ，则由 m ≤ x ≤ n 确定的 g (x) 的范 围即为 f ( x) 的定义域． 例 2 已知函数 f (x 2 2x 2) 的定义域为 0，3 ，求函数 f ( x) 的定义域． 分析： 令 u x 2 2x 2 ，则 f ( x 2 2x 2) f (u) ， 由于 f (u) 与 f ( x) 是同一函数，因此 u 的取值范围即为 f ( x) 的定义域． 解：由 0 ≤ x ≤ 3 ，得 1≤ x 2 2x 2 ≤ 5 ． 令 u x 2 2x 2 ，则 f ( x 2 2x 2) f (u) ， 1≤ u ≤ 5 ． 故 f ( x) 的定义域为 15， ． 三、运算型的抽象函数 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各2014高中数学抽象函数专题
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